Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes
Die klassische relativistische Dispersionsrelation für freie Teilchen der Masse m ohne äußeres Potential lautet:
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(1.15)
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- Potential ϕ, Vektorpotential A beschreiben das elektromagnetische Feld der Maxwell-Gleichungen. Wie ädert sich damit (1.15)? Erinnerung:
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(1.16)
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(1.17)
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mit einer beliebigen skalaren Funktion
- Klassische Mechanik: E und B in Hamiltonfunktion eines Teilchens mit Masse m, Ladung e „einbauen“ durch
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(1.18)
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- aus den Hamilton-Gleichungen folgt (AUFGABE)
- d.h. die Newton‘schen Bewegungsgleichungen mit der Lorentzkraft sind ‚manifest invariant‘, da nur E und B in ihr auftreten, d.h. die Bahn im Phasenraum nicht von vgl. (1.17) abhängt.
- Quantenmechanik
- Schrödingergleichung durch Korrespondenzprinzip
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(1.19)
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- (durch Vergleich mit (1.18))
- Schrödingergleichung + Prinzip der lokalen Eichinvarianz (fundamentaler und wesentlich für die QED und QCD etc.)
- Schritt 1: Starte von freier Schrödingergleichung
- Schritt 2: Mit erfüllt auch mit konstant die Schrödingergleichung und beschreibt dieselbe Physik:
- Erwartungswerte sind invariant unter globalen Eichtransformationen
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(1.20)
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- Schritt 3: (Prinzip der lokalen Eichinvarianz) ändere die Schrödingergleichung so, dass lokale Eichtransformationen
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(1.21)
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nichts an der Phase ändern, dass heißt mit Ψ ist auch eine Lösung der Schrödingergleichung und ergibt dieselben Eigenwerte.
Lösung
Lösung: In (1.20) machen und in
Probleme, da z.B.
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(1.22)
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was man bräuchte, um die Phase in (1.20) zu eliminieren.
Idee: ersetze Ableitung durch „kovariante Ableitung“ D[1], so dass
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(1.23)
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Mit dem Ansatz und ebenso für die Zeitableitung folgt dann
Die lokale Eichtransformation bewirkt also
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(1.24)
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Nun liefert der Vergleich mit (1.17)
in der Schrödingergleichung steht also statt nun und statt nun mit als Eichfelder.
Sei. Statt
Die Umbenennung von liefert
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(1.25)
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Diskussion
- Die „Vorschrift“ heißt minimale Kopplung
- Durch das Prinzip der lokalen Eichinvarianz haben wir die Potentiale ϕ und A sowie die Kopplungskonstante e quasi „hergeleitet“.
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(1.26)
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Anwendung: Klein Gordon Gleichung für Coulomb-Potential: . Ähnlich wie bei derSchrödingergleichung für das Wasserstoffproblem haben wir
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(1.27)
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Lösen durch Separationsansatz
- Radialgleichung für Radialwellenfunktionen
- Vergleich mit H-Atom. Schrödingergleichung (AUFGABE) liefert
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(1.28)
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hier gibt es positive und negative Lösungen
Der 3. Termin in (1.28) ist die relativistische Korrektur zur kinetischen Energie. Spin wird durch Klein-Gordon-Gleichung nicht beschrieben deshalb ist (1.28) nicht geeignet für Feinstruktur des H-Atoms
Klein Gordon Gleichung beschreibt Spin -0 – Teilchen z.B. π-Mesonen.
Spin ½ → Dirac Gleichung
- ↑ für Wellenfunktion ohne extra Phase ,für Wellenfunktion mit extra Phase