Addition von Drehimpulsen

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Addition von Drehimpulsen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 4) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Der Gesamtdrehimpuls kann folgendermaßen dargestellt werden:

$\hat{\overline{J}}=\hat{\overline{L}}+\hat{\overline{S}}$

Die Vertauschungsrelationen:

$[{\hat{L}}_j,{\hat{S}}_k]=0$

Beide Operatoren wirken in verschiedenen Räumen. Wäre der Operator nicht Null, so wären die zugehörigen Eigenzustände nicht separabel.

$\begin{array}{cc}& \Rightarrow [{\hat{J}}_j,{\hat{J}}_k]=[{\hat{L}}_j,{\hat{L}}_k]+[{\hat{S}}_j,{\hat{S}}_k]\\ & [{\hat{L}}_j,{\hat{L}}_k]=i\hslash {\epsilon }_{jkl}{\hat{L}}_l\\ & [{\hat{S}}_j,{\hat{S}}_k]=i\hslash {\epsilon }_{jkl}{\hat{S}}_l\\ & \Rightarrow [{\hat{J}}_j,{\hat{J}}_k]=i\hslash {\epsilon }_{jkl}{\hat{J}}_l\\ \end{array}$

Drehimpuls Vertauschungsrelationen!

$[{\hat{J}}^2,{\hat{L}}_3]=[{\hat{L}}^2+{\hat{\overline{S}}}^2+2\hat{\overline{L}}\cdot \hat{\overline{S}},{\hat{L}}_3]=2{\hat{\overline{S}}}_j[{\hat{L}}_j,{\hat{L}}_3]=2i\hslash ({\hat{S}}_2{\hat{L}}_1-{\hat{S}}_1{\hat{L}}_2)\ne 0$

Ebenso:

$[{\hat{J}}^2,{\hat{S}}_3]\ne 0$

Also:

Die $2(2l+1)$ Produktzustände $|lm{m}_S⟩=|lm⟩|m_s⟩$ sind Eigenzustände zu ${\hat{L}}^2,{\hat{L}}_3,{\hat{\overline{S}}}^2,{\hat{S}}_3$ aber nicht zu ${\hat{J}}^2$, da $[{\hat{J}}^2,{\hat{L}}_3]\ne 0$ bzw. $[{\hat{J}}^2,{\hat{S}}_3]\ne 0$

Ziel: Suche gemeinsame Eigenzustände zu ${\hat{J}}^2$ , ${\hat{J}}_3$ , ${\hat{L}}^2,{\hat{\overline{S}}}^2$ .

Dies muss möglich sein, da

$\begin{array}{cc}& [{\hat{J}}^2,{\hat{L}}^2]=[{\hat{L}}^2+{\hat{\overline{S}}}^2+2\hat{\overline{L}}\cdot \hat{\overline{S}},{\hat{L}}^2]=0\\ & [{\hat{J}}^2,{\hat{\overline{S}}}^2]=[{\hat{L}}^2+{\hat{\overline{S}}}^2+2\hat{\overline{L}}\cdot \hat{\overline{S}},{\hat{\overline{S}}}^2]=0\\ & [{\hat{J}}_3,{\hat{L}}^2]=[{\hat{L}}_3+{\hat{\overline{S}}}_3,{\hat{L}}^2]=0\\ & [{\hat{J}}_3,{\hat{\overline{S}}}^2]=[{\hat{L}}_3+{\hat{\overline{S}}}_3,{\hat{\overline{S}}}^2]=0\\ \end{array}$

Die Eigenwertgleichungen lauten:

$\begin{array}{cc}& {\hat{J}}^2|j{m}_{j}ls⟩={\hslash }^2(j(j+1))|j{m}_{j}ls⟩\\ & {\hat{J}}_3|j{m}_{j}ls⟩=\hslash m_j|j{m}_{j}ls⟩\\ & {\hat{L}}^2|j{m}_{j}ls⟩={\hslash }^2(l(l+1)|j{m}_{j}ls⟩\\ & {\hat{\overline{S}}}^2|j{m}_{j}ls⟩={\hslash }^2(s(s+1)|j{m}_{j}ls⟩\\ \end{array}$

Durch Einschub eines Vollständigen Satzes orthonormierter Eigenfunktionen, durch Einschub eines Projektors auf diesen vollständigen atz, also durch Einschub einer "1" kann der neue Eigenzustand $|j{m}_{j}ls⟩$

bezüglich des alten Zustandes $|lms{m}_s⟩$

entwickelt werden:

$|j{m}_{j}ls⟩=\sum _{\begin{array}{c}m\\ m_S=m_j-m\end{array}}|lms{m}_s⟩⟨lms{m}_s|j{m}_{j}ls⟩$

Zu beachten ist: Es wird ausschließlich über die Komponenten der alten Basis summiert, die sich von der neuen Basis unterscheiden (das heißt: Nur dieser Teil der Basis wird transformiert)!

Dabei heißen die Entwicklungskoeffizienten der neuen Basis bezüglich der alten Basisvektoren, also die Koordinaten der neuen Basis in der alten Basis

Clebsch-Gordan-Koeffizienten!

$⟨lms{m}_s|j{m}_{j}ls⟩$

Dabei gilt:

$s=\frac{1}{2}$!!$m_s=\frac{1}{2}$!!$m_s=-\frac{1}{2}$

$j=l+\frac{1}{2}$	${\left(\frac{l+m_j+\frac{1}{2}}{2l+1}\right)}^{\frac{1}{2}}$	${\left(\frac{l-m_j+\frac{1}{2}}{2l+1}\right)}^{\frac{1}{2}}$
$j=l-\frac{1}{2}$	$-{\left(\frac{l-m_j+\frac{1}{2}}{2l+1}\right)}^{\frac{1}{2}}$	${\left(\frac{l+m_j+\frac{1}{2}}{2l+1}\right)}^{\frac{1}{2}}$

Wobei:

$\begin{array}{cc}& j=l\pm \frac{1}{2}\\ & m_j=m+m_S\\ & m=-l,\mathrm{...},+l\\ & m_S=-\frac{1}{2},+\frac{1}{2}\\ \end{array}$