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Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes

Der Artikel Relativistische Quantenmechanik basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 1.Kapitels (Abschnitt 0) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes.

Relativistische Quantenmechanik

Relativistische Quantenmechanik

Relativistische Quantenmechanik
Formaler Aufbau der Quantenmechanik

Klein Gordon Gleichung

Ein quantenmechanisches Wellenpaket hat die Form

$\Psi \left( \underline{x},t \right)={{\left( 2\pi \right)}^{-{}^{d}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}}\int{\varphi \left( \underline{k} \right){{e}^{-\mathfrak{i} \omega \left( \underline{k} \right)t+\mathfrak{i} \underline{k}.\underline{x}}}{{d}^{d}}\underline{k}}$

((1.1))

wobei d die Raumdimension angibt.

Nach Schrödinger (nicht relativistisch) $\omega \left( \underline{k} \right)=\frac{{{k}^{2}}}{2m}\quad \text{mit }\hbar =1$

((1.2))

was auf die Schrödingergleichung

$\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\hat{H}\Psi ,\quad \hat{H}=-\frac{\Delta }{2m}$

((1.3))

führt.

Relativistisch (SRT) gilt

$\omega \left( \underline{k} \right)=\sqrt{{{{\underline{k}}}^{2}}+{{m}^{2}}}$

((1.4))

wegen $E=\sqrt{{{m}^{2}}{{c}^{4}}+{{{\underline{p}}}^{2}}{{c}^{2}}}$ und $\underline{p}=\hbar k$ .

Ab jetzt gilt $c = 1$ .

Mit (1.4) erfüllt Ψ jetzt die Klein-Gordon-Gleichung:

Klein-Gordon-Gleichung $\left( \partial _{t}^{2}-\Delta +{{m}^{2}} \right)\Psi \left( \underline{x},t \right)=0$

((1.5))

Es gilt die (AUFGABE)

Kontinuitätsgleichung ${{\partial }_{t}}\rho +\nabla .\underline{j}=0$

((1.6))

mit

$\begin{align} & \underline{j}=\frac{1}{2\mathfrak{i} m}\left( {{\Psi }^{*}}\nabla \Psi -\Psi \nabla {{\Psi }^{*}} \right) \\ & \rho \equiv \frac{1}{2m}\left( {{\Psi }^{*}}{{\partial }_{t}}\Psi -\Psi {{\partial }_{t}}{{\Psi }^{*}} \right) \\ \end{align}$

((1.7))

Dabei ist die Stromdichte ( $\underline{j}$ ) wie in der Schrödingergleichung; allerdings ist ρ im allgemeinen nicht positiv!

Allerdings gilt

$\begin{align} & \int{\rho \left( \underline{x},t \right){{d}^{d}}\underline{x}}={{\left( \frac{1}{2\pi } \right)}^{d}}\frac{1}{m}\int{\int{\int{{{\varphi }^{*}}\left( {\underline{k}} \right)\varphi \left( {{\underline{k}}'} \right){{e}^{i\left( \underline{k}-{\underline{k}}' \right)\underline{x}}}\omega \left( {{\underline{k}}'} \right){{d}^{d}}x}{{d}^{d}}k}{{d}^{d}}{k}'} \\ & =\frac{1}{m}\int{\omega \left( {\underline{k}} \right){{\left| \varphi \left( {\underline{k}} \right) \right|}^{2}}{{d}^{d}}\underline{k}}>0 \end{align}$ für $\omega \left( {\underline{k}} \right)>0$ .

Diskurssion:

Klein-Gordon-Gleichung ist eine hyperbolische Differentialgeleichung wie die Wellengleichung $\left( \partial _{t}^{2}-\Delta \right)\Psi =0$ .
Auch ein Wellenpaket mit $\omega \left( {\underline{k}} \right)=-\sqrt{{{{\underline{k}}}^{2}}+{{m}^{2}}}$ erfüllt die Klein-Gordon-Gleichung jedoch stellt dies ein Interpretationsproblem dar, da es sich um Teilchen mit negativer Energie handeln müsste.
Klein-Gordon-Gleichung ist eine Differentialgleichung zweiter Ordnung von t und somit ist das dazugehörige Anfangswertproblem ( $\Psi \left( t=0 \right)\Rightarrow \Psi \left( t>0 \right)$ ) nur lösbar bei zusätzlicher Angabe von ${{\partial }_{t}}\Psi {{|}_{t=0}}$ .
Schreibweise

$\left( \square +\frac{{{m}^{2}}{{c}^{2}}}{{{\hbar }^{2}}} \right)\Psi =0$

((1.8))

mit $\frac{\hbar }{mc}$ der Compton-Wellenlänge als charakteristische Längenskala. Hier ist $\square ={{\partial }_{\mu }}{{\partial }^{\mu }}={{c}^{-2}}\partial _{t}^{2}-\Delta$ der d’Alambert-Operator.

Klein Gordon und Relativität

Einstein (SRT):

gleiche Naturgesetze in gleichförmig gegeneinander bewegten Inertialsystemen
Lichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen die selbe

Datei:Koordinatensysteme.svg

Geschwindigkeit v parallel zu x

Beispiel: Ein Lichtpuls im System S wird zur Zeit t=0 ausgesandt und legt nach Zeit t die Distanz $\left| r \right|=ct$ zurück.

${{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=0\quad$

(in S)

(1.9)

Derselbe Lichtpuls beobachtete vom gleichförmig gegen S bewegten System S‘ habe die neuen Koordinaten $\left( {\underline{r}}',{t}' \right)$ in S‘, für die gilt

${{{r}'}^{2}}-{{\underbrace{c}_{={c}'}}^{2}}{{{t}'}^{2}}=0\quad$

(in S‘)

(1.10)

Die Transformation der Koordinaten^[1] erfolgt nach der Lorentz-Transformation

$\left( \begin{align} & {{x}'} \\ & c{t}' \\ \end{align} \right)=\gamma \left( \begin{matrix} 1 & -\beta \\ -\beta & 1 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{align} & x \\ & ct \\ \end{align} \right)$

(1.11)

mit

$\beta =\frac{v}{c}\quad \gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}$

Daraus folgt (mit v → -v) (CHECK)

$\left( \begin{align} & x \\ & ct \\ \end{align} \right)=\gamma \left( \begin{matrix} 1 & \beta \\ \beta & 1 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{align} & {{x}'} \\ & c{t}' \\ \end{align} \right)$

(1.12)

Wir überprüfen die Übereinstimmung mit (1.10)

$\begin{align} & \underline{{{{{x}'}}^{2}}-{{c}^{2}}{{{{t}'}}^{2}}}=\left( \begin{matrix} {{x}'} & c{t}' \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{align} & {{x}'} \\ & c{t}' \\ \end{align} \right)={{\gamma }^{2}}\left( \begin{matrix} x & ct \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1 & -\beta \\ -\beta & 1 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1 & -\beta \\ -\beta & 1 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{align} & x \\ & ct \\ \end{align} \right) \\ & ={{\gamma }^{2}}\left( \begin{matrix} x & ct \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1-{{\beta }^{2}} & 0 \\ 0 & -1+{{\beta }^{2}} \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{align} & x \\ & ct \\ \end{align} \right)=\underline{{{x}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}} \end{align}$

Unter Lorentz-Transformation bleibt $r 2 - c 2 t 2$ invariant.
Hier nur gezeigt für x-Koordinate; wegen Isotropie des Raumes gültig für beliebiges $\underline{r}$ .
Insbesondere bleiben die Lichtabstände $r 2 - c 2 t 2 = 0$ invariant.

Invarianz der Wellengleichungen (Klein-Gordon-Gleichung) unter Lorentz-Transformation (LT)

Wellengleichung für skalares klassisches Feld $\varphi \left( \underline{x},t \right)$

in S: $\underbrace{\left( {{c}^{-2}}\partial _{t}^{2}-{{\nabla }^{2}} \right)}_{\square }\phi \left( \underline{x},t \right)=0$ in S': $\quad \quad \underbrace{\left( {{c}^{-2}}\partial _{{{t}'}}^{2}-{{{{\nabla }'}}^{2}} \right)}_{{{\square }'}}\phi \left( {\underline{x}}',{t}' \right)=0$

(1.13)

mit ${{\nabla }^{2}}=\partial _{{{x}_{1}}}^{^{2}}+\partial _{{{x}_{2}}}^{^{2}}+...\quad {{{\nabla }'}^{2}}=\partial _{{{{{x}'}}_{1}}}^{^{2}}+\partial _{{{{{x}'}}_{2}}}^{^{2}}+...$ und selben c.

Zeige dass unter Lorentz-Transformation $\square$ in ${\square }'$ übergeht: Lösungen φ‘ in S‘ haben dann die selbe Form wie Lösungen φ in S.

Hierzu

$\begin{align} & {{\partial }_{x}}={{\partial }_{x}}\left( {{x}'} \right){{\partial }_{{{x}'}}}+{{\partial }_{x}}\left( {{t}'} \right){{\partial }_{{{t}'}}}=\gamma \,{{\partial }_{{{x}'}}}-\frac{\gamma \beta }{c}{{\partial }_{{{t}'}}} \\ & \partial _{x}^{2}={{\partial }_{x}}{{\partial }_{x}}=\left\{ \gamma \,{{\partial }_{{{x}'}}}-\frac{\gamma \beta }{c}{{\partial }_{{{t}'}}} \right\}\left\{ \gamma \,{{\partial }_{{{x}'}}}-\frac{\gamma \beta }{c}{{\partial }_{{{t}'}}} \right\} \\ & \partial _{t}^{2}\,\text{analog} \\ \end{align}$

AUFGABE

d’Alembert-Operator $\square ={{c}^{-2}}\partial _{t}^{2}-\Delta$ ist invariant unter LT
Forminvarianz der Wellengleichung und Klein Gordon Gleichung unter LT.

Lösungen der Klein Gordon Gleichung

Sind ebene Wellen (und deren Überlagerungen):

$\Psi \left( \underline{x},t \right)={{e}^{\mp \frac{\mathfrak{i} }{\hbar }\sqrt{{{m}^{2}}{{c}^{4}}+{{p}^{2}}{{c}^{2}}}\,t+i\underline{p}.\underline{x}}}$

(1.14)

mit

$\begin{align} & -:\,\text{ negative Energie +}\sqrt{{}} \\ & +:\,\text{ postivive Energie -}\sqrt{{}} \\ \end{align}$

Literatur

LITERATUR: SKRIPT SCHLICKEISER (QMII BOCHUM), LEHRBUCH SCHWINGER (CLASSICAL ELECTRODYNAMICS)

↑ Hier ist die Bewegung in x-Richtung also die x-Achse ist parallel zu v und y‘=y, z‘=z

Klein Gordon im (Vektor)Potential, Eichinvarianz

Die klassische relativistische Dispersionsrelation $E=E\left( {\underline{p}} \right)$ für freie Teilchen der Masse m ohne äußeres Potential lautet:

E 2 = m 2 c 4 + p 2 c 2

(1.15)

Potential ϕ, Vektorpotential A beschreiben das elektromagnetische Feld der Maxwell-Gleichungen. Wie ädert sich damit (1.15)? Erinnerung:

$\begin{align} \text{Magnetfeld}\quad \underline{B}&=\underline{\nabla }\times \underline{A} \\ \text{elektrisches Feld}\quad \underline{E}&=-\underline{\nabla }\phi -\frac{1}{c}{{\partial }_{t}}\underline{A} \\ \end{align}$

(1.16)

E und B ändern sich nicht bei Eichtransformation

$\begin{align} & \underline{A}\to \underline{A}+\underline{\nabla }.\chi \\ & \phi \to \phi -\frac{1}{c}{{\partial }_{t}}\chi \\ \end{align}$

(1.17)

mit einer beliebigen skalaren Funktion $\chi =\chi \left( \underline{x},t \right).$

Klassische Mechanik: E und B in Hamiltonfunktion eines Teilchens mit Masse m, Ladung e „einbauen“ durch

$H=\frac{{{p}^{2}}}{2m}\to H=\frac{{{\left( \underline{p}-e\underline{A} \right)}^{2}}}{2m}+e\phi$

(1.18)

aus den Hamilton-Gleichungen $\underline{\dot{r}}={{\partial }_{{\underline{p}}}}H\quad \underline{\dot{p}}=-{{\partial }_{{\underline{r}}}}H$ folgt (AUFGABE)

$m\ddot{\underline{r}}=e\left( \dot{\underline{r}}\times \underline{B}+\underline{E}\, \right)$

d.h. die Newton‘schen Bewegungsgleichungen mit der Lorentzkraft sind ‚manifest invariant‘, da nur E und B in ihr auftreten, d.h. die Bahn $\left( \dot{\underline{r}},\underline{r} \right)$ im Phasenraum nicht von

χ

vgl. (1.17) abhängt.

Quantenmechanik
- Schrödingergleichung durch Korrespondenzprinzip $\underline{p}\to \hat{p}=\frac{\hbar }{\mathfrak{i} }\underline{\nabla }$

$\mathfrak{i} \hbar {{\partial }_{t}}\Psi =\hat{H}\Psi =\left\{ \frac{{{\left( \hat{\underline{p}}-e\underline{A} \right)}^{2}}}{2m}+e\phi \right\}\Psi$

(1.19)

(durch Vergleich mit (1.18))

- Schrödingergleichung + Prinzip der lokalen Eichinvarianz (fundamentaler und wesentlich für die QED und QCD etc.)
  - Schritt 1: Starte von freier Schrödingergleichung $\mathfrak{i} \hbar {{\partial }_{t}}\Psi =\frac{{{p}^{2}}}{2m}\Psi$
  - Schritt 2: Mit $\Psi \left( \underline{x},t \right)$ erfüllt auch $\Psi \left( \underline{x},t \right){{e}^{i\varphi }}$ mit $\varphi \in \mathbb{R}$ konstant die Schrödingergleichung und beschreibt dieselbe Physik:

Erwartungswerte sind invariant unter globalen Eichtransformationen

$\int{{{\Psi }^{*}}\left( \underline{x},t \right)\hat{O}\left( \underline{x},\underline{\nabla },{{\partial }_{t}} \right)\Psi \left( \underline{x},t \right){{d}^{d}}x}=\text{invariant}$

(1.20)

- - Schritt 3: (Prinzip der lokalen Eichinvarianz) ändere die Schrödingergleichung so, dass lokale Eichtransformationen

$\Psi \left( \underline{x},t \right)\to \Psi \left( \underline{x},t \right){{e}^{\mathfrak{i} \varphi \left( \underline{x},t \right)}}$

(1.21)

nichts an der Phase ändern, dass heißt mit Ψ ist auch $\Psi {{e}^{i\varphi \left( \underline{x},t \right)}}$ eine Lösung der Schrödingergleichung und ergibt dieselben Eigenwerte.

Lösung

Lösung: In (1.20) machen $\underline{\nabla }$ und ${{\partial }_{t}}$ in

$\hat{O}\left( \underline{x},\underline{\nabla },{{\partial }_{t}} \right)$

Probleme, da z.B.

$\underline{\nabla }\Psi \left( \underline{x},t \right){{e}^{i\varphi \left( \underline{x},t \right)}}\ne {{e}^{i\varphi \left( \underline{x},t \right)}}\underline{\nabla }\Psi \left( \underline{x},t \right)$

(1.22)

was man bräuchte, um die Phase in (1.20) zu eliminieren.

Idee: ersetze Ableitung $\underline{\nabla }$ durch „kovariante Ableitung“ D^[1], so dass

${{\underline{D}}_{\phi }}\Psi \left( \underline{x},t \right){{e}^{\mathfrak{i} \varphi \left( \underline{x},t \right)}}={{e}^{\mathfrak{i} \varphi \left( \underline{x},t \right)}}\underline{D}\Psi \left( \underline{x},t \right)$

(1.23)

Mit dem Ansatz ${{\underline{D}}_{\varphi }}=\underline{\nabla }+{{\underline{f}}_{\varphi }}\left( \underline{x},t \right)$ und ebenso für die Zeitableitung ${{\partial }_{t}}\to D_{\varphi }^{0}={{\partial }_{t}}+{{g}_{\varphi }}\left( t \right)$ folgt dann

$\begin{align} & {{{\underline{D}}}_{\varphi }}\Psi \left( \underline{x},t \right){{e}^{\mathfrak{i} \varphi \left( \underline{x},t \right)}}=\left( \underline{\nabla }\Psi \right){{e}^{\mathfrak{i} \varphi \left( \underline{x},t \right)}}+\Psi \mathfrak{i} \left( \underline{\nabla }\varphi \right){{e}^{\mathfrak{i} \varphi \left( \underline{x},t \right)}}+{{{\underline{f}}}_{\varphi }}\left( \underline{x},t \right)\quad ={{e}^{\mathfrak{i} \varphi \left( \underline{x},t \right)}}\left( {{{\underline{D}}}_{\varphi }}+\mathfrak{i} \underline{\nabla }\varphi \right)\Psi \\ & D_{\varphi }^{0}\Psi \left( \underline{x},t \right){{e}^{\mathfrak{i} \varphi \left( \underline{x},t \right)}}=\quad \quad \quad \quad \quad \quad ={{e}^{\mathfrak{i} \varphi \left( \underline{x},t \right)}}\left( \underline{D}_{\varphi }^{0}+\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\varphi \right)\Psi \\ \end{align}$

Die lokale Eichtransformation bewirkt also

$\begin{align} & {{{\underline{D}}}_{\varphi }}=\underline{\nabla }+{{{\underline{f}}}_{\varphi }}\left( \underline{x},t \right)\quad \leftrightarrow \quad \underline{D}=\underline{\nabla }+{{{\underline{f}}}_{\varphi }}\left( \underline{x},t \right)+\mathfrak{i} \nabla \varphi \left( \underline{x},t \right) \\ & {{D}_{0}}={{\partial }_{t}}+{{g}_{\varphi }}\left( \underline{x},t \right)\quad \leftrightarrow \quad {{D}^{0}}={{\partial }_{t}}+{{g}_{\varphi }}\left( \underline{x},t \right)+\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\varphi \left( \underline{x},t \right) \\ \end{align}$

(1.24)

Nun liefert der Vergleich mit (1.17)

$\underline{A}\to \underline{A}+\underline{\nabla }.\chi \quad \phi \to \phi -{{\partial }_{t}}\chi \quad \text{mit }\chi \in \mathbb{R}\quad c=1$

${{\underline{f}}_{\varphi }}=\mathfrak{i} \alpha \underline{A},\quad \varphi =\alpha \chi ,\quad {{g}_{\varphi }}=-\mathfrak{i} \alpha \varphi ,\quad \alpha \in \mathbb{R}$

in der Schrödingergleichung steht also statt $\underline{\nabla }$ nun $\underline{\nabla }+\mathfrak{i} \alpha \underline{A}$ und statt ${{\partial }_{t}}$ nun ${{\partial }_{t}}-\mathfrak{i} \alpha \varphi$ mit ${{\underline{f}}_{\varphi }},{{g}_{\varphi }}$ als Eichfelder.

Sei $\hbar =1$ . Statt

$\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\frac{1}{2m}{{\left( \frac{{\underline{\nabla }}}{\mathfrak{i} } \right)}^{2}}\Psi \to \text{nun }\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi +\alpha \phi \Psi =\frac{1}{2m}{{\left( \frac{{\underline{\nabla }}}{\mathfrak{i} }+\alpha \underline{A} \right)}^{2}}\Psi$

Die Umbenennung von $\alpha \to -e$ liefert

$\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\left\{ \frac{{{\left( \underline{p}-e\underline{A} \right)}^{2}}}{2m}+e\phi \right\}\Psi$

(1.25)

Diskussion

Die „Vorschrift“ $\underline{p}\to \underline{p}-e\underline{A}$ heißt minimale Kopplung
Durch das Prinzip der lokalen Eichinvarianz haben wir die Potentiale ϕ und A sowie die Kopplungskonstante e quasi „hergeleitet“.
- Jetzt Klein-Gordon-Gleichung mit ϕ, A: Wieder eichinvariante Ableitungen wie bei Schrödingergleichung

$\begin{align} & \hat{\underline{p}}=\frac{\hbar }{\mathfrak{i} }\underline{\nabla }\quad \to \hat{\underline{p}}-e\underline{A}=\frac{\hbar }{\mathfrak{i} }\underline{\nabla }-e\underline{A} \\ & {{\partial }_{t}}\quad \to {{\partial }_{t}}+\mathfrak{i} e\phi \\ \end{align}$

(1.26)

$\begin{align} & \square =\partial _{t}^{2}-{{{\underline{\nabla }}}^{2}}\quad \to {{\left( {{\partial }_{t}}+\mathfrak{i} e\varphi \right)}^{2}}-{{\left( \underline{\nabla }-\frac{\mathfrak{i} e}{\hbar }\underline{A} \right)}^{2}} \\ & \left( \square +{{m}^{2}} \right)\Psi =0\quad \to \left\{ {{\left( {{\partial }_{t}}+\mathfrak{i} e\varphi \right)}^{2}}-{{\left( \underline{\nabla }-\mathfrak{i} e\underline{A} \right)}^{2}}+{{m}^{2}} \right\}\Psi =0\quad \left( \hbar =c=1 \right) \\ \end{align}$

Anwendung: Klein Gordon Gleichung für Coulomb-Potential: $\underline{A}=0,\quad e\phi =-\frac{Z}{\alpha }$ . Ähnlich wie bei derSchrödingergleichung für das Wasserstoffproblem haben wir

$\left\{ {{\left( {{\partial }_{t}}+\mathfrak{i} e\varphi \right)}^{2}}-\Delta +m_{0}^{2} \right\}\Psi =0$

(1.27)

Lösen durch Separationsansatz

$\Psi \left( r,\theta ,\varphi ;t \right)={{e}^{\mathfrak{i} Et}}\underbrace{{{Y}_{lm}}\left( \theta ,\varphi \right)}_{\text{Kugelfl }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ chenfunktionen}}\frac{\chi \left( r \right)}{x}$

Radialgleichung für Radialwellenfunktionen $\chi \left( r \right)$
Vergleich mit H-Atom. Schrödingergleichung (AUFGABE) liefert

$E=\pm {{m}_{0}}\left( 1-\frac{{{Z}^{2}}{{\alpha }^{2}}}{2{{n}^{2}}}+\frac{{{Z}^{2}}{{\alpha }^{4}}}{{{n}^{4}}}\left[ \frac{3}{8}-\frac{n}{2l+1} \right]+O\left( {{z}^{6}}{{\alpha }^{6}} \right) \right)$

(1.28)

hier gibt es positive und negative Lösungen $\underbrace{n}_{\text{Hauptquantenzahl}}\equiv \underbrace{{{n}_{r}}}_{\text{Radialquantenzahl}}+1+l$

Der 3. Termin in (1.28) ist die relativistische Korrektur zur kinetischen Energie. Spin wird durch Klein-Gordon-Gleichung nicht beschrieben deshalb ist (1.28) nicht geeignet für Feinstruktur des H-Atoms

Klein Gordon Gleichung beschreibt Spin -0 – Teilchen z.B. π-Mesonen.

Spin ½ → Dirac Gleichung

↑ $\underline{D}\Psi$ für Wellenfunktion ohne extra Phase ${{e}^{\mathfrak{i} \varphi }}$ , ${{\underline{D}}_{\varphi }}\Psi {{e}^{\mathfrak{i} \varphi }}$ für Wellenfunktion mit extra Phase

Die Dirac Gleichung

Die Klein-Gordon-Gleichung

${{\left( \mathfrak{i} {{\partial }_{t}}-e\phi \right)}^{2}}\Psi =\left( {{\left( \hat{\underline{p}}-e\underline{A} \right)}^{2}}+{{m}^{2}} \right)\Psi \quad c=\hbar =1$

(1.29)

lässt sich durch Wurzelziehen umschreiben in

$\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\left( \pm \sqrt{{{\left( \hat{\underline{p}}-e\underline{A} \right)}^{2}}+{{m}^{2}}}+e\phi \right)\Psi$

(1.30)

Aus der Wurzel lässt sich durch Entwicklung die Schrödingergleichung zurückgewinnen mit dem Ruheenergie Zusatzterm mc². Allerdings stört die Quadratwurzel.

Dirac: Linearisierung als

$\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\hat{H}\Psi \quad \hat{H}=e\phi +\underline{\alpha }\left( \underline{\hat{p}}-e\underline{A} \right)+\beta m$

(1.31)

mit $\underline{\alpha }=\left( {{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},{{\alpha }_{3}} \right)\,,\,\beta$ zu bestimmen.

Ansatz $\left[ \underline{\alpha },\underline{p} \right]=\left[ \beta ,{{p}_{i}} \right]=0$ ^[1]

Für $\phi =\underline{A}=0$ soll $\hat{H}=\sqrt{{{{\hat{\underline{p}}}}^{2}}+{{m}^{2}}}$ also ${{\underline{\hat{p}}}^{2}}+{{m}^{2}}={{\left( \underline{\alpha }\underline{\hat{p}}+\beta m \right)}^{2}}$ .

Vielleicht liefert

${{\beta }^{2}}=1,\quad {{\alpha }_{i}}\beta +\beta {{\alpha }_{i}}=0,\quad {{\alpha }_{i}}{{\alpha }_{j}}+{{\alpha }_{j}}{{\alpha }_{i}}=2{{\delta }_{ij}}\quad i\in \left\{ 1,2,3 \right\}$

(1.32)

die Lösung.

$\underline{\alpha },\beta$ erzeugen eine sogenannten Clifford-Algebra von 4x4 Matrizen

Zeige, dass es 4x4-Matritzen sind:

$α i,β$ sollen hermitesch sein ( $\hat{H}$ soll nur reelle Eigenwerte haben): ${{\alpha }_{i}}={{\alpha }_{i}}^{+}\equiv {{\left( {{a}_{i}}^{*} \right)}^{T}}$
${{\beta }^{2}}=\alpha _{i}^{2}=1\Rightarrow \beta ={{\beta }^{T}}={{\beta }^{-1}}\Rightarrow \beta$ unitär, ebenso $α i$ unitär
Aus ${{\alpha }_{i}}=-\beta {{\alpha }_{i}}{{\beta }^{-1}}\Rightarrow \underbrace{Tr}_{\text{Spur}}\left( {{\alpha }_{i}} \right)=-Tr\left( \beta {{\alpha }_{i}}{{\beta }^{-1}} \right)\underbrace{=}_{\text{zyklische Vertauschung}}-Tr\left( {{\alpha }_{i}} \right)\Rightarrow Tr\left( {{\alpha }_{i}} \right)=0$

analog $\beta =-{{\alpha }_{i}}\beta {{\alpha }_{i}}^{-1}\Rightarrow Tr\left( \beta \right)=0$

${{\beta }^{2}}=\alpha _{i}^{2}=1\Rightarrow {{\alpha }_{i}},\beta$ haben nur die Eigenwerte $\pm 1$
Aus Spurfreiheit folgt, dass die Summe der Eigenwerte 0 ist. Also haben $α i,β$ grade Dimension
2x2 Matrizen tun es nicht:

Freie Parameter bei Matrizen! M!! **P=Anzahl der Parameter in einer NxN-Matrix M**
komplex	2N²
Komplex, hermitesch $M = M T$	N²(Diagonale)+N²-N=N²
$M={{M}^{T}},Tr\left( M \right)=0$	$N 2 - 1$ wegen der Zusatzbedingung $Tr\left( M \right)=0$

Für N=2 folgt p=3 reelle Parameter.

2x2 Matritzden M mit $M={{M}^{T}},Tr\left( M \right)=0$ lassen sich als Linearkombinationen mit p=3 reellen Parametern mit der Basis der Pauli-Matrizen

${{\sigma }_{1}}=\left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right)\quad {{\sigma }_{2}}=\left( \begin{matrix} 0 & -\mathfrak{i} \\ \mathfrak{i} & 0 \\ \end{matrix} \right)\quad {{\sigma }_{3}}=\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{matrix} \right)$

(1.33)

darstellen, d.h,

$M=\underline{p}.\underline{\sigma }={{p}_{1}}{{\underline{\underline{\sigma }}}_{1}}+{{p}_{2}}{{\underline{\underline{\sigma }}}_{2}}+{{p}_{2}}{{\underline{\underline{\sigma }}}_{2}},\quad \underline{\sigma }=\underbrace{\left( {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{1}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{2}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{3}} \right)}_{\text{Vektor der Pauli-Matrizen}}\quad ,\underline{p}=\underbrace{\left( {{p}_{1}},{{p}_{2}},{{p}_{3}} \right)}_{\in {{\mathbb{R}}^{3}}}$

${{\underline{\underline{\sigma }}}_{i}}^{2}=\underline{\underline{1}},\quad {{\underline{\underline{\sigma }}}_{i}}^{T}={{\underline{\underline{\sigma }}}_{i}},\quad Tr\left( {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}} \right)=0,\quad \left\{ {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}} \right\}:={{\underline{\underline{\sigma }}}_{i}}{{\underline{\underline{\sigma }}}_{j}}-{{\underline{\underline{\sigma }}}_{j}}{{\underline{\underline{\sigma }}}_{i}}=2{{\delta }_{ij}}\underline{\underline{1}}$

^[2]

(1.34)

Die Pauli-Matrizen sind 3 linear unabhängige, antikommutierende Spurlose Matrizen, für (1.32) bräuchte man also 4, deshalb kann (1.32) nicht mit 2x2-Matrizen erfüllt werden.

Die 4x4 Matrizen werden gewählt als (in 2x2-Blockdarstellung)

${{\alpha }_{i}}=\left( \begin{matrix} {\underline{\underline{0}}} & {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}} \\ {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}} & {\underline{\underline{0}}} \\ \end{matrix} \right),\quad \beta =\left( \begin{matrix} {\underline{\underline{1}}} & {\underline{\underline{0}}} \\ {\underline{\underline{0}}} & -\underline{\underline{1}} \\ \end{matrix} \right)$

(1.35)

Es gilt ${{\underline{\underline{\alpha }}}_{i}}^{2}=\left( \begin{matrix} {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}^{2} & {\underline{\underline{0}}} \\ {\underline{\underline{0}}} & {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}^{2} \\ \end{matrix} \right),\quad {{\underline{\underline{\beta }}}^{2}}=\underline{\underline{1}}$ (4x4 Einheitsmatrix). (CHECK 1.32)

Außerdem ${{\underline{\underline{\alpha }}}_{i}}={{\underline{\underline{\alpha }}}_{i}}^{T},\quad \underline{\underline{\beta }}={{\underline{\underline{\beta }}}^{T}},\quad {{\underline{\underline{\alpha }}}_{i}},\underline{\underline{\beta }}$ unitär und spurlos.

Die Wellenfunktion Ψ in der Dirac-Gleichung (ohne Elektromagnetische Felder)

Dirac-Gleichung

$\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\left( \underline{\alpha }.\hat{\underline{p}}-\beta m \right)\Psi$

(1.36)

sind 4-komponentige Spinoren $\Psi \left( x \right)=\left( \begin{matrix} {{\Psi }_{1}}\left( x \right) \\ {{\Psi }_{2}}\left( x \right) \\ {{\Psi }_{3}}\left( x \right) \\ {{\Psi }_{4}}\left( x \right) \\ \end{matrix} \right),\quad x=\left( ct,\underline{x} \right)$

Dirac-Gleichung und Spin: nichtrelativistischer Grenzfall

Mit (Vektor) Potential haben wir die Dirac-Gleichung als

$\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\left( \underline{\alpha }\left( \underline{\hat{p}}-e\underline{A} \right)+\beta m+e\phi \right)\Psi ,\quad \hbar =c=1$

(1.37)

Jetzt erfolgt die Zerlegung $\Psi =\left( \begin{align} & \varphi \\ & \chi \\ \end{align} \right)\underbrace{{{e}^{-\mathfrak{i} mt}}}_{\text{Ruheenergie-Phasenfaktor}}=\left( \begin{align} & \varphi \\ & \chi \\ \end{align} \right){{e}^{\frac{-\mathfrak{i} m{{c}^{2}}t}{\hbar }}}$ , mit den 2er Spinoren

$\varphi =\left( \begin{align} & {{\varphi }_{1}} \\ & {{\varphi }_{2}} \\ \end{align} \right),\quad \chi =\left( \begin{align} & {{\chi }_{1}} \\ & {{\chi }_{2}} \\ \end{align} \right).$

Damit folgt dann

$\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\left( \begin{align} & \varphi \\ & \chi \\ \end{align} \right)=\left( \begin{align} & \underline{\sigma }\left( \underline{\hat{p}}-e\underline{A} \right)\chi \\ & \underline{\sigma }\left( \underline{\hat{p}}-e\underline{A} \right)\varphi \\ \end{align} \right)+e\phi \left( \begin{align} & \varphi \\ & \chi \\ \end{align} \right)-2m{{c}^{2}}\left( \begin{align} & 0 \\ & \chi \\ \end{align} \right)$

(1.38)

Beachte das jetzt überall $\varphi =\varphi \left( \underline{x},t \right)$ gilt

Jetzt: Näherung/Annahme das kinetische und potentielle Energie viel kleiner als Ruhemasse $m c 2$ ist

$\begin{align} & mc{{\chi }^{2}}\gg \left| i\hbar {{\partial }_{t}}\chi \right|,\quad mc{{\chi }^{2}}\gg \left| e\phi \varphi \right| \\ & \Rightarrow \chi \approx \frac{1}{2m{{c}^{2}}}\underline{\sigma }\left( \underline{p}-e\underline{A} \right)\varphi \\ \end{align}$

(1.39)

einsetzen in die Gleichung (1.38) liefert

$i{{\partial }_{t}}\varphi =\frac{1}{2m}\left( \underline{\sigma }{{\left( \underline{p}-e\underline{A} \right)}^{2}} \right)\varphi +e\phi \varphi$

(1.40)

Jetzt folgendes „Theorem“ benutzen

$\begin{align} \left( \underline{\sigma }\underline{A} \right)\left( \underline{\sigma }\underline{B} \right)=\underline{A}\underline{B}\underline{\underline{1}}+\mathfrak{i} \underline{\sigma }\left( \underline{A}\times \underline{B} \right) \\ \end{align}$

(1.41)

mit

$\begin{align} \underline{A}=\left( {{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}} \right),\underline{B}=\left( {{B}_{1}},{{B}_{2}},{{B}_{3}} \right),\underline{A},\underline{B} \text{ vektorwertiger Operator und} \\ \underline{\sigma }=\left( {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{1}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{2}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{3}} \right) \text{Vektor der Pauli-Matrizen} \\ \end{align}$

Beweis von (1.41) mittels (Anti) Kommutator-Eigenschaften (AUFGABE)

$\begin{align} & \left\{ {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}} \right\}:={{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}}+{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}=2{{\delta }_{ij}}\underline{\underline{1}} \\ & \left[ {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}} \right]:={{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}}-{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}=2\mathfrak{i} {{\varepsilon }_{ijk}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{k}} \\ \end{align}$

(1.42)

Es gilt weiterhin (AUFGABE), beachte $\underline{p}=\frac{\hbar }{\mathfrak{i} }\underline{\nabla }$ und $\underline{A}=\underline{A}\left( \underline{x},t \right)$

$\left( \underline{p}-e\underline{A} \right)\times \left( \underline{p}-e\underline{A} \right)=-\frac{e\hbar }{\mathfrak{i} }\underbrace{\left( \underline{\nabla }\times \underline{A} \right)}_{\text{Magnetfeld}}=-\frac{e\hbar }{\mathfrak{i} }\underbrace{{\underline{B}}}_{\text{Magnetfeld}}$

(1.43)

Mit (1.43) folgt aus (1.41) die Kopplung von Spin und Magnetfeld

Pauli-Gleichung $i{{\partial }_{t}}\varphi =\left[ \frac{1}{2m}{{\left( \underline{p}-e\underline{A} \right)}^{2}}-\underbrace{\frac{e\hbar }{2m}\underline{\sigma }.\underline{B}}_{\text{Pauli-Term}}+e\phi \right]\varphi$

(1.44)

mit dem 2-Komponentigen Spinor $\varphi =\left( \begin{align} & {{\varphi }_{1}} \\ & {{\varphi }_{2}} \\ \end{align} \right)$

siehe auch

Der_nichtrelativistische_Grenzfall#Nichtrelativistische_Näherung:

Weitere Eigenschaften der Dirac-Gleichung

Wir starten von

$i{{\partial }_{t}}\Psi =\left( \underline{a}.\underline{\hat{p}}+\beta m \right)\Psi$

(1.45)

Kontinuitätsgleichung mit $Ψ +$ (1.45) und (1.45)+ $Ψ$

$\begin{align} & \mathfrak{i} {{\Psi }^{+}}\dot{\Psi }\quad ={{\Psi }^{+}}\left( \underline{\alpha }.\hat{\underline{p}}+\beta m \right)\Psi \\ & -\mathfrak{i} {{{\dot{\Psi }}}^{+}}\Psi \quad ={{\left( \underline{p}\Psi \right)}^{+}}\underline{\alpha }\Psi +m{{\Psi }^{+}}\beta \Psi \\ & ------------------------ \\ & \mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\underbrace{\left( {{\Psi }^{+}}\Psi \right)}_{:=\rho }\quad ={{\Psi }^{+}}\underline{\alpha }\left( \underline{p}\Psi \right)-{{\left( \underline{p}\Psi \right)}^{+}}\underline{\alpha }\Psi \\ & \quad =-\mathfrak{i} \sum\limits_{k}{{{\Psi }^{+}}{{\alpha }_{k}}\left( {{\partial }_{k}}\Psi \right)-{{\left( {{\partial }_{k}}\Psi \right)}^{+}}{{\alpha }_{k}}\Psi } \\ & \quad =-\mathfrak{i} \sum\limits_{k}{{{\partial }_{k}}\underbrace{\left( {{\Psi }^{+}}{{\alpha }_{k}}\Psi \right)}_{:={{j}_{k}}}} \\ \end{align}$

mit der Wahrscheinlichkeitsdichte ρ und der Wahrscheinlichkeitsstromdichte j_k.

$\begin{align} & \rho :={{\Psi }^{+}}\Psi =\sum\limits_{k=1}^{4}{\Psi _{k}^{*}{{\Psi }_{k}}} \\ & \underline{j}={{\Psi }^{+}}\underline{\alpha }\Psi \\ \end{align}$

(1.46)

(Kontinuitätsgleichung)

$\Rightarrow {{\partial }_{t}}\rho +\underline{\nabla }\underline{j}=0$

(1.47)

Die Wahrscheinlichkeitsdichte setzt sich aus den 4 Komponenten des Spinors

Ψ

zusammen.

Lorentz-Invarianz</li>

Umdefinieren der Matrizen ${{\underline{\underline{\alpha }}}_{k}},\underline{\underline{\beta }}$ als

${{\gamma }^{0}}:=\beta =\left( \begin{matrix} {\underline{\underline{1}}} & {\underline{\underline{0}}} \\ {\underline{\underline{0}}} & -\underline{\underline{1}} \\ \end{matrix} \right)\quad ;\quad {{\gamma }^{k}}=\beta {{\alpha }_{k}}=\left( \begin{matrix} 0 & {{\sigma }_{k}} \\ -{{\sigma }_{k}} & 0 \\ \end{matrix} \right)$

(1.48)

$\begin{align} & {{\left( {{\gamma }^{0}} \right)}^{+}}={{\gamma }^{0}},{{\left( {{\gamma }^{0}} \right)}^{2}}=1 \\ & {{\left( {{\gamma }^{k}} \right)}^{+}}=-{{\gamma }^{k}},{{\left( {{\gamma }^{k}} \right)}^{2}}=-1\quad k\in \left\{ 1,2,3 \right\} \\ & {{\gamma }^{\mu }}{{\gamma }^{\nu }}+{{\gamma }^{\nu }}{{\gamma }^{\mu }}=2{{g}^{\mu }}^{\nu },\quad {{g}^{\mu }}^{\nu }=diag\left( 1,-1,-1,-1 \right) \\ \end{align}$

(1.49)

(z.B. ${{\gamma }^{k}}{{\gamma }^{j}}+{{\gamma }^{j}}{{\gamma }^{k}}=\beta {{\alpha }_{k}}\beta {{\alpha }_{j}}+\beta {{\alpha }_{j}}\beta {{\alpha }_{k}}\underbrace{=}_{1.32}-{{\alpha }_{k}}{{\beta }^{2}}{{\alpha }_{j}}-{{\alpha }_{j}}{{\beta }^{2}}{{\alpha }_{k}}=-2{{\delta }_{jk}}$ )

Relativistische Notation

kontravarianter VierervektorVierervektor mit Index oben

${{x}^{\mu }}\leftrightarrow \left( {{x}^{0}},{{x}^{1}},{{x}^{2}},{{x}^{3}} \right):=\left( ct,x,y,z \right)=\left( ct,\underline{x} \right)$

(1.50)

kovarianter Vierervektor mit Index unten (kow steht below)

${{x}_{\mu }}=\left( {{x}_{0}},{{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}} \right):=\left( ct,-x,-y,-z \right)=\left( ct,-\underline{x} \right)$

(1.51)

Das relativistische Skalarprodukt

${{x}_{\mu }}{{x}^{\mu }}=\sum\limits_{\mu =0}^{4}{{{x}_{\mu }}{{x}^{\mu }}={{c}^{2}}{{t}^{2}}-{{{\underline{x}}}^{2}}}$

(1.52)

bleibt invariant unter Lorentz-Transformation.

Metrischer Tensor
${{g}_{\mu }}_{\nu }={{g}^{\mu }}^{\nu }=diag\left( 1,-1,-1,-1 \right)$
in der SRT der selbe überall
Hoch und Runterziehen ${{x}_{\mu }}={{g}_{\mu }}_{\nu }{{x}^{\nu }}\quad {{x}^{\mu }}={{g}^{\mu }}^{\nu }{{x}_{\nu }}$
Lorentz-Transformation wie in (1.11) (Bewegung in x-Richtung)

$\begin{align} & ct'=\gamma ct-\gamma \beta x \\ & x'=-\beta \gamma ct+\gamma x \\ \end{align}$

allgemein $x{{'}_{\mu }}={{L}^{\mu }}_{\nu }{{x}^{\nu }}$

(1.53)

hier mit ${{L}^{\mu }}_{\nu }=\left( \begin{matrix} \gamma & -\beta \gamma & 0 & 0 \\ -\beta \gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)$ .

Invarianz von $x μ x μ$ unter Lorentz-Transformationen:

$x{{'}_{\mu }}x{{'}^{\mu }}={{g}_{\mu }}_{\nu }x{{'}^{\nu }}x{{'}^{\mu }}={{g}_{\mu }}_{\nu }{{L}^{\nu }}_{\alpha }{{x}^{\alpha }}{{L}^{\mu }}_{\beta }{{x}^{\beta }}={{g}_{\alpha }}_{\beta }{{x}^{\alpha }}{{x}^{\beta }}={{x}_{\beta }}{{x}^{\beta }}$

(1.54)

Für Vierervektoren $a μ$ , die sich wie der Koordinatenvektor $x μ$ bei Lorentz-Transformation transformieren(1.53), ist $a μ a μ$ Lorentz-invariant.

GradientVierergradient (etc)

$\begin{align} & {{\partial }^{\nu }}=\frac{\partial }{\partial {{x}_{\nu }}}\quad \text{kontravarianter Vierergradient} \\ & {{\partial }_{\nu }}=\frac{\partial }{\partial {{x}^{\nu }}}\quad \text{kovarianter Vierergradient} \\ \end{align}$

(1.55)

Die Dirac-Gleichung folgt aus

$\begin{align} & \left( \mathfrak{i} {{\partial }_{t}}-\underline{\alpha }\frac{1}{\mathfrak{i} }\underline{\nabla }-\beta m \right)\Psi =0\quad |\centerdot \beta \\ & \left( \mathfrak{i} {{\gamma }^{0}}\underbrace{{{\partial }_{t}}}_{{{\partial }_{0}}}+\frac{1}{\mathfrak{i} }\sum\limits_{k=1}^{3}{{{\gamma }^{k}}\underbrace{{{\partial }_{{{x}^{k}}}}}_{{{\partial }_{k}}}} \right)\Psi =0 \\ \end{align}$

Dirac-Gleichung

$\left( \mathfrak{i} {{\gamma }^{\mu }}{{\partial }_{\mu }}-m \right)\Psi =0$

(1.56)

Relativistische Invarianz: Gleiche Form der Dirac-Gleichun in zwei System S,S‘ (die sich gleichförmig gegeneinander bewegen) aber nicht Invarianz der Dgl. gegenüber Lorentz-Transformationen

Es muss also gelten

$\left( \mathfrak{i} {{\gamma }^{\nu }}{{\partial }_{\nu }}-m \right)\Psi =0\ \left( \text{in S} \right)\quad \left( \mathfrak{i} \gamma {{'}^{\nu }}\partial {{'}_{\nu }}-m' \right)\Psi '=0\ \left( \text{in S }\!\!'\!\!\text{ } \right)$

(1.57)

(Hier ohne Vektorpotential, mit Vektorpotential A analog, vgl. Rollnik II)

Lorentz-Transformation

Koordinaten $x{{'}^{\mu }}={{L}^{\mu }}_{\nu }{{x}^{\nu }}$

Ableitung

$\partial {{'}_{\mu }}=\frac{\partial }{\partial x{{'}^{\mu }}}=\frac{\partial x{{'}^{\nu }}}{\partial {{x}^{\mu }}}\frac{\partial }{\partial {{x}^{\nu }}}={{\left( {{L}^{-1}} \right)}^{\nu }}_{\mu }{{\partial }_{\nu }}$

Wellenfunktion (4er Spinor) $\Psi '\left( x' \right)=\underbrace{S}_{\in {{M}^{4x4}}}\Psi \left( x \right)$

Ruhemasse ist dieselbe $m' = m$

Selbe Ableitung der Dirac-Gleichung

γ' ν = γ ν

Also muss gelten

$\left( \mathfrak{i} \gamma {{'}^{\nu }}\partial {{'}_{\nu }}-m' \right)\Psi '=0\Rightarrow \left( \mathfrak{i} {{\gamma }^{\nu }}{{\left( {{L}^{-1}} \right)}^{\mu }}_{\nu }{{\partial }_{\mu }}-m \right)S\Psi =0$

Multiplikation von S^-1 von links

Vergleich mit (1.57) ${{\left( {{L}^{-1}} \right)}^{\mu }}_{\nu }{{S}^{-1}}{{\gamma }^{\nu }}S={{\gamma }^{\mu }}$

$\Rightarrow {{S}^{-1}}{{\gamma }^{\alpha }}S={{L}^{\alpha }}_{\mu }{{\gamma }^{\mu }}$

(1.58)

Wenn (1.58) erfüllt ist, folgt relativistische Invarianz.

Konstriktion der Matrix S: Für kleine $\beta :=\frac{v}{c}\ll 1$

$S\left( \beta \right)=\underline{\underline{1}}+\frac{\beta }{2}{{\gamma }^{1}}{{\gamma }^{0}}+O\left( {{\beta }^{2}} \right)=\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)+\frac{\beta }{2}\left( \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right)+O\left( {{\beta }^{2}} \right)$

(1.59)

Für beliebige ß durch Exponenten (wichtiger Trick, steckt natürlich tiefere Mathematik dahinter: Liegruppen, Lie-Algebra…)

$\left( {{\gamma }^{\mu }}{{k}_{\mu }}-m \right)\underbrace{\left( {{\gamma }^{\nu }}{{k}_{\nu }}+m \right)\left( \begin{align} & 0 \\ & 0 \\ & {{u}_{1}} \\ & {{u}_{2}} \\ \end{align} \right)}_{{{{\tilde{\phi }}}_{-}}}=0$

$\begin{align} & -{{{\tilde{\phi }}}_{-}}=-\left( E+m \right)\left( \begin{align} & {{u}_{1}} \\ & {{u}_{2}} \\ & 0 \\ & 0 \\ \end{align} \right)-{{k}_{x}}\left( \begin{matrix} 0 & {{\sigma }_{x}} \\ -{{\sigma }_{x}} & 0 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{align} & {{u}_{1}} \\ & {{u}_{2}} \\ & 0 \\ & 0 \\ \end{align} \right)-{{k}_{y}}... \\ & =-\left( \begin{align} & \underline{k}.\underline{\sigma }\left( \begin{align} & {{u}_{1}} \\ & {{u}_{2}} \\ \end{align} \right) \\ & \left( E+m \right)\left( \begin{align} & {{u}_{1}} \\ & {{u}_{2}} \\ \end{align} \right) \\ \end{align} \right) \end{align}$

(1.60)

Berechnung (AUFGABE) ergibt

$S\left( \beta \right)=\cosh \frac{\beta }{2}+\sinh \left( \frac{\beta }{2} \right){{\underline{\underline{\gamma }}}^{1}}{{\underline{\underline{\gamma }}}^{0}}$

(1.61)

Kontinuitätsgleichung, Viererstromdichte (1.37)

(ViererstromdichteViererstromdichte)

j μ = Ψ + γ 0 γ μ Ψ

(1.62)

(KontinuitätsgleichungKontinuitätsgleichung)

${{\partial }_{\mu }}{{j}^{\mu }}=0$

(1.63)

Lorentz-Invarianz von ${{\partial }_{\mu }}{{j}^{\mu }}$ :  zeige $\partial {{'}_{\mu }}j{{'}^{\mu }}=0$ wobei

$\partial {{'}_{\mu }}=\frac{\partial }{\partial x{{'}^{\mu }}}=\frac{\partial x{{'}^{\nu }}}{\partial {{x}^{\mu }}}\frac{\partial }{\partial {{x}^{\nu }}}={{\left( {{L}^{-1}} \right)}^{\nu }}_{\mu }{{\partial }_{\nu }}$

(1.64)

(1.65)

{{{3}}}

$\partial {{'}_{\mu }}j{{'}^{\mu }}=\underbrace{{{\left( {{L}^{-1}} \right)}^{\nu }}_{\mu }{{\partial }_{\nu }}{{L}^{\mu }}_{\alpha }}_{{{\delta }^{\nu }}_{\alpha }}{{j}^{\alpha }}={{\partial }_{\nu }}{{j}^{\nu }}=0$

→ Lorentz-Invarianz von

${{\partial }_{\mu }}{{j}^{\mu }}$

Lösungen der Dirac-Gleichung (freies Teilchen)

Wir starten von

$\left( \mathfrak{i} {{\gamma }^{\mu }}{{\partial }_{\mu }}-m \right)\Psi =0\Leftrightarrow \left[ \mathfrak{i} \left( {{\gamma }^{0}}{{\partial }_{t}}+{{\gamma }^{1}}{{\partial }_{{{x}^{1}}}}+{{\gamma }^{2}}{{\partial }_{{{x}^{2}}}}+{{\gamma }^{3}}{{\partial }_{{{x}^{3}}}} \right)-m \right]\Psi =0$

Separationsansatz

$\Psi \left( \underline{x},t \right)={{e}^{-\mathfrak{i} Et}}\phi \left( {\underline{x}} \right)$

$\left[ \Epsilon {{\gamma }^{0}}+\mathfrak{i} \left( {{\gamma }^{1}}{{\partial }_{1}}+{{\gamma }^{2}}{{\partial }_{2}}+{{\gamma }^{3}}{{\partial }_{3}} \right)-m \right]\phi \left( {\underline{x}} \right)=0$

(1.66)

Ansatz $\phi \left( {\underline{x}} \right)=\phi =const\Rightarrow \left( E{{\gamma }^{0}}-m \right)\phi =0$ (Eigenwertgleichung)

${{\gamma }^{0}}\phi =\frac{m}{E}\phi \Leftrightarrow \left( \begin{matrix} 1 & {} & {} & {} \\ {} & 1 & {} & {} \\ {} & {} & -1 & {} \\ {} & {} & {} & -1 \\ \end{matrix} \right)\phi =\frac{m}{E}\phi \,$

(hat 2 Eigenwerte)

$\frac{m}{E}=+1\Leftrightarrow {{\phi }_{+}}=\left( \begin{align} & {{u}_{1}} \\ & {{u}_{2}} \\ & 0 \\ & 0 \\ \end{align} \right)\quad und\quad \frac{m}{E}=-1\Leftrightarrow {{\phi }_{-}}=\left( \begin{align} & 0 \\ & 0 \\ & {{u}_{1}} \\ & {{u}_{2}} \\ \end{align} \right)$

(1.67)

Diskussion

${{\Psi }_{+}}={{e}^{-\mathfrak{i} Et}}\left( \begin{align} & {{u}_{1}} \\ & {{u}_{2}} \\ & 0 \\ & 0 \\ \end{align} \right),\quad E=+m{{c}^{2}}$ , zwei linear unabhängige Lösungen beschreibt ruhendes Teilchen der Masse m, Ruheenergie $E = m c 2 > 0$
Zwei Komponenten u₁, u₂ beschreiben Spin - ½, z.B.

$\left( \begin{align} & {{u}_{1}} \\ & {{u}_{2}} \\ \end{align} \right)=\left( \begin{align} & 1 \\ & 0 \\ \end{align} \right)=\left| \uparrow \right\rangle \quad \left( \begin{align} & {{u}_{1}} \\ & {{u}_{2}} \\ \end{align} \right)=\left( \begin{align} & 0 \\ & 1 \\ \end{align} \right)=\left| \downarrow \right\rangle$

(1.68)

→ Dirac-Gleichung beschreibt Spin- ½ Teilchen.

${{\Psi }_{-}}={{e}^{-\mathfrak{i} Et}}\left( \begin{align} & 0 \\ & 0 \\ & {{u}_{1}} \\ & {{u}_{2}} \\ \end{align} \right),\quad E=-m{{c}^{2}}$ zwei linear unabhängige Lösungen

(1.69)

hat aber negative Energie! Interpretationsproblem wie Klein-Gordon-Gleichung. Zufriedenstellend gelöst erst in der Quantenfeldtheorie (Teilchenerzeugung und Vernichtung).

„Anschauliche Interpretation“

Annahme vieler gleichartiger Spin- ½ -Teilchen der Masse m
Annahme: Es gibt einen Vielteilchen-Grundzustand („Vakuumzustand“), in dem alle Einzelteilchenzustände $Ψ -$ besetzt sind.
Ein einziges Elektron ist dann z.B. das Vakuum +1 Teilchen in einem Zustand $Ψ +$ .
„Teilchen-Loch“ Anregung: Anregung von $Ψ +$ nach $Ψ -$ lässt „Loch“ im „Fermi-See“ zurück: dies hat positive Ladung (fehlende negative Ladung)
nützliches Konzept für die Halbleiterphysik

Vorteile der Löcher-Theorie:

Vorrausage des Positron (Antiteilchen zum Elektron, gleiche Masse, entgegengesetzte Ladung)
Paarvernichtung / Erzeugung

Nachteile der Löcher-Theorie:

Unendlicher See nicht beobachteter Elektronen
Beruht auf „Paul-Prinzip“ und funktionier bei der Klein-Gordon-Gleichung, die Bosonen mit Spin 0 beschreibt nicht.

→ konsistente Lösung dieses Problems in der zweiten Quantisierung (letzer Teil VL): $Ψ$ als Feld, das quantisiert wird.

Laufenden ebene Wellen

(„laufende, nicht ruhende Teilchen“)

Ansatz ${{\Psi }_{\pm }}={{e}^{\mp \left( Et-\underline{k}.\underline{x} \right)}}{{\phi }_{\pm }}\left( E,\underline{k} \right),\quad E=+\sqrt{{{k}^{2}}+{{m}^{2}}}>0$ mit ${{k}_{\mu }}{{x}^{\mu }}:=Et-\underline{k}.\underline{x}\Rightarrow {{k}_{\mu }}=\left( E,-{{k}_{x}},-{{k}_{y}},-{{k}_{z}} \right)$

$\begin{align} & \left( {{\gamma }^{0}}E-{{\gamma }^{1}}{{k}_{x}}-{{\gamma }^{2}}{{k}_{y}}-{{\gamma }^{3}}{{k}_{z}}-m \right){{\phi }_{+}}=0\Leftrightarrow \left( {{\gamma }^{\mu }}{{k}_{\mu }}-m \right){{\phi }_{+}}=0 \\ & \left( -{{\gamma }^{0}}E+{{\gamma }^{1}}{{k}_{x}}+{{\gamma }^{2}}{{k}_{y}}+{{\gamma }^{3}}{{k}_{z}}-m \right){{\phi }_{-}}=0\Leftrightarrow \left( {{\gamma }^{\mu }}{{k}_{\mu }}+m \right){{\phi }_{-}}=0 \\ \end{align}$

(1.70)

(1.70) sind Gleichundgen für Spinoren (4-Komponentige Vektoren) ${{\phi }_{\pm }}$ .

Lösung wie Matrixgleichung $\underline{\underline{M}}\underline{x}=0$ möglich, einfacher Trick:

$\begin{align} & \left( {{\gamma }^{\mu }}{{k}_{\mu }}-m \right)\left( {{\gamma }^{\nu }}{{k}_{\nu }}+m \right)={{\gamma }^{\mu }}{{k}_{\mu }}{{\gamma }^{\nu }}{{k}_{\nu }}-{{m}^{2}}={{E}^{2}}-{{k}^{2}}-{{m}^{2}}=0,\quad \\ & mit\,{{\left( {{\gamma }^{\mu }} \right)}^{2}}=\pm 1,{{E}^{2}}={{k}^{2}}+{{m}^{2}},\hbar =c=1 \\ \end{align}$

$\left( {{\gamma }^{\mu }}{{k}_{\mu }}-m \right)\underbrace{\left( {{\gamma }^{\nu }}{{k}_{\nu }}+m \right)\left( \begin{align} & {{u}_{1}} \\ & {{u}_{2}} \\ & 0 \\ & 0 \\ \end{align} \right)}_{{{{\tilde{\phi }}}_{+}}}=0$

$\begin{align} & {{{\tilde{\phi }}}_{+}}=\left( E+m \right)\left( \begin{align} & {{u}_{1}} \\ & {{u}_{2}} \\ & 0 \\ & 0 \\ \end{align} \right)-{{k}_{x}}\left( \begin{matrix} 0 & {{\sigma }_{x}} \\ -{{\sigma }_{x}} & 0 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{align} & {{u}_{1}} \\ & {{u}_{2}} \\ & 0 \\ & 0 \\ \end{align} \right)-{{k}_{y}}... \\ & =\left( \begin{align} & \left( E+m \right)\left( \begin{align} & {{u}_{1}} \\ & {{u}_{2}} \\ \end{align} \right) \\ & \underline{k}.\underline{\sigma }\left( \begin{align} & {{u}_{1}} \\ & {{u}_{2}} \\ \end{align} \right) \\ \end{align} \right) \end{align}$

$\left( {{\gamma }^{\mu }}{{k}_{\mu }}-m \right)\underbrace{\left( {{\gamma }^{\nu }}{{k}_{\nu }}+m \right)\left( \begin{align} & 0 \\ & 0 \\ & {{u}_{1}} \\ & {{u}_{2}} \\ \end{align} \right)}_{{{{\tilde{\phi }}}_{-}}}=0$

$\begin{align} & -{{{\tilde{\phi }}}_{-}}=-\left( E+m \right)\left( \begin{align} & {{u}_{1}} \\ & {{u}_{2}} \\ & 0 \\ & 0 \\ \end{align} \right)-{{k}_{x}}\left( \begin{matrix} 0 & {{\sigma }_{x}} \\ -{{\sigma }_{x}} & 0 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{align} & {{u}_{1}} \\ & {{u}_{2}} \\ & 0 \\ & 0 \\ \end{align} \right)-{{k}_{y}}... \\ & =-\left( \begin{align} & \underline{k}.\underline{\sigma }\left( \begin{align} & {{u}_{1}} \\ & {{u}_{2}} \\ \end{align} \right) \\ & \left( E+m \right)\left( \begin{align} & {{u}_{1}} \\ & {{u}_{2}} \\ \end{align} \right) \\ \end{align} \right) \end{align}$

(1.71)

Insgesamt existieren also 4 linear unabhängige Lösungen mit der Basis

$\begin{align} & {{\phi }_{+}}^{\left( 1 \right)}=N\left( \begin{align} & \left( E+m \right){{{\underline{u}}}^{\left( 1 \right)}} \\ & \left( \underline{k}.\underline{\sigma } \right){{{\underline{u}}}^{\left( 1 \right)}} \\ \end{align} \right)\quad {{\phi }_{+}}^{\left( 2 \right)}=N\left( \begin{align} & \left( E+m \right){{{\underline{u}}}^{\left( 2 \right)}} \\ & \left( \underline{k}.\underline{\sigma } \right){{{\underline{u}}}^{\left( 2 \right)}} \\ \end{align} \right) \\ & {{\phi }_{-}}^{\left( 1 \right)}=N\left( \begin{align} & \left( \underline{k}.\underline{\sigma } \right){{{\underline{u}}}^{\left( 1 \right)}} \\ & \left( E+m \right){{{\underline{u}}}^{\left( 1 \right)}} \\ \end{align} \right)\quad {{\phi }_{-}}^{\left( 2 \right)}=N\left( \begin{align} & \left( \underline{k}.\underline{\sigma } \right){{{\underline{u}}}^{\left( 2 \right)}} \\ & \left( E+m \right){{{\underline{u}}}^{\left( 2 \right)}} \\ \end{align} \right) \\ \end{align}$

(1.72)

AUFGABE: Bestimme Normierungsfaktor N so, dass ${{\left| {{\phi }_{\pm }}^{\left( i \right)} \right|}^{2}}=1$ Zeige ${{\phi }_{\pm }}^{\left( 1 \right)}\bot {{\phi }_{\pm }}^{\left( 2 \right)}$ aber $\phi {{+}^{\left( 1 \right)}}\text{ NOT }\bot {{\phi }_{-}}^{\left( 1 \right)}$ Hierbei gilt

${{\underline{u}}^{\left( 1 \right)}}\bot {{\underline{u}}^{\left( 2 \right)}},\left| {{{\underline{u}}}^{\left( i \right)}} \right|=1$

Helizität und Spin

Erinnerung $\underline{\sigma }=\underbrace{\left( {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{1}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{2}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{3}} \right)}_{\text{Vektor der Pauli-Matrizen}},$ Produkte $\underline{k}\underline{\sigma }$ in Dirac Spinoren ${{\phi }_{\pm }}^{\left( i \right)}$ (1.72).

Definiere:

$\hat{k}:=\frac{{\underline{k}}}{\left| {\underline{k}} \right|}=\left( \sin \theta \cos \varphi ,\sin \theta \sin \varphi ,\cos \theta \right)$

(1.73)

als Einheitsvektor in $\underline{k}$ -Richtung in Polarkoordinaten bezüglich der z-Achse. Dann gilt

$\hat{k}.\underline{\sigma }=\left( \begin{matrix} \cos \theta & \sin \left( \theta \right){{e}^{i\varphi }} \\ \sin \left( \theta \right){{e}^{i\varphi }} & -\cos \theta \\ \end{matrix} \right)$

(1.74)

Eigenvektoren $\left| \uparrow ,\hat{k} \right\rangle ,\left| \downarrow ,\hat{k} \right\rangle$ von $\underline{k}\underline{\sigma }$ bestimmen! Die Eigenwerte sind $\pm 1$ . Die Spinoren (1.72) als Eigenvektoren des Helizitätsoperators (4x4 Matrix)

$\hat{k}\Sigma =\left( \begin{matrix} \hat{k}\underline{\sigma } & 0 \\ 0 & \hat{k}\underline{\sigma } \\ \end{matrix} \right)$

(1.75)

wählen: Hierzu (1.72) ${{\underline{u}}^{\left( 1 \right)}}:=\left| \uparrow ,\hat{k} \right\rangle ,{{\underline{u}}^{\left( 2 \right)}}:=\left| \downarrow ,\hat{k} \right\rangle$ damit haben wir die Basis

${{\phi }_{+}}^{\left( \sigma \right)}\left( {\underline{k}} \right):=N\left( \begin{align} & \left( E+m \right)\left| \sigma ,\hat{k} \right\rangle \\ & \left( \underline{k}.\underline{\sigma } \right)\left| \sigma ,\hat{k} \right\rangle \\ \end{align} \right)\quad {{\phi }_{-}}^{\left( \sigma \right)}\left( {\underline{k}} \right):=N\left( \begin{align} & \left( \underline{k}.\underline{\sigma } \right)\left| \sigma ,\hat{k} \right\rangle \\ & \left( E+m \right)\left| \sigma ,\hat{k} \right\rangle \\ \end{align} \right)$

(1.76)

mit $\begin{align} & \sigma =\uparrow \quad \text{negative Helizit }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ }t \\ & \sigma =\downarrow \quad \text{negative Helizit }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ }t \\ \end{align}.$

Der HamiltonoperatorHamiltonoperator des freien Dirac-Teilchens, $\hat{H}=\underline{a}\underline{\hat{p}}+\beta m$ (1.31), kommutiert mit dem Helizitätsoperator $\hat{k}\Sigma$ (1.75), (AUFGABE) aber nicht mit dem Spin-Operator $\Sigma =\left( \begin{matrix} {\underline{\sigma }} & 0 \\ 0 & {\underline{\sigma }} \\ \end{matrix} \right)$ . Deshalb kann man die Lösungen der freien Dirac-Gleichungen als Eigenvektoren von $\hat{k}\Sigma$ zählen.
Kurzer Ausblick Relativistische Quantenphysik in Graphen, einem neuen Material

Graphen ist eine zweidimensionale Schicht aus Kohlenstoffatomen (C) mit hexagonalen Gittern. A Geim et al (2004)

Die Bandstruktur $\varepsilon \left( {\underline{k}} \right),\underline{k}=\left( {{k}_{x}},{{k}_{y}} \right)\,$ , lässt sich mit einem einfachen tight-binding-Modell exakt bestimmen. Sie ist linear, $\varepsilon \left( {\underline{k}} \right)=\pm {{v}_{F}}\left| {\underline{k}} \right|$ , in der Umgebung zweier Punkte im k-Raum. Elektronische Anregungen (1 Teilchen) können für masselose Teilchen (Ruhemasse m=0) beschrieben werden.

Man erwartet deshalb eine Reihe „relativistischer“ Effekte in Graphen

Klein`sches Paradoxon
Zitterbewegung

allerding bei Geschwindigkeiten ${{v}_{F}}\approx \frac{1}{300}c\ll c$

Fakten zu Relativistische QuantenmechanikRDF-Feed

Abschnitt	0 +
Fachbegriff	Wellenpaket +, Schrödingergleichung +, Klein-Gordon-Gleichung +, Kontinuitätsgleichung +, Compton-Wellenlänge +, D’Alambert-Operator +, Lorentz-Transformation +, Lichtabstände +, Wellengleichung +, Ebene Wellen +, Dispersionsrelation +, Eichtransformation +, Hamiltonfunktion +, Hamilton-Gleichungen +, Korrespondenzprinzip +, Prinzip der lokalen Eichinvarianz +, Kovariante Ableitung +, Minimale Kopplung +, Kopplungskonstante +, Separationsansatz +, Radialwellenfunktionen +, Clifford-Algebra +, Pauli-Matrizen +, Dirac-Gleichung +, Kommutator-Eigenschaften +, Pauli-Gleichung +, Wahrscheinlichkeitsdichte +, Wahrscheinlichkeitsstromdichte +, Vierervektor +, Vierergradient +, Viererstromdichte +, Vakuumzustand +, Teilchen-Loch +, Fermi-See +, Positron +, Helizitätsoperator +, Hamiltonoperator +, Spin-Operator +, Bandstruktur + und Tight-binding-Modell +
Index	Wellenpaket +, Schrödingergleichung +, Klein-Gordon-Gleichung +, Kontinuitätsgleichung +, Compton-Wellenlänge +, D’Alambert-Operator +, Lorentz-Transformation +, Lichtabstände +, Wellengleichung +, Ebene Wellen +, Dispersionsrelation +, Eichtransformation +, Hamiltonfunktion +, Hamilton-Gleichungen +, Korrespondenzprinzip +, Prinzip der lokalen Eichinvarianz +, Kovariante Ableitung +, Minimale Kopplung +, Kopplungskonstante +, Separationsansatz +, Radialwellenfunktionen +, Clifford-Algebra +, Pauli-Matrizen +, Dirac-Gleichung +, Kommutator-Eigenschaften +, Pauli-Gleichung +, Wahrscheinlichkeitsdichte +, Wahrscheinlichkeitsstromdichte +, Vierervektor +, Vierergradient +, Viererstromdichte +, Vakuumzustand +, Teilchen-Loch +, Fermi-See +, Positron +, Helizitätsoperator +, Hamiltonoperator +, Spin-Operator +, Bandstruktur + und Tight-binding-Modell +
Inhaltstyp	Script +
Kapitel	1 +
Urheber	Prof. Dr. T. Brandes +

[0] Hier ist die Bewegung in x-Richtung also die x-Achse ist parallel zu v und y‘=y, z‘=z

[1] $\underline{D}\Psi$ für Wellenfunktion ohne extra Phase ${{e}^{\mathfrak{i} \varphi }}$ , ${{\underline{D}}_{\varphi }}\Psi {{e}^{\mathfrak{i} \varphi }}$ für Wellenfunktion mit extra Phase

[1]

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Relativistische Quantenmechanik

Aus PhysikWiki

Inhaltsverzeichnis

Klein Gordon Gleichung

Klein Gordon und Relativität

Invarianz der Wellengleichungen (Klein-Gordon-Gleichung) unter Lorentz-Transformation (LT)

Lösungen der Klein Gordon Gleichung

Literatur

Klein Gordon im (Vektor)Potential, Eichinvarianz

Lösung

Diskussion

Die Dirac Gleichung

Dirac-Gleichung und Spin: nichtrelativistischer Grenzfall

siehe auch

Weitere Eigenschaften der Dirac-Gleichung

Relativistische Notation

Lorentz-Transformation

Lösungen der Dirac-Gleichung (freies Teilchen)

Separationsansatz

Diskussion

Laufenden ebene Wellen

Helizität und Spin

Kurzer Ausblick Relativistische Quantenphysik in Graphen, einem neuen Material

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