Lagrangegleichungen 2. Art

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Betrachten wir wieder das d'Alembertsche Prinzip:


imir¯¨iδr¯i=iXiδr¯i=jQjδqj


Linke Seite:


imir¯¨iδr¯i=j(imir¯¨iqjr¯i)δqj=ji{ddt(mir˙iqjr¯i)mir˙iddt(qjr¯i)}δqj Mit q˙jvi=q˙j[j=1f(r¯iqjq˙j)+tr¯i]=qjr¯i(q1,...,qf,t) und r¯˙i=j=1f(r¯iqj)q˙j+tr¯i=j=1f(q˙jvi)q˙j+tr¯iddt(r¯iqj)=qjvi


Beweis für die letzte Deduktion:


ddt(r¯iqj)=k=1(2r¯iqkqj)q˙k+2qjtr¯iqjvi=qj{k=1(r¯iqk)q˙k+tr¯i}=k=1(2r¯iqkqj)q˙k+2qjtr¯i


Somit ergibt sich für die linke Seite


imir¯¨iδr¯i=i,j{ddt(miviq˙jvi)mivi(qjvi)}δqj


Ziel ist es, diese Seite durch die gesamte Kinetische Energie auszudrücken:


T=i12mivi2


miviq˙jvi=q˙j(12mivi2)miviqjvi=qj(12mivi2)


Somit folgt:


{ddt(miviq˙jvi)mivi(qjvi)}={ddt(q˙jT)(qjT)}



imir¯¨iδr¯i=iXiδr¯i=jQjδqjj{ddt(q˙jT)(qjT)Qj}δqj=0


Der T-abhängige Ausdruck ist jedoch in qj völlig frei variierbar. Somit ist keine lineare Abhängigkeit der Variationen über verschiedene j gegeben.

Jedes qj ist für sich frei variierbar, so dass der Ausdruck auf der linken Seite für sich Null wird:


ddt(q˙jT)(qjT)Qj=0ddt(q˙kT)(qkT)=Qkk=1,....,f


ddt(q˙kT)(qkT)=Qkk=1,....,f heißt Lagrange- Gleichungen 2. Art


Die Lagrangegleichungen der zweiten Art können aus dem d ´Alembertschen Prinzip nur für holonome Zwangsbedingungen gewonnen werden (im Gegensatz zur Lagrangegleichung erster Art).

Dies liegt daran, dass nur für holonome Zwangsbedingungen generalisierte Koordinaten definiert werden können:

Spezialfall konservative Kräfte

Vqj=QjV(q1,...,qf,t)=V(r1(q1,...,qf,t),...,rN(q1,...,qf,t))


Dies bedingt jedoch:


V(q1,...,qf,t)q˙k=0


Wir können uns die Lagrangefunktion derart definieren, dass:


L(q1,...,qf,q˙1,...,q˙f,t)=L(qk,q˙k,t)=TV


Es folgt:


ddt(Lq˙k)Lqk=0


Die sagenumwobene Lagrangegleichung 2. Art für konservative Kräfte!

Anmerkung:

q˙k(a=bk=0)


Anwendungsschema für Lagrangegleichungen zweiter Art:

MISSING

Die Atwoodsche Fallmaschine

Generalisierte Koordinate: q


T(q,q˙,t)=12(m1+m2)q˙2V(q,q˙,t)=m1gq+m2(lq)gLq=m1gm2gLq˙=(m1+m2)q˙(m1+m2)q¨+m1gm2g=0


Beispiel 2:

Eine Masse m rotiert mit Winkelgeschwindigkeit w an einem Faden der Länge Ro, welcher mit Geschwindigkeit c durch ein Loch gezogen wird (rheonome Zwangsbedingung).

Eine Masse m rotiert mit Winkelgeschwindigkeit w an einem Faden der Länge Ro, welcher mit Geschwindigkeit c durch ein Loch gezogen wird (rheonome Zwangsbedingung).

Generalisierte Koordinate q ist der Winkel

ϕ


T(q,q˙,t)=12mc2+12mq˙2(Roct)2V(q,q˙,t)=0L=12mc2+12mq˙2(Roct)2


Dahin kommt man im Übrigen aus:


T=12m(x˙2+y˙2)x=(Roct)cosϕx˙=ccosϕ(Roct)ϕ˙sinϕ=ccosq(Roct)q˙sinqy=(Roct)sinϕ


Lq˙=mq˙(Roct)2ddtLq˙=mq¨(Roct)22cmq˙(Roct)q¨(Roct)=2cq˙


Somit haben wir eine Bewegungsgleichung für die Winkelgeschwindigkeit gefunden:


ω˙ω=2cRoctdωω=2cdtRoctlnω=2ln(Roct)+constlnω=lncons~(Roct)2ω=cons~(Roct)2


Bestimmung der Konstanten aus den Anfangsbedingungen liefert:

Drehimpuls:


L=mv×rLo=mωoRo2vo=ωoRoro=Roandererseits:ωo=cons~(Ro)2ω=cons~(Roct)2cons~=Lomω=Lom(Roct)2=q˙


Durch Integration gewinnt man:


q=qo+Locm(Roct)


Das heißt, wie zu erwarten war, die Masse dreht sich immer schneller, je kürzer der Faden wird (Drehimpulserhaltung!)