Dirac-Gleichung und Spin: nichtrelativistischer Grenzfall

Quantenmechanikvorlesung von Brandes

Der Artikel Dirac-Gleichung und Spin: nichtrelativistischer Grenzfall basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 1.Kapitels (Abschnitt 5) der Quantenmechanikvorlesung von Brandes.

Dirac-Gleichung und Spin: nichtrelativistischer Grenzfall

LITERATUR: GREINER

Mit (Vektor) Potential haben wir die Dirac-GleichungDirac-Gleichung:Elektromagnetismus als

${\mathfrak {i}}{{\partial }_{t}}\Psi =\left({\underline {\alpha }}\left({\underline {\hat {p}}}-e{\underline {A}}\right)+\beta m+e\phi \right)\Psi ,\quad \hbar =c=1$

(1.37)

Jetzt erfolgt die Zerlegung $\Psi =\left({\begin{aligned}&\varphi \\&\chi \\\end{aligned}}\right)\underbrace {{e}^{-{\mathfrak {i}}mt}} _{\text{Ruheenergie-Phasenfaktor}}=\left({\begin{aligned}&\varphi \\&\chi \\\end{aligned}}\right){{e}^{\frac {-{\mathfrak {i}}m{{c}^{2}}t}{\hbar }}}$, mit den 2er Spinoren

$\varphi =\left({\begin{aligned}&{{\varphi }_{1}}\\&{{\varphi }_{2}}\\\end{aligned}}\right),\quad \chi =\left({\begin{aligned}&{{\chi }_{1}}\\&{{\chi }_{2}}\\\end{aligned}}\right)$

.

Damit folgt dann

${\mathfrak {i}}{{\partial }_{t}}\left({\begin{aligned}&\varphi \\&\chi \\\end{aligned}}\right)=\left({\begin{aligned}&{\underline {\sigma }}\left({\underline {\hat {p}}}-e{\underline {A}}\right)\chi \\&{\underline {\sigma }}\left({\underline {\hat {p}}}-e{\underline {A}}\right)\varphi \\\end{aligned}}\right)+e\phi \left({\begin{aligned}&\varphi \\&\chi \\\end{aligned}}\right)-2m{{c}^{2}}\left({\begin{aligned}&0\\&\chi \\\end{aligned}}\right)$

(1.38)

Beachte das jetzt überall $\varphi =\varphi \left({\underline {x}},t\right)$gilt

Jetzt: Näherung/Annahme das kinetische und potentielle Energie viel kleiner als Ruhemasse $m{{c}^{2}}$ ist

${\begin{aligned}&mc{{\chi }^{2}}\gg \left|i\hbar {{\partial }_{t}}\chi \right|,\quad mc{{\chi }^{2}}\gg \left|e\phi \varphi \right|\\&\Rightarrow \chi \approx {\frac {1}{2m{{c}^{2}}}}{\underline {\sigma }}\left({\underline {p}}-e{\underline {A}}\right)\varphi \\\end{aligned}}$

(1.39)

${\displaystyle }$einsetzen in die Gleichung (1.38) liefert

$i{{\partial }_{t}}\varphi ={\frac {1}{2m}}\left({\underline {\sigma }}{{\left({\underline {p}}-e{\underline {A}}\right)}^{2}}\right)\varphi +e\phi \varphi$

(1.40)

Jetzt folgendes „Theorem“ benutzen

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{align}“): {\displaystyle \begin{align} & \left( \underline{\sigma }\underline{A} \right)\left( \underline{\sigma }\underline{B} \right)=\underline{A}\underline{B}\underline{\underline{1}}+\mathfrak{i} \underline{\sigma }\left( \underline{A}\times \underline{B} \right) \\ & \text{mit \underline{A}=}\left( {{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}} \right)\text{,\underline{B}=}\left( {{B}_{1}},{{B}_{2}},{{B}_{3}} \right),\underline{A},\underline{B}\text{ vektorwertiger Operator und} \\ & \underline{\sigma }\text{=}\left( {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{1}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{2}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{3}} \right)\text{ Vektor der Pauli-Matrizen} \\ \end{align}}

(1.41)

Beweis von (1.41) mittels (Anti) KommutatorKommutator-Eigenschaften-Eigenschaften (AUFGABE)

${\begin{aligned}&\left\{{{\underline {\underline {\sigma }}}_{i}},{{\underline {\underline {\sigma }}}_{j}}\right\}:={{\underline {\underline {\sigma }}}_{i}}{{\underline {\underline {\sigma }}}_{j}}+{{\underline {\underline {\sigma }}}_{j}}{{\underline {\underline {\sigma }}}_{i}}=2{{\delta }_{ij}}{\underline {\underline {1}}}\\&\left[{{\underline {\underline {\sigma }}}_{i}},{{\underline {\underline {\sigma }}}_{j}}\right]:={{\underline {\underline {\sigma }}}_{i}}{{\underline {\underline {\sigma }}}_{j}}-{{\underline {\underline {\sigma }}}_{j}}{{\underline {\underline {\sigma }}}_{i}}=2{\mathfrak {i}}{{\varepsilon }_{ijk}}{{\underline {\underline {\sigma }}}_{k}}\\\end{aligned}}$

(1.42)

---

Es gilt weiterhin (AUFGABE), beachte

${\underline {p}}={\frac {\hbar }{\mathfrak {i}}}{\underline {\nabla }}$

und ${\underline {A}}={\underline {A}}\left({\underline {x}},t\right)$

$\left({\underline {p}}-e{\underline {A}}\right)\times \left({\underline {p}}-e{\underline {A}}\right)=-{\frac {e\hbar }{\mathfrak {i}}}\underbrace {\left({\underline {\nabla }}\times {\underline {A}}\right)} _{\text{Magnetfeld}}=-{\frac {e\hbar }{\mathfrak {i}}}\underbrace {\underline {B}} _{\text{Magnetfeld}}$

(1.43)

Mit (1.43) folgt aus (1.41) die Kopplung von Spin und Magnetfeld

Pauli-GleichungPauli-Gleichung $i{{\partial }_{t}}\varphi =\left[{\frac {1}{2m}}{{\left({\underline {p}}-e{\underline {A}}\right)}^{2}}-\underbrace {{\frac {e\hbar }{2m}}{\underline {\sigma }}.{\underline {B}}} _{\text{Pauli-Term}}+e\phi \right]\varphi$

(1.44)

mit dem 2-Komponentigen Spinor

$\varphi =\left({\begin{aligned}&{{\varphi }_{1}}\\&{{\varphi }_{2}}\\\end{aligned}}\right)$