Das Zweikörperproblem

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Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
Kein GFDL Der Artikel Das Zweikörperproblem basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 5) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
Das Zweikörperproblem Symmetrien und Erhaltungsgrößen
  1. Theorem von Noether
  2. Räumliche Translationsinvarianz
  3. Räumliche Isotropie
  4. Zeitliche Translationsinvarianz
  5. Das Zweikörperproblem
  1. Das d'Alembertsche Prinzip
  2. Das Hamiltonsche Prinzip
  3. Symmetrien und Erhaltungsgrößen
  4. Der Hamiltonsche kanonische Formalismus
  5. Die Hamilton-Jacobi-Theorie
  6. Mechanik des starren Körpers
  7. Dynamische Systeme und deterministisches Chaos


Hier werden die Erhaltungssätze zur Lösung der Bewegungsgleichung verwendet.

Idee:

f Freiheitsgrade → f Differenzialgleichungen 2. Ordnung

  • 2f Integrationskonstanten nötig! (jeweils zweifaches Integrieren). (Anfangsbedingungen).
  • Also existieren auch 2f Integrale der Bewegung

Falls alle 2f Integrale der Bewegung bekannt wären:


{{I}_{r}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{\dot{q}}_{1}},...{{\dot{q}}_{f}})={{c}_{r}}\quad \quad r=1,...2f


So wäre das Problem vollständig gelöst:


{{q}_{k}}={{q}_{k}}({{c}_{1}},...,{{c}_{2f}},t)\quad \quad k=1,...,f


Also ist es das Ziel, möglichst viele Integrale der Bewegung zu finden.

Beispiel: Zweikörperproblem

2 Massen, m1 und m2 unter dem Einfluss Ihrer inneren Wechselwirkung: V(|r1-r2|) (Zentralpotenzial).

Beispiel: Sonne / Erde unter Gravitationswechselwirkung

Zahl der Freiheitsgrade: f=6

Also: es muessten 12 Integrale der Bewegung existieren

Erhaltungssätze

  1. V(|r1-r2|) ist translationsinvariant.

Somit ist der Impuls:

\bar{P}={{\bar{p}}_{1}}+{{\bar{p}}_{2}}

=konstant

Der Schwerpunkt:

\bar{R}=\frac{1}{M}\bar{P}t+{{\bar{R}}_{0}}

bewegt sich gleichförmig und geradlinig.

Dies folgt aus:

M\dot{\bar{R}}=\bar{P}=const


M:=m1 + m2

Somit sind 6 Integrationskonstanten gefunden:

\bar{P},\bar{R}


  1. V(|r1-r2|) ist rotationsinvariant:

Damit ist der Drehimpuls

\bar{l}={{m}_{1}}{{\bar{r}}_{1}}\times {{\bar{v}}_{1}}+{{m}_{2}}{{\bar{r}}_{2}}\times {{\bar{v}}_{2}}=const


Es sind drei weitere Integrationskonstanten

\bar{l}

gefunden.

  1. Die zeitliche Translationsinvarianz bei konservativer Kraft:


E=\frac{1}{2}{{m}_{1}}{{\bar{v}}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}{{m}_{2}}{{\bar{v}}_{2}}^{2}+V\left( \left| {{{\bar{r}}}_{1}}-{{{\bar{r}}}_{2}} \right| \right)=const


Eine Integrationskonstante E

Insgesamt sind 10 Integrale der Bewegung gefunden. Es bleiben nur 2 Integrationskonstanten, nämlich der Nullpunkt der Zeit- und Winkelskala. Diese ergeben sich aus den ANfangsbedingungen.

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