Räumliche Translationsinvarianz

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Räumliche Translationsinvarianz basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 2) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Seien die Kräfte konservativ und seien keine Randbedingungen:

L = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{N} m_{i} {\dot{\bar{r}}}_{i}^{2} - V ({\bar{r}}_{1}, ..., {\bar{r}}_{N})

Eine Translation in Richtung x ist damit eine Translation der Form:

h^{s} : {\bar{r}}_{i} \to_{} {\bar{r}}_{i} + s {\bar{e}}_{x} i = 1, .., N

Der Parameter s ist dabei beliebig.

Die Translationsinvarianz entlang der x- Achse bewirkt nun:

\begin{matrix} L (h^{s} ({\bar{r}}_{i}), {\dot{\bar{r}}}_{i}) = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{N} m_{i} {\dot{\bar{r}}}_{i}^{2} - V ({\bar{r}}_{1} + s {\bar{e}}_{x}, ..., {\bar{r}}_{N} + s {\bar{e}}_{x}) = L ({\bar{r}}_{i}, {\dot{\bar{r}}}_{i}) F o r d e r u n g! \\ \frac{d L}{d s} = - \sum_{i = 1}^{N} (\nabla_{r i} \cdot {\bar{e}}_{x}) V = - \sum_{i = 1}^{N} \frac{\partial}{\partial x_{i}} V = 0 F o r d e r u n g! \end{matrix}

Das bedeutet aber: es darf keine äußere Kraft in x- Richtung geben!

Für die Transformation gilt:

h^{s} ({\bar{r}}_{i}) = {\bar{r}}_{i} + s {\bar{e}}_{x} i = 1, .., N

h^{s = 0} ({\bar{r}}_{i}) = {\bar{r}}_{i}

(Identität)

\frac{d}{d s} h^{s} ({\bar{r}}_{i}) = {\bar{e}}_{x}

Für unser Integral der Bewegung gilt jedoch:

I = \sum_{i = 1}^{N} \nabla_{\dot{r} i} L \frac{d h^{s}}{d s} = \sum_{i} m_{i} {\dot{\bar{r}}}_{i} \cdot {\bar{e}}_{x} = \sum_{i} m_{i} {\dot{x}}_{i} = P_{x}

Fazit: die Translationsinvarianz in x- Richtung bestimmt die Erhaltung der x-Komponente des Gesamtimpulses.

Dieser Zusammenhang ist leicht für die anderen Komponenten zu zeigen.

Dies kann auch umgekehrt betrachtet werden:

Wähle q1=s als verallgemeinerte Koordinate:

Nun gilt die Transformation:

{\bar{r}}_{i} = {\bar{r}}_{i} (q_{1}, ..., q_{f}, t) = q_{1} {\bar{e}}_{x} + Δ {\bar{r}}_{i} (q_{1}, ..., q_{f}, t)

mit

q_{1} {\bar{e}}_{x}

als Schwerpunktskoordinate und

Δ {\bar{r}}_{i} (q_{1}, ..., q_{f}, t)

als Relativpositionen.

Es folgt:

\frac{\partial}{\partial q_{1}} {\bar{r}}_{i} = {\bar{e}}_{x}

\frac{\partial}{\partial {\dot{q}}_{1}} {\dot{\bar{r}}}_{i} = \frac{\partial}{\partial q_{1}} {\bar{r}}_{i} = {\bar{e}}_{x}

wegen

{\dot{\bar{r}}}_{i} = \sum_{k}^{} \frac{\partial}{\partial q_{k}} {\bar{r}}_{i} {\dot{q}}_{k} + \frac{\partial}{\partial t} {\bar{r}}_{i}

Invarianz Erhaltungssatz

{\frac{\partial L}{\partial q_{1}}}_{} = 0 \Leftrightarrow \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{1}} = 0

 äquivalent zum Erhaltungssatz

\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{1}} = c o n s t

Allgemein heißt

\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{j}} = p_{j}

der zur Koordinate qj konjugierte verallgemeinerte Impuls.

Falls gilt dass

{\frac{\partial L}{\partial q_{1}}}_{} = 0 \Leftrightarrow \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{1}} = 0

,

wenn also die Lagrangefunktion invariant gegen q1- Änderungen ist, dann nennt man q1 eine zyklische Koordinate. der zu q1 konjugierte Impuls ist in diesem Fall eine Erhaltungsgröße .

Hier:

\begin{matrix} p_{1} = \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{1}} = \frac{\partial}{\partial {\dot{q}}_{1}} (T - V) = \frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_{1}} = \frac{\partial}{\partial {\dot{q}}_{1}} (\sum_{i} \frac{1}{2} m_{i} {\dot{\bar{r}}}_{i}^{2}) = \sum_{i} m_{i} {\dot{\bar{r}}}_{i} \frac{\partial}{\partial {\dot{q}}_{1}} {\dot{\bar{r}}}_{i} \\ m i t \frac{\partial}{\partial {\dot{q}}_{1}} {\dot{\bar{r}}}_{i} = {\bar{e}}_{x} \\ p_{1} = \sum_{i} m_{i} {\dot{\bar{r}}}_{i} {\bar{e}}_{x} = P_{x} \end{matrix}

Verallgemeinerung auf Nichtkonservative Kräfte

\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_{1}} - \frac{\partial T}{\partial q_{1}} = Q_{1} = \sum_{i} {\bar{X}}_{i} \frac{\partial}{\partial q_{1}} {\bar{r}}_{i} = {\bar{e}}_{x} \sum_{i} {\bar{X}}_{i}

Xi kennzeichnet dabei die Kraft. Nun steht rechts also die resultierende Kraft in x- Richtung. Existiert keine resultierende Kraft in x- Richtung (Translationsinvarianz in x- Richtung), so gilt:

\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_{1}} - \frac{\partial T}{\partial q_{1}} = Q_{1} = \sum_{i} {\bar{X}}_{i} \frac{\partial}{\partial q_{1}} {\bar{r}}_{i} = {\bar{e}}_{x} \sum_{i} {\bar{X}}_{i} = 0

Invarianz sagt

\frac{\partial T}{\partial q_{1}} = Q_{1} = 0 \Rightarrow \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_{1}} = 0 \Leftrightarrow P_{x} = \frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_{1}} = c o n s t

Nebenbedingung für das fehlen konservativer Kräfte (Falls Q1 konservative Kraft ist)

Q_{1} = 0 \Rightarrow \frac{\partial}{\partial q_{1}} V ({\bar{r}}_{1} + q_{1} {\bar{e}}_{x}, ..., {\bar{r}}_{N} + q_{1} {\bar{e}}_{x}) = \sum_{i} \nabla_{r i} V \frac{\partial}{\partial q_{1}} (q_{1} {\bar{e}}_{x}) = {\bar{e}}_{x} \sum_{i} \nabla_{r i} V = - {\bar{e}}_{x} \sum_{i} {\bar{X}}_{i} = 0

Beispiel: ein Teilchen im Potenzial V=V(y,z)

Das Potenzial hänge nicht von x ab:

{\frac{\partial L}{\partial x}}_{} = 0

Daraus folgt:

{\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}}_{} = m \dot{x} = P_{x} = c o n s t

In diesem Fall existiert ein Integral der Bewegung:

I (\bar{r}, \dot{\bar{r}}) = \frac{\partial L}{\partial \dot{\bar{r}}} \cdot {\frac{d h^{s}}{d s}}_{} = \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = P_{x} = c o n s t

wegen

\begin{matrix} \frac{\partial L}{\partial \dot{\bar{r}}} = \nabla_{\dot{r}} L \\ {\frac{d h^{s}}{d s}}_{} = {\bar{e}}_{x} \end{matrix}

Beispiel: 2 Teilchen mit innerer Paarwechselwirkung

V ({\bar{r}}_{1}, {\bar{r}}_{2}) = V ({\bar{r}}_{1} - {\bar{r}}_{2})

 Das Potenzial kann auch anisotrop sein.

Es sollen keine äußeren Kräfte wirken, so dass das Potenzial unabhängig von den Schwerpunktskoordinaten wird.

Gleichzeitig soll Translationsinvarianz entlang x-, - und z- Richtung vorliegen:

\begin{matrix} L ({\bar{r}}_{1}, {\bar{r}}_{2}, {\dot{\bar{r}}}_{1}, {\dot{\bar{r}}}_{2}) = \frac{m_{1}}{2} {\dot{\bar{r}}}_{1}^{2} + \frac{m_{2}}{2} {\dot{\bar{r}}}_{2}^{2} - V ({\bar{r}}_{1} - {\bar{r}}_{2}) \\ L (h^{s} ({\bar{r}}_{1}), h^{s} ({\bar{r}}_{2}), {\dot{\bar{r}}}_{1}, {\dot{\bar{r}}}_{2}) = \frac{m_{1}}{2} {\dot{\bar{r}}}_{1}^{2} + \frac{m_{2}}{2} {\dot{\bar{r}}}_{2}^{2} - V (({\bar{r}}_{1} - s {\bar{e}}_{i}) - ({\bar{r}}_{2} - s {\bar{e}}_{i})) = L ({\bar{r}}_{1}, {\bar{r}}_{2}, {\dot{\bar{r}}}_{1}, {\dot{\bar{r}}}_{2}) \end{matrix}

für alle i = x,y,z

Somit existieren gleich drei Integrale der Bewegung:

\begin{matrix} I_{x} = \frac{\partial L}{\partial {\dot{\bar{r}}}_{1}} {\bar{e}}_{x} + \frac{\partial L}{\partial {\dot{\bar{r}}}_{2}} {\bar{e}}_{x} = \frac{\partial L}{\partial {\dot{x}}_{1}} + \frac{\partial L}{\partial {\dot{x}}_{2}} = m_{1} {\dot{x}}_{1} + m_{2} {\dot{x}}_{2} = P_{x} = c o n s t \\ I_{y} = \frac{\partial L}{\partial {\dot{\bar{r}}}_{1}} {\bar{e}}_{y} + \frac{\partial L}{\partial {\dot{\bar{r}}}_{2}} {\bar{e}}_{y} = \frac{\partial L}{\partial {\dot{y}}_{1}} + \frac{\partial L}{\partial {\dot{y}}_{2}} = m_{1} {\dot{y}}_{1} + m_{2} {\dot{y}}_{2} = P_{y} = c o n s t \\ I_{z} = \frac{\partial L}{\partial {\dot{\bar{r}}}_{1}} {\bar{e}}_{z} + \frac{\partial L}{\partial {\dot{\bar{r}}}_{2}} {\bar{e}}_{z} = \frac{\partial L}{\partial {\dot{z}}_{1}} + \frac{\partial L}{\partial {\dot{z}}_{2}} = m_{1} {\dot{z}}_{1} + m_{2} {\dot{z}}_{2} = P_{z} = c o n s t \end{matrix}

Dies ist, aufgrund des Fehlens äußerer Kräfte, gerade der Schwerpunkts- Erhaltungssatz:

M \dot{\bar{R}} = {\bar{P}}_{} = c o n s t

Mit den Schwerpunktskoordinaten

\bar{R} := \frac{1}{M} \sum_{i = 1}^{2} m_{i} {\bar{r}}_{i}

Und der Gesamtmasse

M := \sum_{i = 1}^{2} m_{i}

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Beispiel: 2 Teilchen mit innerer Paarwechselwirkung

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