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Bilder in der QM

Inhaltsverzeichnis

Schrödinger-Bild

nur Zustände

{{\left| \psi \right\rangle }_{t}}

zeitabhängig

Eigenvektoren

\left| n \right\rangle

und Operatoren

{{{\hat{A}}}_{S}}

sind nicht zeitabhängig

zeitentwicklung mit Zeitentwicklungsoperator

\hat{U}=\exp \left( -\frac{\mathfrak{i}}{\hbar }{{{\hat{H}}}_{s}}t \right):
{{\left| \psi \right\rangle }_{t}}=\hat{U}{{\left| \psi \right\rangle }_{0}}


{{{\hat{A}}}_{S}}

definiert eine symmetrische quadratische From

geometrisch

Zustandsvektor wird um feste Hauptachsen mit Zeitentwicklungsooerator gedreht.

Schrödinger Gleichung

E\left| \psi \right\rangle =H\left| \psi \right\rangle
E=i\hbar {{\partial }_{t}}

Heisenberg-Bild

Zustände zeitunabhängig

{{\left| \psi \right\rangle }_{t}}={{\left| \psi \right\rangle }_{0}}

Operatoren

{{{\hat{A}}}_{W}}\left( t \right)

und Eigenvektoren

{{\left| n \right\rangle }_{t}}

zeitabhängig.

transfomration von Operatoren ins Heisenbergbild

\left\langle {{{\hat{A}}}_{S}} \right\rangle ={}_{t}{{\left\langle \psi |{{{\hat{A}}}_{S}}|\psi \right\rangle }_{t}}={}_{0}{{\left\langle \psi \left| \underbrace{{{{\hat{U}}}^{+}}{{{\hat{A}}}_{S}}\hat{U}}_{:={{{\hat{A}}}_{H}}} \right|\psi \right\rangle }_{0}}=\left\langle {{{\hat{A}}}_{H}} \right\rangle

Hamilton Operator

{{{\hat{H}}}_{S}}={{{\hat{H}}}_{H}}

folgt aus Bewegungsgleichung

Wechselwirkungsbild

{{{\hat{H}}}_{w}}={{{\hat{H}}}_{0,S}}+{{{\hat{H}}}_{1,S}}
{{{\hat{H}}}_{1}} ist als Störung zu interpretieren


{{{\hat{A}}}_{W}}=\hat{U}_{0}^{+}{{{\hat{A}}}_{S}}{{U}_{0}} mit {{{\hat{U}}}_{0}}=\exp \left( -\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}_{0}}t \right)


{{{\breve{A}}}_{W}}={{d}_{t}}{{{\hat{A}}}_{W}}=\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},\hat{A} \right]


\begin{align} & \left\langle {{{\hat{A}}}_{S}} \right\rangle ={}_{t}{{\left\langle \underbrace{\psi |{{{\hat{U}}}_{0}}}_{\left\langle {{\psi }_{W}} \right|}\underbrace{\hat{U}_{0}^{+}{{{\hat{A}}}_{S}}{{{\hat{U}}}_{0}}}_{{{{\hat{A}}}_{W}}}\hat{U}_{0}^{+}|\psi \right\rangle }_{t}}={}_{W}{{\left\langle \psi \left| {{{\hat{A}}}_{W}} \right|\psi \right\rangle }_{W}} \\ & {{d}_{t}}{{\left| \psi \right\rangle }_{W}}=\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}_{0,S}}\hat{U}_{0}^{+}{{\left| \psi \right\rangle }_{t}}+\hat{U}_{0}^{+}{{\partial }_{t}}{{\left| \psi \right\rangle }_{t}} \\ & {{\partial }_{t}}{{\left| \psi \right\rangle }_{t}}=\frac{1}{i\hbar }{{{\hat{H}}}_{0,S}}{{\left| \psi \right\rangle }_{t}}=\frac{1}{i\hbar }{{{\hat{H}}}_{0,S}}{{{\hat{U}}}_{0}}{{\left| \psi \right\rangle }_{W}} \\ & \Rightarrow {{d}_{t}}{{\left| \psi \right\rangle }_{W}}=\frac{1}{\hbar i}\left( -{{{\hat{H}}}_{0,S}}+\underbrace{\hat{U}_{0}^{+}{{{\hat{H}}}_{0,S}}{{{\hat{U}}}_{0}}}_{{{{\hat{H}}}_{W}}={{H}_{0,S}}+{{H}_{1,S}}} \right){{\left| \psi \right\rangle }_{W}}=\frac{1}{i\hbar }\left( {{{\hat{H}}}_{W}} \right){{\left| \psi \right\rangle }_{W}} \\ & \Rightarrow i\hbar {{d}_{t}}{{\left| \psi \right\rangle }_{W}}={{{\hat{H}}}_{1,S}}{{\left| \psi \right\rangle }_{W}} \\ \end{align}
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