Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes
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(1.45)
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- Kontinuitätsgleichung mit (1.45) und (1.45)+
- mit der Wahrscheinlichkeitsdichte ρ und der Wahrscheinlichkeitsstromdichte jk.
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(1.46)
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(Kontinuitätsgleichung)
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(1.47)
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- Die Wahrscheinlichkeitsdichte setzt sich aus den 4 Komponenten des Spinors zusammen.
- Lorentz-Invarianz
Umdefinieren der Matrizen als
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(1.48)
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(1.49)
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(z.B. )
Relativistische Notation
kontravarianter VierervektorVierervektor mit Index oben
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(1.50)
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kovarianter Vierervektor mit Index unten (kow steht below)
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(1.51)
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- Das relativistische Skalarprodukt
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(1.52)
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bleibt invariant unter Lorentz-Transformation.
- Metrischer Tensor
- in der SRT der selbe überall
- Hoch und Runterziehen
- Lorentz-Transformation wie in (1.11) (Bewegung in x-Richtung)
allgemein
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(1.53)
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hier mit .
- Invarianz von unter Lorentz-Transformationen:
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(1.54)
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Für Vierervektoren, die sich wie der Koordinatenvektor bei Lorentz-Transformation transformieren(1.53), ist Lorentz-invariant.
GradientVierergradient (etc)
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(1.55)
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Die Dirac-Gleichung folgt aus
Dirac-Gleichung
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(1.56)
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- Relativistische Invarianz: Gleiche Form der Dirac-Gleichun in zwei System S,S‘ (die sich gleichförmig gegeneinander bewegen) aber nicht Invarianz der Dgl. gegenüber Lorentz-Transformationen
Es muss also gelten
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(1.57)
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(Hier ohne Vektorpotential, mit Vektorpotential A analog, vgl. Rollnik II)
Lorentz-Transformation
Koordinaten
Ableitung
Wellenfunktion (4er Spinor)
Ruhemasse ist dieselbe
Selbe Ableitung der Dirac-Gleichung
Also muss gelten
Multiplikation von S-1 von links
Vergleich mit (1.57)
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(1.58)
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Wenn (1.58) erfüllt ist, folgt relativistische Invarianz.
- Konstriktion der Matrix S: Für kleine
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(1.59)
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Für beliebige ß durch Exponenten (wichtiger Trick, steckt natürlich tiefere Mathematik dahinter: Liegruppen, Lie-Algebra…)
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(1.60)
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Berechnung (AUFGABE) ergibt
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(1.61)
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- Kontinuitätsgleichung, Viererstromdichte (1.37)
(ViererstromdichteViererstromdichte)
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(1.62)
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(KontinuitätsgleichungKontinuitätsgleichung)
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(1.63)
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Lorentz-Invarianz von : zeige wobei
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(1.64)
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→
Lorentz-Invarianz von