Prüfungsfragen:Mechanik

Mechanik Lehre von den Wirkungen vorgegebener Kräfte Prüfungsfragen eingeordnet in den Kanon

Newtonsche Mechanik 3.1

Wiederholung: Newtonsche Axiome und Anliegen der Mechanik 3.1.1

Newtonschen Gleichungen

1. F_ext=0 --> v=const
2. $F={\dot {p}}$
3. F_ij=-F__ji

Potential wie ist konservative Kraft definiert? $\nabla \times V=0,F=-\nabla .V$

Kanonische Mechanik3.2

Vorteil Hamilton zu Newton →Nebenbedingungen

Zwangsbedingungen und Zwangskräfte3.2.1

holonom

integrabel es existiert Lagrangeparameter möglich

skleronom

Zwangsbedingungen hängen nicht von der Zeit ab

Zwangskräfte

$Z=\lambda \nabla g$ ,mit g z.B. $g(r)={\vec {r}}-z=0$

Lagrangegleichung des harm. Osc.

$L=T-V=1/2m{\dot {q}}-1/2m\omega ^{2}q^{2}$

Zwangsbedinugnen

--> klassifikation

Hamiltonsches Wirkungsprinzip3.2.4

Hamiltonsches Prinzip

Herleitung der Lagrangschen Bewegungsgleichungen aus Hamiltonschem Prinzip

• Variation der Wirkung
• P-Integration
• Euler Lagrangegleichungen

Eichtransformation der Lagrangefunktion3.2.5

Eichungen

$L'=L+d_{t}M(q(t),t)$

Lagrangegleichungen 2. Art, Forminvarianz 3.2.6

Vorteil Newton: Zwangsbedingungen intrinsisch erfüllt, mathematische Eleganz Lagrange am Beispiel Fadenpendel

Hamiltongleichungen, Teilchen im elektromagnetischen Feld 3.2.7

Hamiltonfunktion

generalisierter Impuls

$\pi =d_{\dot {q}}L$

Legendre Transformation wozu sind die gut Lagrane to Hamilton Hamiltonsche Bewegungsgleichungen ${\begin{aligned}{\dot {q}}=\partial _{p}H{\dot {p}}=-\partial _{q}H\end{aligned}}$ (dann heißt ein System kanonisch)

Lagrangegleichungen f EM Feld

$L=1/2m{\dot {q}}^{2}+e{\dot {q}}A-e\phi \to d_{q}L+d_{t}d_{\dot {q}}L=0$

für Felder mit \delta A

→ Maxwellgleichungen

Kanonische Transformation3.2.8

kanonische Transformation Transformationen die die Hamiltonfuktion FORMINVARIANT lassen Forminvariant

Phasenraum, Liouvillescher Satz, Poisson-Klammern3.2.9

Poissonklammer

$\{f,g\}_{q,p}=\nabla _{q}f\nabla _{p}g-\nabla _{q}g\nabla _{p}f$

Impulserhaltungssatz für Vielteilichensysteme (Herleitung)??

Kontinuitätsgleichung $d_{t}\rho =0$ $d_{t}\rho (x,t)=\partial _{t}\rho +\nabla _{x}(\rho v)$ $j=\rho S\nabla _{x}H$

Hamilton-Jacobi3.2.10

Hamilton Jaccobi Theorie

Koordinatentransformation

kanonische Gleichungen

zyklische Koordinaten erscheinen nicht in hamlitonfkt

hamiltonfkt für harm osc

$H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}q^{2}$

Frage:wie geht koordinatentransformation im hamiltonformalismus → Erzeugende suchen M(q,t) nicht von \dot q abhängig

wie kommt man dann auf die Hamilton Jaccobi DGL

→ zyklische Koordinaten H=H'+\delta M(q,p)\delta t=0

Hamilton-Jaccobi DGL was ist S=M_2(q,P,t)

Ham-Jacc Theorie mit kan Trafo woher kommt invarianz der Lagrangegleichungen welche bedingugen muss die erfüllen

Lösungsstrategien HJD--Y Seperationsansatz bei zeitunabh. Hamfkt. $\partial _{t}S+{\bar {H}}(q,\partial qS,t)=0$ ${\dot {Q}}={\dot {P}}=0$ (zyklisch) Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle S=S\[q\]\to d_t S= L}

Symplektische Struktur

Symplektische Matrix Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\dotx“): {\displaystyle \dotx = S \partial x H}

Symmetrien und Erhaltungssgrößen3.3

Theorem von Noether3.3.1

Zu jeder kontinuierlichen Symmetrie gehört eine Erhaltungsgröße

Invarianz gegenüber infinitesimalen Koordinatentransformationen --> Erhaltungsgröße

Räumliche Translationsinvarianz, Räumliche Isotropie, ZeitlicheTranslationsinvarianz3.3.2

Räumliche Translationsinvarianz

${\dot {p}}=0$

Räumliche Isotropie

${\dot {L}}=0$

ZeitlicheTranslationsinvarianz

${\dot {E}}=0$

Mechanik des starren Körpers und Kreiseltheorie3.4

Kinetische Energie und Trägheitstensor, Eigenschaften3.4.2

Herleitung des Trägheitstensors aus der kinetischen Energie eines starren Körpers Trägheitsmomente kinetische energie herleitung

Starrer Körper, KOS, Geschw. EKin oder Drehimpus, Trägheitstensor

auch Drehimpulserhaltung teilweise heben sich innere Kräfte auf action=reaction kontiuumsformulierung der kinetischen Energie