Das Zweikörperproblem

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Hier werden die Erhaltungssätze zur Lösung der Bewegungsgleichung verwendet.

Idee:

f Freiheitsgrade → f Differenzialgleichungen 2. Ordnung

  • 2f Integrationskonstanten nötig! (jeweils zweifaches Integrieren). (Anfangsbedingungen).
  • Also existieren auch 2f Integrale der Bewegung

Falls alle 2f Integrale der Bewegung bekannt wären:



So wäre das Problem vollständig gelöst:



Also ist es das Ziel, möglichst viele Integrale der Bewegung zu finden.

Beispiel: Zweikörperproblem

2 Massen, m1 und m2 unter dem Einfluss Ihrer inneren Wechselwirkung: V(|r1-r2|) (Zentralpotenzial).

Beispiel: Sonne / Erde unter Gravitationswechselwirkung

Zahl der Freiheitsgrade: f=6

Also: es muessten 12 Integrale der Bewegung existieren

Erhaltungssätze

  1. V(|r1-r2|) ist translationsinvariant.

Somit ist der Impuls:

=konstant

Der Schwerpunkt:

bewegt sich gleichförmig und geradlinig.

Dies folgt aus:


M:=m1 + m2

Somit sind 6 Integrationskonstanten gefunden:


  1. V(|r1-r2|) ist rotationsinvariant:

Damit ist der Drehimpuls


Es sind drei weitere Integrationskonstanten

gefunden.

  1. Die zeitliche Translationsinvarianz bei konservativer Kraft:



Eine Integrationskonstante E

Insgesamt sind 10 Integrale der Bewegung gefunden. Es bleiben nur 2 Integrationskonstanten, nämlich der Nullpunkt der Zeit- und Winkelskala. Diese ergeben sich aus den ANfangsbedingungen.

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