Brechung und Reflexion

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Wir haben bereits gesehen, wie man aus den Stetigkeitsbedingungen mit Hilfe der integralen Maxwellgleichungen die Brechungsrelationen für die Feldvektoren herleiten kann. Nun soll dies für Lichtwellen wiederholt / vertieft werden:


Sogenannte Wellenausbreitung in geschichteten Medien Transparent →

Einfallende Welle:

Reflektierte Welle:

Transmittierte Welle:

Grenzbedingungen für

.
Annahme: linear polarisiert:

→ Stetigkeit der Tangenzialkomponenten Diese Bedingungen werden nur an die Amplituden gestellt. Für die Phasen gibt es keine Bedingungen, besser gesagt:

Betrachte Situation für r=0

Das Snelliussche Brechungsgesetz können wir uns nicht als Amplitudenverhältnis anschauen, weil wir sonst wieder nur die Brechung der elektrischen Feldvektoren gewinnen. Aber: Wenn man ein Verhältnis der Beträge der k- Vektoren (Ausbreitungsrichtung des Energiestroms) betrachtet, so ergibt sich das richtige Ausbreitungsgesetz:

Betrachte für t=0

Also:

Aber: (Siehe Skizze)! Dies gilt ja genau für die Anteile entlang x^1, also: muss man den Winkel dazunehmen und man gewinnt:

Somit gewinnen wir Reflexions und Snelliussches Brechungsgesetz:

Reflexions- und Brechungsgesetz

Bestimmung der Amplituden:

  1. Polarisation von E in der Einfallsebene

Stetigkeitsbedingungen: Normalkomponenten sind keine vorhanden → Nur Tangentialkomponenten:

Für die Tangentialkomp.:

Mit

Somit folgt dann für die Tangentialkomponente von B:

mit dem Reflexionsgesetz.

Man muss nun nur

über den Brechungswinkel

ausdrücken und man gewinnt die Fresnelschen Formeln:

Also können wir dies in die gefundenen Formeln für die Amplitudenverhältnisse einsetzen und erhalten die Brechungsformeln (Fresnelsche Formeln) nur noch in Abhängigkeit von den Winkeln:

Also:

Intensitätsverhältnisse:

betrachte: Zeitmittel des Poynting- Vektors:

Reflexionskoeffizient: (bei senkrechter Polarisation)

Transmissionskoeffizient (bei senkrechter Polarisation)

  1. Polarisation von
  2. Einfallsebene:

Dadurch:

Einfallsebene

  • Analoge Argumentation:

usw... ebenfalls Bildung der Verhältnisse in Abhängigkeit von k → wie beim Vorgehen in a) weiter rechnen. k durch Zwischenwinkel ausdrücken: Zur Übung berechnen, es ergibt sich:

Ebenso:

Bemerkung Bei Reflexion und Brechung wird im Allgemeinen die Polarisationsrichtung gedreht. Speziell für den Fall

In diesem Fall kommt es nicht zu Teilpolarisation sondern: die reflektierte Welle wird vollständig polarisiert (senkrecht zur Einfallsebene)

  • Dies ist der Brewsterwinkel:

Totalreflexion Sei

Totalreflexion unter diesem Winkel oder flacher!

Grenzwinkel der Totalreflexion →

wird imaginär → es dringt kein reeller Strahl mehr ins Medium ein!