ART-Skript

Einleitung Die leitenden Gedanken der Allgemeinen Relativitätstheorie Methodische Vorbemerkung zur Art der folgenden Darstellung Man muss über Probleme der Newtonschen Meachanik und der SRT Sprechen Ausgangspunkt: Beschreibung der Bewegung Man muss über zulässige Koorinatensysteme und über Zeit reden C. Neumann & L Lange zur Bestimmung von Intertialsystemen in der Newtonschen Mechanik M. v. Laue zur Bestimmung von Inertialsystemen in der Speziellen Relatitätstheorie SRT (Relativitätsprinzip) und Newtonsche Gravitationstheorie ($\Delta \varphi =4\pi G\rho$,${{m}_{T}}{\frac {{{d}^{2}}{{x}^{i}}}{d{{t}^{2}}}}={{K}^{i}}\,\,\left(i=1,2,3\right)$, ${{K}^{i}}=-{{m}_{p}}{{\partial }_{i}}\varphi$,${{m}_{T}}={{m}_{P}}$) Einstein (1907): „Der glücklichste Gedanke meines Lebens“ Das Äquivalenzprinzio ist der Relativitätstheorie zugrunde zu legen. Verallgemeinerung der SRT zur ART Übersicht und Literatur (ausgelassen) Der Übergang von der Speziellen zur Allgemeinen Relativitätstheorie Newtonsche Mechanik und Galilei-Invarianz etc. Zeit Transformationen (Translationen)

${\begin{aligned}&t'=t+\tau \,,\,\tau ={\text{const}}\\&dt'=dt\\\end{aligned}}$Invarianz des Zeitmaßes und der Bewegungsgleichungen

Raum Transformationen (Translationen und Rotationen) Kovarianz der Bewegungsgleichung

$x{{'}^{i}}=\alpha _{k}^{i}{{x}^{k}}+{{a}^{i}}$ mit ${{x}^{i}},x{{'}^{i}}$in kartesischen Koordinaten, ${{a}^{i}}={\text{const}}{\text{,}}\,\,\alpha _{i}^{k}={\text{const}}$und der Beziehung $\alpha _{k}^{i}\left({{\alpha }^{T}}\right)_{j}^{k}=\delta _{j}^{i}$.

Invarianz des Raummaßes

$d{{\sigma }^{2}}={{\left(d{{x}^{1}}\right)}^{2}}+{{\left(d{{x}^{2}}\right)}^{2}}+{{\left(d{{x}^{3}}\right)}^{2}}={{\left(dx{{'}^{1}}\right)}^{2}}+{{\left(dx{{'}^{2}}\right)}^{2}}+{{\left(dx{{'}^{3}}\right)}^{2}}=d\sigma {{'}^{2}}$

Spezielle Galilei Transformation Invarianz der Bewegungsgleichung

$x{{'}^{i}}={{x}^{i}}+{{v}^{i}}t$ mit ${{v}^{i}}={\text{const}}$

Keine Kovarianz des Raummaßes ($d\sigma '\neq d\sigma$) Insgesamt: Kovarianz der Bewegungsgleichungen bezüglich der allgemeinen Galilei Gruppe:

${\begin{aligned}&t'=t+\tau \\&x{{'}^{i}}=\alpha _{i}^{k}{{x}^{k}}+{{a}^{i}}+{{v}^{i}}t\\\end{aligned}}$

Formal lässt sich das 4-Dimensional formulieren dies ist aber physikalisch ohne Bedeutung, da das keine irreduzibele 4-Dimensionale Gruppe ist):

$\left({\begin{aligned}&t'\\&x{{'}^{i}}\\\end{aligned}}\right)=\left({\begin{matrix}1&0\\{{v}^{i}}&\alpha _{k}^{i}\\\end{matrix}}\right)+\left({\begin{aligned}&\tau \\&{{a}^{i}}\\\end{aligned}}\right)$

10-parametriege Gruppe Allgemeine bzw. andere Transformationen ändern die Form der Bewegungsgleichungen: Beispiel Rotierendes Bezugssystem ($\omega ={\text{const}}$):

${\begin{aligned}&{{x}^{1}}=x{{'}^{1}}\cos \omega t-x{{'}^{2}}\sin \omega t\\&{{x}^{2}}=x{{'}^{1}}\sin \omega t-x{{'}^{2}}\cos \omega t\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&m{\frac {{{d}^{2}}{{x}^{1}}}{d{{t}^{2}}}}\Rightarrow m\left({\frac {{{d}^{2}}x{{'}^{1}}}{d{{t}^{2}}}}-{\frac {\partial \phi }{\partial x{{'}^{1}}}}+...\right)\\&m{\frac {{{d}^{2}}{{x}^{2}}}{d{{t}^{2}}}}\Rightarrow m\left({\frac {{{d}^{2}}x{{'}^{2}}}{d{{t}^{2}}}}-{\frac {\partial \phi }{\partial x{{'}^{2}}}}+...\right)\\\end{aligned}}$ mit $\phi :=-{\frac {\omega }{2}}\left[{{\left(x{{'}^{1}}\right)}^{2}}+{{\left(x{{'}^{2}}\right)}^{2}}\right]$

(Ausführlicher in § 9) Systematische und historische Bemerkungen zum Verhältnis von Galilei-Invarianz und Elektrodynamik: Bedeutung des Prinzips der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit Lichtgeschwindigkeit ist unabhängig von der Bewegung der Lichtquelle Konstanz der Lichtgeschwindigkeit Relativitätsprinzip  $\Delta r=c\Delta t$gilt in allen Inertialsystemen

${\begin{aligned}&\Delta r=c\Delta t\to {{\left(\Delta r\right)}^{2}}={{c}^{2}}{{\left(\Delta t\right)}^{2}}\\&\to {{\left(\Delta {{x}^{1}}\right)}^{2}}+{{\left(\Delta {{x}^{2}}\right)}^{2}}+{{\left(\Delta {{x}^{3}}\right)}^{2}}={{c}^{2}}\Delta {{t}^{2}}\\&\to \Delta {{s}^{2}}:={{c}^{2}}\Delta {{t}^{2}}-{{\left(\Delta {{x}^{1}}\right)}^{2}}-{{\left(\Delta {{x}^{2}}\right)}^{2}}-{{\left(\Delta {{x}^{3}}\right)}^{2}}\\&\to d{{s}^{2}}={{c}^{2}}d{{t}^{2}}-{{\left(d{{x}^{1}}\right)}^{2}}-{{\left(d{{x}^{2}}\right)}^{2}}-{{\left(d{{x}^{3}}\right)}^{2}}=0\\\end{aligned}}$

$d{{s}^{2}}=ds{{'}^{2}}$

(1.1) Minkowski-Raum: 4-Dimeionale pseudo-euklidische Metrik (in Inertialkoordinaten) bzw. pseudo-Karth. Koordinaten) ${{\eta }_{\mu \nu }}=diag\left({\begin{matrix}1&-1&-1&-1\\\end{matrix}}\right)$. (später siehe §4) Linienelement in Inertialkoordianten (${{x}^{0}}:=ct$)

${\begin{aligned}&d{{s}^{2}}=cd{{t}^{2}}-{{\left(d{{x}^{1}}\right)}^{2}}-{{\left(d{{x}^{2}}\right)}^{2}}-{{\left(d{{x}^{3}}\right)}^{2}}\\&={{\left(d{{x}^{0}}\right)}^{2}}-{{\left(d{{x}^{1}}\right)}^{2}}-{{\left(d{{x}^{2}}\right)}^{2}}-{{\left(d{{x}^{3}}\right)}^{2}}\\&={{\eta }_{\mu \nu }}d{{x}^{\nu }}d{{x}^{\mu }}\end{aligned}}$

$d{{s}^{2}}{\overset {!}{\mathop {=} }}\,ds{{'}^{2}}$  Bestimmung der Inertialsysteme bzw. der sie verbinden Transformationenen (Lorentz-Transformation) Ansatz Ansatz: $x{{'}^{\alpha }}=\Lambda _{\gamma }^{\alpha }{{x}^{\gamma }}+{{a}^{\alpha }}$mit

${\begin{aligned}&ds'={{\eta }_{\alpha \beta }}dx{{'}^{\alpha }}dx{{'}^{\beta }}={{\eta }_{\alpha \beta }}\Lambda _{\mu }^{\alpha }\Lambda _{\nu }^{\beta }d{{x}^{\mu }}d{{x}^{\nu }}\\&=d{{s}^{2}}={{\eta }_{\mu \nu }}d{{x}^{\mu }}d{{x}^{\nu }}\end{aligned}}$

 ${{\eta }_{\alpha \beta }}\Lambda _{\mu }^{\alpha }\Lambda _{\nu }^{\beta }={{\eta }_{\mu \nu }}$ Also: Allgemeine Lorentz-Transformation (Poincaré-Transformation)

$x{{'}^{\alpha }}=\Lambda _{\beta }^{\alpha }{{x}^{\beta }}+{{a}^{\alpha }}$ mit

Spezialfall der räumlichen Rotation:

$x{{'}^{\alpha }}=\Lambda _{\beta }^{\alpha }{{x}^{\beta }}$ mit $\Lambda _{k}^{i}=d_{k}^{i},\Lambda _{0}^{0}=1,\Lambda _{0}^{i}=\Lambda _{i}^{0}=0$

Spezielle Lorentz-Transformation

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{{\left({\frac {v}{c}}\right)}^{2}}}}}$Lorentz-Transformation ohne räumliche Rotation und ohne Translation

$\Lambda _{0}^{0}=\gamma ,\Lambda _{k}^{i}=\delta _{k}^{i}+\left(\gamma -1\right){\frac {{{v}^{i}}{{v}^{j}}}{{v}^{2}}},\Lambda _{0}^{i}=\Lambda _{i}^{0}=\gamma {\frac {{v}^{j}}{c}}$

Spezielle LT in x1-Richtung

Eigentliche Lorentz Transformation (schließt räumliche und zeitliche Speigelungen aus):

$\det \Lambda =1$

(10 parametrige Gruppe) Tensoren im Minkowski- Raum Minkowski-Raum: 4 dimensionaler pseudo euklidischer Raum 3-dim euklid. Raum: Ist durch pythagoreische Maßbestimmungen definiert

$d{{\sigma }^{2}}={{\left(d{{x}^{1}}\right)}^{2}}+{{\left(d{{x}^{2}}\right)}^{2}}+{{\left(d{{x}^{3}}\right)}^{2}}={{\delta }_{ik}}d{{x}^{i}}d{{x}^{k}}$

mit Metrik ${{\delta }_{ik}}$ 4-dim euklid. Raum

$d{{s}^{2}}={{\left(d{{x}^{0}}\right)}^{2}}+{{\left(d{{x}^{1}}\right)}^{2}}+{{\left(d{{x}^{2}}\right)}^{2}}+{{\left(d{{x}^{3}}\right)}^{2}}={{\delta }_{\mu \nu }}d{{x}^{\mu }}d{{x}^{\nu }}$ mit Metrik ${{\delta }_{ik}}$

4-dim pseudo-euklid. Raum

$d{{s}^{2}}={{\left(d{{x}^{0}}\right)}^{2}}-{{\left(d{{x}^{1}}\right)}^{2}}-{{\left(d{{x}^{2}}\right)}^{2}}-{{\left(d{{x}^{3}}\right)}^{2}}={{\eta }_{\mu \nu }}d{{x}^{\mu }}d{{x}^{\nu }}$

mit Metrik ${{\eta }_{\mu \nu }}=diag\left({\begin{matrix}1&-1&-1&-1\\\end{matrix}}\right)$ Lorentz Transformation wurde grade so bestimmt (s §3), daß $d{{s}^{2}}$und ${{\eta }_{\mu \nu }}$invariant sind Es gibt 3 Arten von Abständen: Zeitartig ( $d{{s}^{2}}>0$ ) Lichtartig( $d{{s}^{2}}=0$ ) Spannen den Lichtkegel auf raumartig( $d{{s}^{2}}<0$ ) Tensoren (durch Transformationsgesetz definiert) Kontravarianter Vektor ${{v}^{\beta }}$:$v{{'}^{\beta }}=\Lambda _{\alpha }^{\beta }{{v}^{\alpha }}$ Kovarianter Vektor

${{v}_{\beta }}={{\eta }_{\beta \alpha }}{{v}^{\alpha }}$

Heben und Senken von Indices

${{v}^{\beta }}={{\eta }^{\beta \alpha }}{{v}_{\alpha }}$

mit ${{\eta }^{\alpha \sigma }}{{\eta }_{\sigma \beta }}=\delta _{\beta }^{\alpha }$

Also $v{{'}_{\beta }}={{\eta }_{\beta \alpha }}v{{'}^{\alpha }}={{\eta }_{\beta \alpha }}\Lambda _{\sigma }^{\beta }{{v}^{\sigma }}=\underbrace {{{\eta }_{\beta \alpha }}\Lambda _{\sigma }^{\beta }{{\eta }^{\sigma \delta }}} _{{\bar {\Lambda }}_{\delta }^{\beta }}{{v}_{\delta }}={\bar {\Lambda }}_{\delta }^{\beta }{{v}^{\delta }}$ Allgemein $T{{'}^{\alpha ...\beta }}_{\mu ...\nu }=\Lambda _{\rho }^{\alpha }...\Lambda _{\sigma }^{\beta }{\bar {\Lambda }}_{?}^{?}...{\bar {\Lambda }}_{?}^{?}{{T}^{\rho ...\sigma }}_{\mu ...\nu }$ Die partielle Ableitung ist eine tensorielle Operation: Sie führt ein Tensorfeld N-ter Stufe in ein Tensorfeld (n+1)-ter Stufe über Beispiel

${\frac {\partial T}{\partial {{x}^{\alpha }}}}={{\partial }_{\alpha }}T={{T}_{,\alpha }}$

$\left({\frac {\partial {{v}^{\beta }}}{\partial {{x}^{\alpha }}}}\right)'={{v}^{\beta }}_{,\alpha }'={\frac {\partial v{{'}^{\beta }}}{\partial x{{'}^{\alpha }}}}={\frac {\partial }{\partial x{{'}^{\alpha }}}}\left(\Lambda _{\sigma }^{\beta }{{v}^{\sigma }}\right)=\Lambda _{\sigma }^{\beta }{\frac {\partial {{v}^{\sigma }}}{\partial x{{'}^{\alpha }}}}=\Lambda _{\sigma }^{\beta }{\frac {\partial {{v}^{\sigma }}}{\partial {{x}^{\rho }}}}{\frac {\partial {{x}^{\rho }}}{\partial x{{'}^{\alpha }}}}=\Lambda _{\sigma }^{\beta }{\bar {\Lambda }}_{\alpha }^{\rho }{\frac {\partial {{v}^{\sigma }}}{\partial {{x}^{\rho }}}}$

Also ${{\partial }_{a}}$ist kovariant und ${{\partial }^{\alpha }}={{\eta }^{\alpha \beta }}{{\partial }_{\beta }}$ist kontravariant

${{\partial }_{\alpha }}{{\partial }^{\alpha }}=\square :={{c}^{-2}}\partial _{t}^{2}-\Delta$

Relativistische Mechanik 1 . Newton`sche Axiom

$m'{\frac {d{{x}^{i}}}{dt}}={\text{const}}$für Kräftefreie Bewegung $m{\frac {d{{x}^{i}}}{d\tau }}={\text{const}}$

$m'$Lorentz Skalar m

$d{{x}^{i}}$Lorentzvektor $d{{x}^{\mu }}$

$dt$Lorentz Skalar$d\tau :={\frac {1}{{c}^{2}}}ds=dt{\sqrt {1-{\frac {{v}^{2}}{{c}^{2}}}}}$

Vierergeschwindigkeit ${{u}^{\mu }}:={\frac {d{{x}^{\mu }}}{d\tau }}=\gamma \left({\begin{matrix}c&{{v}^{1}}&{{v}^{2}}&{{v}^{3}}\\\end{matrix}}\right)$ es gilt ${{u}^{\mu }}{{u}_{\mu }}={{c}^{2}}$ Viererimpuls ${{p}^{\mu }}=m{\frac {d{{x}^{\mu }}}{d\tau }}=\gamma m\left({\begin{matrix}c&{{v}^{1}}&{{v}^{2}}&{{v}^{3}}\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}{\frac {E}{c}}&{{p}^{i}}\\\end{matrix}}\right)$ es gilt ${{p}^{\mu }}{{p}_{\mu }}={{m}^{2}}{{c}^{2}}$ Mit Ruhemasse m und träger Masse

${\frac {m}{\sqrt {1-{{\left({\frac {v}{c}}\right)}^{2}}}}}$

Das erste Axiom besagt in seiner 4-dimensionalen Fassung die Erhaltung von Energie und Impuls

$E=\gamma m{{c}^{2}}={\text{const}},\,\,{{p}^{i}}=\gamma m{{v}^{i}}={\text{const}}$

${{p}_{\mu }}{{p}^{\mu }}={{m}^{2}}{{c}^{2}}$lautet ausgeschrieben ${{E}^{2}}={{m}^{2}}{{c}^{4}}+{{c}^{2}}{{p}^{2}}$ mit ${{p}^{2}}={{p}_{i}}{{p}^{i}}$ Für kleine Geschwindigkeiten gilt $E={\sqrt {{{m}^{2}}{{c}^{4}}+{{c}^{2}}{{p}^{2}}}}\approx m{{c}^{2}}+{\frac {1}{2}}m{{v}^{2}}$ Allgemein ${{E}_{0}}:=m{{c}^{2}}$$E={{E}_{0}}+{{E}_{1}}={\text{const}}$also gilt der Zusammenhang $\Delta m\to \Delta {{E}_{0}}\to \Delta {{E}_{1}}$(Äquivalenz von Masse und Energie) 2. Newton`sche Axiom

Die 0-Komponente ist bis auf einen Faktor von der Dimension einer Leistung bestimmt. Im nichtrelativistischen Grenzfall lautet die 0-Komponente der Bewegugnsgleichung

${{d}_{t}}E={{K}^{i}}{{v}_{i}}$

3. Newton`sche Axiom Hat keine direkte relativistische Entsprechung# Elektordynamik (im Leeren Raum) Maxwellsche Gleichungen EINFÜGEN

$\Rightarrow {{\partial }_{t}}\rho +\nabla .j=0$

Bewegungsgleichungen

${{d}_{t}}\mathbf {p} =q\left(\mathbf {E} +{\frac {\mathbf {v} }{c}}\times \mathbf {B} \right)$

(Lorentzkraft)	(1.2)

4- Stromvektor ${{j}^{\mu }}=\left(c{{\rho }_{e}},{{j}^{i}}\right)$ (Kontinuitätsgleichung ${{\partial }_{\alpha }}{{j}^{\alpha }}=0$ 4- Feldstromstärke sei

${{F}^{\mu \nu }}=\left({\begin{matrix}0&-{{E}_{1}}&-{{E}_{2}}&-{{E}_{3}}\\{{E}_{1}}&0&-{{B}_{3}}&{{B}_{2}}\\{{E}_{2}}&{{B}_{3}}&0&-{{B}_{1}}\\{{E}_{3}}&-{{B}_{2}}&{{B}_{1}}&0\\\end{matrix}}\right)$

Lorentzinvarianz Inhomogene Maxwellgleichungen nun ${{\partial }_{\alpha }}{{F}^{\alpha \beta }}={\frac {4\pi }{c}}{{j}^{\beta }}$ Homogene Maxwellgleichungen ${{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{b}}{{F}_{\mu \nu }}=0$ Lösung der homogenen MWG mit Vektorpotential $A=\left(\phi ,{{A}^{i}}\right)$ Dann ist ${{F}^{\alpha \beta }}={{\partial }^{\alpha }}{{A}^{\beta }}-{{\partial }^{\beta }}{{A}^{\alpha }}$+ homogene MWG und ${{\partial }_{\alpha }}{{A}^{\alpha }}=0$$\square {{A}^{\mu }}={\frac {4\pi }{c}}{{j}^{\mu }}$ Also $\square {{A}^{\mu }}={\frac {4\pi }{c}}{{j}^{\mu }}$,${{\partial }_{\alpha }}{{A}^{\alpha }}=0$ Aus der Lorentzkraft wird $m{{d}_{\tau }}{{u}^{\mu }}={\frac {q}{c}}{{F}^{\alpha \beta }}{{u}_{\beta }}$ Der Energie Impuls Tensor lautet ${{T}^{\alpha \beta }}={\frac {1}{4\pi }}\left({{F}^{\alpha }}_{\sigma }{{F}^{\sigma \beta }}-{\frac {1}{4}}{{\eta }^{\alpha \beta }}{{F}_{\mu \nu }}{{F}^{\mu \nu }}\right)$ Relativistische Hydrodynamik Ideale Flüssigkeit: Charakterisiert durch Dicht $\rho \left({{x}^{j}},t\right)$, Gewindigkeitsfeld ${{v}^{i}}\left({{x}^{j}},t\right)$, isptrpües Druckfeld $P\left({{x}^{j}},t\right)$ also 5 Feldfunktionen Bewegungsgleichungen in der nichtrelativistschen Fassung 3 Euler Gleichungen ÜBERSPRUNGEN Beschleunigte Bezugssystem im Minkowski-Raum Newtonsche Mechanik Inertialsystem $\left(\mathbf {x} ,t\right)$

$m{{d}_{t}}^{2}\mathbf {x} =0$

(für freies Teilchen) Nicht-Inertialsystem$\left(\mathbf {x} ',t'=t\right)$ Beispiel: Rotierendes Bezussystem (${\vec {\omega }}$=Winkelgeschwindigkeit)

$m{{d}_{t}}^{2}\mathbf {x} '=\underbrace {-2m\omega \times \mathbf {v} '} _{Coriolis}-\underbrace {m\omega \times (\omega \times \mathbf {r} ')} _{Zentrifugal}-\underbrace {m{\frac {d\omega }{dt}}\times \mathbf {r} '} _{Eulerkraft}$

Spezielle Relativitätstheorie Inertialsystem $\left({{x}^{i}},t\right)$ Linienelement $d{{s}^{2}}={{\eta }_{\mu \nu }}d{{x}^{\mu }}d{{x}^{\nu }}$ Bewegungsgleichung (eines freien Teilchens der Messe m):

Übergang zu einem Nicht-Inertialsystem $\left(x{{'}^{i}},t\right)$

Linienelement ${\begin{aligned}&d{{s}^{2}}={{\eta }_{\mu \nu }}\partial {{'}_{\alpha }}{{x}^{\mu }}\partial {{'}_{\beta }}{{x}^{\nu }}dx{{'}^{\alpha }}dx{{'}^{\beta }}\\&=g{{'}_{\mu }}_{\nu }dx{{'}^{\mu }}dx{{'}^{\nu }}\end{aligned}}$ Beispiel:

${\begin{aligned}&{{x}^{0}}=x{{'}^{0}}\Rightarrow t=t'\\&{{x}^{1}}=x{{'}^{1}}\sin \omega t-x{{'}^{2}}\cos \omega t\\&{{x}^{2}}=x{{'}^{1}}\sin \omega t+x{{'}^{2}}\cos \omega t\\&{{x}^{3}}=x{{'}^{3}}\\\end{aligned}}$

Mit ${\begin{aligned}&d{{s}^{2}}={{\eta }_{\mu \nu }}\partial {{'}_{\alpha }}{{x}^{\mu }}\partial {{'}_{\beta }}{{x}^{\nu }}dx{{'}^{\alpha }}dx{{'}^{\beta }}\\&=\left[{{c}^{2}}-{{\omega }^{2}}\left({{\left(x{{'}^{1}}\right)}^{2}}+{{\left(x{{'}^{2}}\right)}^{2}}\right)\right]dt{{'}^{2}}+2\omega x{{'}^{2}}dx{{'}^{1}}dt'-2\omega x{{'}^{1}}dx{{'}^{2}}dt'-{{\left(dx{{'}^{2}}\right)}^{2}}-{{\left(dx{{'}^{3}}\right)}^{2}}\end{aligned}}$ Bewegungsgleichung: Man erhält sie durch die Transformation ${{x}^{\mu }}={{x}^{\mu }}\left(x{{'}^{\nu }}\right)$ aus der Gleichung $md_{\tau }^{2}{{x}^{\mu }}=0$:

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. TeX parse error: Double exponent: use braces to clarify“): {\displaystyle {\begin{aligned}&md_{\tau }^{2}{{x}^{\mu }}=m{{d}_{\tau }}\left({{d}_{\tau }}{{x}^{\mu }}\right)=m{{d}_{\tau }}\left(\partial {{'}_{\alpha }}{{x}^{\mu }}{{\partial }_{\tau }}x{{'}^{\alpha }}\right)=0\\&=m\left(\partial '_{\alpha \beta }^{2}{{x}^{\mu }}{{\partial }_{\tau }}x{{'}^{\alpha }}{{\partial }_{\tau }}x{{'}^{\beta }}+\partial {{'}_{\alpha }}{{x}^{\mu }}d_{\tau }^{2}x{{'}^{\alpha }}\right)=0\\\end{aligned}}}

Durch Multiplikation mit ${{\partial }_{\mu }}x{{'}^{\sigma }}$liefert mit $\partial {{'}_{\alpha }}{{x}^{\mu }}{{\partial }_{\mu }}x{{'}^{\sigma }}=\delta _{\alpha }^{\sigma }$:

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. TeX parse error: Double exponent: use braces to clarify“): {\displaystyle d_{\tau }^{2}x{{'}^{\sigma }}+\underbrace {\underbrace {{{\partial }_{\mu }}x{{'}^{\sigma }}\partial '_{\alpha \beta }^{2}{{x}^{\mu }}} _{=:\Gamma '_{\alpha \beta }^{\sigma }}{{\partial }_{\tau }}x{{'}^{\alpha }}{{\partial }_{\tau }}x{{'}^{\beta }}} _{{\text{''Tr }}\!\!{\ddot {\mathrm {a} }}\!\!{\text{ gheitskr }}\!\!{\ddot {\mathrm {a} }}\!\!{\text{ fte''}}}=0}

Da gemäß ${\begin{aligned}&d{{s}^{2}}={{\eta }_{\mu \nu }}\partial {{'}_{\alpha }}{{x}^{\mu }}\partial {{'}_{\beta }}{{x}^{\nu }}dx{{'}^{\alpha }}dx{{'}^{\beta }}\\&=g{{'}_{\mu }}_{\nu }dx{{'}^{\mu }}dx{{'}^{\nu }}\end{aligned}}$die Metrik im Nicht-Inertialsystem $x{{'}^{\mu }}$durch ${{g}_{\mu \nu }}={{\eta }_{\mu \nu }}\partial {{'}_{\alpha }}{{x}^{\mu }}\partial {{'}_{\beta }}$gegeben ist folgt

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. TeX parse error: Double exponent: use braces to clarify“): {\displaystyle \Gamma '_{\nu \rho }^{\mu }={\frac {1}{2}}g{{'}^{\mu \alpha }}\left(g{{'}_{\alpha \rho ,\nu }}+g{{'}_{\alpha \nu ,\rho }}-g{{'}_{\nu \rho ,\alpha }}\right)}

$g{{'}_{\mu \nu }}={\text{''Tr }}\!\!{\ddot {\mathrm {a} }}\!\!{\text{ gheitspotentiale''}}$

Der Übergang von der Newton`schen Gravitationstheorie zur Allgemeinen Relativitätstheorie Newton‘sche Gravitationstheorie Die gravitative Wechselwirkung (gemäß der Newton`schen Axiomatik)

Mit ${\displaystyle }$

${\begin{aligned}&{\text{m=tr }}\!\!{\ddot {\mathrm {a} }}\!\!{\text{ ge Masse}}\\&{\text{M=passisve Schwere Masse }}\left(passive{\text{ Gravitationsladung}}\right)\\&{\mathfrak {M}}={\text{aktive schwere Masse }}\left(aktive{\text{ Graviationsladung}}\right)\\\end{aligned}}$

Bewegungsgleichungen (gemäß dem 2. Axiom):

3. Axiom $F_{21}^{i}=-F_{12}^{i}$ d.h.

Newtons Pendelversuch:$m=M$ da Schwingungsdauer$T=2\pi {\sqrt {{\frac {m}{M}}{\frac {l}{g}}}}$Also$m=M={\mathfrak {M}}$Äquivalenz von schweren und Trägen Massen) Dieses sogenannte Äquivalenzprinzip ist eine Besonderheit der Gravitation (siehe dazu §10) Das Äquivalenzprinzip in der Newtonschen Gravitationstheorie Dieses Prinzip benennt die Besonderheit der graviativen Wechselwirkung wie ein Verglich mit der elektrischen Wechselwirkung zeigt

Bewegungsgleichungen

3. Axiom $q=Q$ Diese Äquivalenz wird auch in der Elektrodynamik vorrausgesetzt, da ansonsten weder ein Potential nochj eine Lagrange-Funktion eingeführt werden kann (Clausius). Denn nur dann gilt:

${\begin{aligned}&{{q}_{1}}E_{2}^{i}=-{{q}_{1}}{\frac {\partial {{U}_{2}}}{\partial x_{1}^{i}}}=-{\frac {\partial U}{\partial x_{1}^{i}}}\\&{{q}_{2}}E_{1}^{i}=-{{q}_{2}}{\frac {\partial {{U}_{1}}}{\partial x_{2}^{i}}}=-{\frac {\partial U}{\partial x_{2}^{i}}}\\\end{aligned}}$

Mit $U={{q}_{1}}{{U}_{1}}={{q}_{2}}{{U}_{2}}$ Also $m\neq q=Q$(die elektrische Ladung ist also nicht gleich der trägen Masse, wohl aber ist die Gravitationsladung gleich der trägen Masse) Die lokale Äquivalenz von Trägheit und Schwere (Einsteinsches Äquivalenzprinzip) Verschiedene Versionen des Newton`schen Äquivalenzprinzips Die träge Masse m ist gleich der schweren Masse M Bezüglich eines in einem homogenen Gravitationsfeld frei Fallenden Bezugssystems („Einsteinscher Fahrstuhl“) verlaufen alle Prozesse so, als wäre kein Gravitationsfeld vorhanden. Denn

${{x}^{i}}$

Kartesische Koordinaten in den O ruht

$x{{'}^{i}}$mit dem frei fallenden Fahrstuhl verbundene kartesische Koordinaten

${{x}^{i}}\to x{{'}^{i}}={{x}^{i}}-{\frac {1}{2}}{{g}^{i}}{{t}^{2}}$

(also 

${{x}^{i}}=x{{'}^{i}}+{\frac {1}{2}}{{g}^{i}}{{t}^{2}}$

)

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. TeX parse error: Double exponent: use braces to clarify“): {\displaystyle {{m}_{A}}d_{t}^{2}x_{A}^{i}={{M}_{A}}{{g}^{i}}+{{F}^{i}}\to {{m}_{A}}d_{t}^{2}x'_{A}^{i}=\left({{M}_{A}}-{{m}_{A}}\right){{g}^{i}}+F{{'}^{i}}={{F}^{i}}}

Mit Fi irgendwelche andere auf mA wirkende Kräfte Bezüglich eines in eines im homogenen Gravitationsfeld frei fallenden lokalen Bezugssystems verlaufen alle Prozesse, so als wäre kein Gravitationsfeld vorhanden. Mit Einstein (1907): „Der Glücklichste Gedanke meines Lebens“: Diese Eigenschaft der Graviation ist wesentlich und sollte auch in der relativistischen Theorie der Graviation gelten  Einsteinsche Äquivalenzprinzip In einem frei fallenden lokalen Bezugssystem gelten die Gesetze der SRT bzw. In einem lokalen Inertialssystem gelten die Gesetzte der SRT bzw. umgekehrt Durch eine Transformation die den Übergang von einem lokalen Inertialsystem (LIS) zu einem dagegen beschleunigtem System beschreibt erhalten die SRT-Gleichungen eine Form, die den Einfluß eines äußeren Gravitationsfeldes berücksichtigt.

${{g}_{\mu \nu }}={\text{Gravitationspotentiale}}$

Resümee der Kapitel II und III Kap II Kap III In der SRT (also ohne Berücksichtigung der Gravitation) gilt: Aufgrund des für die Gravitation vorausgesetzten Äquivalenzprinzips gilt: In einem globalen (u. dann natürlich auch lokalen) IS gelten die Gesetze der SRT In einem lokalen IS gelten die Gesetze der SRT In einem globalen (u. dann natürlich auch lokalen) NICHT-IS beschreibt die dann auftretende Metrik ${{g}_{\mu \nu }}\neq {{\eta }_{\mu \nu }}$ Trägheitsfelder In einem lokalen NICHT-IS beschreibt die dann auftretende Metrik ${{g}_{\mu \nu }}\neq {{\eta }_{\mu \nu }}$ auch Gravitationsfelder

Aufgrund des Äquivalenzprinizips werden Trägheit und Schwere lokal definiert (d.h. durch ein und dasselbe Feld ${{g}_{\mu \nu }}\left({{x}^{\alpha }}\right)$beschrieben Formales Schema: Gleichungen der SRT, die irgendwelche physikalischen Prozesse in einem IS ohne den Einfluss eines Gravitationsfeldes beschreiben ALLGEMEINE KOORDINATENTRANSFORMATION Gleichungen die diese Prozesse unter Berücksichtigung der Graviation Physikalische Beobachtung genügt der Übergang zu allgemeinen kovarianten Gleichungen aber erst im Riemann`schen Raum. Riemannsche Geometrie Der Riemannsche Raum Vergleich 2-dimeionsonale ebener und 2 dim gekrümmter Räume um den Begriff des gekrümmten Raumes an einem Beispiel zu illustrieren Euklidischer Raum (n=2) Gekrümmter Raum (n=2) In kartesischen Koordinaten Linienelment $d{{s}^{2}}={{\left(d{{x}^{1}}\right)}^{2}}+{{\left(d{{x}^{2}}\right)}^{2}}={{\delta }_{\alpha \beta }}d{{x}^{\alpha }}d{{x}^{\beta }}$ Geradengleichung $d_{t}^{2}{{x}^{\alpha }}=0$mit t=Kurvenparameter Es existieren keine kartesischen Koordinaten

	z.B. $d{{s}^{2}}={{a}^{2}}\left(d{{\theta }^{2}}+{{\sin }^{2}}\theta d{{\varphi }^{2}}\right)$d

Krummlinige Koordinaten (Polarkoordinaten)

${\begin{aligned}&d{{s}^{2}}=d{{r}^{2}}+{{r}^{2}}d{{\varphi }^{2}}\\&={{g}_{\mu \nu }}\left(x'\right)dx{{'}^{\mu }}dx{{'}^{\nu }}\end{aligned}}$

$d_{t}^{2}{{x}^{\alpha }}+\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }{{d}_{t}}{{x}^{\mu }}{{d}_{t}}{{x}^{\nu }}=0$ Es gibt nur Krummlinige Koordinaten z.B. die obrigen

$d{{s}^{2}}={{g}_{\mu \nu }}\left(x\right)d{{x}^{\mu }}d{{x}^{\nu }}$

$d_{t}^{2}{{x}^{\alpha }}+\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }{{d}_{t}}{{x}^{\mu }}{{d}_{t}}{{x}^{\nu }}=0$

Minkowsik Raum (n=4) Gekrümmter Raum (n=4) In quasi kartesischen Koordinaten (Globale Inertialsystem) Linienelment

${\begin{aligned}&d{{s}^{2}}={{\left(d{{x}^{0}}\right)}^{2}}-{{\left(d{{x}^{1}}\right)}^{2}}-{{\left(d{{x}^{2}}\right)}^{2}}-{{\left(d{{x}^{3}}\right)}^{2}}\\&={{\eta }_{\mu \nu }}d{{x}^{\mu }}d{{x}^{\nu }}\end{aligned}}$

Geradengleichung (gradlinige gleichförmige Bewegung)

$d_{\tau }^{2}{{x}^{\mu }}=0$

Mit Koordinatentransformation ISNICHT-IS Es gibt keine quasi kartesischen Koordinaten, d.h. keine globalen IS.

In krummlinigen Koordinaten (Nicht Inertialsystem)

$d{{s}^{2}}={{g}_{\mu \nu }}\left(x'\right)dx{{'}^{\mu }}dx{{'}^{\nu }}$

$d_{\tau }^{2}{{x}^{\alpha }}+\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }{{d}_{\tau }}{{x}^{\mu }}{{d}_{\tau }}{{x}^{\nu }}=0$ In krummlinigen Koordinaten (Nicht Inertialsystem)

$d{{s}^{2}}={{g}_{\mu \nu }}\left(x\right)d{{x}^{\mu }}d{{x}^{\nu }}$

$d_{\tau }^{2}{{x}^{\alpha }}+\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }{{d}_{\tau }}{{x}^{\mu }}{{d}_{\tau }}{{x}^{\nu }}=0$

Definition: Riemannscher Raum ${{V}_{4}}$=4-dimensionale Mannigfaltigkeit auf der eine Metrik ${{g}_{\mu \nu }}$definiert ist, derart dass $d{{s}^{2}}={{g}_{\mu \nu }}d{{x}^{\mu }}d{{x}^{\nu }}$invariant ist gegenüber allgemeinen Koordinatentransformationen ${{g}_{\mu \nu }}$die Signatur -2 hat Tensoren im Riemannschen Raum (vgl. auch Kapitel 4) Riemannscher Raum ${{V}_{4}}$=4-dimensionale Mannigfaltigkeit auf der eine Metrik ${{g}_{\mu \nu }}$definiert ist, derart dass $d{{s}^{2}}={{g}_{\mu \nu }}d{{x}^{\mu }}d{{x}^{\nu }}$invariant ist gegenüber allgemeinen Koordinatentransformationen ${{g}_{\mu \nu }}$die Signatur -2 hat Beziehungen:

Es gibt wieder (wie im Minkowski-Raum) drei Arten von Abständen Zeitarting ( $d{{s}^{2}}>0$ ) Lichtartig( $d{{s}^{2}}=0$ ) Spannen den Lichtkegel auf raumartig( $d{{s}^{2}}<0$ ) Tensoren (sie werden durch ihr Verhalten bei allgemeinen Koordinatentranformationenn bestimmt) kontravarianter Vektor ${{v}^{\beta }}$

$v{{'}^{\beta }}=\Lambda _{\alpha }^{\beta }{{v}^{\alpha }}$$v{{'}^{\beta }}={{\partial }_{\mu }}x{{'}^{\beta }}{{v}^{\mu }}$

Kovarianter Vektor ${{v}_{\beta }}$:

${{v}_{\beta }}={{\eta }_{\beta \alpha }}{{v}^{\alpha }}$${{v}_{\beta }}:={{g}_{\beta \alpha }}{{v}^{\alpha }}$

Heben und Senken von Indices

${{v}^{\beta }}={{g}^{\beta \alpha }}{{v}_{\alpha }}$

mit ${{g}^{\alpha \sigma }}{{g}_{\sigma \beta }}=\delta _{\beta }^{\alpha }$

Also $v{{'}_{\beta }}=g{{'}_{\alpha \beta }}v{{'}^{\alpha }}={{\partial }_{\beta }}{{x}^{\sigma }}{{v}_{\sigma }}$ Allgemein $T{{'}^{\alpha ...\beta }}_{\mu ...\nu }={{\partial }_{\rho }}x{{'}^{\alpha }}...{{\partial }_{\sigma }}x{{'}^{\beta }}\partial {{'}_{\mu }}{{x}^{\tau }}...\partial {{'}_{\nu }}{{x}^{\rho }}{{T}^{\rho ...\sigma }}_{\mu ...\nu }$ Die Symmetrien bleiben bei Transformationen erhalten

${\begin{aligned}&{{T}_{\left(\mu \nu \right)}}\equiv {{S}_{\mu \nu }}:={\frac {1}{2}}\left({{T}_{\mu }}_{\nu }+{{T}_{\nu }}_{\mu }\right)={{S}_{\nu }}_{\mu }\\&{{T}_{\left[\mu \nu \right]}}\equiv {{A}_{\mu }}_{\nu }:={\frac {1}{2}}\left({{T}_{\mu }}_{\nu }-{{T}_{\nu }}_{\mu }\right)={{A}_{\nu }}_{\mu }\\&{{T}_{\mu }}_{\nu }={{S}_{\mu }}_{\nu }+{{A}_{\mu }}_{\nu }\\\end{aligned}}$

$S{{'}_{\mu }}_{\nu }=\partial {{'}_{\mu }}{{x}^{\alpha }}\partial {{'}_{\nu }}{{x}^{\beta }}{{S}_{\alpha }}_{\beta }=\partial {{'}_{\mu }}{{x}^{\beta }}\partial {{'}_{\nu }}{{x}^{\alpha }}{{S}_{\beta }}_{\alpha }=\partial {{'}_{\mu }}{{x}^{\beta }}\partial {{'}_{\nu }}{{x}^{\alpha }}{{S}_{\alpha }}_{\beta }=S{{'}_{\nu \mu }}$

Die partielle Ableitung ist keine kovariante Operation, d.h. sie macht einem Tensor k-ter Stufe keinen Tensor (k+1)-ter Stufe. Denn:

$\partial {{'}_{\nu }}A{{'}^{\mu }}={{\partial }_{\rho }}A{{'}^{\mu }}\partial {{'}_{\nu }}{{x}^{\rho }}={{\partial }_{\rho }}\left({{\partial }_{\sigma }}x{{'}^{\mu }}{{A}^{\sigma }}\right)\partial {{'}_{\nu }}{{x}^{\rho }}=\partial _{\rho \sigma }^{2}x{{'}^{\mu }}\partial {{'}_{\nu }}{{A}^{\sigma }}+{{\partial }_{\sigma }}x{{'}^{\mu }}\partial {{'}_{\nu }}{{x}^{\rho }}{{\partial }_{\rho }}{{A}^{\sigma }}$

Daher ist es notwendig eine kovariante Ableitung einzuführen Partielle und kovariante Ableitung Definition der kovarianten Ableitung durch de Forderungen: Die kovariante Ableitung eines Tensors k-ter Stufe ergibt ein Tensor (k+1)-ter Stufe Im Minkowski-Raum reduziert sich im quasi-kartesischen Koordinaten (d.h. in einem globalen IS) die kovariante auf die partielle Ableitung (In einem Riemannschen Raum ist das für lokale IS zu fordern. Man betrachte dazu die Transformations-Eigenschaften der Christoffel-Symbole die in den §§8 und 11 beim Übergang von einem IS bzw. lokalen IS zu beliebigen Koordinaten auftreten. IS bzw. lokales IS Beliebiges KS Koordinaten ${{\xi }^{\mu }}$ Metrik ${{\eta }_{\mu \nu }}$ Geradengleichung bzw. Bewegungsgleichung eines freien Teilchens: $d_{\tau }^{2}{{x}^{\alpha }}=0$ Koordinaten ${{x}^{\mu }}$ Metrik ${{g}_{\mu \nu }}$ Geradengleichung bzw. Bewegungsgleichung eines freien Teilchens: $d_{\tau }^{2}{{x}^{\alpha }}+\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }{{d}_{\tau }}{{x}^{\mu }}{{d}_{\tau }}{{x}^{\nu }}=0$ Wobei $\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }:={\frac {\partial {{x}^{\alpha }}}{\partial {{\xi }^{\rho }}}}{\frac {{{\partial }^{2}}{{\xi }^{\rho }}}{\partial {{x}^{\mu }}\partial {{x}^{\nu }}}}={\frac {1}{2}}{{g}^{\alpha \sigma }}\left({{g}_{\mu \sigma ,\nu }}+{{g}_{\nu \sigma ,\mu }}-{{g}_{\mu \nu ,\sigma }}\right)$

Nun Übergang von Koordinaten ${{x}^{\mu }}$zu neuen Koordinaten $x{{'}^{\mu }}$:

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. TeX parse error: Double exponent: use braces to clarify“): {\displaystyle {\begin{aligned}&\Gamma '_{\nu \lambda }^{\mu }={\frac {\partial x{{'}^{\mu }}}{\partial {{\xi }^{\tau }}}}{\frac {{{\partial }^{2}}{{\xi }^{\tau }}}{\partial x{{'}^{\nu }}\partial x{{'}^{\lambda }}}}\\&={\frac {\partial x{{'}^{\mu }}}{\partial {{\xi }^{\sigma }}}}{\frac {\partial {{x}^{\sigma }}}{\partial {{\xi }^{\tau }}}}{\frac {\partial }{\partial x{{'}^{\nu }}}}\left({\frac {\partial {{\xi }^{\tau }}}{\partial {{x}^{\alpha }}}}{\frac {\partial {{x}^{\alpha }}}{\partial x{{'}^{\lambda }}}}\right)\\&={\frac {\partial x{{'}^{\mu }}}{\partial {{\xi }^{\sigma }}}}{\frac {\partial {{x}^{\sigma }}}{\partial {{\xi }^{\tau }}}}\left({\frac {{{\partial }^{2}}{{\xi }^{\tau }}}{\partial {{x}^{\alpha }}\partial {{x}^{\rho }}}}{\frac {\partial {{x}^{\rho }}}{\partial {{x}^{\alpha }}}}{\frac {\partial {{x}^{\alpha }}}{\partial x{{'}^{\lambda }}}}+{\frac {{{\partial }^{2}}{{x}^{\alpha }}}{\partial x{{'}^{\nu }}\partial x{{'}^{\lambda }}}}{\frac {\partial {{\xi }^{\tau }}}{\partial {{x}^{\alpha }}}}\right)\\&={\frac {\partial x{{'}^{\mu }}}{\partial {{\xi }^{\sigma }}}}{\frac {\partial {{x}^{\sigma }}}{\partial {{\xi }^{\tau }}}}{\frac {\partial {{x}^{\alpha }}}{\partial x{{'}^{\lambda }}}}\Gamma _{\alpha \rho }^{\sigma }+{\frac {\partial x{{'}^{\mu }}}{\partial {{x}^{\sigma }}}}{\frac {{{\partial }^{2}}{{x}^{\sigma }}}{\partial x{{'}^{\nu }}\partial x{{'}^{\lambda }}}}\end{aligned}}}

Betrachte nun Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. TeX parse error: Double exponent: use braces to clarify“): {\displaystyle \Gamma '_{\nu \lambda }^{\mu }A{{'}^{\lambda }}}

Daher gilt wegen des letzten Ausdrucks von §13:

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. TeX parse error: Double exponent: use braces to clarify“): {\displaystyle \partial {{'}_{\nu }}A{{'}^{\alpha }}+\Gamma '_{\mu \nu }^{\alpha }A{{'}^{\mu }}={{\partial }_{\sigma }}x{{'}^{\alpha }}\partial {{'}_{\nu }}{{x}^{\rho }}\left({{\partial }_{\rho }}{{A}^{\sigma }}+\Gamma _{\beta \sigma }^{\sigma }{{A}^{\beta }}\right)}

Transformation eines Tensors 2-ter Stufe! Definition der kovarianten Ableitung:

${{\nabla }_{\nu }}{{A}^{\alpha }}\equiv {{A}^{\alpha }}_{;\nu }:={{A}^{\alpha }}_{,\nu }+\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }{{A}^{\mu }}$

Allgemein gilt:

${\begin{aligned}&{\begin{array}{*{35}{l}}T_{rs...;l}^{ik...}=T_{rs...,l}^{ik...}&+\Gamma _{ml}^{i}T_{rs...}^{mk...}\quad &{}&+\Gamma _{ml}^{k}T_{rs...}^{im...}...&\quad &{\text{f }}\!\!{\ddot {\mathrm {u} }}\!\!{\text{ r jeden oberen Index}}\\{}&-\Gamma _{rl}^{m}T_{ms...}^{ik...}\quad &{}&-\Gamma _{sl}^{m}T_{rm...}^{ik...}...&{}&{\text{f }}\!\!{\ddot {\mathrm {u} }}\!\!{\text{ r jeden unteren Index}}\\\end{array}}\\&{\begin{matrix}T_{rs...;l}^{ik...}=T_{rs...,l}^{ik...}&+\Gamma _{ml}^{i}T_{rs...}^{mk...}&+\Gamma _{ml}^{k}T_{rs...}^{im...}...&{\text{f }}\!\!{\ddot {\mathrm {u} }}\!\!{\text{ r jeden oberen Index}}\\{}&-\Gamma _{rl}^{m}T_{ms...}^{ik...}&-\Gamma _{sl}^{m}T_{rm...}^{ik...}...&{\text{f }}\!\!{\ddot {\mathrm {u} }}\!\!{\text{ r jeden unteren Index}}\\\end{matrix}}\\\end{aligned}}$

Es gilt ${{g}_{\mu \nu ;\sigma }}\equiv 0$(das ist ein Charakteristikum der Riemannschen Geometrie) Paralleltransport von Vektoren Anschauliche Bedeutung der kovarianten Ableitung führt zum Begriff „Parlleltransport“ bzw. „Parallelität von Vektoren in infinitesimal benachbarten Punkten“: Das totale Differential eines Vektors ${{A}^{\alpha }}$

$d{{A}^{\alpha }}={{A}^{\alpha }}_{,\nu }d{{x}^{\nu }}={{A}^{\alpha }}\left({{x}^{\lambda }}+d{{x}^{\lambda }}\right)-{{A}^{\mu }}\left({{x}^{\lambda }}\right)$

Ist also kein Vektor (s.o), weil die Termine

${{A}^{\alpha }}\left({{x}^{\lambda }}+d{{x}^{\lambda }}\right)$

und ${{A}^{\alpha }}\left(x\right)$sich verschieden transformieren, denn ${{\alpha }^{\alpha }}_{\nu }\left(x+dx\right)\neq {{\alpha }^{\alpha }}_{\nu }\left(x\right)$. Die Differenz ist deshalb kein Tensor.

Man muss also

${{A}^{\alpha }}\left(x+dx\right)$

zum Punkt x transportieren, ohne dass z sich im Minkowski-Fall ändert (d.h. ihn nach x parallel verschieben). Die Änderung bei Parallelverschiebung sei $\delta {{A}^{\alpha }}$genannt.

$D{{A}^{\alpha }}={{A}^{\alpha }}\left(x+dx\right)-{{A}^{\mu }}\left(x\right)-\delta {{A}^{\alpha }}={{A}^{\alpha }}_{,\nu }d{{x}^{\nu }}-\delta {{A}^{\alpha }}$

(man zieht also die Änderung bei der Parallelverschiebung ab) Aufgrund der oben definierten kovarianten Ableitung weiß man, wie $\delta {{A}^{\alpha }}$aussieht:

$D{{A}^{\alpha }}={{A}^{\alpha }}_{;\nu }d{{x}^{\nu }}={{A}^{\alpha }}_{,\nu }d{{x}^{\nu }}+\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }{{A}^{\mu }}d{{x}^{\nu }}$

d.h. $\delta {{A}^{\alpha }}=-\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }{{A}^{\mu }}d{{x}^{\nu }}$ Also: 2 Vektoren in infinitesimalen Punkten sind genau dann parallel, wenn die beiden Änderungen $d{{A}^{\alpha }}$und $\delta {{A}^{\alpha }}$sich gegenseitig kompensieren, d.h. wenn die kovariante Ableitung verschwindet:$d{{A}^{\alpha }}-\delta {{A}^{\alpha }}={{A}^{\alpha }}_{,\nu }d{{x}^{\nu }}+\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }{{A}^{\mu }}d{{x}^{\nu }}=0$. Bemerkungen: Es gibt keinen Fernvergleich von Vektoren (d.h. von Richtungen sondern nur den von Winkeln)

Bei dieser Art der Verschiebung ändert sich der Winkel zwischen Vektor und Kurve (anders beim Fermi-Walker-Transport) Geodätische Linien (Geodäten) Def. der Autoparallel (die „gradeste Verbindung“ zweier Punkte): (Für beliebige Kurven ändert sich der Winkel zwischen Vektro und Kurve (s.o.)) Autoparllele=Kurve, längst der der Tangentenvektor parallel verschoben wird

${{A}^{\alpha }}_{,\nu }{{d}_{\tau }}{{x}^{\nu }}+\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }{{A}^{\mu }}{{d}_{\tau }}{{x}^{\nu }}=0$

(Parallelverschiebung)

${{A}^{\alpha }}={{d}_{\tau }}{{x}^{\alpha }}$

(Tangentenvektor an Kurve mit Kurvenparameter $\tau$)

$\Rightarrow d_{\tau }^{2}{{x}^{\alpha }}+\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }{{d}_{\tau }}{{x}^{\mu }}{{d}_{\tau }}{{x}^{\nu }}=0$

(Autoparallelengleichung) Definition der Geodäten (die „kürzeste Verbindung“ zweier Punkte): Geodäte=Kurve länger der $\delta \int _{A}^{B}{ds}=0$.

$\Rightarrow d_{\tau }^{2}{{x}^{\alpha }}+\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }{{d}_{\tau }}{{x}^{\mu }}{{d}_{\tau }}{{x}^{\nu }}=0$

(Geodätengleichung) Die Autoparallele ist gleich der Geodäten (ein Charakteristikum der Riemannschen Geometrie) Der Krümmungstensor Der Krümmungstensor ist ein kovariantes Maß für die Krümmung des Raumes (Die Metrik und die Konnektoren sind ungeeignet: ${{g}_{\mu \nu }}$ist kein „punktuelles“ Maß, da in einem Punkt immer auf ${{\eta }_{\mu \nu }}$zu transformieren und $\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }$ist kein Tensor.) Erste Art der Definition

${\begin{aligned}&{{A}^{\alpha }}_{;\mu ;\nu }-{{A}^{\alpha }}_{;\nu ;\mu }={{R}^{\alpha }}_{\beta \mu \nu }{{A}^{\beta }}\\&{{R}^{\alpha }}_{\beta \mu \nu }=\Gamma _{\beta \nu ,\mu }^{\alpha }-\Gamma _{\beta \mu ,\nu }^{\alpha }+\Gamma _{\sigma \mu }^{\alpha }\Gamma _{\beta \nu }^{\sigma }-\Gamma _{\sigma \nu }^{\alpha }\Gamma _{\beta \mu }^{\sigma }\\\end{aligned}}$

Zweite Art der Definition

${{A}^{\alpha }}\left(q\right)={{A}^{\alpha }}\left({{x}^{\lambda }}+d{{x}^{\lambda }}+d{{\bar {x}}^{\lambda }}\right)={{A}^{\alpha }}\left({{x}^{\lambda }}+d{{\bar {x}}^{\lambda }}+d{{x}^{\lambda }}\right)$

1. Weg

2. Weg

$\Delta {{A}^{\alpha }}=\delta {{A}^{\alpha }}_{\left(1\right)}-\delta {{A}^{\alpha }}_{\left(2\right)}=-{{R}^{\alpha }}_{\beta \mu \nu }{{A}^{\mu }}d{{\bar {x}}^{\beta }}d{{x}^{\nu }}$

Symmetrien des Riemannschen Krümmungstensors

${\begin{aligned}&{{R}_{\alpha \beta \mu \nu }}=-{{R}_{\beta \alpha \mu \nu }}=-{{R}_{\alpha \beta \nu \mu }}={{R}_{\mu \nu \alpha \beta }}\\&{{R}^{\alpha }}_{\beta \mu \nu }+{{R}^{\alpha }}_{\mu \nu \beta }+{{R}^{\alpha }}_{\nu \beta \mu }=0\\\end{aligned}}$

Es bleiben also noch 20 algebraisch unabhängige Komponenten Differentialidentität (Bianchi-Identität)

${{R}_{\alpha \beta \mu \nu ;\lambda }}+{{R}_{\alpha \beta \nu \lambda ;\mu }}+{{R}_{\alpha \beta \lambda \mu ;\nu }}=0$

Ricci-Tensor${{R}_{\beta \nu }}:={{g}^{\alpha \mu }}{{R}_{\alpha \beta \mu \nu }}$ Ricci-Skalar $R={{g}^{\beta \nu }}{{R}_{\beta \nu }}$ Damit verfügen wir über das gemometrische Inventar zur Formulierung der Einsteinschen Gravitationsgleichungen. ………RECHNUNG FEHLT……… Grundgesetze der Allgemeinen Relativitätstheorie Grundgesetze der Physik im Riemannschen Raum (schwaches Äquivalenzprinzip bzw. Einsteinsches Äquivalenzprinzip) SRT Gesetze ohne Gravitation Koordinaten Transformation ART-Gesetze (Relativistisch) Gesetze mit Gravitation

${\begin{aligned}&{{\xi }^{\alpha }}\to {{x}^{\alpha }}\\&{{\eta }_{\mu \nu }}\to {{g}_{\mu \nu }}\\&{{\partial }_{\mu }}\to {{D}_{\mu }}\\\end{aligned}}$

Tensoren im M4  Tensoren im V4

${\begin{aligned}&d{{\xi }^{\alpha }}\to d{{x}^{\alpha }}={\frac {\partial {{x}^{\alpha }}}{d{{\xi }^{\mu }}}}d{{\xi }^{\mu }}\\&{{\eta }_{\mu \nu }}\to {{g}_{\mu \nu }}={{\eta }_{\alpha \beta }}{\frac {\partial {{\xi }^{\alpha }}}{\partial {{x}^{\mu }}}}{\frac {\partial {{\xi }^{\beta }}}{\partial {{x}^{\nu }}}}\\&A_{{M}_{4}}^{\alpha }\to A_{{V}_{4}}^{\alpha }={\frac {\partial {{x}^{\alpha }}}{\partial {{\xi }^{\mu }}}}A_{{M}_{4}}^{\mu }\\\end{aligned}}$

Mechanik

$m{{d}_{\tau }}{{u}^{\alpha }}={{f}^{\alpha }}\to m{{d}_{\tau }}{{u}^{\alpha }}={{f}^{\alpha }}+\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }{{u}^{\mu }}{{u}^{\nu }}$

(nichtrelativistische Näherung §31a) Elektrodynamik

$\left.{\begin{aligned}&{{F}^{\mu \nu }}_{,\nu }={\frac {4\pi }{c}}{{j}^{\mu }}\\&{{\varepsilon }^{\nu \mu \alpha \beta }}{{F}_{\alpha \beta ,\mu }}=0\end{aligned}}\right\}\to \left\{{\begin{aligned}&{{F}^{\mu \nu }}_{;\nu }={\frac {4\pi }{c}}{{j}^{\mu }}\\&{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{{\varepsilon }^{\nu \mu \alpha \beta }}{{F}_{\alpha \beta ;\mu }}=0\end{aligned}}\right.\Leftrightarrow \left\{{\begin{aligned}&{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{{\left({\sqrt {-g}}{{F}^{\mu \nu }}\right)}_{,\nu }}={\frac {4\pi }{c}}{{j}^{\mu }}\\&{{\varepsilon }^{\nu \mu \alpha \beta }}{{F}_{\alpha \beta ,\mu }}=0\end{aligned}}\right.$

Nichtrelativistischer Grenzfall Der mechanischen Bewegungsgleichung

${{f}^{\alpha }}=0$

${{v}^{i}}\ll c\to {{d}_{t}}{{x}^{i}}\ll c\to {{d}_{t}}{{x}^{i}}\ll {{d}_{t}}\left(ct\right)\to {{d}_{t}}d{{x}^{i}}\ll {{d}_{t}}d{{x}^{0}}\to {{d}_{\tau }}{{x}^{i}}\ll {{d}_{\tau }}{{x}^{0}}$

Also

$md_{\tau }^{2}{{x}^{\alpha }}=-m\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }{{d}_{\tau }}{{x}^{\mu }}{{d}_{\tau }}{{x}^{\nu }}\approx -m\Gamma _{00}^{\alpha }{{d}_{\tau }}{{x}^{0}}{{d}_{\tau }}{{x}^{0}}$

${{g}_{\mu \nu ,0}}=0$ (statische Felder)

$\to \Gamma _{00}^{\alpha }={\frac {1}{2}}{{g}^{\alpha \sigma }}\left({{g}_{\sigma 0,0}}+{{g}_{0\sigma ,0}}-{{g}_{00,\sigma }}\right)=-{\frac {1}{2}}{{g}^{\alpha i}}{{g}_{00,i}}$

(schwache Felder)

Bewegungsgleichungen:

$d_{\tau }^{2}t=0\to {{d}_{\tau }}t={\text{const}}$

$d_{\tau }^{2}{{x}^{i}}=-{\frac {1}{2}}{{c}^{2}}{{\partial }_{i}}{{h}_{00}}{{\left({{d}_{\tau }}t\right)}^{2}}\to d_{t}^{2}{{x}^{i}}=-{\frac {{c}^{2}}{2}}{{h}_{00,i}}\to {{g}_{00}}=1+{{h}_{00}}=1+{\frac {2\phi }{c}}$

Man kann $\Delta \varphi =4\pi G\rho$ daher schreiben als

$\Delta {{g}_{00}}={\frac {8\pi G}{{c}^{2}}}\rho$

Energie – Impuls Tensor Alle Energieformen au0er der Gravitation tragen zum Energie-Impuls-Tensor bei

${\begin{aligned}&{{T}^{\mu \nu }}=T_{HD}^{\mu \nu }+T_{ED}^{\mu \nu }\\&T_{ED}^{\mu \nu }={\frac {1}{4\pi }}\left({{F}^{\alpha }}_{\mu }{{F}^{\mu \nu }}+{\frac {1}{4}}{{\eta }_{\mu \nu }}{{F}_{\alpha }}_{\beta }{{F}^{\alpha }}^{\beta }\right)\\&\left(T_{ED}^{00}={\frac {1}{8\pi }}\left({{\mathbf {E} }^{2}}+{{\mathbf {B} }^{2}}\right),\mathbf {S} =c\sum \limits _{i}{T_{ED}^{0i}{{\mathbf {e} }_{i}}}={\frac {c}{4\pi }}\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right)\\\end{aligned}}$

${{\partial }_{\mu }}{{T}^{\mu }}^{\nu }=0$

differentieller Energie-Impuls-Erhaltungssatz Daraus folgt für räumlich begrenzte Systeme:

${\frac {\partial }{\partial \left(ct\right)}}\int \limits _{{V}_{3}}{{{T}^{\alpha 0}}{{d}^{3}}x}=-\int \limits _{{V}_{3}}{{{\partial }_{i}}{{T}^{\alpha i}}{{d}^{3}}x}=-\int \limits _{\partial {{V}_{3}}}{{{T}^{\alpha i}}d{{F}_{i}}}=0$

$\Rightarrow {{p}^{\alpha }}={\frac {1}{c}}\int \limits _{{V}_{3}}{{{T}^{\alpha 0}}{{d}^{3}}x}={\text{const}}$

(Integraler Energie-Impuls-Erhaltungs-Satz) In der ART gilt

${{D}_{\alpha }}{{T}^{\alpha \beta }}={{T}^{\alpha \beta }}_{,\beta }+\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }{{T}^{\mu \beta }}+\Gamma _{\mu \beta }^{\beta }{{T}^{\alpha \mu }}=0$

Einsteinsche Feldgleichungen der Gravitation Struktur („Ableitung“) der Gleichungen Aufgabe: Relativistische Verallgemeinerung der Newtonschen Gravitationsgleichung

$\Delta \phi =4\pi G\rho$

(1.3) Wobei die gesuchten Gleichungen Differentialgleichungen für ${{g}_{\mu \nu }}$sind. Nichtrelativistischer Grenzfall der Bewegungsgleichungen  Hinweis für die Verallgemeinerung der linken Seite von (1.3):

${{g}_{00}}\approx 1+2{\frac {\phi }{{c}^{2}}}$

Vergleich weiter oben Nichtrelativistischer Grenzfall des Energie-Impuls-Tensors einer idealen Flüssigkeit  Hinweis für die Verallgemeinerung der rechten Seite von (1.3)

$\left({{T}^{\alpha }}^{\beta }\right)={{\delta }_{\alpha \beta 0}}\rho {{c}^{2}}$

Denn für ${\frac {{v}^{i}}{c}}\ll 1,{\frac {p}{\rho {{c}^{2}}}}\ll 1$gilt

${{T}^{\alpha \beta }}=\left(\rho +{\frac {p}{{c}^{2}}}\right){{u}^{\alpha }}{{u}^{\beta }}-P{{g}^{\alpha \beta }}$

$\Rightarrow {{T}^{00}}\approx \rho {{c}^{2}},{\frac {{T}^{0i}}{{T}^{00}}}\approx {\frac {{v}^{i}}{{c}^{2}}}\ll 1,{\frac {{T}^{ij}}{{T}^{00}}}=O\left({\frac {{v}^{2}}{{c}^{2}}}\right)\ll 1$

Also mögliche Formulierung von (1.3)

$\Delta {{g}_{00}}={\frac {8\pi G}{{c}^{4}}}{{T}_{00}}$

(1.4) Gesucht ist eine Verallgemeinerung dieser Gleichung, die es erlaubt, alle ${{g}_{\mu \nu }}$zu bestimmen. Naheliegende Verallgemeinerungen von (1.4):

${\begin{aligned}&{{\square }_{\eta }}{{g}_{\mu \nu }}={\frac {8\pi G}{{c}^{4}}}{{T}_{\mu \nu }}\\&{{\square }_{\eta }}:={{\eta }^{\alpha \beta }}{{\partial }_{\alpha }}{{\partial }_{\beta }}\\\end{aligned}}$

<-> -Widerspricht der Gleichung ${{T}^{\alpha }}{{^{\beta }}_{;\beta }}=0$

${\begin{aligned}&{{\square }_{g}}{{g}_{\mu \nu }}={\frac {8\pi G}{{c}^{4}}}{{T}_{\mu \nu }}\\&{{\square }_{g}}:={{g}^{\alpha \beta }}{{D}_{\alpha }}{{D}_{\beta }}\\\end{aligned}}$

<-> -Sinnlos da ${{D}_{\alpha }}{{g}_{\mu \nu }}\equiv 0$ Man hat für die linke Seite der Gleichung einen Tensor zu suchen der folgenden Bedingungen genügt:

${{G}_{\mu }}_{\nu }={\frac {8\pi G}{{c}^{4}}}{{T}_{\mu }}_{\nu }$

${{G}_{\mu }}_{\nu }$ist ein Riemannscher Tensor 2ter Stufe ${{G}_{\mu }}_{\nu }$Ist symmetrisch ${{G}_{\mu }}_{\nu }$enthält keine höheren Ableitungen von ${{g}_{\mu \nu }}$als die zweite: ${{G}_{\mu }}_{\nu }={{G}_{\mu }}_{\nu }\left[{{g}_{\mu \nu }},\partial {{g}_{\mu \nu }},{{\partial }^{2}}{{g}_{\mu \nu }}\right]$ ${{G}^{\alpha }}{{^{\beta }}_{;\beta }}=0$ Für schwache, statische Felder gilt ${{G}_{00}}\approx \Delta {{g}_{00}}$ Aus (1)-(3) folgt ${{G}_{\mu }}_{\nu }=a{{R}_{\mu }}_{\nu }+bR{{g}_{\mu \nu }}$ Aus (4) folgt $a=-2b$ Da

${\begin{aligned}&\to {{G}^{\alpha }}{{^{\beta }}_{;\alpha }}=a{{R}^{\alpha \beta }}_{;\alpha }+b{{g}^{\alpha }}^{\beta }{{R}_{;\alpha }}=0\\&\to a=-2b\\\end{aligned}}$

Aus (5) folgt $a=-1$ Also

${{R}_{\mu }}_{\nu }-{\frac {1}{2}}{{g}_{\mu \nu }}R=-{\frac {8\pi G}{{c}^{4}}}{{T}_{\mu }}_{\nu }$

(Einsteinsche Gleichungen ohne kosmologischen Term)

${{R}_{\mu }}_{\nu }-{\frac {1}{2}}{{g}_{\mu \nu }}R+\Lambda {{g}_{\mu \nu }}=-{\frac {8\pi G}{{c}^{4}}}{{T}_{\mu }}_{\nu }$

(Einsteinsche Gleichungen mit kosmologischem Term) Einsteinsche Gleichungen und Bewegungsgleichungen SRT

${{T}^{\alpha }}{{^{\beta }}_{,\beta }}=0\Rightarrow {{p}^{\alpha }}={\frac {1}{c}}\int \limits _{V}{{{T}^{\alpha 0}}{{d}^{3}}x}={\text{const}}$(Energie Impuls Erhaltung)

ART

${{T}^{\alpha }}{{^{\beta }}_{,\beta }}=0{\xrightarrow[{{\text{ }}\!\!{\ddot {\mathrm {A} }}\!\!{\text{ quivalenzprinzip}}}]{}}{{T}^{\alpha }}{{^{\beta }}_{;\beta }}=0$

${{T}^{\alpha }}{{^{\beta }}_{;\beta }}=0\Rightarrow {{T}^{\alpha }}{{^{\beta }}_{,\beta }}\neq 0$ keine Energie Impuls Erhaltung

In der ART sind die Gleichungen ${{T}^{\alpha }}{{^{\beta }}_{;\beta }}=0$keine Energie Impuls Erhaltungssätze sondern Bewegungsgleichungen.

Das Variationsproblem der Einsteinschen Gravitationsgleichungen Allgemeines Schema Man konstruiert ein das physikalische System charakterisierende Wirkungsintegral S

$S=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{L\left(\Phi ,\partial \Phi \right)dt}$

Die Feld bzw. Bewegungsgleichungen folgen dann aus dem Hamiltonschen Wirkungsprinzip $\delta S=0$für die Euler-Variation $\delta \Phi$der Variablen $\Phi$. Mechanik (Systeme mit einer endlichen Anzahl von Freiheitsgraden) Voraussetzung: L enthält bisauf Terme der Form ${{d}_{t}}F$(wobei $F=F\left(q,t\right)$) nur erste Ableitungen der Variablen $\Phi$ Hamiltonsches Prinzip

Resultierende Bewegungsgleichungen (Euler-Lagrange-Gleichungen)$\left({{d}_{t}}{{\partial }_{{\dot {q}}^{i}}}-{{\partial }_{{q}^{i}}}\right)L=0$ Einstein Gleichungen Einstein Hilbertsches Wirkungsintegral SEH

${{S}_{EH}}=\int \limits _{{V}_{4}}{\left(R+2\kappa {{L}_{Mat}}\right){\sqrt {-g}}{{d}^{4}}x}$

Mit

${{L}_{Mat}}$

= kovariant geschriebene Lagrangefunktion für die das Gravitationspotential ${{g}_{\mu \nu }}$erzeugenden Terme Einsteinsches Wirkungsintegral SE

${\begin{aligned}&R={\frac {1}{\sqrt {-g}}}{{\left[{\sqrt {-g}}\left(-{{g}^{\mu }}^{\nu }\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }+{{g}^{\mu }}^{\alpha }\Gamma _{\mu \nu }^{\nu }\right)\right]}_{,\alpha }}+{{L}_{E}}\left(g,\Gamma \right)\\&{{L}_{E}}={{g}^{\mu }}^{\nu }\left(\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }\Gamma _{\alpha \beta }^{\beta }-\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }\Gamma _{\nu \alpha }^{\beta }\right)\\&{{S}_{EH}}=\int \limits _{{V}_{4}}{\left({{L}_{E}}+2\kappa {{L}_{Mat}}\right){\sqrt {-g}}{{d}^{4}}x}+\int \limits _{{V}_{4}}{{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{{\left[{\sqrt {-g}}\left(-{{g}^{\mu }}^{\nu }\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }+{{g}^{\mu }}^{\alpha }\Gamma _{\mu \nu }^{\nu }\right)\right]}_{,\alpha }}{\sqrt {-g}}{{d}^{4}}x}\\\end{aligned}}$

Der Term

$\int \limits _{{V}_{4}}{{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{{\left[{\sqrt {-g}}\left(-{{g}^{\mu }}^{\nu }\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }+{{g}^{\mu }}^{\alpha }\Gamma _{\mu \nu }^{\nu }\right)\right]}_{,\alpha }}{\sqrt {-g}}{{d}^{4}}x}$

liefert keinen Betrag zu $\delta S$da es sich beim Integranden um enie Divergenz ${{\partial }_{\nu }}{{K}^{\nu }}$handelt (s.o.).

$\delta {{S}_{EH}}=\delta {{S}_{E}}=0\Rightarrow {{R}_{\mu }}_{\nu }-{\frac {1}{2}}{{g}_{\mu \nu }}R=\kappa {{T}_{\mu }}_{\nu }$mit ${{T}_{\mu }}_{\nu }:={\frac {2}{\sqrt {g}}}{\frac {\delta \left({\sqrt {-g}}{{L}_{Mat}}\right)}{\delta {{g}^{\mu }}^{\nu }}}$

 

Lineare Näherung der Einsteinschen Gleichungen

Von den Einsteinschen zu den linearisierten Gleichungen Vorbemerkung Elektrodynamik: 4 algebraisch unabhängige Gleichungen 1 Differentialidentität  4-1=3 funktional unabhängige Gleichungen für 4-1=3 Feldfreiheitsgrade (wegen Eichfreiheit ${{A}^{\alpha }}\to {{A}^{\alpha }}+{{d}^{\alpha }}\chi$ ART 10 algebraisch unabhängige Gleichungen ${{R}^{\mu }}^{\nu }-{\frac {1}{2}}{{g}^{\mu }}^{\nu }R=-{\frac {8\pi G}{{c}^{4}}}{{T}_{\mu }}_{\nu }$ 4 Differentialidentitäten  10-4=6 funktional unabhängige Gleichungen für 10-4=6 Feldfreiheitsgrade (wegen Koordinatenkovarianz ${{x}^{\mu }}\to x{{'}^{\mu }}$) Linearisierung der Gleichungen

${{R}_{\mu }}_{\nu }=-{\frac {8\pi G}{{c}^{4}}}\left({{T}_{\mu }}_{\nu }-{\frac {1}{2}}{{g}_{\mu }}_{\nu }T\right)$

Ansatz ${{g}_{\mu \nu }}={{\eta }_{\mu \nu }}+{{h}_{\mu }}_{\nu }$mit $\left|{{h}_{\mu }}_{\nu }\right|\ll 1$(schwache Felder)

${{g}_{\mu \sigma }}{{g}^{\sigma }}^{\nu }=\delta _{\mu }^{\sigma }\Rightarrow {{g}^{\mu }}^{\nu }={{\eta }_{\mu \nu }}-{{\eta }^{\mu }}^{\alpha }{{\eta }^{\nu }}^{\beta }{{h}_{\alpha }}_{\beta }$

Nachbemerkung (Zum Vergleich von Elektrodynamik und linearisierter ART) Elektrodynamik (in Potentialform)

$\left.{\begin{aligned}&{{F}^{\alpha }}{{^{\beta }}_{,}}_{\nu }={\frac {4\pi }{c}}{{j}^{\alpha }}\\&{{F}^{\alpha }}^{\beta }={{A}^{\alpha ,\beta }}-{{A}^{\beta ,\alpha }}\\\end{aligned}}\right\}\Rightarrow \square {{A}^{\alpha }}-{{A}^{\beta ,\alpha }}{{_{,}}_{\beta }}={\frac {4\pi }{c}}{{j}^{\alpha }}$

Eichinvarianz bzgl. ${{A}^{\alpha }}\to {{A}^{\alpha }}+{{\partial }^{\alpha }}\chi$. Daher Äquivalente Formulierung der ED:

Linearisierte ART

$\left.{\begin{aligned}&{{R}^{\mu }}^{\nu }-{\frac {1}{2}}{{g}^{\mu }}^{\nu }R=-{\frac {8\pi G}{{c}^{4}}}{{T}^{\mu }}^{\nu }\\&{{g}_{\mu \nu }}={{\eta }_{\mu \nu }}+{{h}_{\mu }}_{\nu }\\\end{aligned}}\right\}\Rightarrow \square {{h}_{\mu }}_{\nu }+...={\frac {16\pi G}{{c}^{4}}}{{S}_{\mu }}_{\nu }$

Bemerkung (Ähnlichkeiten und Unterschiede) Von den linearisierten zu den Einsteinschen Gleichungen -entfällt- Die Schwarzschildlösung und Experimente zur Allgemeinen Relativitätstheorie Das Kugelsymetrische Graviationsfeld (Schwarzschild-Lösung) Bewegung von Teilchen im kugelsymetrischen Gravitationsfeld Lichtablenkung, Periheldrehung, Radarecheo-Effekt, geodätische Präzession Statische Sternmodelle Gravitationsstrahlung

Wellenlösungen Nachweis von Gravitationsstrahlung Übersicht über die durchgeführten und geplanten Experimente zur Allgemeinen Relativitätstheorie Vorbemerkung Der Name „schwaches Äquivalenzprinzip“ steht hier für das was in §11 als Newtonsches und Einsteinsches Äquivalenzptinzip bezeichnet wurde. Das schwache ÄP macht aber Aussagen über den Einfluss eines gegebenen äußeren Gravitationsfeldes auf physikalische Prozesse Das starke Äquivalenzprinzip betrifft die Gravitation selbst, also die Potentiale und deren Bestimmungs-gleichungen. Es besagt: Das Gravitationsfeld ist einzig und allein durch die ${{g}_{\mu \nu }}$gegeben, und diese werden durch die Einsteinschen Feldgleichungen bestimmt [ES GIBT UNTERSCHIEDLICHE DEFINITIONEN DES SCHWACHEN UND STARKEN ÄP] Tests des schwachen Äquvalenzprinzips Eötvös Versuch (mit Vorläufern und Nachfolgern) Galileisches Fallgesetz Newtons „Äquivalenzprinzip“ m=M Test durch Newton: Pendelversuche $T=2\pi {\sqrt {{\frac {\operatorname {l} }{g}}{\frac {m}{M}}}}$für kleine Winkel $\Delta m={\frac {m-M}{m}}\approx {{10}^{-3}}$ Bessel (1784-1846): Pendelversuche $\Delta m\approx {{10}^{-6}}$ Eötvös (1848-1918): Versuche mit der Torosionswage in den Jahren 1880-1919 1922: $\Delta m\approx {{10}^{-9}}$1990$\Delta m\approx {{10}^{-12}}$ Rotverschiebung Bemerkungen über Koordinaten und Eigenzeit SRT ART IS:$v\neq 0$

${\begin{aligned}&d{{s}^{2}}={{\eta }_{\mu \nu }}d{{x}^{\mu }}d{{x}^{\nu }}\\&d\tau ={\frac {1}{c}}{\sqrt {{{\eta }_{\mu \nu }}d{{x}^{\mu }}d{{x}^{\nu }}}}={\sqrt {1-{{\left({\frac {v}{c}}\right)}^{2}}}}dt\\\end{aligned}}$ IS:$v\neq 0$

${\begin{aligned}&d{{s}^{2}}={{\eta }_{\mu \nu }}d{{x}^{\mu }}d{{x}^{\nu }}\\&d\tau ={\frac {1}{c}}{\sqrt {{{\eta }_{\mu \nu }}d{{x}^{\mu }}d{{x}^{\nu }}}}={\sqrt {1-{{\left({\frac {v}{c}}\right)}^{2}}}}dt\\\end{aligned}}$

IS: $v'=0$ (Ruhesystem)

${\begin{aligned}&d{{s}^{2}}={{\eta }_{\mu \nu }}dx{{'}^{\mu }}dx{{'}^{\nu }}\\&d\tau ={\frac {1}{c}}{\sqrt {{{\eta }_{\mu \nu }}dx{{'}^{\mu }}dx{{'}^{\nu }}}}={\sqrt {1-{{\left({\frac {v'}{c}}\right)}^{2}}}}dt'=dt'\\\end{aligned}}$ Allgemeines KS:$v'=0$(Ruhesystem)

${\begin{aligned}&d{{s}^{2}}={{g}_{\mu \nu }}dx{{'}^{\mu }}dx{{'}^{\nu }}\\&d\tau ={\frac {1}{c}}{\sqrt {{{g}_{\mu \nu }}dx{{'}^{\mu }}dx{{'}^{\nu }}}}\\&={\frac {1}{c}}{\sqrt {{{g}_{\mu \nu }}{\frac {dx{{'}^{\mu }}}{dt'}}{\frac {dx{{'}^{\nu }}}{dt'}}}}dt={\sqrt {{g}_{00}}}dt'\end{aligned}}$

Jede in einem Inertialsystem ruhende Uhr misst die Eigenperiode$d\tau$. Unter dem Einfluss der Gravitation musst eine ruhende Uhr eine Periode$dt\neq d\tau$. Nur eine frei fallende Uhr misst $d\tau$. (d..h. eine Uhr im lokalen IS.) Gravitationsrotverschiebung Betrachten zwei identische Uhren in einem statischen Gravitationsfeld (an den Orten A und B)

${\begin{aligned}&A:d{{\tau }_{A}}={\sqrt {{{g}_{00}}\left({{x}^{i}}_{A}\right)}}d{{t}_{A}}\\&B:d{{\tau }_{B}}={\sqrt {{{g}_{00}}\left({{x}^{i}}_{B}\right)}}d{{t}_{B}}\\\end{aligned}}$

Sei $d\tau$der Abstand zwiscehn 2 Wellenbergen und dt die Koordinatenzeit zwischen 2 Wellenberen  $d{{\tau }_{A}}={\frac {1}{{v}_{A}}},d{{\tau }_{B}}={\frac {1}{{v}_{B}}},d{{t}_{A}}=d{{t}_{B}}$ $z:={\frac {{{v}_{A}}-{{v}_{B}}}{{v}_{B}}}={\frac {{v}_{A}}{{v}_{B}}}-1={\sqrt {\frac {{{g}_{00}}\left({{x}^{i}}_{B}\right)}{{{g}_{00}}\left({{x}^{i}}_{A}\right)}}}-1$ mit (z=Rotverschiebungsparameter)

Es gibt 3 Arten der Rotverschiebung Doppler-Verschiebung Gravitationsrotverschiebung Kosmologische Rotverschiebung Messung der gravitativen Rotverschiebung mittels des Mößbauer-Effektes durch Pund&Suider (1965) im Erdfeld:

${\frac {{\left(\Delta \nu \right)}_{\exp }}{{\left(\Delta \nu \right)}_{\text{theo}}}}=1.00\pm 0.01$

Messung der gravitativen Rotverschiebung des Sonnenlichtes die durch das Gravitationsfeld der bewirkt wird (Snider 1972):

${\frac {{\left(\Delta \nu \right)}_{\exp }}{{\left(\Delta \nu \right)}_{\text{theo}}}}=1.01\pm 0.06$(störende Faktoren: Relativgeschwindigkeit: Erde – Sonne termische Bewegung der Atome, Konvektion der solaren Gase)

1980 H2-Maser: ${\frac {{\left(\Delta \nu \right)}_{\exp }}{{\left(\Delta \nu \right)}_{\text{theo}}}}=1\pm {{10}^{-4}}$ Bewegte Uhren (in Flugzeugen, Raketen und Stelliten bestätigen die allg. Beziehung zwischen $d\tau$und dt) Test des starken Äquivalenzprinzips Roberson-Entwicklung für ${{g}_{\mu \nu }}$im schwachen Gravitationsfeld, d.h. für ${\frac {GM}{{{c}^{2}}r}}\ll 1$ (im Sonnenfeld$\approx 2\centerdot {{10}^{-6}}$)

${\begin{aligned}&B\left(r\right)=1-2{\frac {GM}{{{c}^{2}}r}}+2\left(\beta -\gamma \right){{\left({\frac {GM}{{{c}^{2}}r}}\right)}^{2}}+...\\&A\left(r\right)=1+2\gamma {\frac {GM}{{{c}^{2}}r}}+...\\\end{aligned}}$

Für ART: $\beta =\gamma =1$für Newton$\beta =\gamma =0$) Rotverschiebung Test für g00 in erster Näherung (diese Bedingung muss jede Theorie erfüllen) Lichtablenkung, Gravitationswellen

$\Delta \varphi ={\frac {4a}{{r}_{0}}}{\frac {1+\gamma }{2}}$

(Winkel der Lichtablenkung)

Gravitationslinsen: Qusarzwillinge erwiesen sich als 2 Bilder eines Quasars, dessen Radiowellen durch eine zwischen uns und dem Quasar befindlichen („Gravitationslinse“) Periheldrehung

$\Delta \varphi ={\frac {6\pi a}{p}}{\frac {2-\beta +2\gamma }{3}}$(Drehung pro Umlauf)

Unter verwendung des aus anderen Beobachtungen gegeben $\gamma$-Wertes erhielt man 1989/90:

$\beta =1\pm 0.003$

Radarecho-Effekt

$\delta t={\frac {4a}{c}}\left[1+{\frac {1+\gamma }{2}}\ln \left({\frac {4{{r}_{E}}{{r}_{R}}}{R_{\odot }^{2}}}\right)\right]$Für Venusreflektor $\gamma =1.000\pm 0.002$

Präzession von Kreiseln Kreisel „Erde-Mond“ (1988-1996) 1% genauigkeit d geod. Präzession Standford Satelliten Exp. Zur Messung der geodätischen Präzession und des Thirring-Lense Effekts: Demnächst sollen Resultat gefunden werden. Nordvedt-Effekt Abstand „Erde-Mond“-Messung liefert Doppelpulsarsystem Indirekter Nachweis der Gravitationsstrahlung am Doppelpulsarsystem PSR 1913+16 Zusammenfassung Die ART ist für schwache Gravitationsfelder hervorragen bestätigt Für starke Felder können astrophysikalische und kosmologische Untersuchungen als Tests dienen.

Vorlesung ART II

Zusammenfassende Darstellung der Grundlagen der ART Hamilton Lagrange Formalismus für Feldtheorie (Ableitung der Einsteinschen Feldgleichungen aus einem Variationsprinzip) Allgemeines Schema Hamiltonsches Wirkungsprinzip

$\delta S=0$für Euler-Variation von

$\delta \phi$

der Variation von

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle & \phi }

wobei $S=\int {L\left(\phi ,\delta \phi \right)}dt$das Wirkungsintegral ist (L:=Lagrangefunktion)

Jeweilige Symmetrieforderung (aller Arten von Relativitätsprinzipien) werden automatisch erfüllt Aber beim Start mit Hamiltonfunktion (bzw. Hamiltondichte) bedarf es der speziellen Prüfung Systeme mit endlichen Anzahl von Freiheitsgraden (Mechanik) Voraussetzung L enthält nur erste Ableitung von Variablen ${{q}^{i}},{{\dot {q}}^{i}}$ Geschwindigkeitsphasenraum (Konfigurationsraum q^i (Verallgemeinerte Koordinaten), Konfigurationsraum ${{\dot {q}}^{i}}$(${{\dot {q}}^{i}}={{d}_{t}}{{q}^{i}}$ verallgemeinerte Geschwindigkeiten) i=1..N (N Freiheitsgrade) Lagrange Funktion $L=L\left({{q}^{i}},{{\dot {q}}^{i}}\right)$bzw. $L=L\left({{q}^{i}},{{\dot {q}}^{i}},t\right)$ Hamilton Prinzip: Für die Teilchenbahn ist

$S=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{L\left({{\dot {q}}^{i}},{{q}^{i}}\right)dt}$

Bezüglich Euler-Variation der ${{q}^{i}}$stationär. (

$\delta S=\delta \int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{L\left({{\dot {q}}^{i}},{{q}^{i}}\right)dt}=0$

wobei $\delta {{q}^{i}}\left({{t}_{1}}\right)=\delta {{q}^{i}}\left({{t}_{2}}\right)=0$

Euler-Lagrange-Gleichung (Mechanik)

${\frac {\delta L}{\delta {{q}^{i}}}}:={\frac {\partial L}{\partial {{q}^{i}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}^{i}}}}=0$Euler-Variation des Wirkungsintegrals ist gleich der Funktionalableitung von L.

Zusatzterme der Form ${\frac {dF\left({{q}^{i}}\right)}{dt}}$sind „wirkungslos“ (verändern die resultierende Bewegungsgleichung nicht.) Also $L=L\left({{\dot {q}}^{i}},{{q}^{i}}\right)+{\frac {dF\left({{q}^{i}},t\right)}{dt}}$ sind hinsichtlich Euler-Variation äquivalent zu L: Warum?

$\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{{L}'\left({{\dot {q}}^{i}},{{q}^{i}}\right)dt}=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{L\left({{\dot {q}}^{i}},{{q}^{i}}\right)dt}+F\left({{q}^{i}},{{t}_{1}}\right)-F\left({{q}^{i}},{{t}_{2}}\right)$

so daß wegen $\delta {{q}^{i}}\left({{t}_{1}}\right)=\delta {{q}^{i}}\left({{t}_{2}}\right)=0$gilt

$\delta \int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{{L}'\left({{\dot {q}}^{i}},{{q}^{i}}\right)dt}=\delta \int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{L\left({{\dot {q}}^{i}},{{q}^{i}}\right)dt}$

. Für den Fall, dass L auch von der 2. Ableitung abhängt muss man fordern, dass $\delta {{q}^{i}}\left({{t}_{1}}\right)=\delta {{q}^{i}}\left({{t}_{2}}\right)=0$und $\delta {{\dot {q}}^{i}}\left({{t}_{1}}\right)=\delta {{\dot {q}}^{i}}\left({{t}_{2}}\right)=0$Dann sind $L=L\left({{q}^{i}},{{\dot {q}}^{i}},{{\ddot {q}}^{i}},t\right)$, ${L}'=L+{\frac {dF}{dt}}$mit $F=F\left({{q}^{i}},{{\dot {q}}^{i}},{{\ddot {q}}^{i}}\right)$Euler-Äquivalent Systeme mit einer kontinuierlichen unendlichen Anzahl von Freiheitsgraden (klassische Feldtheorie) (Canonical Gravity: From Classical to Quantum, J. Ekler, H Fredrich (eds. Springer 1994) (A.Wipf) Tabelle 1 Vergleich von Mechanik und Feldtheorie Mechanik Feldtheorie

${{q}^{i}}\left(t\right)=q\left(t,i\right)$(Endliche Anzahl an Freiheitsgraden) $\varphi \left(t,{{x}^{b}},a\right)={{\varphi }^{a}}\left(t,{{x}^{b}}\right)={{\varphi }^{a}}\left({{x}^{\alpha }}\right)$kontinuierliche und endliche Freiheitsgrade (a))

(z.B. elektrodynamisches Potential ${{A}^{\mu }}$oder skalares Potential $\varphi$)

${{\dot {q}}^{i}}$ ${{\dot {\varphi }}^{a}}\left({{x}^{\alpha }}\right)$

Weitere Übersetzungen (Math. Operationen, …) Tabelle 2 Vergleich von Mechanik und Feldtheorie Mechanik Feldtheorie

$\sum \limits _{i}{{{\dot {q}}^{i}}{{\dot {q}}^{i}}}$ $\sum \limits _{\alpha }{{{\dot {\varphi }}^{a}}\left({{x}^{\mu }}\right){{\dot {\varphi }}^{a}}\left({{x}^{\mu }}\right){{d}^{4}}x}$

$F\left({{q}^{i}},{{\dot {q}}^{i}}\right)$ $F\left({{\varphi }^{a}}\left({{x}^{\alpha }}\right),{{\dot {\varphi }}^{a}}\left({{x}^{\alpha }}\right)\right)$

${\frac {\partial f}{\partial {{q}^{i}}}}$ ${\frac {\delta F}{\delta {{\varphi }^{a}}\left({{x}^{\mu }}\right)}}$

(Der Konfigurationsraum muss entsprechend oft genug differenzierbar sein.) Lagrangian und Wirkungsintegral … Hamiltonsches Prinzip Tabelle 3 Vergleich von Mechanik und Feldtheorie Mechanik Feldtheorie

$L\left({{q}^{i}},{{\dot {q}}^{i}}\right)$ $L=\int \limits _{{V}^{3}}{{\mathcal {L}}\left({{\varphi }^{a}},{{\dot {\varphi }}^{a}},{{\partial }_{k}}\varphi ,t\right){{d}^{3}}x}$${\mathcal {L}}$= Lagrangedichte (lokale Feldtheorie)

$S=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{L\left({{\dot {q}}^{i}},{{q}^{i}}\right)dt}$

$S=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{Ldt}=\int \limits _{{V}^{4}}{{\mathcal {L}}\left({{\varphi }^{a}},{{\dot {\varphi }}^{a}},{{\partial }_{k}}\varphi ,t\right){{d}^{3}}xdt}$

$\delta S=\delta \int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{L\left({{\dot {q}}^{i}},{{q}^{i}}\right)dt}=0$

$\delta S=\delta \int \limits _{{V}^{4}}{{\mathcal {L}}{{d}^{4}}x}=0$

$\delta {{q}^{i}}\left({{t}_{1}}\right)=\delta {{q}^{i}}\left({{t}_{2}}\right)=0$ $\partial \varphi {{|}_{\partial {{V}^{4}}}}=0$

Lagrange Dynamik bzw. ELG der freien Teilchen Tabelle 4 Vergleich von Mechanik und Feldtheorie Mechanik Feldtheorie

${\frac {\partial L}{\partial {{q}^{i}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}^{i}}}}=0$ ${{\partial }_{\mu }}\left({\frac {\partial L}{{{\partial }_{\mu }}\left({{\partial }_{\mu }}{{\varphi }^{a}}\right)}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial {{\varphi }^{a}}}}$

Ableitung der Einsteinschen Gleichungen durch Variation nach g Vorbemerkung zu Integralen im Riemannschen Raum: Integrale können nur überskalare Dichten $\rho$gebildet werden. Alle andere wäre sinnlos Also:

$\rho :\rho '=\left|{\frac {\partial x}{\partial x'}}\right|\rho$(Allgemeine Definition)

$\int {\rho {{d}^{4}}x}:=\int {\int {\int {\int {\rho d{{x}^{0}}d{{x}^{1}}d{{x}^{2}}d{{x}^{3}}}}}}$

Denn: Es kommen nur skalare („indexfreie“) Objekte als Integrand in Frage Es dürfen keine gemeinsamen Skalare sein, da ${{d}^{4}}x'=\left|{\frac {\partial x'}{\partial x}}\right|{{d}^{4}}x$ Also $\int {\rho '{{d}^{4}}x'}=\int {\rho {{d}^{4}}x}={\text{Skalar}}$ Man kann skalare Dichte immer aus Skalar duch Multiplikation mit ${\sqrt {-g}}$ erhalten, weil ${\sqrt {-g'}}=\left|{\frac {\partial x}{\partial x'}}\right|{\sqrt {-g}}$ Gaußscher Satz gilt nur für skalare Dichten z.B. ${{J}^{\alpha }}_{;\alpha }{\sqrt {-g}}$nicht aber für ${{T}^{\alpha }}{{^{\beta }}_{;}}_{\alpha }{\sqrt {-g}}$. Einstein Gleichungen Einstein Hilbertsches Wirkungsintegral SEH

${{S}_{EH}}=\int \limits _{{V}_{4}}{\left(R+2\kappa {{L}_{Mat}}\right){\sqrt {-g}}{{d}^{4}}x}$

Mit

${{L}_{Mat}}$

= kovariant geschriebene Lagrangefunktion für die das Gravitationspotential ${{g}_{\mu \nu }}$erzeugenden Terme Einsteinsches Wirkungsintegral SE

${\begin{aligned}&R={\frac {1}{\sqrt {-g}}}{{\left[{\sqrt {-g}}\left(-{{g}^{\mu }}^{\nu }\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }+{{g}^{\mu }}^{\alpha }\Gamma _{\mu \nu }^{\nu }\right)\right]}_{,\alpha }}+{{L}_{E}}\left(g,\Gamma \right)\\&{{L}_{E}}={{g}^{\mu }}^{\nu }\left(\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }\Gamma _{\alpha \beta }^{\beta }-\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }\Gamma _{\nu \alpha }^{\beta }\right)\\&{{S}_{EH}}=\int \limits _{{V}_{4}}{\left({{L}_{E}}+2\kappa {{L}_{Mat}}\right){\sqrt {-g}}{{d}^{4}}x}+\int \limits _{{V}_{4}}{{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{{\left[{\sqrt {-g}}\left(-{{g}^{\mu }}^{\nu }\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }+{{g}^{\mu }}^{\alpha }\Gamma _{\mu \nu }^{\nu }\right)\right]}_{,\alpha }}{\sqrt {-g}}{{d}^{4}}x}\\\end{aligned}}$

Der Term

$\int \limits _{{V}_{4}}{{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{{\left[{\sqrt {-g}}\left(-{{g}^{\mu }}^{\nu }\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }+{{g}^{\mu }}^{\alpha }\Gamma _{\mu \nu }^{\nu }\right)\right]}_{,\alpha }}{\sqrt {-g}}{{d}^{4}}x}$

liefert keinen Betrag zu $\delta S$da es sich beim Integranden um enie Divergenz ${{\partial }_{\nu }}{{K}^{\nu }}$handelt (s.o.).

$\delta {{S}_{EH}}=\delta {{S}_{E}}=0\Rightarrow {{R}_{\mu }}_{\nu }-{\frac {1}{2}}{{g}_{\mu \nu }}R=\kappa {{T}_{\mu }}_{\nu }$mit ${{T}_{\mu }}_{\nu }:={\frac {2}{\sqrt {g}}}{\frac {\delta \left({\sqrt {-g}}{{L}_{Mat}}\right)}{\delta {{g}^{\mu }}^{\nu }}}$

Ableitung der Einsteinschen Vakuum-Gleichungen mittels der Palatini-Variation (von Einstein „gemischte“ und von Wegl „neutrale“Variation genannt) Im Riemannschen Raum gilt${{g}_{\mu \nu }}{{_{;}}_{\rho }}=0{\underset {\Gamma _{\left[\mu \nu \right]}^{\alpha }=0}{\longleftrightarrow }}\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }=\left\{_{\mu \nu }^{\alpha }\right\}$Daher ist dann nur die obrige metrische Variation möglich. Nehmen wir an, dass man in einem Raum ist, der durch eine Metrik ${{g}^{\mu }}^{\nu }$und eine symmetrische Konnerktion $\Gamma$charakterisiert ist. Dann kann man nach g und l‘ variieren. Resultat:$\int {R{\sqrt {-g}}{{d}^{4}}x}={{L}_{G}}$ Variation von

${{L}_{G}}$

nach $\Gamma$zu:

${{g}_{\mu \nu }}{{_{;}}_{\rho }}=0\to {\text{f }}\!\!{\ddot {\mathrm {u} }}\!\!{\text{ r }}\Gamma _{\left[\mu \nu \right]}^{\alpha }=0{\text{ gilt }}\Gamma {\text{=}}\left\{{}\right\}$

Damit führt Variation von

${{L}_{G}}$

nach ${{g}^{\mu }}^{\nu }$zu

${{R}_{\mu }}_{\nu }=0$

Erhaltungssätze und Bewegungsgleichungen in der ART Spezielle Relativitätstheorie Es gilt Energie-Impuls-Erhaltung

${{T}^{\alpha }}{{^{\beta }}_{,}}_{\beta }=0\Rightarrow {{p}^{\alpha }}={\frac {1}{c}}\int \limits _{{V}^{3}}{{{T}^{\alpha }}^{0}{{d}^{3}}x}={\text{const}}$

ART

${{T}^{\alpha }}{{^{\beta }}_{,\beta }}=0{\xrightarrow[{{\text{ }}\!\!{\ddot {\mathrm {A} }}\!\!{\text{ quivalenzprinzip}}}]{}}{{T}^{\alpha }}{{^{\beta }}_{;\beta }}=0$

${{T}^{\alpha }}{{^{\beta }}_{;\beta }}=0\Rightarrow {{\left({\sqrt {-g}}{{T}^{\alpha }}^{\beta }\right)}_{,\beta }}=-{\sqrt {-g}}{{T}^{\mu }}^{\nu }\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }\neq 0$ keine Energie Impuls Erhaltung

In der ART sind die Gleichungen ${{T}^{\alpha }}{{^{\beta }}_{;\beta }}=0$keine Energie Impuls Erhaltungssätze sondern Bewegungsgleichungen. Beispiel Ideale Flüssigkeit:

${\begin{aligned}&{{\left[{\frac {\mu +p}{{c}^{2}}}{{u}^{\alpha }}{{u}^{\beta }}-p{{g}^{\alpha }}^{\beta }\right]}_{;}}_{\beta }=0\Rightarrow \left({\frac {\mu +p}{{c}^{2}}}\right){{u}^{\alpha }}{{_{\mathrm {;} }}_{\beta }}{{u}^{\beta }}=\underbrace {\left({{g}^{\alpha }}^{\beta }-{\frac {1}{{c}^{2}}}{{u}^{\alpha }}{{u}^{\beta }}\right)} _{{{h}^{\alpha }}^{\beta }}{{p}_{;}}_{\beta }\\&{\xrightarrow {{{g}^{\alpha }}^{\beta }{{p}_{\mathrm {;} }}_{\beta }=0}}{{u}^{\alpha }}{{_{\mathrm {;} }}_{\beta }}{{u}^{\beta }}=0\\\end{aligned}}$

Die kovariante Herleitung und Formulierung dieses Sachverhaltes lautet:

SRT

ART

${{T}^{\alpha }}{{^{\beta }}_{\mathrm {;} }}_{\alpha }=0\to \int \limits _{{V}_{4}}{{{T}^{\alpha }}{{^{\beta }}_{\mathrm {;} }}_{\beta }{{d}^{4}}x=0}$

Hier bricht die Argumentationskette aber ab, da für Tensorfelder 2ter und höherer Stufe im Riemannschen Raum kein Gaußscher Satz gilt. Es folgt also kein integraler Erhaltungssatz. Es existieren Killing Vektoren${{\xi }_{\mu }}$:${{\xi }_{\mu }}{{_{\mathrm {;} }}_{\nu }}+{{\xi }_{\nu }}{{_{\mathrm {;} }}_{\mu }}=0$

${{\left({{\xi }_{\nu }}{{T}^{\mu }}^{\nu }\right)}_{\mathrm {;} }}_{\mu }$ist die Divergenz eines Tensors 1. Stufe für den der Gaußsche Satz gilt

${{\left({{\xi }_{\nu }}{{T}^{\mu }}^{\nu }\right)}_{\mathrm {;} }}_{\mu }=\underbrace {{{\xi }_{\nu }}{{_{\mathrm {;} }}_{\mu }}{{T}^{\mu }}^{\nu }} _{=0}+\underbrace {{{\xi }_{\nu }}{{T}^{\mu }}{{^{\nu }}_{\mathrm {;} }}_{\mu }} _{=0}=0$

$\to \int \limits _{{{x}^{0}}={\text{const}}}{{{\xi }_{\nu }}{{T}^{\mu }}^{\nu }d{{f}^{\mu }}}=\int \limits _{{{x}^{0}}={\text{const}}}{{{\xi }_{\nu }}{{T}^{0}}^{\nu }{{d}^{3}}x}={\text{const}}$

Im übrigen gilt

${\begin{aligned}&{{T}^{\alpha }}{{_{\mathrm {;} }}_{\alpha }}={\frac {1}{\sqrt {-g}}}{{\left({\sqrt {-g}}{{T}^{\alpha }}\right)}_{\mathrm {,} }}_{\alpha }\\&\Rightarrow \int \limits _{{V}_{4}}{{{\left({\sqrt {-g}}{{T}^{\alpha }}\right)}_{\mathrm {,} }}_{\alpha }{{d}^{4}}x}=\int \limits _{\partial {{V}_{4}}}{\left({\sqrt {-g}}{{T}^{\alpha }}\right)d{{f}_{\alpha }}}\\&\left({{T}^{\alpha }}:={{\xi }_{\beta }}{{T}^{\alpha }}^{\beta }\right)\\\end{aligned}}$

Lineare Näherung der Feldgleichungen Vorbemerkungen (Elektrodynamik) Elektrodynamik: 4 algebraisch unabhängige Gleichungen 1 Differentialidentität  4-1=3 funktional unabhängige Gleichungen für 4-1=3 Feldfreiheitsgrade (wegen Eichfreiheit ${{A}^{\alpha }}\to {{A}^{\alpha }}+{{d}^{\alpha }}\chi$ ART 10 algebraisch unabhängige Gleichungen ${{R}^{\mu }}^{\nu }-{\frac {1}{2}}{{g}^{\mu }}^{\nu }R=-{\frac {8\pi G}{{c}^{4}}}{{T}_{\mu }}_{\nu }$ 4 Differentialidentitäten  10-4=6 funktional unabhängige Gleichungen für 10-4=6 Feldfreiheitsgrade (wegen Koordinatenkovarianz ${{x}^{\mu }}\to x{{'}^{\mu }}$) Beispiele $diag\left(1;-1;-1;-1\right){\text{ und diag}}\left(1;-1;-{{r}^{2}};-{{r}^{2}}{{\sin }^{2}}\theta \right)$sind Lösungen der Gleichungen ${{R}_{\mu }}_{\nu }=0$ Gravitationsstrahlung

Gravitationswellen (ebene Wellen) Lösungen der Wellengleichung $\square {{h}_{\mu }}_{\nu }=0$ Wieder zum Vergleich: Elektrodynamik $\square {{A}^{\alpha }}=0$Feldgleichungen ${{A}^{\alpha }}{{_{\mathrm {,} }}_{\alpha }}=0$Eichbedingungen ${{A}^{0}}=0$(1 Zusatzbedingung, die im Vakuumfall wegen der Invarianz der Feldgleichungen bezüglich ${{A}^{\alpha }}\to {{A}^{\alpha }}+{{\partial }^{\alpha }}\chi$ mit $\square \chi =0$möglich ist Daraus folgt dass nur 2 unabhängige Felder (bzw. Feldfreiheitsgrade) existieren Ansatz: Ebene Wellen

${{A}^{\alpha }}={{e}^{\alpha }}\exp \left(-{{k}_{\beta }}{{x}^{\beta }}\right)+c.c.$mit ${{k}_{\beta }}=\left(\omega /c,{{k}^{i}}\right),\left|k\right|:={\frac {2\pi }{\lambda }},{{x}^{\beta }}:=\left(ct,{{x}^{i}}\right)$

${{e}^{\alpha }}{{k}_{\alpha }}=0$ ${{e}^{\alpha }}=\left(0,{{e}^{i}}\right)$ Also Welle in x3-Richtung

$\left({{A}^{\alpha }}\right)=\left(\underbrace {0} _{\left(c\right)},{{e}^{1}},{{e}^{2}},\underbrace {0} _{\left(b\right)}\right)\exp \left(ik\left(\underbrace {{x}^{3}} _{\left(a\right)}-ct\right)\right)+c.c.$

Lineareisierte ART $\square {{h}_{\mu }}_{\nu }=0$(Feldgleichungen) $2{{h}^{\mu }}{{_{\nu }}_{\mathrm {,} }}_{\mu }={{h}^{\mu }}{{_{\mu }}_{\mathrm {,} }}_{\nu }$(Eichbedingungen) 4 Zusatzbedingungen, die im Vakuumfall wegen der Invarianz der Feldgleichungen bezüglich möglich sind Es exisitieren also nur 2 unabhängige Felder Ansatz: Ebene Welle

${{h}_{\mu }}_{\nu }={{e}_{\mu }}_{\nu }\exp \left[-i{{k}_{\beta }}{{x}^{\beta }}\right]+c.c.$

$2{{\eta }^{\mu }}^{\rho }{{e}_{\rho }}_{\nu }{{k}_{\mu }}={{e}_{\rho }}_{\mu }{{\eta }^{\rho }}^{\mu }{{k}_{\nu }}$ Dazu gilt die Annahme einer Welle, die in x3-Richtung läuft ${{h}_{\mu }}_{\nu }={{e}_{\mu }}_{\nu }\exp \left[ik\left({{x}^{3}}-ct\right)\right]+c.c.$

$\left({{h}_{\mu }}_{\nu }\right)=\left({\begin{matrix}0&0&0&0\\0&{{e}_{11}}&{{e}_{12}}&0\\0&{{e}_{12}}&-{{e}_{11}}&0\\0&0&0&0\\\end{matrix}}\right)\exp \left[ik\left({{x}^{3}}-ct\right)\right]+c.c$

Explizit sichtbar das nur 2 unabhängige Felder nämlich e11 und e12 existieren Energie und Impuls der ebenen Wellen

${{t}_{\mu }}_{\nu }={\frac {{c}^{4}}{8\pi G}}{{k}_{\mu }}{{k}_{\nu }}\left({{\left|{{e}_{11}}\right|}^{2}}+{{\left|{{e}_{12}}\right|}^{2}}\right)$

Linear polarisierte Welle e11=h, e12=0 oder andersrum

${{t}_{\mu }}_{\nu }={\frac {{c}^{4}}{8\pi G}}{{k}_{\mu }}{{k}_{\nu }}{{h}^{2}}$

Und wenn in x3-Richtung $\left({{k}^{\alpha }}\right)=\left(\omega /c,0,0,\omega /c\right)$dann folgt daraus

${\begin{aligned}&{\text{Energiestromdichte=}}{\frac {\text{Energie}}{{\text{Zeit }}\centerdot {\text{Fl }}\!\!{\ddot {\mathrm {a} }}\!\!{\text{ che }}\left({\text{in }}{{\text{x}}^{3}}Richtung\right)}}\\&={{\Phi }_{GW}}:=c{{t}_{03}}={\frac {{c}^{3}}{8\pi G}}{{\omega }^{2}}{{h}^{2}}\\\end{aligned}}$

Quadropulstrahlung Welcher Art ist die Strahlung? Dazu Quellterme mit betrachten. Elektrodynmaik (elektromagentische Strahlung) Räumlich begrenzte zeitlich periodische Ladungsverteilung

${{j}_{\alpha }}\left({{x}^{i}},t\right)={{j}_{\alpha }}\left({{x}^{i}}\right){{e}^{-i\omega t}}+cc$

Retardierte Potentiale:

${\begin{aligned}&{{A}_{\mu }}\left({{x}^{i}},t\right)={\frac {1}{c}}\int {{{d}^{3}}x'{\frac {{{j}_{\mu }}\left(x{{'}^{i}},t-\left|x{{'}^{i}}-{{x}^{i}}\right|{{c}^{-1}}\right)}{\left|x{{'}^{i}}-{{x}^{i}}\right|}}}\\&={\frac {1}{c}}\exp \left(-i\omega t\right)\int {{{d}^{3}}x'{{j}_{\mu }}\left(x{{'}^{i}}\right){\frac {\exp \left(ik\left|x{{'}^{i}}-{{x}^{i}}\right|\right)}{\left|x{{'}^{i}}-{{x}^{i}}\right|}}}+cc\\&={{A}_{\mu }}\left({{x}^{i}}\right)\exp \left(-i\omega t\right)+cc\end{aligned}}$

Frequenz der Potentiale = Frequenz der Ladungsverteilung Annahmen Betraten asymptotische Felder, d.h. nehmen an dass ${{r}_{0}}\ll r\Rightarrow \left|{{x}^{i}}-x{{'}^{i}}\right|=r-{\frac {{{x}^{i}}{{x}_{i}}}{r}}+...$ Machen Langewellen-Näherung d.h. nehmen an dass ${{r}_{0}}\ll \lambda$daraus folgt für die räumlichen Komponenten ${{A}_{n}}\left({{x}^{i}}\right)={\frac {\exp \left(ikr\right)}{cr}}\int {{{d}^{3}}x'{{j}_{n}}\left(x{{'}^{i}}\right)}-{\frac {\exp \left(ikr\right)}{r}}\int {{{d}^{3}}x'{{j}_{n}}\left(x{{'}^{i}}\right){{k}_{j}}x{{'}^{j}}}$ Mit der Kontinuitätsgleichung folgt

Kosmologische Lösungen der Einsteinschen Gleichungen Übersicht über die Grundlagen der Kosmologie und die wichtigsten Weltmodelle Metagalaxis $R\simeq 10Lj$

${\begin{aligned}&{{\mathsf {M}}_{\odot }}=2\centerdot {{10}^{30}}{\mathsf {kg}}\\&1{\mathsf {Lj}}=9,46\centerdot {{10}^{15}}{\mathsf {m}}\\&1{\mathsf {pc}}=3,26{\mathsf {Lj}}\\\end{aligned}}$

Galaxien: Galaxienhaufen: (1.5) Die über ein Raaster von 108Lj gemittelte Materie ist homogen und isotrop verteilt. (es existiert ein homogener und isotroper Hubble-Fluss Friedmann – Roberson Walker Metrik (s. Goenner 14.1) Annomalien über die Materie und die Metrik Kontinuumsmodell (idealesGas bzw. ideale Flüssigkeit)

${{T}^{\alpha }}^{\beta }=\left(\rho +{\frac {p}{{c}^{2}}}\right){{u}^{\alpha }}{{u}^{\beta }}-P{{g}^{\alpha }}^{\beta }$

Es existiert ein durch x0=const gezeichnetes momentanes Ruhesystem der Materie (mitbewegtes Bezugssystem) Das heißt ${{u}^{\alpha }}\left(=\delta _{0}^{\alpha }\right)\bot {{x}^{0}}={\text{const}}-Fl{\ddot {a}}che$ und

${\begin{aligned}&{{u}^{\alpha }}={\frac {d{{x}^{\alpha }}}{d\tau }}={\frac {1}{\sqrt {{g}_{00}}}}{\frac {d{{x}^{\alpha }}}{d{{x}^{0}}}}={\frac {1}{\sqrt {{g}_{00}}}}\delta _{0}^{\alpha }\\&{{n}_{\alpha }}=\varphi ,\alpha =\delta _{\alpha }^{0}\\\end{aligned}}$

… Also

$d{{s}^{2}}={{g}_{00}}\left({{x}^{0}},{{x}^{k}}\right){{c}^{2}}d{{t}^{2}}+{{g}_{ik}}\left({{x}^{0}},{{x}^{k}}\right)d{{x}^{i}}d{{x}^{k}}$

Die Weltlinien der Materie sind zeitartige Geodäten

$d_{s}^{2}{{x}^{\alpha }}+\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }{{d}_{s}}{{x}^{\mu }}{{d}_{s}}{{x}^{\nu }}=0$

(1) + (2)  ${{g}_{00,i}}=0$ Also

$d{{s}^{2}}={{g}_{00}}\left({{x}^{0}}\right){{c}^{2}}d{{t}^{2}}+{{g}_{ij}}\left({{x}^{0}},{{x}^{k}}\right)d{{x}^{i}}d{{x}^{j}}$

(1.6) Bzw mit Koordinatentransformation ${{\bar {x}}^{0}}=\int _{0}^{x}{{\sqrt {{{g}_{00}}\left(u\right)}}du}$

$d{{s}^{2}}={{\left(d{{\bar {x}}^{0}}\right)}^{2}}+{{g}_{ij}}\left({{x}^{0}},{{x}^{k}}\right)d{{x}^{i}}d{{x}^{j}}$

(1.6) Der Hubble Fluß der kosmischen Materie ist homogen und isotrop, d.h. das Verhältnis der Raumschnitte ${{\bar {x}}^{0}}={\text{const}}$zu verschiedene Epochen ${{\bar {x}}^{0}}$ und ${{\bar {x}}^{0}}+d{{\bar {x}}^{0}}$ ist nur eine Funktion der kosmischen Zeit:

${\begin{aligned}&{\frac {d{{s}^{2}}{{|}_{{{\bar {x}}^{0}}+\delta {{\bar {x}}^{0}}={\text{const}}}}}{d{{s}^{2}}{{|}_{{{\bar {x}}^{0}}={\text{const}}}}}}=1+\delta {{\bar {x}}^{0}}h\left({{\bar {x}}^{0}}\right)+O\left({{\left(\delta {{\bar {x}}^{0}}\right)}^{2}}\right)\\&\Rightarrow {{g}_{ik}}\left({{\bar {x}}^{0}},{{x}^{k}}\right)={{S}^{2}}\left({{\bar {x}}^{0}}\right){{\gamma }_{ij}}\left({{x}^{k}}\right)\\&\Rightarrow d{{s}^{2}}={{\left(d{{\bar {x}}^{0}}\right)}^{2}}+{{S}^{2}}\left({{\bar {x}}^{0}}\right){{\gamma }_{ij}}\left({{x}^{k}}\right)\\\end{aligned}}$

Kosmologisches Prinzip: In unserer Epoche ist kein Ort im Raumschnitt ${{\bar {x}}^{0}}={\text{const}}$vor einem anderen ausgezeichnet, d.h. der 3Dimensionale Ortsraum ist homogen und isotrop. Daraus folgt

Beispiel k=+1 S3:${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+{{w}^{2}}=1$(Einheitsspähre) Durch Einbettung in einen 4-dimensionalen euklidischen Raum mit dem Linienelement $d{{\sigma }^{4}}=d{{x}^{2}}+d{{y}^{2}}+d{{z}^{2}}+d{{\omega }^{2}}$und geeigneten Koordinaten erhält man