Die Hamilton-Jacobi-Theorie

Die Hamilton- Jacobi- Theorie:

Strategie: Suche eine kanonische Trafo, die alle Koordinaten zu zyklischen macht.

Hamilton-Jacobische Differenzialgleichung

Der einfachste Fall, bei dem alle Koordinaten zyklisch sind:

${\bar {H}}\equiv 0$

Allgemeiner wähle man speziell als Erzeugende der kanonischen Trafo:

${{M}_{2}}({\bar {q}},{\bar {P}},t)=:S$

dann suchen wir die folgende Trafo:

${\begin{aligned}&({\bar {q}},{\bar {p}})\to \left({\bar {Q}},{\bar {P}}\right)\\&H({\bar {q}},{\bar {p}},t)\to {\bar {H}}\left({\bar {Q}},{\bar {P}}\right)=H+{\frac {\partial S}{\partial t}}\\\end{aligned}}$

mit

${\begin{aligned}&{{p}_{k}}={\frac {\partial S}{\partial {{q}_{k}}}}\\&{{Q}_{k}}={\frac {\partial S}{\partial {{P}_{k}}}}\\\end{aligned}}$

So dass:

${\bar {H}}\left({\bar {Q}},{\bar {P}}\right)=H\left({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{\frac {\partial S}{\partial {{q}_{1}}}},...,{\frac {\partial S}{\partial {{q}_{f}}}},t\right)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0$

Dies ist eine Differenzialgleichung zur Bestimmung von S und der Koordinaten P und Q, die so genannte

Hamilton- Jacobi- Differenzialgleichung.

Eine nichtlineare partielle Differenzialgleichung erster Ordnung für ${\begin{aligned}&S({\bar {q}},{\bar {\alpha }},t)\\&{{\alpha }_{k}}={{P}_{k}}=const.\\\end{aligned}}$

Also haben wir nur Abhängigkeit von f+1 Variablen: ${\bar {q}},t$

Die kanonischen Gleichungen lauten:

${\begin{aligned}&{{\dot {P}}_{k}}=-{\frac {\partial H}{\partial {{Q}_{k}}}}\equiv 0\Rightarrow {{P}_{k}}={{\alpha }_{k}}=cons\\&{{\dot {Q}}_{k}}={\frac {\partial {\bar {H}}}{\partial {{P}_{k}}}}\equiv 0\Rightarrow {{Q}_{k}}={{\beta }_{k}}=const\\\end{aligned}}$

Lösungsschema für die Hamilton- Jacobi DGL:

${\begin{aligned}&H({\bar {q}},{\bar {p}},t)\\&{{p}_{k}}={\frac {\partial S}{\partial {{q}_{k}}}}\\&H({\bar {q}},{\frac {\partial S}{\partial {\bar {q}}}},t)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0\quad Ham.Jac.DGL\\\end{aligned}}$

1. Lösung der Ham- Jacobi-DGL:

${\begin{aligned}&S({\bar {q}},{\bar {\alpha }},t)\\&{{\alpha }_{k}}={{P}_{k}}=const.\\\end{aligned}}$

1. Aus der Erzeugenden

$S({\bar {q}},{\bar {\alpha }},t)$ folgt:

${{Q}_{k}}={\frac {\partial S({\bar {q}},{\bar {\alpha }},t)}{\partial {{\alpha }_{k}}}}={{\beta }_{k}}$

mit der implizierten Umkehrung:

${{q}_{j}}={{q}_{j}}({\bar {\alpha }},{\bar {\beta }},t)$

möglich wegen

$\det {\frac {{{\partial }^{2}}S({\bar {q}},{\bar {\alpha }},t)}{\partial {{\alpha }_{k}}\partial {{q}_{l}}}}\neq 0$

Somit ergeben sich f Gleichungen für q1,...qf

4. ${{p}_{j}}={\frac {\partial S}{\partial {{q}_{j}}}}={{p}_{j}}\left({\bar {q}},{\bar {\alpha }},t\right)={{p}_{j}}\left({\bar {q}}({\bar {\alpha }},{\bar {\beta }}),{\bar {\alpha }},t\right)$

5. Bestimmung von ${\bar {\alpha }},{\bar {\beta }}$ aus den Anfangsbedingungen:

In drei (3.): ${{q}_{j}}(0)={{q}_{j}}({\bar {\alpha }},{\bar {\beta }},0)$

In vier ( 4.): ${{p}_{j}}(0)={{p}_{j}}\left({\bar {\alpha }},{\bar {\beta }},0\right)$

${\begin{aligned}&\Rightarrow {\bar {\alpha }}({\bar {q}}(0),{\bar {p}}(0))\\&{\bar {\beta }}({\bar {q}}(0),{\bar {p}}(0))\\\end{aligned}}$

Nach Gleichungen 3) und 4) ist damit ${{q}_{j}}(t)$ und ${{p}_{j}}(t)$ bestimmt

Physikalische Bedeutung von S:

${\begin{aligned}&{\frac {dS}{dt}}=\sum \limits _{j}{}{\frac {\partial S}{\partial {{q}_{j}}}}{{\dot {q}}_{j}}+{\frac {\partial S}{\partial t}}=\sum \limits _{j}{}{{p}_{j}}{{\dot {q}}_{j}}+{\frac {\partial S}{\partial t}}\\&{\frac {\partial S}{\partial t}}={\bar {H}}-H=-H\\&{\frac {dS}{dt}}=\sum \limits _{j}{}{{p}_{j}}{{\dot {q}}_{j}}-H=L\\&\Rightarrow S=\int {Ldt}\\\end{aligned}}$

S kann somit als Wirkungsfunktional interpretiert werden.

Beispiel: 1 dim Oszi

1. ${\begin{aligned}&H={\frac {{p}^{2}}{2m}}+{\frac {m}{2}}{{\omega }^{2}}{{q}^{2}}\\&S(q,P,t)\\\end{aligned}}$

H als Hamiltonfunktion und S als Erzeugende der kanonischen Trafo mit ${\frac {\partial S(q,P,t)}{\partial q}}=p$

Hamilton- Jacobi DGL:

${\frac {1}{2m}}\left({\frac {\partial S(q,P,t)}{\partial q}}\right)+{\frac {m}{2}}{{\omega }^{2}}{{q}^{2}}+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0$

2. Lösungsansatz:

$S(q,P,t)=W(q;P)+V(t;P)$

Dies ist als Separationsansatz nach q und t zu interpretieren. P ist ein Parameter

${\frac {1}{2m}}{{\left({\frac {dW}{dq}}\right)}^{2}}+{\frac {m}{2}}{{\omega }^{2}}{{q}^{2}}=-{\frac {dV}{dt}}$

Dabei ist die linke Seite unabhängig von t und die rechte unabhängig von q. Die Lösung kann also nur dann für alle t und q übereinstimmen, wenn:

${\frac {1}{2m}}{{\left({\frac {dW}{dq}}\right)}^{2}}+{\frac {m}{2}}{{\omega }^{2}}{{q}^{2}}=-{\frac {dV}{dt}}=\alpha \equiv const$

$V(t)=-\alpha t+{{V}_{0}}$

Es folgt:

${\begin{aligned}&{{\left({\frac {dW}{dq}}\right)}^{2}}={{m}^{2}}{{\omega }^{2}}\left({\frac {2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}}-{{q}^{2}}\right)\\&W=m\omega \int {dq}{\sqrt {\left({\frac {2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}}-{{q}^{2}}\right)}}\\\end{aligned}}$

Also:

$S(q,\alpha ,t)=m\omega \int {dq}{\sqrt {\left({\frac {2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}}-{{q}^{2}}\right)}}-\alpha t+{{V}_{0}}$

Da Potenziale um skalare Faktoren verschoben werden können:

$S(q,\alpha ,t)=m\omega \int {dq}{\sqrt {\left({\frac {2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}}-{{q}^{2}}\right)}}-\alpha t=-\alpha t+m\omega \left[{\frac {q}{2}}{\sqrt {\left({\frac {2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}}-{{q}^{2}}\right)}}+{\frac {\alpha }{m{{\omega }^{2}}}}\arcsin \left(q{\sqrt {\frac {m{{\omega }^{2}}}{2\left|\alpha \right|}}}\right)\right]$ 3. ${\begin{aligned}&Q=\left({\frac {\partial S(q,P,t)}{\partial \alpha }}\right)=-t+{\frac {1}{\omega }}\int {dq}{{\left({\frac {2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}}-{{q}^{2}}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}}=\beta \\&Q=\beta =-t+{\frac {1}{\omega }}\arcsin \left(q{\sqrt {\frac {m{{\omega }^{2}}}{2\left|\alpha \right|}}}\right)\\&\Rightarrow q={\frac {1}{\omega }}{\sqrt {\frac {2\alpha }{m}}}\sin \left(\omega (t+\beta )\right)\\\end{aligned}}$

Mit der Nebenbedingung, dass Q=to ( Dimension: Zeit) !

4. $p=\left({\frac {\partial S(q,P,t)}{\partial q}}\right)={\frac {dW}{dq}}=m\omega {\sqrt {{\frac {2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}}-{{q}^{2}}}}={\sqrt {2\alpha m}}\cos \left(\omega (t+\beta )\right)$

5. Anfangsbedingungen: t=0: p(0)=0, q(0)=q0 ungleich 0 !

$p(0)=0,q(0)={{q}_{0}}\neq 0$

${\begin{aligned}&\Rightarrow {{q}_{0}}={\frac {1}{\omega }}{\sqrt {\frac {2\alpha }{m}}}\sin \left(\omega (\beta )\right)\\&0={{p}_{0}}={\sqrt {2\alpha m}}\cos \left(\omega (\beta )\right)\\&\Rightarrow \beta ={\frac {\pi }{2\omega }}\Rightarrow {{q}_{0}}={\sqrt {\frac {2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}}}\\&\Rightarrow \alpha ={\frac {m}{2}}{{\omega }^{2}}{{q}_{0}}^{2}=E\\\end{aligned}}$

Alpha beschreibt also die Gesamtenergie. Physikalisch sinnvoll, da zu dieser Zeit nur potenzielle Energie vorhanden ist.

Also: P=E ( Energie) , Q= to ( Zeit) -> Energie und Zeit als neue verallgemeinerte Koordinaten bei der Transformation, die durch $S(q,P,t)$ erzeugt wird.

Spezialfall:

Nicht explizit zeitabhängige Hamiltonfunktion H

${\frac {\partial H}{\partial t}}=0\Leftrightarrow {\frac {dH}{dt}}=\left\{H,H\right\}=0$ H ist dann Integral der Bewegung

Hamilton- Jacobi DGL:

$H({\bar {q}},{\frac {\partial S}{\partial {{q}_{1}}}},...,{\frac {\partial S}{\partial {{q}_{f}}}})+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0$

Lösungsansatz:

$S({\bar {q}},{\bar {P}},t)=W({\bar {q}};{\bar {P}})-Et$

Somit folgt:

$H({\bar {q}},{\frac {\partial W}{\partial {{q}_{1}}}},...,{\frac {\partial W}{\partial {{q}_{f}}}})=E$ Energie bei skleronomen Zwangsbedingungen

$W({\bar {q}};{\bar {P}})$ heißt verkürztes Wirkungsfunktional

Dieses kann auch als Erzeugende einer kanonischen Trafo ( im engeren Sinn) aufgefasst werden:

${\begin{aligned}&{{p}_{j}}={\frac {\partial W}{\partial {{q}_{j}}}}\\&{{Q}_{j}}={\frac {\partial W}{\partial {{P}_{j}}}}\\&{\bar {H}}=H=E\\&\Rightarrow {{\dot {Q}}_{j}}={\frac {\partial {\bar {H}}}{\partial {{P}_{j}}}}={\frac {\partial E}{\partial {{\alpha }_{j}}}}={{\omega }_{j}}\Rightarrow {{Q}_{j}}={{\omega }_{j}}t+{{\beta }_{j}}={\frac {\partial W}{\partial {{P}_{j}}}}\\\end{aligned}}$

Bezug zur Quantenmechanik

• Betrachten wir 1 Teilchen im Potenzial

$V({\bar {q}}),{\bar {q}}\in {{R}^{3}}$ , gilt auch für $V({\bar {q}}),{\bar {q}}\in {{R}^{f}}$

$W({\bar {q}})=const$ sind dann Flächen im R³:

Dabei sind $S({\bar {q}},t)=W({\bar {q}})-Et$ Wirkunsgwellen mit einer Phasengeschwindigkeit

${\bar {u}}\approx \nabla W({\bar {q}})$ mit ${\bar {u}}\bot W({\bar {q}})=const$

Der Teilchenimpuls eines fliegenden Teilchens dagegen berechnet such ebenfalls als Gradient der Erzeugenden:

${\bar {p}}=\nabla W({\bar {q}})$

Damit haben wir jedoch eine Betrachtung der " Wirkungswellen" entgegen einer Darstellung als Teilchen mit Impuls p ( Welle- Teilchen- Dualismus).

In jedem Fall erhält man als Hamilton- Jacobi- DiffGl:

$H({\bar {q}},\nabla W)={\frac {1}{2m}}{{\left(\nabla W({\bar {q}})\right)}^{2}}+V({\bar {q}})=E$

Der Übergang zur Quantenmehcanik ist analog dem Übergang von der geometrischen Optik zur Wellenoptik ( Wellenoptik als geometrische Optik für große Wellenlängen) und geometrische optik als Wellenoptik für kleine Weglängen ( gut Übergangsresultate). Die typische optisch- mechanische Analogie

Wir erhalten in der quantenmechanischen Analogie als Wellenformalismus dagegen die Schödingergleichung:

$\left({\frac {-{{\hbar }^{2}}}{2m}}\Delta +V({\bar {r}})\right)\Psi ({\bar {r}})=E\Psi ({\bar {r}})$

links mit H = hamiltonoperator in Ortsdarstellung. $\Psi ({\bar {r}})={{e}^{{\frac {i}{\hbar }}W({\bar {r}})}}$ als Wellenfunktion

Unsere Koordinatentrafo lautet:

${\begin{aligned}&{\bar {q}}\to {\bar {r}}\\&{\bar {p}}\to {\frac {\hbar }{i}}\nabla \\\end{aligned}}$

Auch hier sieht man die Analogie bei kleinen Wellenlängen, wenn folgende Näherung erlaubt ist:

$\Delta {{e}^{{\frac {i}{\hbar }}W({\bar {r}})}}=\nabla {\frac {i}{\hbar }}\left(\nabla W{{e}^{{\frac {i}{\hbar }}W({\bar {r}})}}\right)\cong -{\frac {1}{{\hbar }^{2}}}{{\left(\nabla W\right)}^{2}}{{e}^{{\frac {i}{\hbar }}W({\bar {r}})}}$

Veranschaulichung der Zusammenhänge:

Aus der klassischen Mechanik gelangen wir durch Übergang von Poissonklammernauf Kommutatoren zur Heisenbergschen Matrizenmechanik, die sich zur Quantenmechanik transformieren läßt.

führt man in der klassischen Mechanik dagegen die Hamilton- Jacobi- Theorie ein ( optisch- mechanisches Analogon), so gelangt man leicht zur Wellenmechanik ( Schrödinger) und kann sich auf diesem Weg ebenso der Quantenmechanik nähern.

Wirkungs- und Winkelvariable

Nun betrachten wir eine Modifikation des Hamilton- Jacobi- Verfahrens. Dabei geht es speziell um periodische Systeme. Das Ganze soll an einem Beispiel skizziert werden und erst dann Verallgemeinerung finden.

Klassifikation von periodischem Verhalten:

• geschlossene Phasenraumkurvn welcher Art auch immer sind Librationen. Diese sind beispielsweise Schwingungen.
• dabei gilt:

${\begin{aligned}&q(t+\tau )=q(t)\\&p(t+\tau )=p(t)\\\end{aligned}}$

• periodische ( hinsichtlich des Ortes), aber nicht geschlossene Phasenraumkurven, also Phasenraumkurven, die selbst entlang des Ortes im Impuls schwingen ( dies sind nicht Schwingungen im ortsraum !) sind Rotationen. Die Phasenbahnen sind offen und es gilt:

${\begin{aligned}&q(t+\tau )=q(t)+{{q}_{0}}\\&p(t+\tau )=p(t)\\\end{aligned}}$

• Beispiel für eine Rotation ist die Drehung einer Achse:

${\begin{aligned}&q(t)=\phi \\&{{q}_{0}}=2\pi \\\end{aligned}}$

Beispiel: Das mathematische Pendel ( mit beliebig großen Auslenkungen)

f= 1, verallgemeinerte Koordinate: Winkel $\phi$ ., s= $\phi$ l

${\begin{aligned}&T={\frac {1}{2}}m{{l}^{2}}{{\dot {\phi }}^{2}}\\&V=mgl(1-\cos \phi )\\\end{aligned}}$

verallgemeinerter kanonischer Impuls:

${\begin{aligned}&{{p}_{\phi }}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}={\frac {\partial T}{\partial {\dot {\phi }}}}=m{{l}^{2}}{\dot {\phi }}\\&H(\phi ,{{p}_{\dot {\phi }}})=T+V={\frac {{{p}_{\phi }}^{2}}{2m{{l}^{2}}}}+mgl(1-\cos \phi )\\\end{aligned}}$ für ein konservatives System

Es folgen die Hamiltonschen Gleichungen:

${\begin{aligned}&{\dot {\phi }}={\frac {\partial H(\phi ,{{p}_{\dot {\phi }}})}{\partial {{p}_{\phi }}}}={\frac {{p}_{\phi }}{m{{l}^{2}}}}\\&{{\dot {p}}_{\phi }}=-{\frac {\partial H(\phi ,{{p}_{\dot {\phi }}})}{\partial \phi }}=-mgl\sin \phi \\\end{aligned}}$

1. Integral ( Enrgieerhaltung): Phasenbahn

$H(\phi ,{{p}_{\dot {\phi }}})=T+V={\frac {{{p}_{\phi }}^{2}}{2m{{l}^{2}}}}+mgl(1-\cos \phi )=E=const.$

Für kleine Winkel gilt die bekannte Kleinwinkelnäherung:

${\frac {{{p}_{\phi }}^{2}}{2m{{l}^{2}}}}+mgl{\frac {{\phi }^{2}}{2}}=E=const.$

-> Ellipsen, wie vom harmon. Oszi bekannt.

Gleichgewichtslagen: Fixpunkte: ${\begin{aligned}&{\dot {\phi }}={{\dot {p}}_{\phi }}=0\\&{{p}_{\phi }}=0\\&\phi =n\pi ,n\in N\\\end{aligned}}$

$E\leq 2mgl$ Libration: Schwingung mit $\left|\phi \right|\leq {{\phi }_{0}}$

$E>2mgl$ Rotation: überschlagendes Pendel: $\phi$ unbeschränkt

Für E=2mgl haben wir den Spezialfall einer Kriechbahn ( Separatrix zwischen a) und b):

Übergang zu neuen kanonischen Variablen ( f=1)

${\begin{aligned}&\left(q,p\right)\to \left(\theta ,I\right)\\&I(E):=\oint \limits _{{\Gamma }_{E}}{pdq}\\\end{aligned}}$

I(E) ist als Wirkungsvariable zu verstehen, als die Fläche, die von einer notwendigerweise geschlossenen Bahn ${{\Gamma }_{E}}$ zur Energie E im Phasenraum eingeschlossen ist. ( = Phasenintegral).

$\theta$ ist die Winkelvariable, auf Periode 1 normiert.

Gelegentlich findet sich:

${\begin{aligned}&\left(q,p\right)\to \left(\theta ,I\right)\\&I(E):={\frac {1}{2\pi }}\oint \limits _{{\Gamma }_{E}}{pdq}\\\end{aligned}}$

In diesem Fall ist $\theta$ auf $2\pi$ normiert.

gesucht ist die zugehörige kanonische Transformation:

${\begin{aligned}&p={\frac {\partial W(q,I)}{\partial q}}\\&\theta ={\frac {\partial W(q,I)}{\partial I}}\\\end{aligned}}$

Mit der neuen Hamiltonfunktion:

$H\left(q,{\frac {\partial W(q,I)}{\partial q}}\right)=E(I)$

Dies ist die Umkehrfunktion von I(E), existiert genau dann, wenn ${\frac {dI}{dE}}\neq 0$ .

Da $\theta$ zyklisch ist muss I konstant sein.

Die Hamiltonsche Bewegungsgleichung für $\theta$ lautet:

${\begin{aligned}&{\dot {\theta }}={\frac {\partial E(I)}{\partial I}}:={{\nu }_{I}}=const.\\&\theta ={{\nu }_{I}}t+{{\theta }_{0}}\quad {\bmod {\quad }}1\\&I=const\\\end{aligned}}$

Die Lösung für $\theta$

ist bei Normierung auf 

$2\pi$ natürlich modulo $2\pi$

zu verstehen.

Mit der Lösung jedoch ist für jedes E(I) die frequenz ${{\nu }_{I}}$ berechnet.

Das Phasenraumportrait ist der folgenden gestalt:

Beispiel: eindimensionaler Oszillator

$H\left(q,p={\frac {\partial W(q,I)}{\partial q}}\right)={\frac {{p}^{2}}{2m}}+{\frac {m{{\omega }^{2}}}{2}}{{q}^{2}}=E(I)$

Phasenbahn:

${\frac {\partial W(q,I)}{\partial q}}=p=\pm m\omega {\sqrt {{\frac {2E}{m{{\omega }^{2}}}}-{{q}^{2}}}}$

Umkehrpunkte:

${{q}_{\pm }}={\sqrt {\frac {2E}{m{{\omega }^{2}}}}}$

Wirkungsvariable:

${\begin{aligned}&I(E)=\oint {pdq}=2m\omega \int \limits _{{q}_{-}}^{{q}_{+}}{}{\sqrt {{\frac {2E}{m{{\omega }^{2}}}}-{{q}^{2}}}}dq\\&I(E)=2m\omega \left[{\frac {q}{2}}{\sqrt {{\frac {2E}{m{{\omega }^{2}}}}-{{q}^{2}}}}+{\frac {E}{m{{\omega }^{2}}}}\arcsin {\frac {q}{\sqrt {\frac {2E}{m{{\omega }^{2}}}}}}\right]_{q+}^{q-}={\frac {2\pi }{\omega }}E\\\end{aligned}}$

Transformierte Hamiltonfunktion:

${\begin{aligned}&{\bar {H}}=E={\frac {\omega }{2\pi }}I\\&{\dot {\theta }}={\frac {\partial E}{\partial I}}={\frac {\omega }{2\pi }}:={{\nu }_{I}}\\\end{aligned}}$

Die zeitliche Änderung des Winkels, also die Frequenz des harmonischen Oszillators ist völlig unabhängig von E(I)

Nebenbemerkungen:

1. $I={\frac {2\pi }{\omega }}E=\tau E$ hat die Dimension Zeit* Energie, also Wirkung

$\theta$ ist die Winkelvariable, die zur periodischen Bewegung im Phasenraum ! gehört und hat überhaupt nichts mit dem Winkel im ortsraum ( des Pendels Phi) zu tun

Allgemein: Perdiodische Bewegungen werden immer durch eine Winkelvariable parametrisiert.

• die periodische Bewegung wird damit auf die 1-Sphäre S1 ( Kreis mit Radius 1) abgebildet.

Verallgemeinerung auf beliebiges f:

Eine Bewegung heißt periodisch bzw. quasiperiodisch, falls die Projektion der Phasenbahn (Trajektorie) auf jede (pj,qj)- Ebene periodisch mit Frequenz

${{\omega }_{j}}={\frac {2\pi }{{\tau }_{j}}}$ ist. Jede Projektion also für gleiche Koordinaten in Ort und Impuls !

Falls: ${{\omega }_{1}}:{{\omega }_{2}}:{{\omega }_{3}}:...:{{\omega }_{f}}$ rational ist, so ist die Bahn geschlossen, also einfach periodisch.

Falls: $\exists i,j\to {{\omega }_{i}}:{{\omega }_{j}}$ irrational -> offene Bahn ( quasiperiodisch).

Parametrisierung erfolgt durch die Winkelvariable ${{\theta }_{j}}$ zu ${{\omega }_{j}}$

Abbildung auf ${{S}^{1}}\times {{S}^{1}}\times {{S}^{1}}\times ...\times {{S}^{1}}=:{{T}^{f}}$ (f mal S1- Sphären- Räume), Abbildung auf den sogenannte f-Torus

Beispiel: 2Torus:

Ist das Frequenzverhältnis irrational, so wirkt der Torus nur als Phasenraumattraktor. Die Bahn füllt den gesamten Torus dicht aus !

Satz über integrable Systeme

Einautonomes System ( Hamiltonsch) habe f unabhängige Integrale der Bewegung

${{g}_{k}}({\bar {q}},{\bar {p}})$ k=1,...,f

mit ${{g}_{1}}({\bar {q}},{\bar {p}})=H({\bar {q}},{\bar {p}})$ Energie und

$\left\{{{g}_{i}},{{g}_{j}}\right\}=0\quad \forall i,j$

Dann gilt:

1. die durch

${{g}_{k}}({\bar {q}},{\bar {p}})={{\alpha }_{k}}=const$ gegebene Hyperfläche des Phasenraums ( falls kompakt und beschränkt und abgeschlossen) läßt sich diffeomorph auf einen f-dimensionalen Torus ${{T}^{f}}$ abbilden.

1. die Allgemeine Bewegung auf

${{T}^{f}}$ ist quasiperiodisch: ${\frac {d{{\theta }_{i}}}{dt}}={{\omega }_{i}}$ , ${{\theta }_{i}}$ ist zugehörige Winkelvariable, i=1,...,f

1. das System ist INTEGRABEL, das heißt, die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen lassen sich vollständig und global integrieren.

Beispiele: 2- Körper- Problem mit Zentralkraft, gekoppelte harmonische Oszillatoren

Gegenbeispiel: 3- Körperproblem mit Zentralkraft (f=9, nur 6 unabhängige Integrale der Bewegung:

$E,{{\bar {P}}_{gesamt}},{{l}^{2}},{{l}_{3}}$

Nebenbemerkung:

Wegen $\left\{{{l}_{3}},{{l}_{1}}\right\}={{l}_{3}}$ und zyklisch erfüllen die 3 Drehimpulskomponenten nicht alle die Bedingung $\left\{{{g}_{i}},{{g}_{j}}\right\}=0$ obgleich gilt: $\left\{{{l}_{i}},H\right\}=0$ .

Wirkunsgvariable:

${{I}_{k}}({{\alpha }_{1}},...,{{\alpha }_{f}}):=\oint \limits _{{\Gamma }_{k}}{{{p}_{k}}d{{q}_{k}}\quad (k=1,..,f)}$

Für ein separables System gilt:

${\begin{aligned}&W=\sum \limits _{j=1}^{f}{{{W}_{j}}({{q}_{j}},{\bar {\alpha }})}\\&{{p}_{k}}={\frac {d{{W}_{k}}}{d{{q}_{k}}}}\\\end{aligned}}$

Die Umkehrung liefert die Energie:

$E\equiv {{\alpha }_{1}}={{\alpha }_{1}}({{I}_{1}},...,{{I}_{f}})$

Die Hamiltongleichungen lauten:

${\begin{aligned}&{\dot {\theta }}={\frac {\partial E({{I}_{1}},...,{{I}_{f}})}{\partial {{I}_{k}}}}={{\nu }_{k}}({{I}_{1}},...,{{I}_{f}})\\&\Rightarrow {{\theta }_{k}}={{\nu }_{k}}t+{{\beta }_{k}}\\&{{\nu }_{k}}={\frac {1}{{\tau }_{k}}}\\\end{aligned}}$

Fazit:

Mit der Wirkungs- und Winkelvariablen können die Frequenzen ${{\nu }_{k}}$ periodischer Bewegungen bestimmt werden, ohne die vollständige Lösung angeben zu müssen.

Störungen integrabler Systeme

Betrachte ein integrables, quasiperiodisches, autonomes Hamiltonsches System mit der Wirkungsvariablen

${\bar {I}}({{I}_{1}},...,{{I}_{f}})$ und der Winkelvariablen ${\bar {\theta }}({{\theta }_{1}},...,{{\theta }_{f}})$ , Hamiltonfunktion ${{H}_{0}}({\bar {I}})$

Betrachten wir nun eine kleine Störung der Stärke $\varepsilon$

$H({\bar {\theta }},{\bar {I}},\varepsilon )={{H}_{0}}({\bar {I}})+\varepsilon {{H}_{1}}({\bar {\theta }},{\bar {I}},\varepsilon )$

In diesem Fall ist $\theta$ nicht mehr zyklisch. ${\bar {I}}({{I}_{1}},...,{{I}_{f}})$ ist also keine Bewegungskonstante mehr !

Beispiel:

Himmelsmechanik, beispielsweise restringiertes 3- Körper- Problem

System: Sonne, Erde, Mond

• integrables 2- Körper- Problem mit 2 größeren Massen ( annähernd Kreisbahn) und einer kleinen Masse m3 als Störung
• Frage: Ist die quasiperiodische Bewegung über lange Zeiten stabil ? Das heißt: Verändert die Störung die Struktur der Bewegungsmannigfaltigkeit nur wenig ?

Also:

Durch eine dritte Masse m3 ist eine Störung gegeben. Die Bewegung konnte auch vorher ( bei irrationalem Verhältnis der Umlaufszeiten oder Frequenzen) schon nur quasiperiodisch sein.

Ist die quasiperiodische Lösung unter Anwesenheit der dritten Masse jedoch noch stabil ?

• Dies ist bis heute ungelöst... Es gibt jedoch Hinweise auf chaotische Bewegungen, beispielsweise chaotische Bewegungen des Planeten Pluto !

Teilantwort liefert die KAM_ Theorie ( Kolmogorov, Arnold, Moser, 1954, 1963, 1967)

• Stabilitätsaussagen

Voraussetzung:

Die Frequenzen des integrablen Systems ${{H}_{0}}({\bar {I}})$

sind rational unabhängig, also:

$\sum \limits _{i=1}^{f}{{{r}_{i}}{{\omega }_{i}}=0\quad {{r}_{i}}\in Z\Leftrightarrow {{r}_{1}}=...={{r}_{f}}=0}$

Dann überdeckt jede Bahn für festes ${{I}_{k}}={{\alpha }_{k}}$ den Torus ${{T}^{f}}$ dicht ohne sich jedoch zu schließen: Die Bewegung ist ergodisch.

ERGODISCHE Bewegung ( nichtresonanter Torus)

KAM- Theorem

Sind in einem integablen Hamiltonschen System Ho die Frequenzen genügend irrational:, das heißt

$\left|\sum \limits _{i=1}^{f}{{{r}_{i}}{{\omega }_{i}}}\right|\geq \gamma {{\left|{\bar {r}}\right|}^{\alpha }}\quad \alpha ,\gamma >0$

So hat das gestörte System $H({\bar {\theta }},{\bar {I}},\varepsilon )={{H}_{0}}({\bar {I}})+\varepsilon {{H}_{1}}({\bar {\theta }},{\bar {I}},\varepsilon )$ für kleine $\varepsilon$ überwiegend ebenfalls quasiperiodische Lösungen und die eisten nichtresonanten Tori von ${{H}_{0}}$ werden nur wenig deformiert, aber nicht zerstört.

Anwendung:

Das restringierte 3-Körper-Problem ist KAM- Stabil. Aber: keine Aussage über eine Langzeitstabilität unseres Planetensystems !

Praktische Verfahren zur Berechnung der gestörten Lösungen:

• störungstheoretische Entwicklung in

$\varepsilon$

• Mittelung über die Störungen