Aus PhysikWiki

auch Prinzip der kleinsten Wirkung genannt

Variation der ganzen Bahn im Konfigurationsraum <> Gegensatz d'Ambertsches Prinzip
Wirkung (S) wird extrenmal (minimal) $δ S = 0$
Start und Zielpunkt $(q, t)$ sind fest vorgegeben (hier keine Variation)
Zeit wird nicht mitvarieiert $δ t = 0$
Vergleich ART Teilchen Bewegt sich auf Geodäten <> aber nicht im Ereignisraum
$\underline{q}\left( t \right),\underline{q'}\left( t \right)\in {{C}^{2}}$ (2 fach stetig diffb. Funktionen)
unabhängig von Koordinatenwahl
Allgemein

$\delta S=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{\left( \delta T-\delta A \right)dt}=0$ mit $\delta A=\sum\limits_{i}{{{\underline{X}}_{i}}\delta \underline{{{r}_{i}}}}$

spezielle Form

holonome Zwangsbedingungen → generalisierte Koordinaten
konservative Kräfte → $L = T - V$

führt zur Wirkung $S\left[ q \right]:=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{L\left( q,\dot{q},t \right)dt}$

M1

Herleitung der Euler-Lagrange-Gleichungen

$\begin{align} \delta S\left[ q \right] & =\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{\delta L\left( q,\dot{q},t \right)dt} \\ & =\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{\left( {{\partial }_{q}}L\delta q+{{\partial }_{{\dot{q}}}}L\delta \dot{q} \right)dt} \end{align}$ oder $\begin{align} \delta S\left[ q \right] & =S\left[ {{q}_{0}} \right]-\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{L\left( q+\delta q,\dot{q}+\delta \dot{q},t \right)dt} \\ & =S\left[ {{q}_{0}} \right]-\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{\left( \underbrace{L}_{=S\left[ {{q}_{0}} \right]}+{{\partial }_{q}}L\delta q+{{\partial }_{{\dot{q}}}}L\delta \dot{q} \right)dt} \\ & =-\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{\left( {{\partial }_{q}}L\delta q+{{\partial }_{{\dot{q}}}}L\delta \dot{q} \right)dt} \end{align}$

mit partieller Integration ( $\int{u'v=uv-\int{v'u}}$ ) mit

$u=\delta q,v={{\partial }_{{\dot{q}}}}L$

${{\partial }_{{\dot{q}}}}L\delta \dot{q}={{d}_{t}}\left( {{\partial }_{{\dot{q}}}}L\delta q \right)-{{d}_{t}}\left( {{\partial }_{{\dot{q}}}}L \right)\delta q$

$\begin{align} \delta S\left[ q \right] & =- \cancel {\left[ {{\partial }_{{\dot{q}}}}L\delta q \right]_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}} -\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{\left( {{\partial }_{q}}L\delta q-{{d}_{t}}\left( {{\partial }_{{\dot{q}}}}L \right)\delta q \right)dt} \\ & =\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{\left( {{d}_{t}}{{\partial }_{{\dot{q}}}}-{{\partial }_{q}} \right)L\delta qdt} \end{align}$

$\left( {{d}_{t}}{{\partial }_{{\dot{q}}}}-{{\partial }_{q}} \right)L=0$

M2

Hamiltonsches Prinzip

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spezielle Form

Herleitung der Euler-Lagrange-Gleichungen

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