Brechung und Reflexion

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Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Brechung und Reflexion basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 6) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Brechung und Reflexion	Materie in elektrischen und magnetischen Feldern	Elektrodynamik Schöll
	Polarisation Magnetisierung Maxwell- Gleichungen in Materie Grenzbedingungen für Felder Mikroskopisches Modell der Polarisierbarkeit Wellenausbreitung in Materie Brechung und Reflexion	Elektrostatik Stationäre Ströme und Magnetfeld Die Maxwell-Gleichungen Elektromagnetische Wellen Materie in elektrischen und magnetischen Feldern Relativistische Formulierung der Elektrodynamik

Wir haben bereits gesehen, wie man aus den Stetigkeitsbedingungen mit Hilfe der integralen Maxwellgleichungen die Brechungsrelationen für die Feldvektoren herleiten kann. Nun soll dies für Lichtwellen wiederholt / vertieft werden:

Sogenannte Wellenausbreitung in geschichteten Medien Transparent →

${{\varepsilon }_{i}}\in R$

$\begin{align} & \frac{\omega }{{{c}_{1}}}=\left| {\bar{k}} \right|=\left| \bar{k}\acute{\ } \right|=\frac{\omega \acute{\ }}{{{c}_{1}}} \\ & \left| \bar{k}\acute{\ }\acute{\ } \right|=\frac{\omega \acute{\ }\acute{\ }}{{{c}_{2}}} \\ & {{c}_{i}}=\frac{c}{{{n}_{i}}}=\frac{c}{\sqrt{{{\varepsilon }_{i}}}}\quad i=1,2 \\ & \bar{E}(\bar{r},t)={{{\bar{E}}}_{0}}{{e}^{i\left( \bar{k}\bar{r}-\omega t \right)}} \\ \end{align}$

Einfallende Welle:

$\bar{E}(\bar{r},t)={{\bar{E}}_{0}}{{e}^{i\left( \bar{k}\bar{r}-\omega t \right)}}$

Reflektierte Welle:

$\bar{E}\acute{\ }(\bar{r},t)={{\bar{E}}_{0}}\acute{\ }{{e}^{i\left( \bar{k}\acute{\ }\bar{r}-\omega \acute{\ }t \right)}}$

Transmittierte Welle:

$\bar{E}\acute{\ }\acute{\ }(\bar{r},t)={{\bar{E}}_{0}}\acute{\ }\acute{\ }{{e}^{i\left( \bar{k}\acute{\ }\acute{\ }\bar{r}-\omega \acute{\ }\acute{\ }t \right)}}$

Grenzbedingungen für

$\bar{E}(\bar{r},t)$ .

Annahme: linear polarisiert:

${{\left. {{E}_{1}}+{{E}_{1}}\acute{\ } \right|}_{{{x}_{3}}=0}}={{\left. {{E}_{1}}\acute{\ }\acute{\ } \right|}_{{{x}_{3}}=0}}$

→ Stetigkeit der Tangenzialkomponenten Diese Bedingungen werden nur an die Amplituden gestellt. Für die Phasen gibt es keine Bedingungen, besser gesagt:

Betrachte Situation für r=0

$\begin{align} & {{{\bar{E}}}_{01}}{{e}^{i\omega t}}+{{{\bar{E}}}_{01}}\acute{\ }{{e}^{i\omega \acute{\ }t}}={{{\bar{E}}}_{01}}\acute{\ }\acute{\ }{{e}^{i\omega \acute{\ }\acute{\ }t}} \\ & \Rightarrow \omega =\omega \acute{\ }=\omega \acute{\ }\acute{\ } \\ & {{{\bar{E}}}_{01}}+{{{\bar{E}}}_{01}}\acute{\ }={{{\bar{E}}}_{01}}\acute{\ }\acute{\ } \\ \end{align}$

Das Snelliussche Brechungsgesetz können wir uns nicht als Amplitudenverhältnis anschauen, weil wir sonst wieder nur die Brechung der elektrischen Feldvektoren gewinnen. Aber: Wenn man ein Verhältnis der Beträge der k- Vektoren (Ausbreitungsrichtung des Energiestroms) betrachtet, so ergibt sich das richtige Ausbreitungsgesetz:

Betrachte für t=0

${{E}_{01}}{{e}^{i{{k}_{1}}{{x}_{1}}}}+{{E}_{01}}\acute{\ }{{e}^{ik{{\acute{\ }}_{1}}{{x}_{1}}}}={{E}_{01}}\acute{\ }\acute{\ }{{e}^{i{{k}_{1}}\acute{\ }\acute{\ }{{x}_{1}}}}$

Also:

${{k}_{1}}={{k}_{1}}\acute{\ }={{k}_{1}}\acute{\ }\acute{\ }$

Aber: (Siehe Skizze)! Dies gilt ja genau für die Anteile entlang x^1, also: muss man den Winkel dazunehmen und man gewinnt:

$\begin{align} & \left| {\bar{k}} \right|\sin \gamma =\left| \bar{k}\acute{\ } \right|\sin \gamma \acute{\ }=\left| \bar{k}\acute{\ }\acute{\ } \right|\sin \gamma \acute{\ }\acute{\ } \\ & \left| {\bar{k}} \right|=\frac{\omega }{{{c}_{1}}} \\ & \left| \bar{k}\acute{\ } \right|=\frac{\omega }{{{c}_{1}}} \\ & \left| \bar{k}\acute{\ }\acute{\ } \right|=\frac{\omega }{{{c}_{2}}} \\ \end{align}$

Somit gewinnen wir Reflexions und Snelliussches Brechungsgesetz:

$\begin{align} & \sin \gamma =\sin \gamma \acute{\ } \\ & \frac{\sin \gamma \acute{\ }\acute{\ }}{\sin \gamma }=\frac{{{c}_{2}}}{{{c}_{1}}}=\frac{{{n}_{1}}}{{{n}_{2}}} \\ \end{align}$

Reflexions- und Brechungsgesetz

Bestimmung der Amplituden:

Polarisation von E in der Einfallsebene

Stetigkeitsbedingungen: Normalkomponenten sind keine vorhanden → Nur Tangentialkomponenten:

$\begin{align} & {{E}_{01}}={{E}_{01}}\acute{\ }={{E}_{01}}\acute{\ }\acute{\ }=0 \\ & {{E}_{03}}={{E}_{03}}\acute{\ }={{E}_{03}}\acute{\ }\acute{\ }=0 \\ \end{align}$

Für die Tangentialkomp.:

${{E}_{02}}+{{E}_{02}}\acute{\ }={{E}_{02}}\acute{\ }\acute{\ }$

Mit

${{\bar{B}}_{0}}=\frac{c}{\omega }\bar{k}\times {{\bar{E}}_{0}}=\frac{c}{\omega }{{E}_{02}}\left( \begin{matrix} -{{k}_{3}} \\ 0 \\ {{k}_{1}} \\ \end{matrix} \right)$

Somit folgt dann für die Tangentialkomponente von B:

${{B}_{01}}+{{B}_{01}}\acute{\ }={{B}_{01}}\acute{\ }\acute{\ }\Rightarrow {{k}_{3}}{{E}_{02}}+{{k}_{3}}\acute{\ }E{{\acute{\ }}_{02}}={{k}_{3}}\acute{\ }\acute{\ }{{E}_{02}}\acute{\ }\acute{\ }$

mit dem Reflexionsgesetz.

${{k}_{3}}=-{{k}_{3}}\acute{\ }$

$\begin{align} & \Rightarrow {{k}_{3}}\left( {{E}_{02}}-E{{\acute{\ }}_{02}} \right)={{k}_{3}}\acute{\ }\acute{\ }\left( {{E}_{02}}+{{E}_{02}}\acute{\ } \right) \\ & \Rightarrow \frac{E{{\acute{\ }}_{02}}}{{{E}_{02}}}=\frac{{{k}_{3}}-{{k}_{3}}\acute{\ }\acute{\ }}{{{k}_{3}}+{{k}_{3}}\acute{\ }\acute{\ }} \\ & \frac{E\acute{\ }{{\acute{\ }}_{02}}}{{{E}_{02}}}=\frac{2{{k}_{3}}}{{{k}_{3}}+{{k}_{3}}\acute{\ }\acute{\ }} \\ \end{align}$

Man muss nun nur

${{k}_{3}}\acute{\ }\acute{\ }$

über den Brechungswinkel

$\gamma \acute{\ }\acute{\ }$

ausdrücken und man gewinnt die Fresnelschen Formeln:

$\begin{align} & {{k}_{3}}\acute{\ }\acute{\ }=\left| \bar{k}\acute{\ }\acute{\ } \right|\cos \gamma \acute{\ }\acute{\ }=\left| \bar{k}\acute{\ } \right|\frac{{{n}_{2}}}{{{n}_{1}}}\cos \gamma \acute{\ }\acute{\ } \\ & \frac{{{n}_{2}}}{{{n}_{1}}}=\frac{\sin \gamma }{\sin \gamma \acute{\ }\acute{\ }} \\ & \Rightarrow {{k}_{3}}\acute{\ }\acute{\ }=\left| \bar{k}\acute{\ }\acute{\ } \right|\cos \gamma \acute{\ }\acute{\ }=\left| \bar{k}\acute{\ } \right|\frac{\sin \gamma }{\sin \gamma \acute{\ }\acute{\ }}\cos \gamma \acute{\ }\acute{\ } \\ & {{k}_{3}}=\left| {\bar{k}} \right|\cos \gamma \\ \end{align}$

Also können wir dies in die gefundenen Formeln für die Amplitudenverhältnisse einsetzen und erhalten die Brechungsformeln (Fresnelsche Formeln) nur noch in Abhängigkeit von den Winkeln:

Also:

$\begin{align} & \frac{E{{\acute{\ }}_{02}}}{{{E}_{02}}}=\frac{\cos \gamma \sin \gamma \acute{\ }\acute{\ }-\sin \gamma \cos \gamma \acute{\ }\acute{\ }}{\cos \gamma \sin \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\sin \gamma \cos \gamma \acute{\ }\acute{\ }}=\frac{\sin \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }-\gamma \right)}{\sin \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma \right)} \\ & \frac{E\acute{\ }{{\acute{\ }}_{02}}}{{{E}_{02}}}=\frac{2{{k}_{3}}}{{{k}_{3}}+{{k}_{3}}\acute{\ }\acute{\ }}=\frac{2\sin \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ } \right)\cos \gamma }{\sin \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma \right)} \\ \end{align}$

Intensitätsverhältnisse:

betrachte: Zeitmittel des Poynting- Vektors:

$\left\langle {\bar{S}} \right\rangle =\frac{1}{T}\int_{0}^{T}{{}}dt\left( \bar{E}\times \bar{H} \right)$

Reflexionskoeffizient: (bei senkrechter Polarisation)

$\begin{align} & {{R}_{\bot }}={{\left| \frac{E{{\acute{\ }}_{02}}}{{{E}_{02}}} \right|}^{2}}=\frac{{{\sin }^{2}}\left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }-\gamma \right)}{{{\sin }^{2}}\left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma \right)} \\ & \\ \end{align}$

Transmissionskoeffizient (bei senkrechter Polarisation)

${{T}_{\bot }}={{\left| \frac{E\acute{\ }{{\acute{\ }}_{02}}}{{{E}_{02}}} \right|}^{2}}=\frac{4{{\sin }^{2}}\left( \gamma \acute{\ }\acute{\ } \right){{\cos }^{2}}\gamma }{{{\sin }^{2}}\left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma \right)}=1-{{R}_{\bot }}$

Polarisation von
$\bar{E}||$
Einfallsebene:

Dadurch:

$\bar{B}\bot$

Einfallsebene

Analoge Argumentation:

$\begin{align} & {{B}_{01}}={{B}_{01}}\acute{\ }={{B}_{01}}\acute{\ }\acute{\ }=0 \\ & {{B}_{03}}={{B}_{03}}\acute{\ }={{B}_{03}}\acute{\ }\acute{\ }=0 \\ & {{B}_{02}}+{{B}_{02}}\acute{\ }={{B}_{02}}\acute{\ }\acute{\ } \\ \end{align}$

usw... ebenfalls Bildung der Verhältnisse in Abhängigkeit von k → wie beim Vorgehen in a) weiter rechnen. k durch Zwischenwinkel ausdrücken: Zur Übung berechnen, es ergibt sich:

$\begin{align} & \frac{E{{\acute{\ }}_{||}}}{{{E}_{||}}}=\frac{\tan \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }-\gamma \right)}{\tan \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma \right)} \\ & \frac{E\acute{\ }{{\acute{\ }}_{||}}}{{{E}_{||}}}=\frac{2\sin \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ } \right)\cos \gamma }{\sin \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma \right)\cos \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }-\gamma \right)} \\ \end{align}$

Ebenso:

$\begin{align} & {{R}_{||}}={{\left| \frac{E{{\acute{\ }}_{||}}}{{{E}_{||}}} \right|}^{2}}=\frac{{{\tan }^{2}}\left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }-\gamma \right)}{{{\tan }^{2}}\left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma \right)}=1-{{T}_{||}} \\ & \\ \end{align}$

Bemerkung Bei Reflexion und Brechung wird im Allgemeinen die Polarisationsrichtung gedreht. Speziell für den Fall

$\begin{align} & \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma =\frac{\pi }{2} \\ & ->\tan \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma \right)\to \infty \\ & {{R}_{||}}=0 \\ \end{align}$

In diesem Fall kommt es nicht zu Teilpolarisation sondern: die reflektierte Welle wird vollständig polarisiert (senkrecht zur Einfallsebene)

Dies ist der Brewsterwinkel:
$\begin{align} * & \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma =\frac{\pi }{2}->\gamma =\left( {{\gamma }_{Brew}} \right) \\ * & \tan {{\gamma }_{B}}=\sqrt{\frac{{{\varepsilon }_{2}}}{{{\varepsilon }_{1}}}} \\ * \end{align}$

Totalreflexion Sei

$\begin{align} & {{\varepsilon }_{2}}<{{\varepsilon }_{1}} \\ & \sin {{\gamma }_{G}}=\sqrt{\frac{{{\varepsilon }_{2}}}{{{\varepsilon }_{1}}}} \\ \end{align}$