Lagrangegleichungen 2. Art

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Betrachten wir wieder das d'Alembertsche Prinzip:



Linke Seite:


Mit und


Beweis für die letzte Deduktion:



Somit ergibt sich für die linke Seite



Ziel ist es, diese Seite durch die gesamte Kinetische Energie auszudrücken:




Somit folgt:





Der T-abhängige Ausdruck ist jedoch in völlig frei variierbar. Somit ist keine lineare Abhängigkeit der Variationen über verschiedene j gegeben.

Jedes ist für sich frei variierbar, so dass der Ausdruck auf der linken Seite für sich Null wird:



heißt Lagrange- Gleichungen 2. Art


Die Lagrangegleichungen der zweiten Art können aus dem d ´Alembertschen Prinzip nur für holonome Zwangsbedingungen gewonnen werden (im Gegensatz zur Lagrangegleichung erster Art).

Dies liegt daran, dass nur für holonome Zwangsbedingungen generalisierte Koordinaten definiert werden können:

Spezialfall konservative Kräfte


Dies bedingt jedoch:



Wir können uns die Lagrangefunktion derart definieren, dass:



Es folgt:



Die sagenumwobene Lagrangegleichung 2. Art für konservative Kräfte!

Anmerkung:

  • die genannte Lagrangegleichung L ist nicht eindeutig festgelegt
  • L=T-V ist nur eine mögliche Form
  • Dabei ist die kinetische Energie nur für skleronome Zwangsbedingungen eine homogene Bilinearform in


Anwendungsschema für Lagrangegleichungen zweiter Art:

MISSING

Die Atwoodsche Fallmaschine

Generalisierte Koordinate: q



Beispiel 2:

Eine Masse m rotiert mit Winkelgeschwindigkeit w an einem Faden der Länge Ro, welcher mit Geschwindigkeit c durch ein Loch gezogen wird (rheonome Zwangsbedingung).

Eine Masse m rotiert mit Winkelgeschwindigkeit w an einem Faden der Länge Ro, welcher mit Geschwindigkeit c durch ein Loch gezogen wird (rheonome Zwangsbedingung).

Generalisierte Koordinate q ist der Winkel



Dahin kommt man im Übrigen aus:




Somit haben wir eine Bewegungsgleichung für die Winkelgeschwindigkeit gefunden:



Bestimmung der Konstanten aus den Anfangsbedingungen liefert:

Drehimpuls:



Durch Integration gewinnt man:



Das heißt, wie zu erwarten war, die Masse dreht sich immer schneller, je kürzer der Faden wird (Drehimpulserhaltung!)