Klein Gordon im (Vektor)Potential, Eichinvarianz

Quantenmechanikvorlesung von Brandes

Der Artikel Klein Gordon im (Vektor)Potential, Eichinvarianz basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 1.Kapitels (Abschnitt 1) der Quantenmechanikvorlesung von Brandes.

Klein Gordon im (Vektor)Potential, Eichinvarianz

Klein Gordon im (Vektor)Potential, Eichinvarianz

Die klassische relativistische DispersionsrelationDispersionsrelation:klassisch $E=E\left({\underline {p}}\right)$für freie Teilchen der Masse m ohne äußeres Potential lautet:

${{E}^{2}}={{m}^{2}}{{c}^{4}}+{{p}^{2}}{{c}^{2}}$

(1.15)

• Potential ϕ, Vektorpotential A beschreiben das elektromagnetische Feld der Maxwell-Gleichungen. Wie ädert sich damit (1.15)? Erinnerung:

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{align}“): {\displaystyle \begin{align} & \text{Magnetfeld}\quad \underline{B}=\underline{\nabla }\times \underline{A} \\ & \text{elektrisches Feld}\quad \text{\underline{E}=-}\underline{\nabla }\phi -\frac{1}{c}{{\partial }_{t}}\underline{A} \\ \end{align}}

(1.16)

• E und B ändern sich nicht bei EichtransformationEichtransformation

${\begin{aligned}&{\underline {A}}\to {\underline {A}}+{\underline {\nabla }}.\chi \\&\phi \to \phi -{\frac {1}{c}}{{\partial }_{t}}\chi \\\end{aligned}}$

(1.17)

mit einer beliebigen skalaren Funktion

$\chi =\chi \left({\underline {x}},t\right)$

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• Klassische Mechanik: E und B in HamiltonfunktionHamiltonfunktion:elektrisches Feld eines Teilchens mit Masse m, Ladung e „einbauen“ durch

$H={\frac {{p}^{2}}{2m}}\to H={\frac {{\left({\underline {p}}-e{\underline {A}}\right)}^{2}}{2m}}+e\phi$

(1.18)

aus den Hamilton-GleichungenHamilton-Gleichungen:klassische Mechanik ${\underline {\dot {r}}}={{\partial }_{\underline {p}}}H\quad {\underline {\dot {p}}}=-{{\partial }_{\underline {r}}}H$ folgt (AUFGABE)

$m{\ddot {\underline {r}}}=e\left({\dot {\underline {r}}}\times {\underline {B}}+{\underline {E}}\,\right)$

d.h. die Newton‘schen Bewegungsgleichungen mit der Lorentzkraft sind ‚manifest invariant‘, da nur E und B in ihr auftreten, d.h. die Bahn $\left({\dot {\underline {r}}},{\underline {r}}\right)$im Phasenraum nicht von $\chi$ vgl. (1.17) abhängt.

• Quantenmechanik
  1. Schrödingergleichung durch KorrespondenzprinzipKorrespondenzprinzip ${\underline {p}}\to {\hat {p}}={\frac {\hbar }{\mathfrak {i}}}{\underline {\nabla }}$

${\mathfrak {i}}\hbar {{\partial }_{t}}\Psi ={\hat {H}}\Psi =\left\{{\frac {{\left({\hat {\underline {p}}}-e{\underline {A}}\right)}^{2}}{2m}}+e\phi \right\}\Psi$

(1.19)

(durch Vergleich mit (1.18))

• 1. Schrödingergleichung + Prinzip der lokalen EichinvarianzPrinzip der lokalen Eichinvarianz (fundamentaler und wesentlich für die QED und QCD etc.)
     • Schritt 1: Starte von freier Schrödingergleichung ${\mathfrak {i}}\hbar {{\partial }_{t}}\Psi ={\frac {{p}^{2}}{2m}}\Psi$
     • Schritt 2: Mit $\Psi \left({\underline {x}},t\right)$erfüllt auch $\Psi \left({\underline {x}},t\right){{e}^{i\varphi }}$mit $\varphi \in \mathbb {R}$konstant die Schrödingergleichung und beschreibt dieselbe Physik:

Erwartungswerte sind invariant unter globalen Eichtransformationen

$\int {{{\Psi }^{*}}\left({\underline {x}},t\right){\hat {O}}\left({\underline {x}},{\underline {\nabla }},{{\partial }_{t}}\right)\Psi \left({\underline {x}},t\right){{d}^{d}}x}=''{\text{invariant''}}$

(1.20)

• 1. • Schritt 3: (Prinzip der lokalen Eichinvarianz) ändere die Schrödingergleichung so, dass lokale Eichtransformationen

$\Psi \left({\underline {x}},t\right)\to \Psi \left({\underline {x}},t\right){{e}^{{\mathfrak {i}}\varphi \left({\underline {x}},t\right)}}$

(1.21)

nichts an der Phase ändern, dass heißt mit Ψ ist auch $\Psi {{e}^{i\varphi \left({\underline {x}},t\right)}}$ eine Lösung der Schrödingergleichung und ergibt dieselben Eigenwerte.

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Lösung: In (1.20) machen ${\underline {\nabla }}$ und ${{\partial }_{t}}$in

${\hat {O}}\left({\underline {x}},{\underline {\nabla }},{{\partial }_{t}}\right)$

Probleme, da z.B.

${\underline {\nabla }}\Psi \left({\underline {x}},t\right){{e}^{i\varphi \left({\underline {x}},t\right)}}\neq {{e}^{i\varphi \left({\underline {x}},t\right)}}{\underline {\nabla }}\Psi \left({\underline {x}},t\right)$

(1.22)

was man bräuchte, um die Phase in (1.20) zu eliminieren.

Idee: ersetze Ableitung ${\underline {\nabla }}$durch „kovariante Ableitungkovariante Ableitung“ D, so dass

${{\underline {D}}_{\phi }}\Psi \left({\underline {x}},t\right){{e}^{{\mathfrak {i}}\varphi \left({\underline {x}},t\right)}}={{e}^{{\mathfrak {i}}\varphi \left({\underline {x}},t\right)}}{\underline {D}}\Psi \left({\underline {x}},t\right)$

(1.23)

Mit dem Ansatz ${{\underline {D}}_{\varphi }}={\underline {\nabla }}+{{\underline {f}}_{\varphi }}\left({\underline {x}},t\right)$ und ebenso für die Zeitableitung ${{\partial }_{t}}\to D_{\varphi }^{0}={{\partial }_{t}}+{{g}_{\varphi }}\left(t\right)$ folgt dann

${\begin{aligned}&{{\underline {D}}_{\varphi }}\Psi \left({\underline {x}},t\right){{e}^{{\mathfrak {i}}\varphi \left({\underline {x}},t\right)}}=\left({\underline {\nabla }}\Psi \right){{e}^{{\mathfrak {i}}\varphi \left({\underline {x}},t\right)}}+\Psi {\mathfrak {i}}\left({\underline {\nabla }}\varphi \right){{e}^{{\mathfrak {i}}\varphi \left({\underline {x}},t\right)}}+{{\underline {f}}_{\varphi }}\left({\underline {x}},t\right)\quad ={{e}^{{\mathfrak {i}}\varphi \left({\underline {x}},t\right)}}\left({{\underline {D}}_{\varphi }}+{\mathfrak {i}}{\underline {\nabla }}\varphi \right)\Psi \\&D_{\varphi }^{0}\Psi \left({\underline {x}},t\right){{e}^{{\mathfrak {i}}\varphi \left({\underline {x}},t\right)}}=\quad \quad \quad \quad \quad \quad ={{e}^{{\mathfrak {i}}\varphi \left({\underline {x}},t\right)}}\left({\underline {D}}_{\varphi }^{0}+{\mathfrak {i}}{{\partial }_{t}}\varphi \right)\Psi \\\end{aligned}}$

Die lokale Eichtransformation bewirkt also

${\begin{aligned}&{{\underline {D}}_{\varphi }}={\underline {\nabla }}+{{\underline {f}}_{\varphi }}\left({\underline {x}},t\right)\quad \leftrightarrow \quad {\underline {D}}={\underline {\nabla }}+{{\underline {f}}_{\varphi }}\left({\underline {x}},t\right)+{\mathfrak {i}}\nabla \varphi \left({\underline {x}},t\right)\\&{{D}_{0}}={{\partial }_{t}}+{{g}_{\varphi }}\left({\underline {x}},t\right)\quad \leftrightarrow \quad {{D}^{0}}={{\partial }_{t}}+{{g}_{\varphi }}\left({\underline {x}},t\right)+{\mathfrak {i}}{{\partial }_{t}}\varphi \left({\underline {x}},t\right)\\\end{aligned}}$

(1.24)

Nun liefert der Vergleich mit (1.17)

${\underline {A}}\to {\underline {A}}+{\underline {\nabla }}.\chi \quad \phi \to \phi -{{\partial }_{t}}\chi \quad {\text{mit }}\chi \in \mathbb {R} \quad c=1$

${{\underline {f}}_{\varphi }}={\mathfrak {i}}\alpha {\underline {A}},\quad \varphi =\alpha \chi ,\quad {{g}_{\varphi }}=-{\mathfrak {i}}\alpha \varphi ,\quad \alpha \in \mathbb {R}$

in der Schrödingergleichung steht also statt ${\underline {\nabla }}$nun

${\underline {\nabla }}+{\mathfrak {i}}\alpha {\underline {A}}$

und statt

${{\partial }_{t}}$

nun ${{\partial }_{t}}-{\mathfrak {i}}\alpha \varphi$ mit

${{\underline {f}}_{\varphi }},{{g}_{\varphi }}$

als Eichfelder.

Sei

$\hbar =1$

. Statt

${\mathfrak {i}}{{\partial }_{t}}\Psi ={\frac {1}{2m}}{{\left({\frac {\underline {\nabla }}{\mathfrak {i}}}\right)}^{2}}\Psi \to {\text{nun }}{\mathfrak {i}}{{\partial }_{t}}\Psi +\alpha \phi \Psi ={\frac {1}{2m}}{{\left({\frac {\underline {\nabla }}{\mathfrak {i}}}+\alpha {\underline {A}}\right)}^{2}}\Psi$

Die Umbenennung von $\alpha \to -e$liefert

${\mathfrak {i}}{{\partial }_{t}}\Psi =\left\{{\frac {{\left({\underline {p}}-e{\underline {A}}\right)}^{2}}{2m}}+e\phi \right\}\Psi$

(1.25)

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Diskussion

• Die „Vorschrift“ ${\underline {p}}\to {\underline {p}}-e{\underline {A}}$ heißt minimale Kopplungminimale Kopplung
• Durch das Prinzip der lokalen Eichinvarianz haben wir die Potentiale ϕ und A sowie die KopplungskonstanteKopplungskonstante e quasi „hergeleitet“.
  1. Jetzt Klein-Gordon-GleichungKlein-Gordon-Gleichung:elektrisches Feld mit ϕ, A: Wieder eichinvariante Ableitungen wie bei Schrödingergleichung

${\begin{aligned}&{\hat {\underline {p}}}={\frac {\hbar }{\mathfrak {i}}}{\underline {\nabla }}\quad \to {\hat {\underline {p}}}-e{\underline {A}}={\frac {\hbar }{\mathfrak {i}}}{\underline {\nabla }}-e{\underline {A}}\\&{{\partial }_{t}}\quad \to {{\partial }_{t}}+{\mathfrak {i}}e\phi \\\end{aligned}}$

(1.26)

${\begin{aligned}&\square =\partial _{t}^{2}-{{\underline {\nabla }}^{2}}\quad \to {{\left({{\partial }_{t}}+{\mathfrak {i}}e\varphi \right)}^{2}}-{{\left({\underline {\nabla }}-{\frac {{\mathfrak {i}}e}{\hbar }}{\underline {A}}\right)}^{2}}\\&\left(\square +{{m}^{2}}\right)\Psi =0\quad \to \left\{{{\left({{\partial }_{t}}+{\mathfrak {i}}e\varphi \right)}^{2}}-{{\left({\underline {\nabla }}-{\mathfrak {i}}e{\underline {A}}\right)}^{2}}+{{m}^{2}}\right\}\Psi =0\quad \left(\hbar =c=1\right)\\\end{aligned}}$

Anwendung: Klein Gordon Gleichung für Coulomb-Potential: ${\underline {A}}=0,\quad e\phi =-{\frac {Z}{\alpha }}$. Ähnlich wie bei der SchrödingergleichungSchrödingergleichung:Wasserstoffproblem für das Wasserstoffproblem haben wir

$\left\{{{\left({{\partial }_{t}}+{\mathfrak {i}}e\varphi \right)}^{2}}-\Delta +m_{0}^{2}\right\}\Psi =0$

(1.27)

Lösen durch SeparationsansatzSeparationsansatz

$\Psi \left(r,\theta ,\varphi ;t\right)={{e}^{{\mathfrak {i}}Et}}\underbrace {{{Y}_{lm}}\left(\theta ,\varphi \right)} _{{\text{Kugelfl }}\!\!{\ddot {\mathrm {a} }}\!\!{\text{ chenfunktionen}}}{\frac {\chi \left(r\right)}{x}}$

• Radialgleichung für RadialwellenfunktionenRadialwellenfunktionen $\chi \left(r\right)$
• Vergleich mit H-Atom. Schrödingergleichung (AUFGABE) liefert

$E=\pm {{m}_{0}}\left(1-{\frac {{{Z}^{2}}{{\alpha }^{2}}}{2{{n}^{2}}}}+{\frac {{{Z}^{2}}{{\alpha }^{4}}}{{n}^{4}}}\left[{\frac {3}{8}}-{\frac {n}{2l+1}}\right]+O\left({{z}^{6}}{{\alpha }^{6}}\right)\right)$

(1.28)

hier gibt es positive und negative Lösungen $\underbrace {n} _{\text{Hauptquantenzahl}}\equiv \underbrace {{n}_{r}} _{\text{Radialquantenzahl}}+1+l$

Der 3. Termin in (1.28) ist die relativistische Korrektur zur kinetischen Energie. Spin wird durch Klein-Gordon-Gleichung nicht beschrieben deshalb ist (1.28) nicht geeignet für Feinstruktur des H-Atoms

Klein Gordon Gleichung beschreibt Spin -0 – Teilchen z.B. π-Mesonen.

Spin ½  Dirac Gleichung

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