Lösungen der Dirac-Gleichung (freies Teilchen)

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Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes

Der Artikel Lösungen der Dirac-Gleichung (freies Teilchen) basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 1.Kapitels (Abschnitt 7) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes.

Relativistische Quantenmechanik

Klein Gordon Gleichung
Klein Gordon und Relativität
Klein Gordon im (Vektor)Potential, Eichinvarianz
Die Dirac Gleichung
Dirac-Gleichung und Spin: nichtrelativistischer Grenzfall
Weitere Eigenschaften der Dirac-Gleichung
Lösungen der Dirac-Gleichung (freies Teilchen)
Helizität und Spin
Kurzer Ausblick Relativistische Quantenphysik in Graphen, einem neuen Material

Wir starten von

$\left( \mathfrak{i} {{\gamma }^{\mu }}{{\partial }_{\mu }}-m \right)\Psi =0\Leftrightarrow \left[ \mathfrak{i} \left( {{\gamma }^{0}}{{\partial }_{t}}+{{\gamma }^{1}}{{\partial }_{{{x}^{1}}}}+{{\gamma }^{2}}{{\partial }_{{{x}^{2}}}}+{{\gamma }^{3}}{{\partial }_{{{x}^{3}}}} \right)-m \right]\Psi =0$

Separationsansatz

$\Psi \left( \underline{x},t \right)={{e}^{-\mathfrak{i} Et}}\phi \left( {\underline{x}} \right)$

$\left[ \Epsilon {{\gamma }^{0}}+\mathfrak{i} \left( {{\gamma }^{1}}{{\partial }_{1}}+{{\gamma }^{2}}{{\partial }_{2}}+{{\gamma }^{3}}{{\partial }_{3}} \right)-m \right]\phi \left( {\underline{x}} \right)=0$

(1.66)

Ansatz $\phi \left( {\underline{x}} \right)=\phi =const\Rightarrow \left( E{{\gamma }^{0}}-m \right)\phi =0$ (Eigenwertgleichung)

${{\gamma }^{0}}\phi =\frac{m}{E}\phi \Leftrightarrow \left( \begin{matrix} 1 & {} & {} & {} \\ {} & 1 & {} & {} \\ {} & {} & -1 & {} \\ {} & {} & {} & -1 \\ \end{matrix} \right)\phi =\frac{m}{E}\phi \,$

(hat 2 Eigenwerte)

$\frac{m}{E}=+1\Leftrightarrow {{\phi }_{+}}=\left( \begin{align} & {{u}_{1}} \\ & {{u}_{2}} \\ & 0 \\ & 0 \\ \end{align} \right)\quad und\quad \frac{m}{E}=-1\Leftrightarrow {{\phi }_{-}}=\left( \begin{align} & 0 \\ & 0 \\ & {{u}_{1}} \\ & {{u}_{2}} \\ \end{align} \right)$

(1.67)

Diskussion

${{\Psi }_{+}}={{e}^{-\mathfrak{i} Et}}\left( \begin{align} & {{u}_{1}} \\ & {{u}_{2}} \\ & 0 \\ & 0 \\ \end{align} \right),\quad E=+m{{c}^{2}}$ , zwei linear unabhängige Lösungen beschreibt ruhendes Teilchen der Masse m, Ruheenergie $E = m c 2 > 0$
Zwei Komponenten u₁, u₂ beschreiben Spin - ½, z.B.

$\left( \begin{align} & {{u}_{1}} \\ & {{u}_{2}} \\ \end{align} \right)=\left( \begin{align} & 1 \\ & 0 \\ \end{align} \right)=\left| \uparrow \right\rangle \quad \left( \begin{align} & {{u}_{1}} \\ & {{u}_{2}} \\ \end{align} \right)=\left( \begin{align} & 0 \\ & 1 \\ \end{align} \right)=\left| \downarrow \right\rangle$

(1.68)

→ Dirac-Gleichung beschreibt Spin- ½ Teilchen.

${{\Psi }_{-}}={{e}^{-\mathfrak{i} Et}}\left( \begin{align} & 0 \\ & 0 \\ & {{u}_{1}} \\ & {{u}_{2}} \\ \end{align} \right),\quad E=-m{{c}^{2}}$ zwei linear unabhängige Lösungen

(1.69)

hat aber negative Energie! Interpretationsproblem wie Klein-Gordon-Gleichung. Zufriedenstellend gelöst erst in der Quantenfeldtheorie (Teilchenerzeugung und Vernichtung).

„Anschauliche Interpretation“

Annahme vieler gleichartiger Spin- ½ -Teilchen der Masse m
Annahme: Es gibt einen Vielteilchen-Grundzustand („Vakuumzustand“), in dem alle Einzelteilchenzustände $Ψ -$ besetzt sind.
Ein einziges Elektron ist dann z.B. das Vakuum +1 Teilchen in einem Zustand $Ψ +$ .
„Teilchen-Loch“ Anregung: Anregung von $Ψ +$ nach $Ψ -$ lässt „Loch“ im „Fermi-See“ zurück: dies hat positive Ladung (fehlende negative Ladung)
nützliches Konzept für die Halbleiterphysik

Vorteile der Löcher-Theorie:

Vorrausage des Positron (Antiteilchen zum Elektron, gleiche Masse, entgegengesetzte Ladung)
Paarvernichtung / Erzeugung

Nachteile der Löcher-Theorie:

Unendlicher See nicht beobachteter Elektronen
Beruht auf „Paul-Prinzip“ und funktionier bei der Klein-Gordon-Gleichung, die Bosonen mit Spin 0 beschreibt nicht.

→ konsistente Lösung dieses Problems in der zweiten Quantisierung (letzer Teil VL): $Ψ$ als Feld, das quantisiert wird.

Laufenden ebene Wellen

(„laufende, nicht ruhende Teilchen“)

Ansatz ${{\Psi }_{\pm }}={{e}^{\mp \left( Et-\underline{k}.\underline{x} \right)}}{{\phi }_{\pm }}\left( E,\underline{k} \right),\quad E=+\sqrt{{{k}^{2}}+{{m}^{2}}}>0$ mit ${{k}_{\mu }}{{x}^{\mu }}:=Et-\underline{k}.\underline{x}\Rightarrow {{k}_{\mu }}=\left( E,-{{k}_{x}},-{{k}_{y}},-{{k}_{z}} \right)$

$\begin{align} & \left( {{\gamma }^{0}}E-{{\gamma }^{1}}{{k}_{x}}-{{\gamma }^{2}}{{k}_{y}}-{{\gamma }^{3}}{{k}_{z}}-m \right){{\phi }_{+}}=0\Leftrightarrow \left( {{\gamma }^{\mu }}{{k}_{\mu }}-m \right){{\phi }_{+}}=0 \\ & \left( -{{\gamma }^{0}}E+{{\gamma }^{1}}{{k}_{x}}+{{\gamma }^{2}}{{k}_{y}}+{{\gamma }^{3}}{{k}_{z}}-m \right){{\phi }_{-}}=0\Leftrightarrow \left( {{\gamma }^{\mu }}{{k}_{\mu }}+m \right){{\phi }_{-}}=0 \\ \end{align}$

(1.70)

(1.70) sind Gleichundgen für Spinoren (4-Komponentige Vektoren) ${{\phi }_{\pm }}$ .

Lösung wie Matrixgleichung $\underline{\underline{M}}\underline{x}=0$ möglich, einfacher Trick:

$\begin{align} & \left( {{\gamma }^{\mu }}{{k}_{\mu }}-m \right)\left( {{\gamma }^{\nu }}{{k}_{\nu }}+m \right)={{\gamma }^{\mu }}{{k}_{\mu }}{{\gamma }^{\nu }}{{k}_{\nu }}-{{m}^{2}}={{E}^{2}}-{{k}^{2}}-{{m}^{2}}=0,\quad \\ & mit\,{{\left( {{\gamma }^{\mu }} \right)}^{2}}=\pm 1,{{E}^{2}}={{k}^{2}}+{{m}^{2}},\hbar =c=1 \\ \end{align}$

$\left( {{\gamma }^{\mu }}{{k}_{\mu }}-m \right)\underbrace{\left( {{\gamma }^{\nu }}{{k}_{\nu }}+m \right)\left( \begin{align} & {{u}_{1}} \\ & {{u}_{2}} \\ & 0 \\ & 0 \\ \end{align} \right)}_{{{{\tilde{\phi }}}_{+}}}=0$

$\begin{align} & {{{\tilde{\phi }}}_{+}}=\left( E+m \right)\left( \begin{align} & {{u}_{1}} \\ & {{u}_{2}} \\ & 0 \\ & 0 \\ \end{align} \right)-{{k}_{x}}\left( \begin{matrix} 0 & {{\sigma }_{x}} \\ -{{\sigma }_{x}} & 0 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{align} & {{u}_{1}} \\ & {{u}_{2}} \\ & 0 \\ & 0 \\ \end{align} \right)-{{k}_{y}}... \\ & =\left( \begin{align} & \left( E+m \right)\left( \begin{align} & {{u}_{1}} \\ & {{u}_{2}} \\ \end{align} \right) \\ & \underline{k}.\underline{\sigma }\left( \begin{align} & {{u}_{1}} \\ & {{u}_{2}} \\ \end{align} \right) \\ \end{align} \right) \end{align}$

$\left( {{\gamma }^{\mu }}{{k}_{\mu }}-m \right)\underbrace{\left( {{\gamma }^{\nu }}{{k}_{\nu }}+m \right)\left( \begin{align} & 0 \\ & 0 \\ & {{u}_{1}} \\ & {{u}_{2}} \\ \end{align} \right)}_{{{{\tilde{\phi }}}_{-}}}=0$

$\begin{align} & -{{{\tilde{\phi }}}_{-}}=-\left( E+m \right)\left( \begin{align} & {{u}_{1}} \\ & {{u}_{2}} \\ & 0 \\ & 0 \\ \end{align} \right)-{{k}_{x}}\left( \begin{matrix} 0 & {{\sigma }_{x}} \\ -{{\sigma }_{x}} & 0 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{align} & {{u}_{1}} \\ & {{u}_{2}} \\ & 0 \\ & 0 \\ \end{align} \right)-{{k}_{y}}... \\ & =-\left( \begin{align} & \underline{k}.\underline{\sigma }\left( \begin{align} & {{u}_{1}} \\ & {{u}_{2}} \\ \end{align} \right) \\ & \left( E+m \right)\left( \begin{align} & {{u}_{1}} \\ & {{u}_{2}} \\ \end{align} \right) \\ \end{align} \right) \end{align}$

(1.71)

Insgesamt existieren also 4 linear unabhängige Lösungen mit der Basis

$\begin{align} & {{\phi }_{+}}^{\left( 1 \right)}=N\left( \begin{align} & \left( E+m \right){{{\underline{u}}}^{\left( 1 \right)}} \\ & \left( \underline{k}.\underline{\sigma } \right){{{\underline{u}}}^{\left( 1 \right)}} \\ \end{align} \right)\quad {{\phi }_{+}}^{\left( 2 \right)}=N\left( \begin{align} & \left( E+m \right){{{\underline{u}}}^{\left( 2 \right)}} \\ & \left( \underline{k}.\underline{\sigma } \right){{{\underline{u}}}^{\left( 2 \right)}} \\ \end{align} \right) \\ & {{\phi }_{-}}^{\left( 1 \right)}=N\left( \begin{align} & \left( \underline{k}.\underline{\sigma } \right){{{\underline{u}}}^{\left( 1 \right)}} \\ & \left( E+m \right){{{\underline{u}}}^{\left( 1 \right)}} \\ \end{align} \right)\quad {{\phi }_{-}}^{\left( 2 \right)}=N\left( \begin{align} & \left( \underline{k}.\underline{\sigma } \right){{{\underline{u}}}^{\left( 2 \right)}} \\ & \left( E+m \right){{{\underline{u}}}^{\left( 2 \right)}} \\ \end{align} \right) \\ \end{align}$

(1.72)

AUFGABE: Bestimme Normierungsfaktor N so, dass ${{\left| {{\phi }_{\pm }}^{\left( i \right)} \right|}^{2}}=1$ Zeige ${{\phi }_{\pm }}^{\left( 1 \right)}\bot {{\phi }_{\pm }}^{\left( 2 \right)}$ aber $\phi {{+}^{\left( 1 \right)}}\text{ NOT }\bot {{\phi }_{-}}^{\left( 1 \right)}$ Hierbei gilt

${{\underline{u}}^{\left( 1 \right)}}\bot {{\underline{u}}^{\left( 2 \right)}},\left| {{{\underline{u}}}^{\left( i \right)}} \right|=1$

Fakten zu Lösungen der Dirac-Gleichung (freies Teilchen)RDF-Feed

Abschnitt	7 +
Fachbegriff	Separationsansatz +, Vakuumzustand +, Teilchen-Loch +, Fermi-See + und Positron +
Index	Separationsansatz +, Vakuumzustand +, Teilchen-Loch +, Fermi-See + und Positron +
Inhaltstyp	Script +
Kapitel	1 +
Urheber	Prof. Dr. T. Brandes +

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