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| & {{d}_{t}}\tilde{\rho_S }=-\mathfrak{i} \operatorname{Tr}_B \left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},{{\rho }_{0}} \right]-\int_{0}^{t}{\operatorname{Tr}_B \left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\,\tilde{\rho } \right] \right]}d{t}' | | & {{d}_{t}}\tilde{\rho_S }=-\mathfrak{i} \operatorname{Tr}_B \left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},{{\rho }_{0}} \right]-\int_{0}^{t}{\operatorname{Tr}_B \left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\,\tilde{\rho } \right] \right]}d{t}' |
| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
| | ==Annahmen== |
| | * WW zur Zeit t=0 eingeschaltet |
| | * no korrelation beteween System and Bath at t=0 |
| | --> |
| | <math>{{\tilde{\rho }}_{0}}={{\rho }_{0}}={{\rho }_{S,0}}{{R}_{B,0}}</math> |
| | |
| | * Kopplung Reservoiroperatoren ans System in Zustand R_0 liefern keinen Beitrag. |
| | --> |
| | |
| | <math>{{\operatorname{Tr}}_{S}}\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}}{{R}_{B,0}} \right]=0\Rightarrow \left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},{{\rho }_{0}} \right]=0</math> |
| | |
| | *Dichtematrix zu t=0 Sperabel |
| | *Schwache Kopplung zwischen System und Bad H_I |
| | *Systemgröße von B größer als S daher B nicht beeinflusst |
| | |
| | <math>\tilde{\rho }={{{\tilde{\rho }}}_{S,0}}{{R}_{B,0}}+O\left( {{H}_{I}} \right)</math> |
| | ===Bornsche Näherung=== |
| | * Jetzt vernachlässigen von Termen mit Ordnung von H_I>2 |
| | |
| | <math>{{d}_{t}}{{{\tilde{\rho }}}_{S}}=-\int_{0}^{t}{{{\operatorname{Tr}}_{B}}\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\left[ \tilde{H}{{'}_{I}},\,\tilde{\rho }{{'}_{S}}{{R}_{B,0}} \right] \right]}d{t}'</math> |
| | |
| | ===Markov Näherung=== |
| | * Zukunft hängt nur von aktuellem Zustand ab |
| | <math>{{\rho }_{S}}=\rho {{'}_{S}}</math> |
Betrachtung eines mikr. Hamiltonoperators bestehend aus
- System
- Umgebung
- WW
Die Umgebung setzt sich aus einem Reservoir
- links
- und rechts zuammen mit
Wechselwirkung besteht aus 4 Teilen
- Von Links ins System
- Vor Rechts ins System
- Vom System nach Links
- Vom System nach Rechts
mit
und
erzeugt ein Electron im System mit Energieniveau i.
vernichtet ...
Transformation ins WW-Bild
Operator ins WWBild
mit
und
Starte von Liouville-von-Neumann-Gleichung
mit der Lösung
mit
Beweis
sowie
Dann ist
beweis ende
lösung ende
Die LVN-Gln wird zu
Lösung
Integrieren
auf rechter Seite einsetzen
System Dichteoperator
Der Dichteoperator des Systems ist die Spur über das Bad
damit folgt für
Annahmen
- WW zur Zeit t=0 eingeschaltet
- no korrelation beteween System and Bath at t=0
-->
- Kopplung Reservoiroperatoren ans System in Zustand R_0 liefern keinen Beitrag.
-->
- Dichtematrix zu t=0 Sperabel
- Schwache Kopplung zwischen System und Bad H_I
- Systemgröße von B größer als S daher B nicht beeinflusst
Bornsche Näherung
- Jetzt vernachlässigen von Termen mit Ordnung von H_I>2
Markov Näherung
- Zukunft hängt nur von aktuellem Zustand ab