Dirac-Gleichung und Spin: nichtrelativistischer Grenzfall

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Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes
Kein GFDL Der Artikel Dirac-Gleichung und Spin: nichtrelativistischer Grenzfall basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 1.Kapitels (Abschnitt 5) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes.
Dirac-Gleichung und Spin: nichtrelativistischer Grenzfall Relativistische Quantenmechanik

Inhaltsverzeichnis
  1. Klein Gordon Gleichung
  2. Klein Gordon und Relativität
  3. Klein Gordon im (Vektor)Potential, Eichinvarianz
  4. Die Dirac Gleichung
  5. Dirac-Gleichung und Spin: nichtrelativistischer Grenzfall
  6. Weitere Eigenschaften der Dirac-Gleichung
  7. Lösungen der Dirac-Gleichung (freies Teilchen)
  8. Helizität und Spin
  9. Kurzer Ausblick Relativistische Quantenphysik in Graphen, einem neuen Material
  1. Relativistische Quantenmechanik
  2. Formaler Aufbau der Quantenmechanik



Mit (Vektor) Potential haben wir die Dirac-Gleichung als

\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\left( \underline{\alpha }\left( \underline{\hat{p}}-e\underline{A} \right)+\beta m+e\phi \right)\Psi ,\quad \hbar =c=1
     (1.37)


Jetzt erfolgt die Zerlegung \Psi =\left( \begin{align} & \varphi \\ & \chi \\ \end{align} \right)\underbrace{{{e}^{-\mathfrak{i} mt}}}_{\text{Ruheenergie-Phasenfaktor}}=\left( \begin{align} & \varphi \\ & \chi \\ \end{align} \right){{e}^{\frac{-\mathfrak{i} m{{c}^{2}}t}{\hbar }}}, mit den 2er Spinoren

\varphi =\left( \begin{align} & {{\varphi }_{1}} \\ & {{\varphi }_{2}} \\ \end{align} \right),\quad \chi =\left( \begin{align} & {{\chi }_{1}} \\ & {{\chi }_{2}} \\ \end{align} \right).


Damit folgt dann

\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\left( \begin{align} & \varphi \\ & \chi \\ \end{align} \right)=\left( \begin{align} & \underline{\sigma }\left( \underline{\hat{p}}-e\underline{A} \right)\chi \\ & \underline{\sigma }\left( \underline{\hat{p}}-e\underline{A} \right)\varphi \\ \end{align} \right)+e\phi \left( \begin{align} & \varphi \\ & \chi \\ \end{align} \right)-2m{{c}^{2}}\left( \begin{align} & 0 \\ & \chi \\ \end{align} \right)
     (1.38)


Beachte das jetzt überall \varphi =\varphi \left( \underline{x},t \right)gilt

Jetzt: Näherung/Annahme das kinetische und potentielle Energie viel kleiner als Ruhemasse mc2 ist

\begin{align} & mc{{\chi }^{2}}\gg \left| i\hbar {{\partial }_{t}}\chi \right|,\quad mc{{\chi }^{2}}\gg \left| e\phi \varphi \right| \\ & \Rightarrow \chi \approx \frac{1}{2m{{c}^{2}}}\underline{\sigma }\left( \underline{p}-e\underline{A} \right)\varphi \\ \end{align}
     (1.39)

einsetzen in die Gleichung (1.38) liefert

i{{\partial }_{t}}\varphi =\frac{1}{2m}\left( \underline{\sigma }{{\left( \underline{p}-e\underline{A} \right)}^{2}} \right)\varphi +e\phi \varphi


     (1.40)


Jetzt folgendes „Theorem“ benutzen

\begin{align} \left( \underline{\sigma }\underline{A} \right)\left( \underline{\sigma }\underline{B} \right)=\underline{A}\underline{B}\underline{\underline{1}}+\mathfrak{i} \underline{\sigma }\left( \underline{A}\times \underline{B} \right) \\ \end{align}
     (1.41)

mit

\begin{align} \underline{A}=\left( {{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}} \right),\underline{B}=\left( {{B}_{1}},{{B}_{2}},{{B}_{3}} \right),\underline{A},\underline{B} \text{ vektorwertiger Operator und} \\ \underline{\sigma }=\left( {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{1}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{2}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{3}} \right) \text{Vektor der Pauli-Matrizen} \\ \end{align}

Beweis von (1.41) mittels (Anti) Kommutator-Eigenschaften (AUFGABE)

\begin{align} & \left\{ {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}} \right\}:={{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}}+{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}=2{{\delta }_{ij}}\underline{\underline{1}} \\ & \left[ {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}} \right]:={{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}}-{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}=2\mathfrak{i} {{\varepsilon }_{ijk}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{k}} \\ \end{align}
     (1.42)


Es gilt weiterhin (AUFGABE), beachte \underline{p}=\frac{\hbar }{\mathfrak{i} }\underline{\nabla } und \underline{A}=\underline{A}\left( \underline{x},t \right)

\left( \underline{p}-e\underline{A} \right)\times \left( \underline{p}-e\underline{A} \right)=-\frac{e\hbar }{\mathfrak{i} }\underbrace{\left( \underline{\nabla }\times \underline{A} \right)}_{\text{Magnetfeld}}=-\frac{e\hbar }{\mathfrak{i} }\underbrace{{\underline{B}}}_{\text{Magnetfeld}}      (1.43)


Mit (1.43) folgt aus (1.41) die Kopplung von Spin und Magnetfeld

Pauli-Gleichung i{{\partial }_{t}}\varphi =\left[ \frac{1}{2m}{{\left( \underline{p}-e\underline{A} \right)}^{2}}-\underbrace{\frac{e\hbar }{2m}\underline{\sigma }.\underline{B}}_{\text{Pauli-Term}}+e\phi \right]\varphi


     (1.44)


mit dem 2-Komponentigen Spinor \varphi =\left( \begin{align} & {{\varphi }_{1}} \\ & {{\varphi }_{2}} \\ \end{align} \right)

siehe auch

Der_nichtrelativistische_Grenzfall#Nichtrelativistische_Näherung:

Literatur

LITERATUR: GREINER

Von „http://wiki.physikerwelt.de/wiki/Dirac-Gleichung_und_Spin:_nichtrelativistischer_Grenzfall“
Fakten zu Dirac-Gleichung und Spin: nichtrelativistischer GrenzfallRDF-Feed
Abschnitt5  +
FachbegriffDirac-Gleichung  +, Kommutator-Eigenschaften  + und Pauli-Gleichung  +
IndexDirac-Gleichung  +, Kommutator-Eigenschaften  + und Pauli-Gleichung  +
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