Materie in elektrischen und magnetischen Feldern

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Materie in elektrischen und magnetischen Feldern basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Polarisation

Materie enthält mikroskopische elektrisch geladene Bausteine

1. freie Ladungsträger

Elektronen in Metallen, Elektronen + Löcher in Halbleitern

• Beschleunigung in äußeren Feldern, E- Felder, B- Felder über Ohmsches Gesetz und Lorentz-kraft

${\bar {K}}=q\left[{\bar {E}}+\left({\bar {v}}\times {\bar {B}}\right)\right]$

• elektrische Ströme -> Beschreibung der Materialeigenschaften durch die elektrische Leitfähigkeit
• $\sigma$

1. gebundene Ladungen ( In Isolatoren)

• Polarisierung im E- Feld

1. Für E =0 vorhandene mikroskopische Dipole p werden zur Minimierung der potenziellen Energie

Wel.=-p E vorzugsweise ( entgegen der zufälligen thermischen Bewegung) parallel zu E orientiert ( z.B. bei polarisierten Molekülen, Wasser etc... gut zu beobachten !)

1. Nicht- polare Atome oder Moleküle werden dann durch E durch Verschiebung der Ladungswolken polarisiert. Es entstehen induzierte elektrische Dipole, die zu E parallel ausgerichtet sind:

${\bar {p}}=\int _{}^{}{{{d}^{3}}r}\rho \left({\bar {r}}\right){\bar {r}}\neq 0$ nach Einschalten des Feldes. Es werden in den Atomen/ Molekülen positive und negative Ladungen getrennt !

Makroskopische räumliche Mittelung

Netto- Ladungen entstehen dadurch an den Grenzflächen

Dies erzeugt im Inneren ein Polarisationsgegenfeld ${\begin{aligned}&{\bar {E}}{\acute {\ }}={\bar {E}}+{{\bar {E}}_{p}}\\&{{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot {\bar {E}}{\acute {\ }}={{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot {\bar {E}}+{{\rho }_{P}}\\\end{aligned}}$ gemäß ${{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot {{\bar {E}}_{p}}={{\rho }_{P}}$

Das resultierende Gesamtfeld lautet:

${\begin{aligned}&{\bar {E}}{\acute {\ }}={\bar {E}}+{{\bar {E}}_{p}}\\&{{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot {\bar {E}}{\acute {\ }}={{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot {\bar {E}}+{{\rho }_{P}}\\\end{aligned}}$

Mit der freien Ladungsdichte

${{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot {\bar {E}}=\rho$

Also:

${{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot {\bar {E}}{\acute {\ }}=\rho +{{\rho }_{P}}$

Die Polarisation selbst bestimmt sich nach

${\bar {P}}\left({\bar {r}},t\right):=-{{\varepsilon }_{0}}{{\bar {E}}_{p}}\left({\bar {r}},t\right)$

ein makroskopisches lokales Feld, dessen Quelle Polarisationsladungen sind.

Somit:

${\begin{aligned}&\nabla \cdot \left({{\varepsilon }_{0}}{\bar {E}}{\acute {\ }}+{\bar {P}}\right)=\rho \\&\nabla \cdot {\bar {P}}=-{{\rho }_{P}}\\\end{aligned}}$

Als Dielektrische Verschiebung bezeichnen wir

${\bar {D}}({\bar {r}},t)=\left({{\varepsilon }_{0}}{\bar {E}}{\acute {\ }}+{\bar {P}}\right)$

Dies ist die effektive makroskopische Feldgröße, als dessen Quellen nur noch die freien Ladungen ( ohne Polarisationsladungen) auftreten:

$\nabla \cdot {\bar {D}}=\rho$

Wir bezeichnen mit

${\bar {P}}\left({\bar {r}},t\right)d{\bar {f}}=d{{Q}_{P}}$

die Polarisationsladung, die beim Übergang vom unpolarisierten zum polarisierten Zustand durch die Fläche df verschoben wird:

Denn ( bei Betrachtung eines Volumens V, das durch df begrenzt ist):

$\oint _{\partial V}{}{\bar {P}}\left({\bar {r}},t\right)d{\bar {f}}=\int _{V}^{}{{{d}^{3}}r\nabla \cdot {\bar {P}}\left({\bar {r}},t\right)=-\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r}{{\rho }_{P}}$

= Polarisationsladung, die V verläßt !

Zusammenhang mikroskopische elektrische Dipole / makroskopische Größen:

${{\rho }_{m}}\left({\bar {r}},t\right)=\sum \limits _{i}{}{{q}_{i}}\delta \left({\bar {r}}-{{\bar {r}}_{i}}(t)\right)$ ( mikroskopische Ladungsdichte)

${{\bar {P}}_{m}}\left({\bar {r}},t\right)=\sum \limits _{i}{}{{\bar {p}}_{i}}\delta \left({\bar {r}}-{{\bar {r}}_{i}}(t)\right)$ ( mikroskopische Dipoldichte) mit:

$\int _{V}^{}{{{d}^{3}}r{{\bar {P}}_{m}}\left({\bar {r}},t\right)=\sum \limits _{i}{}{{\bar {p}}_{i}}}$

Mittelung über ein kleines makroskopisches Volumen $\Delta V:$

${{\left(\Delta V\right)}^{\frac {1}{3}}}<<$ Längenskala der makroskopischen Dichtevariation

Somit:

$\rho \left({\bar {r}},t\right)={\frac {1}{\Delta V}}\int _{\Delta V}^{}{}{{d}^{3}}s{{\rho }_{m}}\left({\bar {r}}+{\bar {s}},t\right)$ ( makroskopische Ladungsdichte)

${\bar {P}}\left({\bar {r}},t\right)={\frac {1}{\Delta V}}\int _{\Delta V}^{}{}{{d}^{3}}s{{\bar {P}}_{m}}\left({\bar {r}}+{\bar {s}},t\right)$

Also: Die makroskopische Dipoldichte ist GLEICH DER POLARISATION !!

Beweis:

Betrachten wir das mikroskopische retardierte Potenzial:

${{\Phi }_{m}}\left({\bar {r}},t\right)={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\int _{{R}^{3}}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\frac {{{\rho }_{m}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}$

wobei unter dem Integral die mikroskopische Ladungsdichte einzusetzen ist !

Das makroskopisch gemittelte Potenzial folgt dann gemäß

${\begin{aligned}&\Phi \left({\bar {r}},t\right)={\frac {1}{\Delta V}}\int _{\Delta V}^{}{}{{d}^{3}}s{{\Phi }_{m}}\left({\bar {r}}+{\bar {s}},t\right)={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}{\frac {1}{\Delta V}}\int _{\Delta V}^{}{}{{d}^{3}}s\int _{{R}^{3}}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\frac {{{\rho }_{m}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}+{\bar {s}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)}{\left|{\bar {r}}+{\bar {s}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}\\&{\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}:={\bar {r}}{\acute {\ }}-{\bar {s}}\\&\Phi \left({\bar {r}},t\right)={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}{\frac {1}{\Delta V}}\int _{\Delta V}^{}{}{{d}^{3}}s\int _{{R}^{3}}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\acute {\ }}{\frac {{{\rho }_{m}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}+{\bar {s}},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}\right|}}\\&={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\int _{{R}^{3}}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\acute {\ }}{\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}\right|}}{\frac {1}{\Delta V}}\int _{\Delta V}^{}{}{{d}^{3}}s{{\rho }_{m}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}+{\bar {s}},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)\\\end{aligned}}$

Wobei

${\frac {1}{\Delta V}}\int _{\Delta V}^{}{}{{d}^{3}}s{{\rho }_{m}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}+{\bar {s}},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)=\rho \left({\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}+{\bar {s}},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)$

Die makroskopische Ladungsdichte ist !

${\begin{aligned}&\Rightarrow \Phi \left({\bar {r}},t\right)={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\int _{{R}^{3}}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\acute {\ }}{\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}\right|}}{\frac {1}{\Delta V}}\int _{\Delta V}^{}{}{{d}^{3}}s{{\rho }_{m}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}+{\bar {s}},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)\\&={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\int _{{R}^{3}}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\acute {\ }}{\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}\right|}}\rho \left({\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}+{\bar {s}},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)\\\end{aligned}}$

Analog:

Das mikroskopische Potenzial der elektrischen Dipole

${{\bar {p}}_{i}}$

${{\Phi }_{m}}\left({\bar {r}},t\right)=-{\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}{{\nabla }_{r}}\left\{\sum \limits _{i}{}{\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{{\bar {r}}_{i}}\right|}}{{\bar {p}}_{i}}\left(t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{{\bar {r}}_{i}}\right|}{c}}\right)\right\}$

mit dem mikroskopischen Dipolmoment

${{\bar {p}}_{i}}\left(t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{{\bar {r}}_{i}}\right|}{c}}\right)$

Analog:

${{\Phi }_{m}}\left({\bar {r}},t\right)=-{\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\int _{{R}^{3}}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{{\nabla }_{r}}\left\{{\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{{\bar {P}}_{m}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)\right\}$

mit der mikroskopischen Dipoldichte

${{\bar {P}}_{m}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)$

Somit ergibt sich für das makroskopisch gemittelte elektrische Potenzial:

${\begin{aligned}&\Phi \left({\bar {r}},t\right)={\frac {1}{\Delta V}}\int _{\Delta V}^{}{}{{d}^{3}}s{{\Phi }_{m}}\left({\bar {r}}+{\bar {s}},t\right)\\&=-{\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}{\frac {1}{\Delta V}}\int _{\Delta V}^{}{}{{d}^{3}}s\int _{{R}^{3}}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{{\nabla }_{r}}\left\{{\frac {1}{\left|{\bar {r}}+{\bar {s}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{{\bar {P}}_{m}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}+{\bar {s}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)\right\}\\&=-{\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\int _{{R}^{3}}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\acute {\ }}{{\nabla }_{r}}\left\{{\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}\right|}}{\bar {P}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)\right\}\\\end{aligned}}$

Umformung:

${{\nabla }_{r}}\left\{{\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{\bar {P}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)\right\}=-{{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}\left\{{\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{\bar {P}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)\right\}+Korrektur$

Dabei haben wir das Problem , dass beim Übergang zur gestrichenen Ableitung hier auch nach dem Argument r´ von P abgeleitet wird. Also müssen wir dies wieder abziehen:

${\begin{aligned}&{{\nabla }_{r}}\left\{{\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{\bar {P}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)\right\}=-{{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}\left\{{\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{\bar {P}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)\right\}+{\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}{\bar {P}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)\\&t{\acute {\ }}=t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\\&{{\nabla }_{r}}\left\{{\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{\bar {P}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)\right\}=-{{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}\left\{{\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{\bar {P}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)\right\}+{\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}{\bar {P}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t{\acute {\ }}\right)\\\end{aligned}}$

Also folgt für das Potenzial:

Dies ist das makroskopische Potenzial einer Polarisationsladungsdichte

${{\rho }_{p}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t{\acute {\ }}\right)=\left(-{{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}{\bar {P}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t{\acute {\ }}\right)\right)$

Damit können wir die makroskopische Dipoldichte ${\bar {P}}$ mit der durch ${\bar {P}}:=-{{\varepsilon }_{0}}{{\bar {E}}_{p}}$ bzw.

$\nabla \cdot {\bar {P}}=-{{\rho }_{p}}$ definierten Polarisation identifizieren.

Magnetisierung

Mirkoskopische Ursache für den Magnetismus der Materie sind mikroskopische Kreisströme bzw. mikroskopische magnetische Dipolmomente ${\bar {m}}$

a) Für ${\bar {B}}=0$ vorhandene, permanente magnetische Momente ${\bar {m}}$ werden zur Minimierung der potenziellen Energie ${{W}_{mag.}}=-{\bar {m}}{\bar {B}}$ vorzugsweise ( entgegen der thermischen Bewegung) parallel zum äußeren B- Feld orientiert. Beispiel: Spin- Bahn- Momente von Elektronen

• paramagnetisches Verhalten

1. durch B können nach dem Faradayschen Induktionsgesetz Kreisströme freier oder gebundener Ladungen induziert werden. Wegen der Lenzschen Regel ist die induzierte Magnetisierung antiparallel zum äußeren B- Feld.

• diamagnetisches Verhalten !

Makroskopisch gemittelte Felder

mikroskopische magnetische Dipoldichte: Wie bei Polarisationsdichte:

${\begin{aligned}&{{\bar {M}}_{m}}\left({\bar {r}},t\right)=\sum \limits _{i}{}{{\bar {m}}_{i}}(t)\delta \left({\bar {r}}-{{\bar {r}}_{i}}\right)\\&{{\bar {P}}_{m}}\left({\bar {r}},t\right)=\sum \limits _{i}{}{{\bar {p}}_{i}}(t)\delta \left({\bar {r}}-{{\bar {r}}_{i}}\right)\quad el.Dipoldichte\\\end{aligned}}$

Mittelung über ein kleines, makroskopisches Volumen $\Delta V$

${\bar {M}}\left({\bar {r}},t\right)={\frac {1}{\Delta V}}\int _{\Delta V}^{}{}{{d}^{3}}s{{\bar {M}}_{m}}\left({\bar {r}}+{\bar {s}},t\right)$

makroskopische magnetische Dipoldichte:= Magnetisierung

Ziel: Zusammenhang zwischen der magnetischen Dipoldichte ${\bar {M}}\left({\bar {r}},t\right)$ und den effektiven Feldern ${\bar {B}}$ in der Materie finden. Hierzu zeige man, dass eine Magnetisierungsstromdichte ${{\bar {j}}_{M}}$

als Quelle der Felder eingeführt werden kann:

$\nabla \times {{\bar {B}}_{M}}={{\mu }_{0}}{{\bar {j}}_{M}}$

bzw.

$\nabla \times {\bar {M}}={{\bar {j}}_{M}}$

effektive Gesamtinduktion ( im stationären Fall):

${\begin{aligned}&{\bar {B}}{\acute {\ }}={\bar {B}}+{{\bar {B}}_{M}}\\&\Rightarrow \nabla \times \left({\frac {1}{{\mu }_{0}}}{\bar {B}}{\acute {\ }}\right)=\nabla \times \left({\frac {1}{{\mu }_{0}}}{\bar {B}}\right)+{{\bar {j}}_{M}}={\bar {j}}+{{\bar {j}}_{M}}\\\end{aligned}}$

Also: Erzeugung des B- Feldes ( Differenz aus effektiver Gesamtinduktion und Magnetisierung) durch den sogenannte freien Strom j :

${\begin{aligned}&{\bar {B}}{\acute {\ }}={\bar {B}}+{{\bar {B}}_{M}}\\&\nabla \times \left({\frac {1}{{\mu }_{0}}}{\bar {B}}{\acute {\ }}-{\bar {M}}\right)={\bar {j}}\\&{\bar {H}}={\frac {1}{{\mu }_{0}}}\left({\frac {1}{{\mu }_{0}}}{\bar {B}}{\acute {\ }}-{{\bar {B}}_{M}}\right)={\frac {\bar {B}}{{\mu }_{0}}}\\\end{aligned}}$

Betrachten wir das Vektorpotenzial der mikroskopischen elektrischen und magnetischen Dipole:

${\begin{aligned}&{{\bar {A}}_{m}}\left({\bar {r}},t\right)={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\sum \limits _{i}{}\left[{\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{{\bar {r}}_{i}}\right|}}{{\dot {\bar {p}}}_{i}}\left(t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{{\bar {r}}_{i}}\right|}{c}}\right)+\nabla \times \left({\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{{\bar {r}}_{i}}\right|}}{{\bar {m}}_{i}}\left(t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{{\bar {r}}_{i}}\right|}{c}}\right)\right)\right]\\&{{\bar {p}}_{i}}\left(t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{{\bar {r}}_{i}}\right|}{c}}\right)\quad elektrDipolmoment\\&{{\bar {m}}_{i}}\left(t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{{\bar {r}}_{i}}\right|}{c}}\right)\quad magnetDipolmoment\\&\Rightarrow {{\bar {A}}_{m}}\left({\bar {r}},t\right)={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\int _{}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}\left[{\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{{\dot {\bar {p}}}_{m}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)+{{\nabla }_{r}}\times \left({\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{{\bar {M}}_{m}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)\right)\right]\\\end{aligned}}$

mit der mikroskopischen elektrischen Dipoldichte

${{\bar {p}}_{m}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)$

und der magnetischen Dipoldichte

${{\bar {M}}_{m}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)$

Als makroskopisch gemitteltes Potenzial:

${\begin{aligned}&{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)={\frac {1}{\Delta V}}\int _{\Delta V}^{}{}{{d}^{3}}s{{\bar {A}}_{m}}\left({\bar {r}}+{\bar {s}},t\right)\\&={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}{\frac {1}{\Delta V}}\int _{\Delta V}^{}{}{{d}^{3}}s\int _{}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}\left[{\frac {1}{\left|{\bar {r}}+{\bar {s}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{{\dot {\bar {p}}}_{m}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}+{\bar {s}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)+{{\nabla }_{r}}\times \left({\frac {1}{\left|{\bar {r}}+{\bar {s}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{{\bar {M}}_{m}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}+{\bar {s}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)\right)\right]\\&=={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\int _{}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}\left[{\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{\dot {\bar {P}}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)+{{\nabla }_{r}}\times \left({\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{\bar {M}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)\right)\right]\\\end{aligned}}$

Wobei nur die makroskopischen Dichten einzusetzen sind ( vergleiche oben)

Umformung liefert:

${\begin{aligned}&{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\int _{}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}\left[{\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{\dot {\bar {P}}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)+{{\nabla }_{r}}\times \left({\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{\bar {M}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)\right)\right]\\&\int _{}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{{\nabla }_{r}}\times \left({\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{\bar {M}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)\right)=\\&=-\int _{}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}\times \left({\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{\bar {M}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)\right)+\int _{}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}\times {\bar {M}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t{\acute {\ }}\right)\\&t{\acute {\ }}=t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\\&\int _{}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}\times \left({\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{\bar {M}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)\right)=0\\&\Rightarrow {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\int _{}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}\left[{\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{\dot {\bar {P}}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)+{\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}\times {\bar {M}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t{\acute {\ }}\right)\right]\\\end{aligned}}$

Definition

${\begin{aligned}&{\dot {\bar {P}}}={{\bar {j}}_{p}}\\&{{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}\times {\bar {M}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t{\acute {\ }}\right)={{\bar {j}}_{M}}\\\end{aligned}}$

Ersteres: Polarisationsstromdichte Letzteres: Magnetisierungsstromdichte

Also:

${\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\int _{}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}\left[{{\bar {j}}_{p}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)+{{\bar {j}}_{M}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t{\acute {\ }}\right)\right]$

Das heißt, das makroskopisch gemittelte retardierte Vektorpotenzial wird durch die Polarisations- und Magnetisierungsstromdichten im Medium erzeugt !

es gilt der Erhaltungssatz:

${\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial t{\acute {\ }}}}{{\rho }_{p}}=-\nabla \cdot {\dot {\bar {P}}}=-\nabla \cdot {{\bar {j}}_{p}}\\&\Rightarrow {{\dot {\rho }}_{p}}+\nabla \cdot {{\bar {j}}_{p}}=0\\\end{aligned}}$

Kontinuitätsgleichung für die Erhaltung der Polarisationsladung !

Maxwell- Gleichungen in Materie

Die vollständigen Potenziale enthalten

• die freie Ladungs- und Stromdichten
• $\rho ,{\bar {j}}$
• die Polarisations- und Magnetisierungsbeiträge
• ${{\rho }_{p}},{{\bar {j}}_{p}},{{\bar {j}}_{m}}$

Somit folgt für die vollständigen Potenziale:

${\begin{aligned}&t{\acute {\ }}=t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\\&{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)={\frac {{\mu }_{{\acute {\ }}0}}{4\pi }}\int _{}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}\left[{\bar {j}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)+{{\bar {j}}_{P}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)+{{\bar {j}}_{M}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)\right]\\&\Phi \left({\bar {r}},t\right)={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\int _{}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}\left[\rho \left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)+{{\rho }_{P}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)\right]\\&\\\end{aligned}}$

Diese Potenziale sind Lösungen der inhomogenen Wellengleichung in Lorentz- Eichung

${\begin{aligned}&\#{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=-{{\mu }_{{\acute {\ }}0}}\left[{\bar {j}}+{{\bar {j}}_{P}}+{{\bar {j}}_{M}}\right]\\&\#\Phi \left({\bar {r}},t\right)=-{\frac {1}{{\varepsilon }_{0}}}\left[\rho +{{\rho }_{P}}\right]\\&\\\end{aligned}}$

Für die Felder in Materie folgt:

${\begin{aligned}&{\bar {E}}=-\nabla \Phi \left({\bar {r}},t\right)-{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)\\&{\bar {B}}=\nabla \times {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)\\\end{aligned}}$

Daraus folgen die Maxwell- Gleichungen:

${\begin{aligned}&1)\nabla \times {\bar {E}}=-{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {B}}\\&2)\nabla \cdot {\bar {B}}=0\\\end{aligned}}$

• Wie im Vakuum

${\begin{aligned}&3)\nabla \cdot {\bar {E}}=-{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \cdot {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)-\nabla \cdot \nabla \Phi \\&\nabla \cdot {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\Phi \\&\Rightarrow \nabla \cdot {\bar {E}}=-{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \cdot {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)-\nabla \cdot \nabla \Phi ={\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {{t}^{2}}}}\Phi -\Delta \Phi =-\#\Phi \\\end{aligned}}$

In Lorentz Eichung !

$\nabla \cdot {\bar {E}}=-{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \cdot {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)-\nabla \cdot \nabla \Phi ={\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {{t}^{2}}}}\Phi -\Delta \Phi =-\#\Phi ={\frac {1}{{\varepsilon }_{0}}}\left(\rho +{{\rho }_{p}}\right)={\frac {1}{{\varepsilon }_{0}}}\left(\rho -\nabla \cdot {\bar {P}}\right)$

per Definition von ${{\rho }_{p}}$ .

${\begin{aligned}&\Rightarrow 3)\nabla \cdot \left({{\varepsilon }_{0}}{\bar {E}}\left({\bar {r}},t\right)+{\bar {P}}\left({\bar {r}},t\right)\right)=\rho \left({\bar {r}},t\right)\\&\left({{\varepsilon }_{0}}{\bar {E}}\left({\bar {r}},t\right)+{\bar {P}}\left({\bar {r}},t\right)\right):={\bar {D}}\left({\bar {r}},t\right)\\&\Rightarrow \nabla \cdot {\bar {D}}\left({\bar {r}},t\right)=\rho \left({\bar {r}},t\right)\\\end{aligned}}$

Die Dielektrische Verschiebung

4) Letzte Gleichung:

${\begin{aligned}&\nabla \times {\bar {B}}\left({\bar {r}},t\right)=\nabla \times \left(\nabla \times {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)\right)=\nabla \left(\nabla \cdot {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)\right)-\Delta {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)\\&\nabla \cdot {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\Phi \\&\Rightarrow \nabla \times {\bar {B}}\left({\bar {r}},t\right)=-\Delta {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \Phi \\&\nabla \Phi =-{\bar {E}}-{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)\\&\Rightarrow \nabla \times {\bar {B}}\left({\bar {r}},t\right)=-\Delta {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)+{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {E}}+{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {{t}^{2}}}}{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=-\#{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)+{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {E}}\\&={{\mu }_{0}}\left({\bar {j}}+{{\bar {j}}_{P}}+{{\bar {j}}_{M}}\right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {E}}\\&{{\bar {j}}_{P}}={\dot {\bar {P}}}\\&{{\bar {j}}_{M}}=\nabla \times {\bar {M}}\\&\Rightarrow \nabla \times {\bar {B}}\left({\bar {r}},t\right)={{\mu }_{0}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\bar {P}}+{{\varepsilon }_{0}}{\bar {E}}\right)+{{\mu }_{0}}\nabla \times {\bar {M}}+{{\mu }_{0}}{\bar {j}}\\&\Rightarrow 4)\\&\Rightarrow \nabla \times \left({\frac {1}{{\mu }_{0}}}{\bar {B}}\left({\bar {r}},t\right)-{\bar {M}}\right)={\bar {j}}+{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {D}}\\&\left({\frac {1}{{\mu }_{0}}}{\bar {B}}\left({\bar {r}},t\right)-{\bar {M}}\right)=H\left({\bar {r}},t\right)\\&\Rightarrow \nabla \times H\left({\bar {r}},t\right)={\bar {j}}+{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {D}}\\\end{aligned}}$

Mit dem Magnetfeld $H\left({\bar {r}},t\right)$ , welches so definiert wurde, dass es nur durch die FREIEN Ströme erzeugt wird:

Zusammenfassung:

${\begin{aligned}&1)\nabla \times {\bar {E}}=-{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {B}}\\&2)\nabla \cdot {\bar {B}}=0\\\end{aligned}}$

$3)\nabla \cdot {\bar {D}}\left({\bar {r}},t\right)=\rho \left({\bar {r}},t\right)$

$4)\nabla \times H\left({\bar {r}},t\right)={\bar {j}}+{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {D}}$

$4)\nabla \times H\left({\bar {r}},t\right)-{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {D}}={\bar {j}}$

Dabei beschreibt

${\begin{aligned}&1)\nabla \times {\bar {E}}=-{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {B}}\\&2)\nabla \cdot {\bar {B}}=0\\\end{aligned}}$

die Wechselwirkung der Felder mit Probeladungen und

$3)\nabla \cdot {\bar {D}}\left({\bar {r}},t\right)=\rho \left({\bar {r}},t\right)$

$4)\nabla \times H\left({\bar {r}},t\right)-{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {D}}={\bar {j}}$

die Erzeugung der Felder durch FREIE Ladungen und Ströme

Weiter:

${\begin{aligned}&{\bar {D}}\left({\bar {r}},t\right)={{\varepsilon }_{0}}{\bar {E}}\left({\bar {r}},t\right)+{\bar {P}}\left({\bar {r}},t\right)\\&{\bar {H}}\left({\bar {r}},t\right)={\frac {1}{{\mu }_{0}}}{\bar {B}}\left({\bar {r}},t\right)-{\bar {M}}\left({\bar {r}},t\right)\\\end{aligned}}$

Im Gauß System ( weil so oft in diesem angegeben, vergl. Jackson):

${\begin{aligned}&1)\nabla \times {\bar {E}}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {B}}=0\\&2)\nabla \cdot {\bar {B}}=0\\\end{aligned}}$

$3)\nabla \cdot {\bar {D}}\left({\bar {r}},t\right)=4\pi \rho \left({\bar {r}},t\right)$

$4)\nabla \times H\left({\bar {r}},t\right)-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {D}}={\frac {4\pi }{c}}{\bar {j}}$

die Erzeugung der Felder durch FREIE Ladungen und Ströme

Weiter:

${\begin{aligned}&5){\bar {D}}\left({\bar {r}},t\right)={\bar {E}}\left({\bar {r}},t\right)+4\pi {\bar {P}}\left({\bar {r}},t\right)\\&6){\bar {H}}\left({\bar {r}},t\right)={\bar {B}}\left({\bar {r}},t\right)-4\pi {\bar {M}}\left({\bar {r}},t\right)\\\end{aligned}}$

Unsere 6 Feldgleichungen ( wenn man so will, also ( es kann nicht oft genug gezeigt werden):

${\begin{aligned}&1)\nabla \times {\bar {E}}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {B}}=0\\&2)\nabla \cdot {\bar {B}}=0\\\end{aligned}}$

$3)\nabla \cdot {\bar {D}}\left({\bar {r}},t\right)=4\pi \rho \left({\bar {r}},t\right)$

$4)\nabla \times H\left({\bar {r}},t\right)-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {D}}={\frac {4\pi }{c}}{\bar {j}}$

${\begin{aligned}&5){\bar {D}}\left({\bar {r}},t\right)={\bar {E}}\left({\bar {r}},t\right)+4\pi {\bar {P}}\left({\bar {r}},t\right)\\&6){\bar {H}}\left({\bar {r}},t\right)={\bar {B}}\left({\bar {r}},t\right)-4\pi {\bar {M}}\left({\bar {r}},t\right)\\\end{aligned}}$

sind nicht vollständig. Es muss noch der Zusammenhang zwischen Polarisation und E- Feld, bzw. B- Feld und Magnetisierung angegeben werden. Dies sind die sogenannten " Materialgleichungen".

Einfachster Fall:

1. isotrope Materie:

${\bar {E}}\left({\bar {r}},t\right)||{\bar {P}}\left({\bar {r}},t\right)$

und für paramagnetische Stoffe ${\bar {B}}\left({\bar {r}},t\right)\uparrow \uparrow {\bar {M}}\left({\bar {r}},t\right)$

für diamagnetische Stoffe: ${\bar {B}}\left({\bar {r}},t\right)\uparrow \downarrow {\bar {M}}\left({\bar {r}},t\right)$ , also ein skalarer Zusammenhang

1. bei nicht zu hohen Feldern:

${\bar {E}}{\tilde {\ }}{\bar {P}}$

${\bar {B}}{\tilde {\ }}{\bar {M}}$

also ein linearer Zusammenhang

1. ohne Gedächtniseffekte, keine nichtlokale Wechselwirkung ( keine Phasenkohärenzen):

${\bar {E}}\left({\bar {r}},t\right){\tilde {\ }}{\bar {P}}\left({\bar {r}},t\right)$

${\bar {B}}\left({\bar {r}},t\right){\tilde {\ }}{\bar {M}}\left({\bar {r}},t\right)$

neben der Linearität also ein INSTANTANER, LOKALER Zusammenhang !

Dann kann man schreiben:

${\bar {P}}\left({\bar {r}},t\right)={{\varepsilon }_{0}}{{\chi }_{e}}{\bar {E}}\left({\bar {r}},t\right)$

${\bar {M}}\left({\bar {r}},t\right)={{\chi }_{M}}{\bar {H}}\left({\bar {r}},t\right)$

Mit den Suszeptibilitäten, der elektrischen Suszeptibilität

${{\chi }_{e}}$ und der magnetischen Suszeptibilität ${{\chi }_{M}}$ ( Materialkonstanten). Die Materialkonstanten müssen aus den mikroskopischen Theorien ( z.B. Quantentheorie, Festkörperphysik) abgeleitet werden.

${\bar {D}}\left({\bar {r}},t\right)={{\varepsilon }_{0}}{\bar {E}}\left({\bar {r}},t\right)+{\bar {P}}={{\varepsilon }_{0}}\left(1+{{\chi }_{e}}\right){\bar {E}}\left({\bar {r}},t\right)={{\varepsilon }_{0}}\varepsilon {\bar {E}}\left({\bar {r}},t\right)$

mit

$\varepsilon =\left(1+{{\chi }_{e}}\right)$ , der relativen Dielektrizitätskonstante ( permittivity)

${\bar {B}}={{\mu }_{0}}\left({\bar {H}}+{\bar {M}}\right)={{\mu }_{0}}\left(1+{{\chi }_{M}}\right){\bar {H}}\left({\bar {r}},t\right)={{\mu }_{0}}\mu {\bar {H}}$

mit

$\left(1+{{\chi }_{M}}\right)=\mu$ , der relativen Permeabilität

$\Rightarrow {\bar {M}}={{\chi }_{M}}{\bar {H}}={\frac {1}{{\mu }_{0}}}{\frac {{\chi }_{M}}{\mu }}{\bar {B}}={\frac {1}{{\mu }_{0}}}{\frac {{\chi }_{M}}{\left(1+{{\chi }_{M}}\right)}}{\bar {B}}$

Man sagt: Ein Stoff ist paramagnetisch für ${\frac {{\chi }_{M}}{\left(1+{{\chi }_{M}}\right)}}>0$

diamagnetisch für ${\frac {{\chi }_{M}}{\left(1+{{\chi }_{M}}\right)}}<0$

paramagnetisch: ${{\chi }_{M}}>0\Rightarrow \mu >1$

diamagnetisch $0>{{\chi }_{M}}>-1\Rightarrow 0<\mu <1$

Bemerkungen

${\bar {E}}\left({\bar {r}},t\right)=0\Rightarrow {\bar {P}}=0$ beschreibt kein Ferroelektrikum

${\bar {B}}=0\Rightarrow {\bar {M}}=0$ kein Ferromagnet

Es gilt stets ${{\chi }_{e}}>0$ ( Dielektrischer Effekt, Polarisierbarkeit -> es existiert keine negative Polarisierbarkeit)

${{\chi }_{M}}{\begin{matrix}>\\<\\\end{matrix}}0$ Para- ODER Diamagnet

Ein Term ${\tilde {\ }}{\bar {B}}$ in ${\bar {P}}$ oder ${\tilde {\ }}{\bar {E}}$ in ${\bar {M}}$ kann gar nicht auftreten, schon wegen des falschen Raumspiegelverhaltens !

${\bar {E}}$ ist polarer Vektor, ${\bar {B}}$ ist axialer Vektor !

${{\rho }_{P}}\left({\bar {r}},t\right)=-\nabla \cdot {\bar {P}}\left({\bar {r}},t\right)$ ist ein Skalar

${{\bar {j}}_{M}}=rot{\bar {M}}$ ist ein polarer Vektor.

Abweichungen

1)Für anisotrope Kristalle : ${\bar {P}}\left({\bar {r}},t\right)={{\varepsilon }_{0}}{{\bar {\bar {\chi }}}_{e}}{\bar {E}}$

drückt den anisotropen Charakter aus mit einem symmetrischen Tensor ${{\bar {\bar {\chi }}}_{e}}$ .

2) für starke Felder gibt es nichtlineare Effekte, die ebenfalls tensoriellen Charakter der Suszeptibilität bedingen:

${\bar {P}}\left({\bar {r}},t\right)={{\varepsilon }_{0}}\left({{\bar {\bar {\chi }}}_{e}}^{(1)}{\bar {E}}+{{\bar {\bar {\chi }}}_{e}}^{(2)}{{\bar {E}}^{2}}+{{\bar {\bar {\chi }}}_{e}}^{(3)}{{\bar {E}}^{3}}+...\right)$

Anwendung: optische Nichtlinearität, Beispiel: optische Bistabilität, optische Schalter:

Für hochfrequente Felder folgt:

${\bar {P}}\left({\bar {r}},t\right)={{\varepsilon }_{0}}\int _{}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}dt{\acute {\ }}{{\chi }_{e}}\left({\bar {r}},{\bar {r}}{\acute {\ }},t,t{\acute {\ }}\right){\bar {E}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t{\acute {\ }}\right)$

( räumliche bzw. zeitliche Dispersion):

${\hat {\bar {P}}}\left({\bar {k}},\omega \right)={{\varepsilon }_{0}}{{\hat {\chi }}_{e}}\left({\bar {k}},\omega \right){\hat {\bar {E}}}\left({\bar {k}},\omega \right)$

Grenzbedingungen für Felder

_ Frage ist: Wie verhalten sich ${\bar {B}},{\bar {H}},{\bar {D}},{\bar {E}}$ an Grenzflächen, die verschiedene elektrische und magnetische Materialien ( Vakuum/ Materie) trennen ?

Integration der Maxwell- Gleichungen über ein Volumen V:

$\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r\nabla \cdot {\bar {D}}\left({\bar {r}},t\right)=\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r\rho \left({\bar {r}},t\right)=Q=\oint \limits _{\partial V}{}d{\bar {f}}\cdot {\bar {D}}\left({\bar {r}},t\right)$

$\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r\nabla \times H\left({\bar {r}},t\right)=\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r\left({\bar {j}}+{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {D}}\right)$

Bildlich:

Normalkomponenten: Betrachte einen Zylinder, der senkrecht auf einer Grenzfläche steht. Nun nimmt man die Maxwellgleichungen in integraler Schreibweise an und läßt den Zylinder unter Berücksichtigung von Integrationssätzen gegen Null- Höhe gehen:

also: Für die Normalkomponenten: h -> 0

Während also die Normalkomponente des B- Feldes an der Grenzfläche stetig ist, springt die Normalkomponente der dielektrischen Verschiebung um die Ladung, die an der Grenzfläche sitzt: Unter der Annahme, dass die Grenzfläche die freie Flächenladungsdichte $\sigma$ trägt:

${\begin{aligned}&\rho \left({\bar {r}},t\right)=\sigma \left(x,y,t\right)\delta \left(z\right)\\&{{\bar {e}}_{z}}\equiv {\bar {n}}\\&\Rightarrow {\begin{matrix}\lim \\h->0\\\end{matrix}}\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r\rho \left({\bar {r}},t\right)=Q=\int _{F}^{}{}df\sigma \left(x,y,t\right)\\&{\begin{matrix}\lim \\h->0\\\end{matrix}}\oint \limits _{\partial V}{}d{\bar {f}}\cdot {\bar {D}}\left({\bar {r}},t\right)=\int _{F}^{}{}d{\bar {f}}\left({{\bar {D}}^{(1)}}-{{\bar {D}}^{(2)}}\right)=\int _{F}^{}{}df{\bar {n}}\left({{\bar {D}}^{(1)}}-{{\bar {D}}^{(2)}}\right)=\int _{F}^{}{}df\sigma \left(x,y,t\right)\\\end{aligned}}$

${\begin{matrix}\lim \\h->0\\\end{matrix}}\oint \limits _{\partial V}{}d{\bar {f}}\cdot {\bar {B}}=\int _{F}^{}{}d{\bar {f}}\left({{\bar {B}}^{(1)}}-{{\bar {B}}^{(2)}}\right)=\int _{F}^{}{}df{\bar {n}}\left({{\bar {B}}^{(1)}}-{{\bar {B}}^{(2)}}\right)=0$

Somit müssen die Integranden übereinstimmen:

${\bar {n}}\left({{\bar {B}}^{(1)}}-{{\bar {B}}^{(2)}}\right)=0$

${\bar {n}}\left({{\bar {D}}^{(1)}}-{{\bar {D}}^{(2)}}\right)=\sigma \left(x,y,t\right)$

Tangentialkomponenten

Anwendung des verallgemeinerten Gaußschen Satz:

$1)\nabla \times {\bar {E}}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {B}}=0$

$4)\nabla \times H\left({\bar {r}},t\right)-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {D}}={\frac {4\pi }{c}}{\bar {j}}$

$\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r\nabla \times {\bar {E}}=-\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {B}}$

$\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r\nabla \times H\left({\bar {r}},t\right)=\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r\left({\bar {j}}+{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {D}}\right)$

Auch hier: h-> 0

${\begin{aligned}&\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r\nabla \times {\bar {E}}=\oint \limits _{\partial V}{}d{\bar {f}}\times {\bar {E}}=-\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {B}}\\&\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r\nabla \times H\left({\bar {r}},t\right)=\oint \limits _{\partial V}{}d{\bar {f}}\times H\left({\bar {r}},t\right)=\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r\left({\bar {j}}+{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {D}}\right)\\&{\begin{matrix}\lim \\h->0\\\end{matrix}}\oint \limits _{\partial V}{}d{\bar {f}}\times {\bar {E}}=\oint \limits _{\partial V}{}df{\bar {n}}\times \left({{\bar {E}}^{(1)}}-{{\bar {E}}^{(2)}}\right)\\&{\begin{matrix}\lim \\h->0\\\end{matrix}}\oint \limits _{\partial V}{}d{\bar {f}}\times H\left({\bar {r}},t\right)=\oint \limits _{\partial V}{}df{\bar {n}}\times \left(H{{\left({\bar {r}},t\right)}^{(1)}}-H{{\left({\bar {r}},t\right)}^{(2)}}\right)\\\end{aligned}}$

In beiden Fällen die Tangentialkomponenten der Felder ! senkrecht auf Flächenvektor und Feld

Wegen:

${\begin{aligned}&{\begin{matrix}\lim \\h->0\\\end{matrix}}\oint \limits _{\partial V}{}d{\bar {f}}\times {\bar {E}}=\oint \limits _{\partial V}{}df{\bar {n}}\times \left({{\bar {E}}^{(1)}}-{{\bar {E}}^{(2)}}\right)=-{\begin{matrix}\lim \\h->0\\\end{matrix}}\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {B}}\\&{\begin{matrix}\lim \\h->0\\\end{matrix}}\oint \limits _{\partial V}{}d{\bar {f}}\times H\left({\bar {r}},t\right)=\oint \limits _{\partial V}{}df{\bar {n}}\times \left(H{{\left({\bar {r}},t\right)}^{(1)}}-H{{\left({\bar {r}},t\right)}^{(2)}}\right)={\begin{matrix}\lim \\h->0\\\end{matrix}}\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r\left({\bar {j}}+{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {D}}\right)\\\end{aligned}}$

Annahme: Grenzfläche trägt (freie) Flächenstromdichte ${\begin{aligned}&{\bar {g}}\\&\Rightarrow {\bar {j}}\left({\bar {r}},t\right)={\bar {g}}\left(x,y,t\right)\delta \left(z\right)\\\end{aligned}}$

wie es bei metallen der Fall ist !, dann:

${\begin{matrix}\lim \\h->0\\\end{matrix}}\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r{\bar {j}}=\int _{F}^{}{}df{\bar {g}}$

Weiter:

${\begin{aligned}&{\begin{matrix}\lim \\h->0\\\end{matrix}}\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {B}}\\&{\begin{matrix}\lim \\h->0\\\end{matrix}}\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {D}}\\\end{aligned}}$

können für Volumenintegrale mit verschwindendem Volumen nur einen Beitrag liefern, wenn ${\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {B}},{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {D}}$ Unendlichkeitsstellen besitzen.

Annahme:

${\bar {B}},{\bar {D}}$ und ${\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {B}},{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {D}}$ sind beschränkt:

${\begin{aligned}&{\begin{matrix}\lim \\h->0\\\end{matrix}}\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {B}}=0\\&{\begin{matrix}\lim \\h->0\\\end{matrix}}\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {D}}=0\\&{\begin{matrix}\lim \\h->0\\\end{matrix}}\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r\left({\bar {j}}+{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {D}}\right)=\int _{F}^{}{}df{\bar {g}}(x,y,t)\\&\oint \limits _{\partial V}{}df{\bar {n}}\times \left({{\bar {E}}^{(1)}}-{{\bar {E}}^{(2)}}\right)=0\\&\oint \limits _{\partial V}{}df{\bar {n}}\times \left(H{{\left({\bar {r}},t\right)}^{(1)}}-H{{\left({\bar {r}},t\right)}^{(2)}}\right)=\int _{F}^{}{}df{\bar {g}}(x,y,t)\\\end{aligned}}$

Somit haben wir die Grenzbedingungen für die Tangentialkomponenten:

${\begin{aligned}&{\bar {n}}\times \left({{\bar {E}}^{(1)}}-{{\bar {E}}^{(2)}}\right)=0\\&{\bar {n}}\times \left(H{{\left({\bar {r}},t\right)}^{(1)}}-H{{\left({\bar {r}},t\right)}^{(2)}}\right)={\bar {g}}(x,y,t)\\\end{aligned}}$

Das heißt:

Die Tangentialkomponente des elektrischen Feldes E ist am Grenzübergang stetig Die Tangentialkomponente des magnetischen Feldes H springt am Grenzübergang um die Flächenstromdichte !

Bildlich: Sitzen Ladungen an einer Grenzfläche, so ist die Normalkomponente von D ( wichtig: Polarisationseffekt -> Polarisation muss irgendwo mit auftauchen) nicht stetig ! Fließen flächenartige Ströme entlang einer Grenzfläche, so ist die Tangentialkomponente von H nicht stetig !

Zusammenfassung:

$\delta {\bar {E}}:=\left({{\bar {E}}^{(1)}}-{{\bar {E}}^{(2)}}\right)$

Maxwellgleichung Grenzbedingung

${\begin{aligned}&1)\nabla \times {\bar {E}}=-{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {B}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad {\bar {n}}\times \delta {\bar {E}}=0\\&2)\nabla \cdot {\bar {B}}=0\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad {\bar {n}}\cdot \delta {\bar {B}}=0\\\end{aligned}}$

$3)\nabla \cdot {\bar {D}}\left({\bar {r}},t\right)=\rho \left({\bar {r}},t\right)\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad {\bar {n}}\cdot \delta {\bar {D}}\left({\bar {r}},t\right)=\sigma$

$4)\nabla \times H\left({\bar {r}},t\right)={\bar {j}}+{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {D}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad {\bar {n}}\times \delta H\left({\bar {r}},t\right)={\bar {g}}$

Also: die Tangenzialkomponente von E ist stetig Die Normalkomponente von D springt um die Flächenladungsdichte ( Flächendivergenz) Die Tangentialkomponente von H springt ( Flächenrotation) um die Flächenstromdichte Die Normalkomponente von B ist stetig.

Beispiele:

1. Grenzfläche zwischen 2 dielektrischen Materialien mit

${\begin{aligned}&{{\varepsilon }^{(1)}}<{{\varepsilon }^{(2)}}\\&\sigma =0\\\end{aligned}}$

Zuerst zeichne man sich ein derartiges Diagramm hin !

${\begin{aligned}&{{\bar {E}}_{t}}^{(1)}={{\bar {E}}_{t}}^{(2)}\\&{{\bar {D}}_{n}}^{(1)}={{\bar {D}}_{n}}^{(2)}\\\end{aligned}}$

letzteres wegen der verschwindenden Flächenladungsdichte !

${\begin{aligned}&{{\bar {E}}_{t}}^{(1)}={{\bar {E}}_{t}}^{(2)}\\&{{\bar {D}}_{n}}^{(1)}={{\bar {D}}_{n}}^{(2)}\Rightarrow {{\varepsilon }_{1}}{{\bar {E}}_{n}}^{(1)}={{\varepsilon }_{2}}{{\bar {E}}_{n}}^{(2)}\\&\Rightarrow {{\bar {E}}_{n}}^{(2)}={\frac {{\varepsilon }_{1}}{{\varepsilon }_{2}}}{{\bar {E}}_{n}}^{(1)}\\&\tan {{\alpha }_{1}}={\frac {{{\bar {E}}_{t}}^{(1)}}{{{\bar {E}}_{n}}^{(1)}}}={\frac {{\varepsilon }_{1}}{{\varepsilon }_{2}}}{\frac {{{\bar {E}}_{t}}^{(2)}}{{{\bar {E}}_{n}}^{(2)}}}={\frac {{\varepsilon }_{1}}{{\varepsilon }_{2}}}\tan {{\alpha }_{2}}\\\end{aligned}}$

Dies ist das Brechungsgesetz für die Feldlinien

Achtung ! Das Snelliussche Brechungsgesetz müsste man sich für den Verlauf des Energiestroms berechnen

1. Grenzfläche zwischen Vakuum ( Luft) und magnetischem Material

2.1 Sei speziell ${\bar {B}}\bot$ Grenzfläche ( z.B. zwischen den Polschuhen eines Ringmagneten mit Luft dazwischen / Material genauso !)): In diesem Fall (keine Oberflächenströme) ist ${\bar {B}}$ grundsätzlich stetig ! B ist eh immer grundsätzlich stetig ! Wegen der Divergenzgleichung wird B immer ( wie D´) für Normalkomponenten herangezogen.

1. Paramagnetisch:

${\begin{aligned}&{\frac {1}{{\mu }_{0}}}{\bar {B}}={\bar {M}}+{\bar {H}}\\&{\bar {M}}\uparrow \uparrow {\bar {H}}\\\end{aligned}}$

1. Paramagnetisch:

${\begin{aligned}&{\frac {1}{{\mu }_{0}}}{\bar {B}}={\bar {M}}+{\bar {H}}\\&{\bar {M}}\uparrow \downarrow {\bar {H}}\\\end{aligned}}$

2.2 Sei speziell ${\bar {B}}||$ Grenzfläche ( z.B. lange Spule mit Luft dazwischen / Material genauso !)): Wir müssen nun Tangentialkomponenten untersuchen. Dazu nimmt man die Rotationsgleichungen ( E und H):

In diesem Fall ist ${\bar {H}}$ stetig für ${\bar {g}}=0$ ( kein Oberflächenstrom)

Mikroskopisches Modell der Polarisierbarkeit

Ziel: Berechnung der Materialkonstanten

5.5 Mikroskopisches Modell der Polarisierbarkeit

Ziel: Berechnung der Materialkonstanten ${{\chi }_{e}}$ aus einfachen mikroskopischen Modellen Methode: Berechne die induzierte mittlere elektrische Dipoldichte ${\bar {P}}$ für ein gegebenes Feld ${\bar {E}}$ .

Nebenbemerkung: Die Orientierungspolarisation ist nur mittels einer thermodynamischen- statistischen Theorie zu berechnen: Hier: Auseinandersetzung nur mit der " induzierten" Polarisation

Klassisches Atommodell:

homogen geladene Kugel mit Radius R und Elektronenladung ${{Q}_{e}}=-Ze<0$

Außerdem ein punktförmiger Kern mit ${{Q}_{k}}=+Ze>0$ am Ort ${{\bar {r}}_{k}}$

Merke:

Auch diese Berechnungen geschehen, wie im NOTFALL grundsätzlich zu empfehlen, durch Lösen integraler Darstellungen der Maxwellgleichungen

Ziel: Berechnung des elektrischen Feldes ${{\bar {E}}_{el.}}\left({\bar {r}}\right)$ der Elektronen nach außen:

Gauß- Gesetz

$\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r\nabla \cdot {\bar {D}}\left({\bar {r}},t\right)=\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r\rho \left({\bar {r}},t\right)=Q=\oint \limits _{\partial V}{}d{\bar {f}}\cdot {\bar {D}}\left({\bar {r}},t\right)$

Wir müssen aber zurückkehren zu den mikroskopischen Maxwellgleichungen

Wichtig ! Integration immer über das Gebiet, in dem die Ladung vorhanden ist, aber ! Betrachtung des elektrischen Feldes an einem gewissen Aufpunkt r! Die Ladung ist eigentlich von r´ abhängig , aber hier homogen verteilt !-> einfache Integration.

Auswertung liefert

${\begin{aligned}&{{\varepsilon }_{0}}\oint \limits _{\partial V(r{\acute {\ }})}{}d{\bar {f}}\cdot {\bar {E}}\left({\bar {r}},t\right)=\int _{V(r{\acute {\ }})}^{}{}{\frac {Q}{{\frac {4}{3}}\pi {{R}^{3}}}}={\frac {r{{\acute {\ }}^{3}}}{{R}^{3}}}Q\\&\Rightarrow 4r{{\acute {\ }}^{2}}\pi {{\varepsilon }_{0}}\left|{\bar {E}}\left({\bar {r}},t\right)\right|={\frac {r{{\acute {\ }}^{3}}}{{R}^{3}}}Q\\&\Rightarrow \left|{\bar {E}}\left({\bar {r}},t\right)\right|={\frac {r{\acute {\ }}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}}Q\\\end{aligned}}$

Natürlich nur für

$r{\acute {\ }}\leq R$

setzt man ${\bar {r}}{\acute {\ }}={\bar {r}}-{{\bar {r}}_{e}}$ , wobei ${{\bar {r}}_{e}}$ das Zentrum der elektrischen Ladung angibt,

so gewinnt man das rotationssymmetrische Ergebnis

${\bar {E}}\left({\bar {r}},t\right)={\frac {{\bar {r}}-{{\bar {r}}_{e}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}}{{Q}_{e}}$

und die Kraft auf den Kern folgt gemäß:

${{\bar {F}}_{K}}={{Q}_{K}}{\bar {E}}\left({{\bar {r}}_{{\acute {\ }}k}},t\right)={\frac {{{\bar {r}}_{k}}-{{\bar {r}}_{e}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}}{{Q}_{e}}{{Q}_{k}}=-{\frac {{{Z}^{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}}\left({{\bar {r}}_{k}}-{{\bar {r}}_{e}}\right)$

wegen actio = reactio folgt dann für die Kraft auf die Elektronen:

${{\bar {F}}_{e}}=-{{\bar {F}}_{K}}$

Aufstellen der Bewegungsgleichungen ( inklusive einem äußeren Feld ${{\bar {E}}_{a}}$ ):

${\begin{aligned}&{{m}_{K}}{{\ddot {\bar {r}}}_{k}}={{\bar {F}}_{K}}+{{Q}_{K}}{{\bar {E}}_{a}}\left({{\bar {r}}_{{\acute {\ }}k}},t\right)=-{\frac {{{Z}^{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}}\left({{\bar {r}}_{k}}-{{\bar {r}}_{e}}\right)+{{Q}_{K}}{{\bar {E}}_{a}}\left({{\bar {r}}_{{\acute {\ }}k}},t\right)=-{\frac {{{Z}^{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}}\left({{\bar {r}}_{k}}-{{\bar {r}}_{e}}\right)+Ze{{\bar {E}}_{a}}\left({{\bar {r}}_{{\acute {\ }}k}},t\right)\\&Z{{m}_{e}}{{\ddot {\bar {r}}}_{e}}=-{{\bar {F}}_{K}}+{{Q}_{e}}{{\bar {E}}_{a}}\left({{\bar {r}}_{{\acute {\ }}k}},t\right)={\frac {{{Z}^{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}}\left({{\bar {r}}_{k}}-{{\bar {r}}_{e}}\right)+{{Q}_{e}}{{\bar {E}}_{a}}\left({{\bar {r}}_{{\acute {\ }}k}},t\right)={\frac {{{Z}^{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}}\left({{\bar {r}}_{k}}-{{\bar {r}}_{e}}\right)-Ze{{\bar {E}}_{a}}\left({{\bar {r}}_{{\acute {\ }}k}},t\right)\\\end{aligned}}$

Also folgt für die Relativbewegung:

${\bar {r}}={{\bar {r}}_{k}}-{{\bar {r}}_{e}}$

als relativer Abstand

${\begin{aligned}&{\ddot {\bar {r}}}={{\ddot {\bar {r}}}_{k}}-{{\ddot {\bar {r}}}_{e}}=-{\frac {{{Z}^{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}{{m}_{K}}}}\left({{\bar {r}}_{k}}-{{\bar {r}}_{e}}\right)+{\frac {Ze}{{m}_{K}}}{{\bar {E}}_{a}}\left({{\bar {r}}_{{\acute {\ }}k}},t\right)-{\frac {Z{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}{{m}_{e}}}}\left({{\bar {r}}_{k}}-{{\bar {r}}_{e}}\right)+{\frac {e}{{m}_{e}}}{{\bar {E}}_{a}}\left({{\bar {r}}_{k}},t\right)\\&=-{\frac {{{Z}^{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}}\left({\frac {1}{{m}_{K}}}+{\frac {1}{Z{{m}_{e}}}}\right)\left({{\bar {r}}_{k}}-{{\bar {r}}_{e}}\right)+Ze\left({\frac {1}{{m}_{K}}}+{\frac {1}{Z{{m}_{e}}}}\right){{\bar {E}}_{a}}\left({{\bar {r}}_{k}},t\right)\\&\left({\frac {1}{{m}_{K}}}+{\frac {1}{Z{{m}_{e}}}}\right)\approx {\frac {1}{Z{{m}_{e}}}}\\&\left({{\bar {r}}_{k}}-{{\bar {r}}_{e}}\right)={\bar {r}}\\&\Rightarrow {\ddot {\bar {r}}}=-{\frac {Z{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{m}_{e}}{{R}^{3}}}}{\bar {r}}+{\frac {e}{{m}_{e}}}{{\bar {E}}_{a}}\left({{\bar {r}}_{k}},t\right)\\&{\frac {Z{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{m}_{e}}{{R}^{3}}}}:={{\omega }_{0}}^{2}\\&\Rightarrow {\ddot {\bar {r}}}+{{\omega }_{0}}^{2}{\bar {r}}={\frac {e}{{m}_{e}}}{{\bar {E}}_{a}}\left({{\bar {r}}_{k}},t\right)\\\end{aligned}}$

Also ergibt sich ein harmonischer Oszillator mit quadratischem Potenzial ! was wir schon an der Bestimmung des Potenzials sofort hätten sehen können !

Jedenfalls im stationären Zustand gilt:

${\bar {r}}={\frac {e}{{{\omega }_{0}}^{2}{{m}_{e}}}}{{\bar {E}}_{a}}\left({{\bar {r}}_{k}},t\right)$

( Dynamik mit Dämpfung)

$\Rightarrow {{\chi }_{e}}\left(\omega \right)$

Als Ergebnis gewinnen wir ein statisch mikroskopisch elektrisches Dipolmoment, welches sich über p=qd bereits hinschreiben läßt und welches auch übereinstimmt mit Gleichungen von oben zur exakten Berechnung des elektrischen Dipolmoments:

${\begin{aligned}&{\bar {p}}=Ze{\bar {r}}={\frac {Z{{e}^{2}}}{{{\omega }_{0}}^{2}{{m}_{e}}}}{{\bar {E}}_{a}}\left({{\bar {r}}_{k}},t\right)={{\varepsilon }_{0}}\alpha {{\bar {E}}_{a}}\\&\alpha :={\frac {Z{{e}^{2}}}{{{\omega }_{0}}^{2}{{\varepsilon }_{0}}{{m}_{e}}}}\\&{\frac {Z{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{m}_{e}}{{R}^{3}}}}:={{\omega }_{0}}^{2}\\&\Rightarrow \alpha :={\frac {Z{{e}^{2}}}{{{\omega }_{0}}^{2}{{\varepsilon }_{0}}{{m}_{e}}}}=4\pi {{R}^{3}}=3{{V}_{Atom}}\\\end{aligned}}$

Die Polarisierbarkeit des Atoms, ein mikroskopischer Parameter. Entsprechend:

${\begin{aligned}&{\bar {p}}=\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{{\rho }_{e}}(r{\acute {\ }}){\bar {r}}{\acute {\ }}+Ze\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}\delta ({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }})\\&Ze\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}\delta ({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }})=Ze{\bar {r}}\\&\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{{\rho }_{e}}(r{\acute {\ }}){\bar {r}}{\acute {\ }}=-{\frac {Ze}{{\frac {4\pi }{3}}{{R}^{3}}}}\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\bar {r}}{\acute {\ }}\\&\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\bar {r}}{\acute {\ }}=0\\\end{aligned}}$

wegen Symmetrie

${\bar {p}}=Ze{\bar {r}}$

makroskopisch gemittelte Energiedichte:

${\bar {P}}=n{\bar {p}}={{\varepsilon }_{0}}n\alpha {{\bar {E}}_{a}}$

mit der mittleren Atomdichte n

Selbstkonsistente Berechnung des Lokalfeldes Ea:

Wichtig: Berücksichtigung der Felder, die durch andere elektrische Dipole erzeugt werden:

Gedankenexperiment

Feld einer homogenen polarisierten Kugel:

Ansatz: homogen geladene Kugel:

${{\bar {E}}_{0}}\left({\bar {r}}\right)={\frac {Q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\left\{{\begin{matrix}{\frac {\bar {r}}{{a}^{3}}}r\leq a\\{\frac {\bar {r}}{{r}^{3}}}r\geq a\\\end{matrix}}\right.$

Also:

${{\Phi }_{0}}\left({\bar {r}}\right)={\frac {Q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\left\{{\begin{matrix}c-{\frac {{\bar {r}}^{2}}{2{{a}^{3}}}}r\leq a\\{\frac {1}{r}}r\geq a\\\end{matrix}}\right.$

Bestimmung der Integrationskonstanten:

${\begin{matrix}\lim \\\varepsilon ->0\\\end{matrix}}{{\Phi }_{0}}\left(a-\varepsilon \right)={{\Phi }_{0}}\left(a+\varepsilon \right)\Rightarrow c={\frac {3}{2a}}$

die homogen polarisierte Kugel

Bei der homogen polarisierten Kugel kann man 2 entgegegengesetzt homogen geladene Kugeln mit Abstand ro annehmen.

Dann: ro -> 0

Bilde:

${\begin{aligned}&{{\Phi }_{0}}\left({\bar {r}}\right)={{\Phi }_{0}}\left({\bar {r}}-{\frac {1}{2}}{{\bar {r}}_{0}}\right)-{{\Phi }_{0}}\left({\bar {r}}+{\frac {1}{2}}{{\bar {r}}_{0}}\right)\\&\approx -{{\bar {r}}_{0}}\nabla {{\Phi }_{0}}\left({\bar {r}}\right)\\&\nabla {{\Phi }_{0}}\left({\bar {r}}\right)=-{{\bar {E}}_{0}}\\&\Rightarrow {{\Phi }_{0}}\left({\bar {r}}\right)\approx {{\bar {r}}_{0}}{{\bar {E}}_{0}}={\frac {Q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\left\{{\begin{matrix}{\frac {{{\bar {r}}_{0}}{\bar {r}}}{{a}^{3}}}r\leq a\\{\frac {{{\bar {r}}_{0}}{\bar {r}}}{{r}^{3}}}r\geq a\\\end{matrix}}\right.={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\left\{{\begin{matrix}{\frac {{\bar {p}}{\bar {r}}}{{a}^{3}}}r\leq a\\{\frac {{\bar {p}}{\bar {r}}}{{r}^{3}}}r\geq a\\\end{matrix}}\right.\\&{\bar {p}}:=Q{{\bar {r}}_{0}}\\\end{aligned}}$

Das Dipolmoment der herausgeschnittenen Kugel.

Als Näherung wurde taylorentwickelt. Dabei allerdings nur bis zur ersten Ordnung und Nullte Ordnung verschwindet. Verwendet wurde das Dipolmoment der Kugel. Man kann auf Polarisation ( eigentlich Dipoldichte) umschreiben:

${\begin{aligned}&{\bar {P}}={\frac {\bar {p}}{{\frac {4}{3}}{{a}^{3}}\pi }}\\&\Rightarrow {{\Phi }_{0}}\left({\bar {r}}\right)\approx {{\bar {r}}_{0}}{{\bar {E}}_{0}}={\frac {Q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\left\{{\begin{matrix}{\frac {{{\bar {r}}_{0}}{\bar {r}}}{{a}^{3}}}r\leq a\\{\frac {{{\bar {r}}_{0}}{\bar {r}}}{{r}^{3}}}r\geq a\\\end{matrix}}\right.={\frac {1}{{\varepsilon }_{0}}}\left\{{\begin{matrix}{\frac {{\bar {P}}{\bar {r}}}{3}}r\leq a\\{\bar {P}}{\bar {r}}{\frac {{a}^{3}}{{r}^{3}}}r\geq a\\\end{matrix}}\right.\\\end{aligned}}$

Wir gewinnen innerhalb der Kugel homogene Polarisation und außerhalb ein Dipolpotenzial.

${{\bar {E}}_{Kugel}}=-\nabla \Phi =-{\frac {1}{{\varepsilon }_{0}}}{\frac {\bar {P}}{3}}r\leq a$

für das elektrische Feld im Inneren der Kugel ( homogen polarisiert).

Gesamtes Lokalfeld am Ort des Atoms ergibt sich nach:

das äußere Feld wird erzeugt durch Atome, die sich außerhalb der Hohlkugel befinden. Das innere Feld durch Atome im Inneren der Hohlkugel. Gezeichnet: Lokalfeld einer polarisierten dielektrischen Kugel im homogenen elektrischen Feld

Das Lokalfeld im INNEREN des KugelHOHLRAUMS, welcher aus dem Volumen herausgeschnitten wurde:

${{\bar {E}}_{a}}\left({\bar {r}}\right)={\bar {E}}-{{\bar {E}}_{KUgel}}$

${\begin{aligned}&{{\bar {E}}_{a}}\left({\bar {r}}\right):Lokalfeld\\&{\bar {E}}:makroskopisch\\&{{\bar {E}}_{a}}\left({\bar {r}}\right)={\bar {E}}+{\frac {1}{3{{\varepsilon }_{0}}}}{\bar {P}}\\\end{aligned}}$

Letztes wurde von Lorentz eingeführt als "Korrekturfeld"

weil

${{\bar {E}}_{a}}+{{\bar {E}}_{Kugel}}={\bar {E}}$ sein muss

Das Lokalfeld am Ort des Atoms mit dem Innenfeld der dielektrischen Kugel ( wieder in den Hohlraum eingesetzt) ergibt das mittlere makroskopische Feld !

Zusammenhang zwischen P und makroskopischem Feld E:

${\begin{aligned}&{\bar {P}}={{\varepsilon }_{0}}n\alpha {{\bar {E}}_{a}}={{\varepsilon }_{0}}n\alpha \left({\bar {E}}+{\frac {1}{3{{\varepsilon }_{0}}}}{\bar {P}}\right)\\&{\bar {P}}={{\varepsilon }_{0}}{{\chi }_{e}}{\bar {E}}\\&\Rightarrow {{\chi }_{e}}={\frac {n\alpha }{1-{\frac {1}{3}}n\alpha }}\\&n\alpha ={\frac {{\chi }_{e}}{1+{\frac {1}{3}}{{\chi }_{e}}}}={\frac {\varepsilon -1}{1+{\frac {\varepsilon -1}{3}}}}=3{\frac {\varepsilon -1}{\varepsilon +2}}\\\end{aligned}}$

Formel von Clausius - Masotti für polarisierte Kugel

Wellenausbreitung in Materie

Annahme: homogene, isotrope, lineare Medien mit skalaren Materialparametern $\varepsilon ,\mu ,\sigma$

${\begin{aligned}&{\bar {D}}=\varepsilon {{\varepsilon }_{0}}{\bar {E}}\quad \varepsilon >1\\&{\bar {B}}={{\mu }_{0}}\mu {\bar {H}}\quad i.a.\mu {\tilde {\ }}1\\&{\bar {j}}=\sigma {\bar {E}}\\\end{aligned}}$

( ohmsches Gesetz)

Wellen in leitenden Medien ohne Dispersion:

Das heißt: $\varepsilon ,\mu ,\sigma$ nicht frequenzabhängig !

Sei

${\begin{aligned}&\rho =0\\&\nabla \times {\bar {E}}+{\dot {\bar {B}}}=0\\&\nabla \times {\bar {B}}-{{\mu }_{0}}\mu \varepsilon {{\varepsilon }_{0}}{\dot {\bar {E}}}={{\mu }_{0}}\mu {\bar {j}}={{\mu }_{0}}\mu \sigma {\bar {E}}\\&\nabla \cdot {\bar {E}}=0\\&\nabla \cdot {\bar {B}}=0\\&\Rightarrow \nabla \times \left(\nabla \times {\bar {E}}\right)=\nabla \left(\nabla \cdot {\bar {E}}\right)-\Delta {\bar {E}}=-\Delta {\bar {E}}=-\nabla \times {\dot {\bar {B}}}=-{{\mu }_{0}}\mu \sigma {\dot {\bar {E}}}-{{\mu }_{0}}\mu \varepsilon {{\varepsilon }_{0}}{\ddot {\bar {E}}}\\&\\&\Delta {\bar {E}}={{\mu }_{0}}\mu \sigma {\dot {\bar {E}}}+{{\mu }_{0}}\mu \varepsilon {{\varepsilon }_{0}}{\ddot {\bar {E}}}\\\end{aligned}}$

Somit erhalten wir die Gleichung einer gedämpften Welle

${\begin{aligned}&\Delta {\bar {E}}-{\frac {1}{{{c}_{m}}^{2}}}\left({\frac {\sigma }{\varepsilon {{\varepsilon }_{0}}}}{\dot {\bar {E}}}+{\ddot {\bar {E}}}\right)=0\\&{{c}_{m}}:={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon {{\varepsilon }_{0}}\mu {{\mu }_{0}}}}}=c{\frac {1}{\sqrt {\varepsilon \mu }}}\\\end{aligned}}$

Für den eindimensionalen Fall: sogenannte Telegraphengleichung. Beschreibt die Drahtwellenausbreitung !

Spezielle Lösung dieses Problems:

homogene, ebene Welle:

${\begin{aligned}&{\bar {E}}({\bar {r}},t)={{\bar {E}}_{0}}{{e}^{i\left({\bar {k}}{\bar {r}}-\omega t\right)}}\\&\Rightarrow {{k}^{2}}=\varepsilon \mu {\frac {{\omega }^{2}}{{c}^{2}}}\left(1+i{\frac {1}{\omega \tau }}\right)\\\end{aligned}}$

Dispersionsrelation für den Fall der frequenzunabhängigen Parameter Durch die Dämpfung $\sigma$ ist der Wellenvektor ein komplexer Parameter.

$k\in C$

Setze:

$k={\frac {\omega }{c}}{\tilde {n}}={\frac {\omega }{c}}\left(n+i\gamma \right)$

mit c: Vakuumlichtgeschwindigkeit

${\tilde {n}}=\left(n+i\gamma \right)$ komplexer Brechungsindex ! Somit:

${{k}^{2}}={\frac {{\omega }^{2}}{{c}^{2}}}{{\tilde {n}}^{2}}={\frac {{\omega }^{2}}{{c}^{2}}}\left({{n}^{2}}-{{\gamma }^{2}}+2in\gamma \right)={\frac {{\omega }^{2}}{{c}^{2}}}\varepsilon \mu \left(1+i{\frac {1}{\omega \tau }}\right)$

Damit können Real- und Imaginärteil durch Vergleich herangezogen werden, um Gamma und n zu bestimmen:

${\begin{aligned}&{{n}^{2}}-{{\gamma }^{2}}=\varepsilon \mu \\&n\gamma ={\frac {\varepsilon \mu }{2\omega \tau }}\\\end{aligned}}$

• Bestimmung von
• $n,\gamma$
• :

o.B.d.A.:

${\bar {k}}||{{\bar {x}}_{3}}$

Ausschreiben der Welle:

${\begin{aligned}&{\bar {E}}({\bar {r}},t)={{\bar {E}}_{0}}{{e}^{i\left({\bar {k}}{\bar {r}}-\omega t\right)}}\\&{\bar {E}}({{\bar {x}}_{3}},t)={{\bar {E}}_{0}}{{e}^{-{\frac {{x}_{3}}{\lambda }}}}{{e}^{-i\omega \left(t-{\frac {n}{c}}{{x}_{3}}\right)}}\\\end{aligned}}$

Also eine gedämpfte Welle mit der Phasengeschwindigkeit ${\frac {c}{n}}$ und dem Extinktionskoeffizienten

$\lambda ={\frac {c}{\omega \gamma }}$

Lineare Polarisation:

${{\bar {E}}_{0}}||{{\bar {x}}_{1}}\Rightarrow {{\bar {B}}_{0}}||{{\bar {x}}_{2}}$

${\begin{aligned}&{{\left(\nabla \times {\bar {E}}\right)}_{2}}={\frac {\partial {{E}_{1}}}{\partial {{x}_{3}}}}=-{{\dot {B}}_{2}}\\&\Leftrightarrow i{\frac {\omega }{c}}\left(n+i\gamma \right){{E}_{1}}=i\omega {{B}_{2}}\\&\Leftrightarrow {{B}_{2}}={\frac {\left(n+i\gamma \right)}{c}}{{E}_{1}}={\frac {\sqrt {{{n}^{2}}+{{\gamma }^{2}}}}{c}}{{e}^{i\phi }}{{E}_{1}}\\\end{aligned}}$

Somit existiert eine Phasenverschiebung $\phi$ zwischen E und B

Der Isolator

${\begin{aligned}&\sigma =0\\&\tau \to \infty \\\end{aligned}}$

Folgen:

$\gamma =0$ keine Dämpfung

$\phi$ =0 keine Phasenverschiebung zwischen E und B

• kommt erst durch die Dämpfung !
• i m Isolator schwingen E und B in Phase !

reeller Brechungsindex:

$n={\sqrt {\varepsilon \mu }}\approx {\sqrt {\varepsilon }}>1$

• Phasengeschwindigkeit :
• ${\frac {c}{n}}<c$

Nebenbemerkung: Nur OHNE DISPERSION ist $\varepsilon$ reell

Metalle

$\tau ={\frac {{{\varepsilon }_{0}}\varepsilon }{\sigma }}<<{\frac {1}{\omega }}$ für alle Frequenzen bis UV Somit:

${\begin{aligned}&{{k}^{2}}={\frac {{\omega }^{2}}{{c}^{2}}}\left({{n}^{2}}-{{\gamma }^{2}}+2in\gamma \right)\approx {\frac {{\omega }^{2}}{{c}^{2}}}\varepsilon \mu {\frac {i}{\omega \tau }}\\&\Rightarrow {{n}^{2}}-{{\gamma }^{2}}\approx 0\\&n\gamma \approx {{n}^{2}}\approx {{\gamma }^{2}}\approx {\frac {\varepsilon \mu }{2\omega \tau }}\Rightarrow n=\gamma ={\sqrt {\frac {\varepsilon \mu }{2\omega \tau }}}\\&\tan \phi ={\frac {\gamma }{n}}\approx 1\Rightarrow \phi \approx {\frac {\pi }{4}}\\\end{aligned}}$

Extinktionskoeffizient

$d<<{\frac {c}{\omega \gamma }}{\tilde {\ }}cm$ für 100 Hz ( hochfrequente Wellen dringen nicht in Metall ein, Grund: Verschiebungsstrom << Leitungsstrom)

Dielektrische Dispersion

Annahme: $\mu =1$

Betrachte nun zeitliche Dispersion, also

${\begin{aligned}&{\hat {\chi }}\left(\omega \right):\\&{\hat {\bar {P}}}\left(\omega \right)={{\varepsilon }_{0}}{\hat {\chi }}\left(\omega \right){\hat {\bar {E}}}\left(\omega \right)\\\end{aligned}}$

mit:

${\hat {\chi }}\left(\omega \right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{}dt\chi \left(t\right){{e}^{i\omega t}}$

dynamische elektrische Suszeptibilität

Fourier- Trafo:

${\begin{aligned}&{\bar {P}}\left({\bar {r}},t\right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{}d\omega {\hat {\bar {P}}}\left({\bar {r}},\omega \right){{e}^{-i\omega t}}\\&{\hat {\bar {E}}}\left({\bar {r}},\omega \right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{}dt{\bar {E}}\left({\bar {r}},t\right){{e}^{+i\omega t}}\\&\Rightarrow {\bar {P}}\left({\bar {r}},t\right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{}d\omega {{\varepsilon }_{0}}{\hat {\chi }}\left(\omega \right)\int _{-\infty }^{\infty }{}dt{\acute {\ }}{\bar {E}}\left({\bar {r}},t{\acute {\ }}\right){{e}^{+i\omega \left(t{\acute {\ }}-t\right)}}\\\end{aligned}}$

Betrachte:

${\begin{aligned}&{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{}d\omega {{\varepsilon }_{0}}{\hat {\chi }}\left(\omega \right)\int _{-\infty }^{\infty }{}dt{\acute {\ }}{{e}^{+i\omega \left(t{\acute {\ }}-t\right)}}:={\frac {{\varepsilon }_{0}}{\sqrt {2\pi }}}\chi \left(t-t{\acute {\ }}\right)\\&\Rightarrow {\bar {P}}\left({\bar {r}},t\right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{}d\omega {{\varepsilon }_{0}}{\hat {\chi }}\left(\omega \right)\int _{-\infty }^{\infty }{}dt{\acute {\ }}{\bar {E}}\left({\bar {r}},t{\acute {\ }}\right){{e}^{+i\omega \left(t{\acute {\ }}-t\right)}}={\frac {{\varepsilon }_{0}}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{t}{}dt{\acute {\ }}\chi \left(t-t{\acute {\ }}\right){\bar {E}}\left({\bar {r}},t{\acute {\ }}\right)\\\end{aligned}}$

Nachwirkungseffekt: Faltungsintegral -> Berücksichtigung des Nachwirkungseffekts über Faltungsintegral.

Nebenbemerkung: Kausalität verlangt:

${\begin{aligned}&\chi \left(t-t{\acute {\ }}\right)=0\\&f{\ddot {u}}r\\&t{\acute {\ }}>t\\\end{aligned}}$

Aus mikroskopischen Modellen folgt i.A. ein komplexes ${\hat {\chi }}\left(\omega \right)\in C$

• Komplexe dielektrische Funktion:

${\begin{aligned}&\varepsilon \left(\omega \right)=1+{\hat {\chi }}\left(\omega \right)=\varepsilon {\acute {\ }}\left(\omega \right)+i\varepsilon {\acute {\ }}{\acute {\ }}\left(\omega \right)\\&\varepsilon {\acute {\ }},\varepsilon {\acute {\ }}{\acute {\ }}\in R\\\end{aligned}}$

Aus:

${\begin{aligned}&\varepsilon \left(\omega \right)=1+{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{\infty }{}dt\chi \left(t\right){{e}^{i\omega t}}\\&\Rightarrow \varepsilon *(\omega )=\varepsilon (-\omega )\\&\varepsilon {\acute {\ }}(\omega )=\varepsilon {\acute {\ }}(-\omega )\\&\varepsilon {\acute {\ }}{\acute {\ }}(\omega )=-\varepsilon {\acute {\ }}{\acute {\ }}(-\omega )\\\end{aligned}}$

Monochromatische ebene Welle:

${\begin{aligned}&{\bar {E}}({\bar {r}},t)={{\bar {E}}_{0}}{{e}^{i\left({\bar {k}}{\bar {r}}-\omega t\right)}}\\&\Rightarrow {{k}^{2}}=\varepsilon \left(\omega \right){\frac {{\omega }^{2}}{{c}^{2}}}\left(1+i{\frac {1}{\omega \tau }}\right)\\\end{aligned}}$

Isolator ( dispersives Dielektrikum)

${\begin{aligned}&{\bar {E}}({\bar {r}},t)={{\bar {E}}_{0}}{{e}^{i\left({\bar {k}}{\bar {r}}-\omega t\right)}}\\&\Rightarrow {{k}^{2}}=\varepsilon \left(\omega \right){\frac {{\omega }^{2}}{{c}^{2}}}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&{\tilde {n}}\left(\omega \right)=n\left(\omega \right)+i\gamma \left(\omega \right)\\&{\tilde {n}}{{\left(\omega \right)}^{2}}=\varepsilon \left(\omega \right)\equiv \varepsilon {\acute {\ }}+i\varepsilon {\acute {\ }}{\acute {\ }}\\&\varepsilon {\acute {\ }}\left(\omega \right)={{n}^{2}}-{{\gamma }^{2}}\\&\varepsilon {\acute {\ }}{\acute {\ }}\left(\omega \right)=2n\gamma \\&\Rightarrow \left.{\begin{matrix}\gamma \\n\\\end{matrix}}\right\}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{{\left({\sqrt {\varepsilon {{\acute {\ }}^{2}}+\varepsilon {\acute {\ }}{{\acute {\ }}^{2}}}}\mp \varepsilon {\acute {\ }}\right)}^{\frac {1}{2}}}\\\end{aligned}}$

Dabei

$\left.{\begin{matrix}\gamma \\n\\\end{matrix}}\right\}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{{\left({\sqrt {\varepsilon {{\acute {\ }}^{2}}+\varepsilon {\acute {\ }}{{\acute {\ }}^{2}}}}\mp \varepsilon {\acute {\ }}\right)}^{\frac {1}{2}}}$

Als Absorptionskoeffizient $\gamma$ ( reeller Brechungsindex n)

Absorption

$\varepsilon {\acute {\ }}{\acute {\ }}=0\Rightarrow \gamma =0,n={\sqrt {\varepsilon {\acute {\ }}}}$

Absorptionskoeffizient Null, reeller Brechungsindex: Wurzel epsilon Also: für $\varepsilon {\acute {\ }}>0$ -> ungedämpfte Welle

$\varepsilon {\acute {\ }}{\acute {\ }}>0\Rightarrow \gamma >0$

• in jedem Fall gedämpfte Welle ( Energiedissipation).

Der Frequenzbereich mit

$\varepsilon {\acute {\ }}{\acute {\ }}<<\varepsilon {\acute {\ }}$ heißt Transparenzgebiet der Substanz ( besonders wenig Absorption).

Dispersion

$\operatorname {Re} k=k{\acute {\ }}={\frac {\omega }{c}}n(\omega )$ nichtlineare Dispersion ( nur in erster Näherung ist n(w) linear !)

• Definition der Gruppengeschwindigkeit:

${\begin{aligned}&{{v}_{g}}:={\frac {d\omega }{dk{\acute {\ }}}}={\frac {1}{\frac {dk{\acute {\ }}}{d\omega }}}={\frac {c}{\frac {d\left(\omega n\right)}{d\omega }}}\\&{{v}_{g}}={\frac {c}{n+\omega {\frac {dn}{d\omega }}}}\neq {\frac {c}{n\left(\omega \right)}}={{v}_{ph.}}\\\end{aligned}}$

Typische Frequenzabhängigkeit: ( sogenanntes Resonanzverhalten):

Normale Dispersion

${\frac {dn}{d\omega }}>0$

Stets im Transparenzgebiet, also wenn $\varepsilon {\acute {\ }}{\acute {\ }}{\tilde {\ }}0$

${{v}_{g}}<{{v}_{ph.}}$

Anormale Dispersion

${\frac {dn}{d\omega }}<0$ bei Absorption !

Beziehung zwischen $\varepsilon {\acute {\ }}\left(\omega \right)$ und $\varepsilon {\acute {\ }}{\acute {\ }}\left(\omega \right)$

Kramers- Kronig- Relation

• Allgemein gültiger Zusammenhang zwischen Dispersion
• $n\left(\omega \right)$
• und Absorption
• $\gamma \left(\omega \right)$
• .
• erlaubt z.B. dann die Berechnung von Dispersionsrelationen aus dem Absorptionsspektrum und auch umgekehrt
• Folgt alleine aus dem Kausalitätsprinzip !

Beweis ( Funktionenthorie)

Für kausale Funktion gilt:

${\begin{aligned}&\chi \left(t\right)=\Theta \left(t\right)\chi \left(t\right)\\&\Theta \left(t\right)=\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&0t<0\\&1t\geq 0\\\end{aligned}}\\{}\\\end{matrix}}\right.\\\end{aligned}}$ Heavyside

Fourier- Trafo:

${\hat {\chi }}\left(\omega \right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{}^{}{}d\omega {\acute {\ }}\Theta \left(\omega -\omega {\acute {\ }}\right){\hat {\chi }}\left(\omega {\acute {\ }}\right)$

${\begin{aligned}&{\hat {\Theta }}\left(\omega \right):={\begin{matrix}\lim \\\sigma ->0+\\\end{matrix}}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{\infty }{dt{{e}^{i\omega t-\sigma t}}}={\begin{matrix}\lim \\\sigma ->0+\\\end{matrix}}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}{\frac {1}{i\omega -\sigma }}\\&\\\end{aligned}}$

Mit dem konvergenzerzeugenden Faktor $\sigma$

Also:

${\hat {\chi }}\left(\omega \right)={\frac {1}{2\pi i}}{\begin{matrix}\lim \\\sigma ->0+\\\end{matrix}}\int _{-\infty }^{\infty }{}d\omega {\acute {\ }}{\frac {1}{\omega {\acute {\ }}-\omega -i\sigma }}{\hat {\chi }}\left(\omega {\acute {\ }}\right)$

Der Integrand hat einen Pol für

$\omega {\acute {\ }}=\omega +i\sigma$

Also:

Äquivalenter Integrationsweg:

Zerlegung:

$\int _{-\infty }^{\infty }{}d\omega {\acute {\ }}{\frac {1}{\omega {\acute {\ }}-\omega }}{\hat {\chi }}\left(\omega {\acute {\ }}\right)={\begin{matrix}\lim \\\varepsilon ->{{0}^{+}}\\\end{matrix}}\left[\int _{-\infty }^{\omega -\varepsilon }{+\int _{\omega +\varepsilon }^{\infty }{}}\right]d\omega {\acute {\ }}{\frac {1}{\omega {\acute {\ }}-\omega }}{\hat {\chi }}\left(\omega {\acute {\ }}\right)+\int \limits _{Kreisbogen}{}d\omega {\acute {\ }}{\frac {1}{\omega {\acute {\ }}-\omega }}{\hat {\chi }}\left(\omega {\acute {\ }}\right)$

Man sagt:

${\begin{matrix}\lim \\\varepsilon ->{{0}^{+}}\\\end{matrix}}\left[\int _{-\infty }^{\omega -\varepsilon }{+\int _{\omega +\varepsilon }^{\infty }{}}\right]d\omega {\acute {\ }}{\frac {1}{\omega {\acute {\ }}-\omega }}{\hat {\chi }}\left(\omega {\acute {\ }}\right)=P\int _{-\infty }^{\infty }{}d\omega {\acute {\ }}{\frac {1}{\omega {\acute {\ }}-\omega }}{\hat {\chi }}\left(\omega {\acute {\ }}\right)$

= Hauptwertintegral ( principal Value), entsteht nur direkt an der Polstelle !

$\int \limits _{Kreisbogen}{}d\omega {\acute {\ }}{\frac {1}{\omega {\acute {\ }}-\omega }}{\hat {\chi }}\left(\omega {\acute {\ }}\right)$

Integral längs des Halbkreis mit Radius $\varepsilon$ um den Pol !

${\begin{aligned}&\int \limits _{Kreisbogen}{}ds{\frac {f(s)}{s}}=f(0)\int \limits _{Kreisbogen}{}{\frac {ds}{s}}\\&s=\varepsilon {{e}^{i\phi }}\Rightarrow ds=isd\phi \\&f(0)\int \limits _{Kreisbogen}{}{\frac {ds}{s}}=f(0)i\int \limits _{0}^{\pi }{}d\phi =i\pi f(0)\\\end{aligned}}$

sogenanntes " Halbes Residuum!"

Also:

${\begin{aligned}&{\hat {\chi }}\left(\omega \right)={\frac {1}{2\pi i}}{\begin{matrix}\lim \\\sigma ->0+\\\end{matrix}}\int _{-\infty }^{\infty }{}d\omega {\acute {\ }}{\frac {1}{\omega {\acute {\ }}-\omega -i\sigma }}{\hat {\chi }}\left(\omega {\acute {\ }}\right)\\&={\frac {1}{2\pi i}}P\int _{-\infty }^{\infty }{}d\omega {\acute {\ }}{\frac {1}{\omega {\acute {\ }}-\omega }}{\hat {\chi }}\left(\omega {\acute {\ }}\right)+{\frac {1}{2}}{\hat {\chi }}\left(\omega \right)\\&\Rightarrow {\hat {\chi }}\left(\omega \right)={\frac {1}{\pi i}}P\int _{-\infty }^{\infty }{}d\omega {\acute {\ }}{\frac {1}{\omega {\acute {\ }}-\omega }}{\hat {\chi }}\left(\omega {\acute {\ }}\right)\\\end{aligned}}$

Nun: Zerlegung in Re und Im mit

${\begin{aligned}&\operatorname {Re} {\hat {\chi }}\left(\omega \right)=\varepsilon {\acute {\ }}\left(\omega \right)-1\\&\operatorname {Im} {\hat {\chi }}\left(\omega \right)=\varepsilon {\acute {\ }}{\acute {\ }}\left(\omega \right)\\\end{aligned}}$

Also:

${\begin{aligned}&\operatorname {Re} {\hat {\chi }}\left(\omega \right)=\varepsilon {\acute {\ }}\left(\omega \right)-1={\frac {1}{\pi }}P\int _{-\infty }^{\infty }{}d\omega {\acute {\ }}{\frac {1}{\omega {\acute {\ }}-\omega }}\varepsilon {\acute {\ }}{\acute {\ }}\left(\omega {\acute {\ }}\right)\\&\operatorname {Im} {\hat {\chi }}\left(\omega \right)=\varepsilon {\acute {\ }}{\acute {\ }}\left(\omega \right)=-{\frac {1}{\pi }}P\int _{-\infty }^{\infty }{}d\omega {\acute {\ }}{\frac {1}{\omega {\acute {\ }}-\omega }}\left(\varepsilon {\acute {\ }}\left(\omega {\acute {\ }}\right)-1\right)\\\end{aligned}}$

Dies ist die Kramers- Kronig- Relation. Sie verknüpft Real- und Imaginärteil des komplexen Brechungsindex miteinander !

Titchmask- Theorem:

${\hat {\chi }}\left(z\right)$ sollte regulär sein auf der oberen komplexen z- Halbebene Somit:

${\hat {\chi }}\left(z\right)\to 0$ für $\operatorname {Im} z\to \infty$

Brechung und Reflexion

Wir haben bereits gesehen, wie man aus den Stetigkeitsbedingungen mit Hilfe der integralen Maxwellgleichungen die Brechungsrelationen für die Feldvektoren herleiten kann. Nun soll dies für Lichtwellen wiederholt / vertieft werden:

Sogenannte Wellenausbreitung in geschichteten Medien Transparent -> ${{\varepsilon }_{i}}\in R$

${\begin{aligned}&{\frac {\omega }{{c}_{1}}}=\left|{\bar {k}}\right|=\left|{\bar {k}}{\acute {\ }}\right|={\frac {\omega {\acute {\ }}}{{c}_{1}}}\\&\left|{\bar {k}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}\right|={\frac {\omega {\acute {\ }}{\acute {\ }}}{{c}_{2}}}\\&{{c}_{i}}={\frac {c}{{n}_{i}}}={\frac {c}{\sqrt {{\varepsilon }_{i}}}}\quad i=1,2\\&{\bar {E}}({\bar {r}},t)={{\bar {E}}_{0}}{{e}^{i\left({\bar {k}}{\bar {r}}-\omega t\right)}}\\\end{aligned}}$

Einfallende Welle:

${\bar {E}}({\bar {r}},t)={{\bar {E}}_{0}}{{e}^{i\left({\bar {k}}{\bar {r}}-\omega t\right)}}$

Reflektierte Welle:

${\bar {E}}{\acute {\ }}({\bar {r}},t)={{\bar {E}}_{0}}{\acute {\ }}{{e}^{i\left({\bar {k}}{\acute {\ }}{\bar {r}}-\omega {\acute {\ }}t\right)}}$

Transmittierte Welle:

${\bar {E}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}({\bar {r}},t)={{\bar {E}}_{0}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}{{e}^{i\left({\bar {k}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}{\bar {r}}-\omega {\acute {\ }}{\acute {\ }}t\right)}}$

Grenzbedingungen für ${\bar {E}}({\bar {r}},t)$ . Annahme: linear polarisiert:

${{\left.{{E}_{1}}+{{E}_{1}}{\acute {\ }}\right|}_{{{x}_{3}}=0}}={{\left.{{E}_{1}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}\right|}_{{{x}_{3}}=0}}$ -> Stetigkeit der Tangenzialkomponenten Diese Bedingungen werden nur an die Amplituden gestellt. Für die Phasen gibt es keine Bedingungen, besser gesagt:

Betrachte Situation für r=0

${\begin{aligned}&{{\bar {E}}_{01}}{{e}^{i\omega t}}+{{\bar {E}}_{01}}{\acute {\ }}{{e}^{i\omega {\acute {\ }}t}}={{\bar {E}}_{01}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}{{e}^{i\omega {\acute {\ }}{\acute {\ }}t}}\\&\Rightarrow \omega =\omega {\acute {\ }}=\omega {\acute {\ }}{\acute {\ }}\\&{{\bar {E}}_{01}}+{{\bar {E}}_{01}}{\acute {\ }}={{\bar {E}}_{01}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}\\\end{aligned}}$

Das Snelliussche Brechungsgesetz können wir uns nicht als Amplitudenverhältnis anschauen, weil wir sonst wieder nur die Brechung der elektrischen Feldvektoren gewinnen. Aber: Wenn man ein Verhältnis der Beträge der k- Vektoren ( Ausbreitungsrichtung des Energiestroms) betrachtet, so ergibt sich das richtige Ausbreitungsgesetz:

Betrachte für t=0

${{E}_{01}}{{e}^{i{{k}_{1}}{{x}_{1}}}}+{{E}_{01}}{\acute {\ }}{{e}^{ik{{\acute {\ }}_{1}}{{x}_{1}}}}={{E}_{01}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}{{e}^{i{{k}_{1}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}{{x}_{1}}}}$

Also:

${{k}_{1}}={{k}_{1}}{\acute {\ }}={{k}_{1}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}$

Aber: ( Siehe Skizze) ! Dies gilt ja genau für die Anteile entlang x^1, also: muss man den Winkel dazunehmen und man gewinnt:

${\begin{aligned}&\left|{\bar {k}}\right|\sin \gamma =\left|{\bar {k}}{\acute {\ }}\right|\sin \gamma {\acute {\ }}=\left|{\bar {k}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}\right|\sin \gamma {\acute {\ }}{\acute {\ }}\\&\left|{\bar {k}}\right|={\frac {\omega }{{c}_{1}}}\\&\left|{\bar {k}}{\acute {\ }}\right|={\frac {\omega }{{c}_{1}}}\\&\left|{\bar {k}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}\right|={\frac {\omega }{{c}_{2}}}\\\end{aligned}}$

Somit gewinnen wir Reflexions und Snelliussches Brechungsgesetz:

${\begin{aligned}&\sin \gamma =\sin \gamma {\acute {\ }}\\&{\frac {\sin \gamma {\acute {\ }}{\acute {\ }}}{\sin \gamma }}={\frac {{c}_{2}}{{c}_{1}}}={\frac {{n}_{1}}{{n}_{2}}}\\\end{aligned}}$

Reflexions- und Brechungsgesetz

Bestimmung der Amplituden:

1. Polarisation von E in der Einfallsebene

Stetigkeitsbedingungen: Normalkomponenten sind keine vorhanden -> Nur Tangentialkomponenten:

${\begin{aligned}&{{E}_{01}}={{E}_{01}}{\acute {\ }}={{E}_{01}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}=0\\&{{E}_{03}}={{E}_{03}}{\acute {\ }}={{E}_{03}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}=0\\\end{aligned}}$

Für die Tangentialkomp.:

${{E}_{02}}+{{E}_{02}}{\acute {\ }}={{E}_{02}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}$

Mit

${{\bar {B}}_{0}}={\frac {c}{\omega }}{\bar {k}}\times {{\bar {E}}_{0}}={\frac {c}{\omega }}{{E}_{02}}\left({\begin{matrix}-{{k}_{3}}\\0\\{{k}_{1}}\\\end{matrix}}\right)$

Somit folgt dann für die Tangentialkomponente von B:

${{B}_{01}}+{{B}_{01}}{\acute {\ }}={{B}_{01}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}\Rightarrow {{k}_{3}}{{E}_{02}}+{{k}_{3}}{\acute {\ }}E{{\acute {\ }}_{02}}={{k}_{3}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}{{E}_{02}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}$

mit dem Reflexionsgesetz.

${{k}_{3}}=-{{k}_{3}}{\acute {\ }}$

${\begin{aligned}&\Rightarrow {{k}_{3}}\left({{E}_{02}}-E{{\acute {\ }}_{02}}\right)={{k}_{3}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}\left({{E}_{02}}+{{E}_{02}}{\acute {\ }}\right)\\&\Rightarrow {\frac {E{{\acute {\ }}_{02}}}{{E}_{02}}}={\frac {{{k}_{3}}-{{k}_{3}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}}{{{k}_{3}}+{{k}_{3}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}}}\\&{\frac {E{\acute {\ }}{{\acute {\ }}_{02}}}{{E}_{02}}}={\frac {2{{k}_{3}}}{{{k}_{3}}+{{k}_{3}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}}}\\\end{aligned}}$

Man muss nun nur ${{k}_{3}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}$ über den Brechungswinkel $\gamma {\acute {\ }}{\acute {\ }}$ ausdrücken und man gewinnt die Fresnelschen Formeln:

${\begin{aligned}&{{k}_{3}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}=\left|{\bar {k}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}\right|\cos \gamma {\acute {\ }}{\acute {\ }}=\left|{\bar {k}}{\acute {\ }}\right|{\frac {{n}_{2}}{{n}_{1}}}\cos \gamma {\acute {\ }}{\acute {\ }}\\&{\frac {{n}_{2}}{{n}_{1}}}={\frac {\sin \gamma }{\sin \gamma {\acute {\ }}{\acute {\ }}}}\\&\Rightarrow {{k}_{3}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}=\left|{\bar {k}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}\right|\cos \gamma {\acute {\ }}{\acute {\ }}=\left|{\bar {k}}{\acute {\ }}\right|{\frac {\sin \gamma }{\sin \gamma {\acute {\ }}{\acute {\ }}}}\cos \gamma {\acute {\ }}{\acute {\ }}\\&{{k}_{3}}=\left|{\bar {k}}\right|\cos \gamma \\\end{aligned}}$

Also können wir dies in die gefundenen Formeln für die Amplitudenverhältnisse einsetzen und erhalten die Brechungsformeln ( Fresnelsche Formeln) nur noch in Abhängigkeit von den Winkeln:

Also:

${\begin{aligned}&{\frac {E{{\acute {\ }}_{02}}}{{E}_{02}}}={\frac {\cos \gamma \sin \gamma {\acute {\ }}{\acute {\ }}-\sin \gamma \cos \gamma {\acute {\ }}{\acute {\ }}}{\cos \gamma \sin \gamma {\acute {\ }}{\acute {\ }}+\sin \gamma \cos \gamma {\acute {\ }}{\acute {\ }}}}={\frac {\sin \left(\gamma {\acute {\ }}{\acute {\ }}-\gamma \right)}{\sin \left(\gamma {\acute {\ }}{\acute {\ }}+\gamma \right)}}\\&{\frac {E{\acute {\ }}{{\acute {\ }}_{02}}}{{E}_{02}}}={\frac {2{{k}_{3}}}{{{k}_{3}}+{{k}_{3}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}}}={\frac {2\sin \left(\gamma {\acute {\ }}{\acute {\ }}\right)\cos \gamma }{\sin \left(\gamma {\acute {\ }}{\acute {\ }}+\gamma \right)}}\\\end{aligned}}$

Intensitätsverhältnisse:

betrachte: Zeitmittel des Poynting- Vektors:

$\left\langle {\bar {S}}\right\rangle ={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}{}dt\left({\bar {E}}\times {\bar {H}}\right)$

Reflexionskoeffizient: ( bei senkrechter Polarisation)

${\begin{aligned}&{{R}_{\bot }}={{\left|{\frac {E{{\acute {\ }}_{02}}}{{E}_{02}}}\right|}^{2}}={\frac {{{\sin }^{2}}\left(\gamma {\acute {\ }}{\acute {\ }}-\gamma \right)}{{{\sin }^{2}}\left(\gamma {\acute {\ }}{\acute {\ }}+\gamma \right)}}\\&\\\end{aligned}}$

Transmissionskoeffizient ( bei senkrechter Polarisation)

${{T}_{\bot }}={{\left|{\frac {E{\acute {\ }}{{\acute {\ }}_{02}}}{{E}_{02}}}\right|}^{2}}={\frac {4{{\sin }^{2}}\left(\gamma {\acute {\ }}{\acute {\ }}\right){{\cos }^{2}}\gamma }{{{\sin }^{2}}\left(\gamma {\acute {\ }}{\acute {\ }}+\gamma \right)}}=1-{{R}_{\bot }}$

1. Polarisation von
2. ${\bar {E}}||$
3. Einfallsebene:

Dadurch: ${\bar {B}}\bot$ Einfallsebene

• Analoge Argumentation:

${\begin{aligned}&{{B}_{01}}={{B}_{01}}{\acute {\ }}={{B}_{01}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}=0\\&{{B}_{03}}={{B}_{03}}{\acute {\ }}={{B}_{03}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}=0\\&{{B}_{02}}+{{B}_{02}}{\acute {\ }}={{B}_{02}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}\\\end{aligned}}$

usw... ebenfalls Bildung der Verhältnisse in Abhängigkeit von k -> wie beim Vorgehen in a) weiter rechnen. k durch Zwischenwinkel ausdrücken: Zur Übung berechnen, es ergibt sich:

${\begin{aligned}&{\frac {E{{\acute {\ }}_{||}}}{{E}_{||}}}={\frac {\tan \left(\gamma {\acute {\ }}{\acute {\ }}-\gamma \right)}{\tan \left(\gamma {\acute {\ }}{\acute {\ }}+\gamma \right)}}\\&{\frac {E{\acute {\ }}{{\acute {\ }}_{||}}}{{E}_{||}}}={\frac {2\sin \left(\gamma {\acute {\ }}{\acute {\ }}\right)\cos \gamma }{\sin \left(\gamma {\acute {\ }}{\acute {\ }}+\gamma \right)\cos \left(\gamma {\acute {\ }}{\acute {\ }}-\gamma \right)}}\\\end{aligned}}$

Ebenso:

${\begin{aligned}&{{R}_{||}}={{\left|{\frac {E{{\acute {\ }}_{||}}}{{E}_{||}}}\right|}^{2}}={\frac {{{\tan }^{2}}\left(\gamma {\acute {\ }}{\acute {\ }}-\gamma \right)}{{{\tan }^{2}}\left(\gamma {\acute {\ }}{\acute {\ }}+\gamma \right)}}=1-{{T}_{||}}\\&\\\end{aligned}}$

Bemerkung Bei Reflexion und Brechung wird im Allgemeinen die Polarisationsrichtung gedreht. Speziell für den Fall

${\begin{aligned}&\gamma {\acute {\ }}{\acute {\ }}+\gamma ={\frac {\pi }{2}}\\&->\tan \left(\gamma {\acute {\ }}{\acute {\ }}+\gamma \right)\to \infty \\&{{R}_{||}}=0\\\end{aligned}}$

In diesem Fall kommt es nicht zu Teilpolarisation sondern: die reflektierte Welle wird vollständig polarisiert ( senkrecht zur Einfallsebene)

• Dies ist der Brewsterwinkel:
• ${\begin{aligned}*&\gamma {\acute {\ }}{\acute {\ }}+\gamma ={\frac {\pi }{2}}->\gamma =\left({{\gamma }_{Brew}}\right)\\*&\tan {{\gamma }_{B}}={\sqrt {\frac {{\varepsilon }_{2}}{{\varepsilon }_{1}}}}\\*\end{aligned}}$

Totalreflexion Sei

${\begin{aligned}&{{\varepsilon }_{2}}<{{\varepsilon }_{1}}\\&\sin {{\gamma }_{G}}={\sqrt {\frac {{\varepsilon }_{2}}{{\varepsilon }_{1}}}}\\\end{aligned}}$

Totalreflexion unter diesem Winkel oder flacher !

Grenzwinkel der Totalreflexion -> $\gamma {\acute {\ }}{\acute {\ }}={\frac {\pi }{2}}$

${\begin{aligned}&{{R}_{\bot }}={{R}_{||}}=1\\&{{T}_{\bot }}={{T}_{||}}=0\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&{{\varepsilon }_{2}}<{{\varepsilon }_{1}}\\&\gamma >{{\gamma }_{G}}\Rightarrow \\\end{aligned}}$

$k{\acute {\ }}{\acute {\ }}$ wird imaginär -> es dringt kein reeller Strahl mehr ins Medium ein !