Quantenmechanische Gleichgewichtsverteilungen

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Mikrozustände:

Klassischer Zustandsraum mit → quantenmechanischer Zustandsraum (Hilbertraum)

Basis (vollständiges ONS): mit

Orthonormierung und Vollständigkeit
Entwicklung
Ortsdarstellung der Wellenfunktion

Mikroobservable

Klassische Phasenraumfunktion M: (Ms kommutieren):

→ quantenmechanische Observablen (Hermitesch):

kommutieren im Allgemeinen nicht!

Quantisierung = Aufstellung von Vertauschungsrelationen!


Maximalmessung: Messung eines vollständigen Satzes vertauschbarer Observablen


Klassische Messwerte:

  • als Eigenwerte im Eigenzustand

Spektraldarstellung:

denn:

Projektionsoperator auf den Zustand Alpha: Observable: Ist das System im Zustand

Quantenmechanische Erwartungswerte einer Messung

reine Zustände

heißt reiner Zustand (Vektorzustand)

Wahrscheinlichkeit für das Resultat im Zustand (Maximalmessung):

Erwartungswert von im Zustand :

Falls Eigenbasis zu :

Schreibweise mit Projektor auf Zustand :

in einer völlig beliebigen Basis

Satz: Die Spur ist invariant bei Basiswechsel:

Also gleich in Basis Alpha wie Beta!

Quantenmechanisches Gemisch

Gemengezustand: Vergl. Fick: Grundlagen der Quantentheorie, Kapitel 7

  1. QM- Wahrscheinlichkeitsaussagen (prinzipielle Unschärfe)

Wahrscheinlichkeitsamplitude

  • Zusätzliche Statistik
  1. Unvollständige Information über den Mikrozustand des Systems (z.B., nach einer vollständigen Messung im Zustand
  2. wird vom Messergebnis nicht Kenntnis genommen!

Basis der Mikrozustände :

→ sample set der Zufallsereignisse

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Erwartungswert, qm- Erwartungswert im Zustand

Also:

mit dem statistischen Operator (Dichtematrix)

Überlagerung der Projektoren mit dem statistischen Gewicht!

Summary

Bemerkung:

Reine Zustände → kohärente Überlagerung von Wahrscheinlichkeitsamplituden:

mit den quantenmechanischen Phasen

  • es entstehen sogenannte "Interferenzterme", falls
  • nicht diagonal in

Gemisch: Inkohärente Überlagerung von reinen Zuständen:

  • keine quantenmechanischen Interferenzterme!
  • → Die statistischen Operatoren nur der reinen Zustände können als Summe über Projektoren geschrieben werden!

Normierung des statistischen Operators:

Darstellung reiner Zustände

Also: für reine Zustände ist der statistische Operator ein Projektor auf diesen reinen Zustand!

einheitliche Darstellung!! Nebenbemerkung

Mathematische Formulierung des Zustandsbegriffs (klassisch + quantenmechanisch)

Zustand = normiertes, positives lineares Funktional auf der Algebra der Observablen:

reiner Zustand = Extremalpunkt der konvexen menge der Zustände!

Informationsmaße

Shannon- Information:

Nebenbemerkung:

ist (wie alle Operatorfunktionen) definiert durch die Spektraldarstellung:

Informationsgewinn:

Eigenschaften wie im klassischen Fall:

Verallgemeinerter kanonischer statistischer Operator

Vorurteilsfreie Schätzung unter Nebenbedingungen

Voraussetzung: Die reinen Zustände haben die gleiche a-priori- Wahrscheinlichkeit ist durch Maximalmessung gegeben!

Nebenbemerkung: Die müssen nicht miteinander kommutieren, aber damit sie Erhaltungsgrößen sind! (im thermodynamischen Gleichgewicht)


Kanonischer Statistischer Operator:


Übung: Berechnung der Fermi / Boseverteilung

Hilbertraum des großkanonischen statistischen Operators:

(Fock- Raum)