Quantenmechanische Gleichgewichtsverteilungen

Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Quantenmechanische Gleichgewichtsverteilungen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 3) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Mikrozustände:

Klassischer Zustandsraum $Γ$ mit $ξ \in Γ \subseteq R^{6 N}$ → quantenmechanischer Zustandsraum $H$ (Hilbertraum)

| Ψ ⟩ \in H

Basis (vollständiges ONS): $| α ⟩$ mit

\begin{matrix} ⟨ α \overset{´}{} | α ⟩ = δ_{α \overset{´}{} α} \\ \sum_{α}^{} | α ⟩ ⟨ α | = 1 \end{matrix}

Orthonormierung und Vollständigkeit

| Ψ ⟩ = \sum_{α}^{} | α ⟩ ⟨ α | Ψ ⟩

Entwicklung

⟨ \bar{r} | Ψ ⟩ = Ψ (\bar{r})

Ortsdarstellung der Wellenfunktion

Mikroobservable

Klassische Phasenraumfunktion M: $Γ - > R$ (Ms kommutieren):

→ quantenmechanische Observablen (Hermitesch):

\hat{M} : H - > H

kommutieren im Allgemeinen nicht!

Quantisierung = Aufstellung von Vertauschungsrelationen!

Maximalmessung: Messung eines vollständigen Satzes vertauschbarer Observablen

\Rightarrow | α ⟩

Klassische Messwerte: $M (ξ)$

$M_{α} \in R$ als Eigenwerte im Eigenzustand $| α ⟩$ $\hat{M} | α ⟩ = M_{α} | α ⟩$

Spektraldarstellung:

\hat{M} | α ⟩ = \sum_{}^{} | α \overset{´}{} ⟩ M_{α} ⟨ α \overset{´}{} | | α ⟩

denn:

\begin{matrix} \hat{M} = \sum_{α}^{} \hat{M} | α ⟩ ⟨ α | = \sum_{α}^{} | α ⟩ M_{α} ⟨ α | \\ | α ⟩ ⟨ α | := {\hat{P}}_{α} \end{matrix}

Projektionsoperator auf den Zustand Alpha: Observable: Ist das System im Zustand $| α ⟩$

Projektionsoperator auf $| α ⟩$

Quantenmechanische Erwartungswerte einer Messung

reine Zustände

| Ψ ⟩

heißt reiner Zustand (Vektorzustand)

Wahrscheinlichkeit für das Resultat $| α ⟩$ im Zustand $| Ψ ⟩$ (Maximalmessung):

{| ⟨ α | Ψ ⟩ |}^{2} = ⟨ Ψ | α ⟩ ⟨ α | Ψ ⟩ = ⟨ Ψ | {\hat{P}}_{α} | Ψ ⟩ = P_{α}

Erwartungswert von $\hat{M}$ im Zustand $| Ψ ⟩$ :

⟨ \hat{M} ⟩ = ⟨ Ψ | \hat{M} | Ψ ⟩ = \sum_{α}^{} ⟨ Ψ | \hat{M} | α ⟩ ⟨ α | Ψ ⟩ = \sum_{α, α \overset{´}{}}^{} ⟨ Ψ | α \overset{´}{} ⟩ ⟨ α | Ψ ⟩ ⟨ α \overset{´}{} | \hat{M} | α ⟩

Falls $| α ⟩$ Eigenbasis zu $\hat{M}$ :

\begin{matrix} ⟨ \hat{M} ⟩ = ⟨ Ψ | \hat{M} | Ψ ⟩ = \sum_{α}^{} ⟨ Ψ | α ⟩ ⟨ α | Ψ ⟩ M_{α} = \\ = \sum_{α}^{} P_{α} M_{α} \end{matrix}

Schreibweise mit Projektor auf Zustand $| Ψ ⟩$ :

\begin{matrix} ⟨ \hat{M} ⟩ = ⟨ Ψ | \hat{M} | Ψ ⟩ = \sum_{α}^{} ⟨ α | Ψ ⟩ ⟨ Ψ | \hat{M} | α ⟩ = \sum_{α}^{} ⟨ α | {\hat{P}}_{Ψ} \hat{M} | α ⟩ := t r ({\hat{P}}_{Ψ} \hat{M}) = t r (\hat{M} {\hat{P}}_{Ψ}) \\ t r \hat{X} := \sum_{α}^{} ⟨ α | \hat{X} | α ⟩ \end{matrix}

in einer völlig beliebigen Basis $| α ⟩$

Satz: Die Spur ist invariant bei Basiswechsel:

\begin{matrix} t r \hat{X} := \sum_{α}^{} ⟨ α | \hat{X} | α ⟩ = \sum_{α, β, β \overset{´}{}}^{} ⟨ α | β ⟩ ⟨ β | \hat{X} | β \overset{´}{} ⟩ ⟨ β \overset{´}{} | α ⟩ = \sum_{β, β}^{} ⟨ β | \hat{X} | β \overset{´}{} ⟩ \sum_{α}^{} ⟨ β \overset{´}{} | α ⟩ ⟨ α | β ⟩ \\ \sum_{α}^{} ⟨ β \overset{´}{} | α ⟩ ⟨ α | β ⟩ = ⟨ β \overset{´}{} | β ⟩ = δ_{β \overset{´}{} β} \\ t r \hat{X} = \sum_{β}^{} ⟨ β | \hat{X} | β ⟩ \end{matrix}

Also gleich in Basis Alpha wie Beta!

Quantenmechanisches Gemisch

Gemengezustand: Vergl. Fick: Grundlagen der Quantentheorie, Kapitel 7

QM- Wahrscheinlichkeitsaussagen (prinzipielle Unschärfe)

Wahrscheinlichkeitsamplitude $⟨ α | Ψ ⟩$

Zusätzliche Statistik

Unvollständige Information über den Mikrozustand des Systems (z.B., nach einer vollständigen Messung im Zustand $| Ψ ⟩$
wird vom Messergebnis nicht Kenntnis genommen!

Basis der Mikrozustände :

| α ⟩

→ sample set der Zufallsereignisse

P_{α}

Wahrscheinlichkeitsverteilung

⟨ \hat{M} ⟩ = \sum_{α}^{} P_{α} ⟨ α | \hat{M} | α ⟩

Erwartungswert, qm- Erwartungswert im Zustand $| α ⟩$

⟨ \hat{M} ⟩ = \sum_{α, β}^{} P_{α} ⟨ α | \hat{M} | β ⟩ ⟨ β | α ⟩ = \sum_{β}^{} \sum_{α}^{} ⟨ β | α ⟩ P_{α} ⟨ α | \hat{M} | β ⟩ = \sum_{β}^{} ⟨ β | \hat{ρ} \hat{M} | β ⟩

Also:

⟨ \hat{M} ⟩ = t r (\hat{ρ} \hat{M})

mit dem statistischen Operator (Dichtematrix ${\hat{ρ}}_{α β}$ )

\hat{ρ} = \sum_{α}^{} | α ⟩ P_{α} ⟨ α | = \sum_{α}^{} P_{α} {\hat{P}}_{α}

Überlagerung der Projektoren mit dem statistischen Gewicht!

Summary

Bemerkung:

Reine Zustände → kohärente Überlagerung von Wahrscheinlichkeitsamplituden:

\begin{matrix} | Ψ ⟩ = \sum_{α}^{} | α ⟩ ⟨ α | Ψ ⟩ \\ ⟨ \hat{M} ⟩ = \sum_{α, α \overset{´}{}}^{} ⟨ Ψ | α ⟩ ⟨ α | \hat{M} | α \overset{´}{} ⟩ ⟨ α \overset{´}{} | Ψ ⟩ \end{matrix}

mit den quantenmechanischen Phasen

⟨ Ψ | α ⟩, ⟨ α \overset{´}{} | Ψ ⟩

es entstehen sogenannte "Interferenzterme", falls $\hat{M}$
nicht diagonal in $| α ⟩$

Gemisch: Inkohärente Überlagerung von reinen Zuständen:

\hat{ρ} = \sum_{α}^{} | α ⟩ P_{α} ⟨ α | = \sum_{α}^{} P_{α} {\hat{P}}_{α}

⟨ \hat{M} ⟩ = t r (\hat{M} \hat{ρ}) = \sum_{α, β}^{} ⟨ β | \hat{M} | α ⟩ P_{α} ⟨ α | β ⟩ = \sum_{β}^{} P_{β} ⟨ β | \hat{M} | β ⟩

keine quantenmechanischen Interferenzterme!
→ Die statistischen Operatoren nur der reinen Zustände können als Summe über Projektoren geschrieben werden!

Normierung des statistischen Operators:

\begin{matrix} t r \hat{ρ} = \sum_{α, β}^{} ⟨ β | α ⟩ P_{α} ⟨ α | β ⟩ \\ ⟨ α | β ⟩ = δ_{α β} \\ t r \hat{ρ} = \sum_{α}^{} P_{α} = 1 \end{matrix}

Darstellung reiner Zustände

| Ψ ⟩ : \hat{ρ} = | Ψ ⟩ ⟨ Ψ |

Also: für reine Zustände ist der statistische Operator ein Projektor auf diesen reinen Zustand!

\begin{matrix} \hat{ρ} = | Ψ ⟩ ⟨ Ψ | = {\hat{P}}_{Ψ} \\ \Rightarrow ⟨ \hat{M} ⟩ = t r (\hat{ρ} \hat{M}) \end{matrix}

einheitliche Darstellung!! Nebenbemerkung

Mathematische Formulierung des Zustandsbegriffs (klassisch + quantenmechanisch)

Zustand = normiertes, positives lineares Funktional auf der Algebra $M$ der Observablen:

\begin{matrix} \hat{ρ} : M \to R \\ \hat{M} \to t r (\hat{ρ} \hat{M}) = ⟨ \hat{M} ⟩ \end{matrix}

reiner Zustand = Extremalpunkt der konvexen menge der Zustände!

Informationsmaße

Shannon- Information: $I (ρ) = \sum_{α}^{} P_{α} \ln P_{α} = t r (\hat{ρ} \ln \hat{ρ})$

Nebenbemerkung:

\ln \hat{ρ}

ist (wie alle Operatorfunktionen) definiert durch die Spektraldarstellung:

\ln \hat{ρ} = \sum_{α}^{} \ln P_{α} | α ⟩ ⟨ α |

Informationsgewinn:

K (ρ, ρ \overset{´}{}) = t r [\hat{ρ} (\ln \hat{ρ} - \ln \hat{ρ} \overset{´}{})]

Eigenschaften wie im klassischen Fall:

K (ρ, ρ \overset{´}{}) = t r [\hat{ρ} (\ln \hat{ρ} - \ln \hat{ρ} \overset{´}{})] \geq 0

Verallgemeinerter kanonischer statistischer Operator

Vorurteilsfreie Schätzung unter Nebenbedingungen

K (ρ, ρ \overset{´}{}) = t r [\hat{ρ} (\ln \hat{ρ} - \ln \hat{ρ} \overset{´}{})]

Voraussetzung: Die reinen Zustände ${\hat{P}}_{α}$ haben die gleiche a-priori- Wahrscheinlichkeit $| α ⟩$ ist durch Maximalmessung gegeben!

\begin{matrix} \hat{ρ} = \exp (Ψ - λ_{n} {\hat{M}}^{n}) \\ Ψ = - \ln t r (\exp (- λ_{n} {\hat{M}}^{n})) \end{matrix}

Nebenbemerkung: Die ${\hat{M}}^{n}$ müssen nicht miteinander kommutieren, aber $\begin{matrix} [{\hat{M}}^{n}, H] = 0 \\ n = 1, ..., m \end{matrix}$ damit sie Erhaltungsgrößen sind! (im thermodynamischen Gleichgewicht)

Kanonischer Statistischer Operator:

\begin{matrix} \hat{ρ} = Z^{- 1} \exp (- β H) \\ Z = t r (\exp (- β H)) \end{matrix}

Übung: Berechnung der Fermi / Boseverteilung

⟨ \hat{N} ⟩ = t r (\hat{ρ} \hat{N})

Hilbertraum des großkanonischen statistischen Operators:

H = \sum_{N = 0}^{\infty} H^{N}

(Fock- Raum)

Quantenmechanische Gleichgewichtsverteilungen

Inhaltsverzeichnis

Mikrozustände:

Mikroobservable

Quantenmechanische Erwartungswerte einer Messung

reine Zustände

Quantenmechanisches Gemisch

Summary

Informationsmaße

Verallgemeinerter kanonischer statistischer Operator

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Quantenmechanische Gleichgewichtsverteilungen

Mikrozustände:

Mikroobservable

Quantenmechanische Erwartungswerte einer Messung

reine Zustände

Quantenmechanisches Gemisch

Summary

Informationsmaße

Verallgemeinerter kanonischer statistischer Operator

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