Das ideale Fermigas

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Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Das ideale Fermigas basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 2) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Das ideale Fermigas

Quantenmechanische Modellsysteme

Thermodynamik und Statistik

Inhaltsverzeichnis

1 Energie und Zustandsdichte freier Teilchen
- 1.1 Thermodynamischer limes (großes Volumen V):
2 Entartetes Fermi-Gas
- 2.1 Definition: Fermi- Dirac- Integral der Ordnung s:
3 Spezifische Wärme
4 Nichtenatartetes fermigas

Teilchen- Zustände sind die Eigenzustände zur 1- Teilchen- Energie Ei

Großkanonischer Statistischer Operator:

$\hat{\rho }={{Y}^{-1}}\exp \left( -\beta \left( \hat{H}-\mu \hat{N} \right) \right)$

Die Wahrscheinlichkeit, das System in einem bestimmten Zustand zu finden ist gleich dem Erwartungswert des statistischen Operators in diesem Zustand:

Also für den Vielteilchenzustand $\left| \alpha \right\rangle$ :

${{E}_{\alpha }}^{ges.}=\sum\limits_{j=1}^{l}{{}}{{E}_{j}}{{N}_{j}}$

mit der Einteilchenenergie Ej und den Besetzungszahlen Nj

Diese Wahrscheinlichkeit ist:

${{P}_{\alpha }}=\left\langle \alpha \right|\hat{\rho }\left| \alpha \right\rangle ={{Y}^{-1}}\left\langle \alpha \right|\exp \left( -\beta \left( \hat{H}-\mu \hat{N} \right) \right)\left| \alpha \right\rangle ={{Y}^{-1}}\exp \left( -\beta \sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\left( {{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}} \right) \right)$

Dies ist ein Ergebnis für einen Zustand!

Die Großkanonsiche Zustandsumme Y gewinnt man, indem man über alle möglichen Vielteilchenzustände noch summiert, also:

$Y=\sum\limits_{{{N}_{1}}...{{N}_{l}}}^{{}}{{}}\exp \left( -\beta \sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\left( {{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}} \right) \right)=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}\left( \sum\limits_{{{N}_{j}}}^{{}}{{}}\exp \left( -\beta \left( {{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}} \right) \right) \right)$

Jetzt muss bei der Auswertung die unterschiedliche Teilchenart berücksichtigt werden, nämlich in der Summation über Nj. Handelt es sich um Fermionen, so wird nur bis 1 summiert. Handelt es sich um Bosonen, so wird bis unendlich summiert!

Fermionen

$\begin{align} & Y=\sum\limits_{{{N}_{1}}...{{N}_{l}}=0}^{1}{{}}\exp \left( -\beta \sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\left( {{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}} \right) \right)=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}\left( \sum\limits_{{{N}_{j}}=0}^{1}{{}}\exp \left( -\beta \left( {{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}} \right) \right) \right) \\ & =\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}\left( \sum\limits_{{{N}_{j}}=0}^{1}{{}}{{t}_{j}}^{{{N}_{j}}} \right) \\ & {{t}_{j}}:=\exp \left( -\beta \left( {{E}_{j}}-\mu \right) \right) \\ & Y=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}\left( 1+{{t}_{j}} \right)=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}{{Y}_{j}} \\ \end{align}$

Also folgt:

$P\left( {{N}_{1}},...,{{N}_{l}} \right)=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}\frac{{{t}_{j}}^{{{N}_{j}}}}{\left( 1+{{t}_{j}} \right)}=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}P\left( {{N}_{j}} \right)$ separiert!!

Dies als Gesamtwahrscheinlichkeit, das System mit der Besetzung $\left( {{N}_{1}},...,{{N}_{l}} \right)$ zu finden!

Mittlere Besetzungszahl im Einteilchenzustand $E j$ :

Aus $P\left( {{N}_{j}} \right)=\exp \left( {{\Psi }_{j}}-\beta {{E}_{j}}-\alpha {{N}_{j}} \right)$ mit

$\begin{align} & {{\Psi }_{j}}=-\ln {{Y}_{j}}=-\ln \left( 1+{{t}_{j}} \right) \\ & \alpha =-\beta \mu \\ \end{align}$

folgt:

$\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle =\frac{\partial {{\Psi }_{j}}}{\partial \alpha }=\frac{1}{\beta }\frac{\partial }{\partial \mu }\ln {{Y}_{j}}=\frac{{{t}_{j}}}{1+{{t}_{j}}}=\frac{1}{{{t}_{j}}^{-1}+1}$

Also:

$\Rightarrow \left\langle {{N}_{j}} \right\rangle =\frac{1}{\exp \left( \frac{{{E}_{j}}-\mu }{kT} \right)+1}$ Die Fermi-Verteilung!

Dies folgt auch explizit aus

$\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle =\sum\limits_{{{N}_{1}}=0}^{1}{{}}\sum\limits_{{{N}_{2}}=0}^{1}{{}}...\left\{ {{N}_{j}}\frac{{{t}_{1}}^{{{N}_{1}}}}{1+{{t}_{1}}}...\frac{{{t}_{j}}^{{{N}_{j}}}}{1+{{t}_{j}}}.... \right\}=\sum\limits_{{{N}_{j}}=0}^{1}{{}}{{N}_{j}}.\frac{{{t}_{j}}^{{{N}_{j}}}}{1+{{t}_{j}}}=\frac{0{{t}_{j}}^{0}+1{{t}_{j}}}{1+{{t}_{j}}}=\frac{{{t}_{j}}}{1+{{t}_{j}}}$

speziell folgt dies auch aus

$\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle =p\left( {{N}_{j}}=1 \right)=\frac{{{t}_{j}}}{1+{{t}_{j}}}$

aber nur wegen Nj = 0,1

2 Möglichkeiten! → Mittelwert liegt in der Mitte

rechts besetzte und links unbesetzte Zustände

FJ: Nj:=1/(1+exp((Ej-mue)/Boltz)); 1 Nj := --------------------- 1 + exp(1/5 Ej - 1/5) > Boltz:=5; Boltz := 5 > mue:=1; mue := 1 * plot(Nj,Ej=0..50);]]

Für T → 0: $\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle \to \Theta \left( \mu -{{E}_{j}} \right)$ (Stufenfunktion), sogenannter Quantenlimes!
T>0: Aufweichungszone bei ${{E}_{j}}\tilde{\ }\mu$ der Breite $\approx kT$

$E j - μ > > k T$ (sehr hohe Energien) → $\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle \tilde{\ }\exp \left( -\frac{{{E}_{j}}-\mu }{kT} \right)$

die Fermiverteilung nähert sich der Boltzmann- Verteilung an (klassischer Grenzfall!!)
keine Berücksichtigung des Pauli- Prinzips mehr!

Beispiel einer Maxwell- Boltzmann- Verteilung sehr hoher Energien!

Gesamte mittlere Teilchenzahl: $\bar{N}=\sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle$

thermische Zustandsgleichung: $pV=kT\ln Y=kT\sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\ln {{Y}_{i}}=kT\sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\ln \left( 1+\exp \left( \beta \left( \mu -{{E}_{j}} \right) \right) \right)$

Energie und Zustandsdichte freier Teilchen

Energie- Eigenwerte:

${{E}_{j}}=\frac{{{{\bar{k}}}^{2}}{{\hbar }^{2}}}{2m}$

Das System sei in einem Würfel V = L³ eingeschlossen!

Zyklische Randbedingungen (Born - v. Karman):

$\begin{align} & {{\Psi }_{j}}\left( {\bar{r}} \right)=\frac{1}{\sqrt{V}}{{e}^{i\bar{k}\bar{r}}} \\ & {{k}_{a}}L=2\pi {{n}_{a}} \\ & {{n}_{a}}=\pm 1,\pm 2,\pm 3.... \\ & a=1,2,3 \\ \end{align}$

Ein Zustand im k- Raum beansprucht also das Volumen:

${{\left( \Delta k \right)}^{3}}={{\left( \frac{2\pi }{L} \right)}^{3}}\Delta {{n}_{1}}\Delta {{n}_{2}}\Delta {{n}_{3}}={{\left( \frac{2\pi }{L} \right)}^{3}}=\left( \frac{8{{\pi }^{3}}}{V} \right)$

Dabei wurde jedoch kein Spin berücksichtigt!

Thermodynamischer limes (großes Volumen V):

Übergang zum Quasikontinuum:

$\begin{align} & \sum\limits_{j}{{}}\to \left( \frac{V}{8{{\pi }^{3}}} \right)\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}k \\ & \bar{p}=\hbar \bar{k} \\ & \to \sum\limits_{j}{{}}\to \left( \frac{V}{8{{\pi }^{3}}{{\hbar }^{3}}} \right)\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}p=\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}p \\ \end{align}$

In Übereinstimmung mit Kapitel 4.1, Seite 100

Spinentartung:

(2s+1)- fache Entartung!

Kugelsymmetrisches Integral:

$\to \sum\limits_{j}{{}}\to \left( \frac{V}{8{{\pi }^{3}}{{\hbar }^{3}}} \right)\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}p=\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}p=\left( 2s+1 \right)\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi \int_{{}}^{{}}{{}}{{p}^{2}}dp$

Großkanonische Zustandssumme:

$\begin{align} & \ln Y=\sum\limits_{j}{{}}\ln \left( 1+\xi {{e}^{-\beta {{E}_{j}}}} \right) \\ & \xi :={{e}^{\beta \mu }} \\ \end{align}$

sogenannte Fugizität!

$\begin{align} & \ln Y=\sum\limits_{j}{{}}\ln \left( 1+\xi {{e}^{-\beta {{E}_{j}}}} \right) \\ & \approx \left( 2s+1 \right)\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi \int_{0}^{\infty }{{}}{{p}^{2}}dp\ln \left( 1+\xi {{e}^{-\beta {{E}_{j}}}} \right)=\left( 2s+1 \right)\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi \int_{0}^{\infty }{{}}{{p}^{2}}dp\ln \left( 1+\xi {{e}^{-\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}} \right) \\ \end{align}$

Partielle Integration:

$\begin{align} & \ln Y\approx \left( 2s+1 \right)\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi \int_{0}^{\infty }{{}}{{p}^{2}}dp\ln \left( 1+\xi {{e}^{-\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}} \right) \\ & =\left( 2s+1 \right)\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi \left[ \left. \left( \frac{{{p}^{3}}}{3}\ln \left( 1+\xi {{e}^{-\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}} \right) \right) \right|_{0}^{\infty }-\int_{0}^{\infty }{{}}{{\frac{p}{3}}^{3}}\frac{-\beta \frac{p}{m}\xi {{e}^{-\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}}}{\left( 1+\xi {{e}^{-\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}} \right)}dp \right] \\ & \left. \left( \frac{{{p}^{3}}}{3}\ln \left( 1+\xi {{e}^{-\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}} \right) \right) \right|_{0}^{\infty }=0 \\ & \Rightarrow \ln Y=-\left( 2s+1 \right)\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi \int_{0}^{\infty }{{}}{{\frac{p}{3}}^{3}}\frac{-\beta \frac{p}{m}\xi {{e}^{-\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}}}{\left( 1+\xi {{e}^{-\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}} \right)}dp=\frac{2}{3}\left( 2s+1 \right)\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi \int_{0}^{\infty }{{}}dp{{p}^{2}}\frac{\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}{\left( \frac{1}{\xi }{{e}^{\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}}+1 \right)} \\ & =\frac{2}{3}\beta \left( 2s+1 \right)\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi \int_{0}^{\infty }{{}}dp{{p}^{2}}\left\langle N(p) \right\rangle \frac{{{p}^{2}}}{2m} \\ \end{align}$

Mit der Fermi- Verteilung $\left\langle N(p) \right\rangle$ , also:

$\ln Y=\frac{2}{3}\beta \left( 2s+1 \right)\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi \int_{0}^{\infty }{{}}dp{{p}^{2}}\left\langle N(p) \right\rangle E(p)$

Diskret:

$\begin{align} & \ln Y=\frac{2}{3}\beta \sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle {{E}_{j}}=\frac{2}{3}\beta U \\ & U=\left\langle {{E}^{ges.}} \right\rangle \\ \end{align}$

Somit haben wir die thermische Zustands-Gleichung

$pV=kT\ln Y=\frac{2}{3}U=\frac{2}{3}\left\langle {{E}^{ges.}} \right\rangle$

Bemerkungen

Dies gilt auch für ein klassisches ideales Gas!

Klassisch:

$\begin{align} & pV=\bar{N}kT \\ & U=\frac{3}{2}\bar{N}kT \\ & \Rightarrow pV=\frac{2}{3}U \\ \end{align}$

Später werden wir sehen: Das gilt auch für Bose- Verteilung!!

Also unabhängig von der speziellen Statistik!

Entartetes Fermi-Gas

Klassischer Grenzfall der Fermi- Verteilung:

$\left\langle N\left( p \right) \right\rangle =\frac{1}{\left( \frac{1}{\xi }{{e}^{\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}}+1 \right)}\approx \xi {{e}^{-\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}}$

(Maxwell- Boltzmann- Verteilung)

für $\xi ={{e}^{\frac{\mu }{kT}}}<<1\Rightarrow \mu <0$

(stark verdünnt)

klassischer Limes!
Merke positives chemisches Potenzial ist ein QM- Grenzfall!!

Nichtklassischer Grenzfall ("Fermi- Entartung ")

Für $ξ > > 1$

(Grenzfall hoher Dichte!)

Gesamte Teilchenzahl:

$\bar{N}=\left( 2s+1 \right)\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi \int_{0}^{\infty }{{}}dp{{p}^{2}}\frac{1}{\left( {{e}^{\beta \left( \frac{{{p}^{2}}}{2m}-\mu \right)}}+1 \right)}$

Innere Energie:

$U=\left( 2s+1 \right)\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi \int_{0}^{\infty }{{}}dp{{p}^{2}}\frac{\frac{{{p}^{2}}}{2m}}{\left( {{e}^{\beta \left( \frac{{{p}^{2}}}{2m}-\mu \right)}}+1 \right)}$

Substitution

$\begin{align} & \frac{{{p}^{2}}}{2mkT}=y \\ & pdp=mkTdy \\ & \frac{\mu }{kT}=\eta =-\alpha \\ & \bar{N}=\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi {{\left( 2mkT \right)}^{\frac{3}{2}}}\int_{0}^{\infty }{{}}dy\frac{{{y}^{\frac{1}{2}}}}{\left( {{e}^{y-\eta }}+1 \right)} \\ & U=\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi {{\left( 2mkT \right)}^{\frac{3}{2}}}kT\int_{0}^{\infty }{{}}dy\frac{{{y}^{\frac{3}{2}}}}{\left( {{e}^{y-\eta }}+1 \right)} \\ \end{align}$

Definition: Fermi- Dirac- Integral der Ordnung s:

$\begin{align} & {{F}_{s}}\left( \eta \right):=\frac{1}{\Gamma \left( s+1 \right)}\int_{0}^{\infty }{{}}dy\frac{{{y}^{s}}}{\left( {{e}^{y-\eta }}+1 \right)} \\ & s>0 \\ \end{align}$

Entwicklung für

$\eta >>1\Rightarrow \xi >>1$ , also Entartung:

$\begin{align} & \Gamma \left( s+1 \right){{F}_{s}}\left( \eta \right):=\int_{0}^{\infty }{{}}dy\frac{{{y}^{s}}}{\left( {{e}^{y-\eta }}+1 \right)}=\frac{1}{s+1}\int_{0}^{\infty }{{}}dy\frac{d}{dy}\left( {{y}^{s+1}} \right)\frac{1}{\left( {{e}^{y-\eta }}+1 \right)} \\ & =\frac{1}{s+1}\left. \left[ \left( {{y}^{s+1}} \right)\frac{1}{\left( {{e}^{y-\eta }}+1 \right)} \right] \right|_{0}^{\infty }+\frac{1}{s+1}\int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{s+1}}\frac{{{e}^{y-\eta }}}{{{\left( {{e}^{y-\eta }}+1 \right)}^{2}}} \\ & \frac{1}{s+1}\left. \left[ \left( {{y}^{s+1}} \right)\frac{1}{\left( {{e}^{y-\eta }}+1 \right)} \right] \right|_{0}^{\infty }=0 \\ \end{align}$

weitere Substitution:

$\begin{align} & x=y-\eta \\ & \Rightarrow \Gamma \left( s+1 \right){{F}_{s}}\left( \eta \right)=\frac{1}{s+1}\int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{s+1}}\frac{{{e}^{y-\eta }}}{{{\left( {{e}^{y-\eta }}+1 \right)}^{2}}}=\frac{1}{s+1}\int_{-\eta }^{\infty }{{}}dx{{\left( x+\eta \right)}^{s+1}}\frac{{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{2}}} \\ & \eta >>1 \\ \end{align}$

Somit kann man die Grenzen erweitern, da $η > > 1$

$\begin{align} & x=y-\eta \\ & \Rightarrow \Gamma \left( s+1 \right){{F}_{s}}\left( \eta \right)=\frac{1}{s+1}\int_{-\eta }^{\infty }{{}}dx{{\left( x+\eta \right)}^{s+1}}\frac{{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{2}}}\approx \frac{1}{s+1}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dx{{\left( x+\eta \right)}^{s+1}}\frac{{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{2}}}+O\left( {{e}^{-\eta }} \right) \\ & O\left( {{e}^{-\eta }} \right)<<1 \\ \end{align}$

Dies kann man durch Entwicklung von

${{\left( x+\eta \right)}^{s+1}}$

lösen:

${{\left( x+\eta \right)}^{s+1}}\approx {{\left( \eta \right)}^{s+1}}+\left( s+1 \right){{\left( \eta \right)}^{s}}x+\frac{s\left( s+1 \right)}{2}{{\left( \eta \right)}^{s-1}}{{x}^{2}}+....$

Somit:

$\begin{align} & \Gamma \left( s+1 \right){{F}_{s}}\left( \eta \right)=\frac{1}{s+1}\int_{-\eta }^{\infty }{{}}dx{{\left( x+\eta \right)}^{s+1}}\frac{{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{2}}}\approx \frac{1}{s+1}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dx{{\left( x+\eta \right)}^{s+1}}\frac{{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{2}}}+O\left( {{e}^{-\eta }} \right) \\ & \approx \frac{1}{s+1}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dx{{\left( \eta \right)}^{s+1}}\frac{{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{2}}}+\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dx{{\left( \eta \right)}^{s}}x\frac{{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{2}}}+\frac{s}{2}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dx{{\left( \eta \right)}^{s-1}}{{x}^{2}}\frac{{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{2}}} \\ & =\frac{{{\left( \eta \right)}^{s+1}}}{s+1}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dx\frac{{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{2}}}+{{\left( \eta \right)}^{s}}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dx\frac{x{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{2}}}+\frac{s}{2}{{\left( \eta \right)}^{s-1}}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dx{{x}^{2}}\frac{{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{2}}} \\ \end{align}$

Für die Terme gilt im Einzelnen:

$\begin{align} & \int_{-\infty }^{\infty }{{}}dx\frac{{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{2}}}=\left[ \frac{-1}{\left( {{e}^{x}}+1 \right)} \right]_{-\infty }^{\infty }=1 \\ & \int_{-\infty }^{\infty }{{}}dx\frac{x{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{2}}}=0\quad da\ Integrand\ ungerade \\ & \int_{-\infty }^{\infty }{{}}dx{{x}^{2}}\frac{{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{2}}}:=I \\ \end{align}$

Bleibt Integral I zu lösen:

$\begin{align} & I=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dx{{x}^{2}}\frac{{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{2}}}=2\int_{0}^{\infty }{{}}dx{{x}^{2}}\frac{{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{2}}}=-2\left[ {{x}^{2}}\frac{1}{\left( {{e}^{x}}+1 \right)} \right]_{0}^{\infty }+4\int_{0}^{\infty }{{}}dx\frac{x}{\left( {{e}^{x}}+1 \right)} \\ & \left[ {{x}^{2}}\frac{1}{\left( {{e}^{x}}+1 \right)} \right]_{0}^{\infty }=0 \\ & \int_{0}^{\infty }{{}}dx\frac{x}{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}=\frac{{{\pi }^{2}}}{12} \\ & \Rightarrow I=\frac{{{\pi }^{2}}}{3} \\ \end{align}$

Somit ergibt sich das Fermi- Dirac- Integral gemäß

$\begin{align} & \Gamma \left( s+1 \right){{F}_{s}}\left( \eta \right)\approx \frac{{{\left( \eta \right)}^{s+1}}}{s+1}+\frac{s}{2}{{\left( \eta \right)}^{s-1}}\frac{{{\pi }^{2}}}{3} \\ & \Gamma \left( s+1 \right){{F}_{s}}\left( \eta \right)=\frac{{{\left( \eta \right)}^{s+1}}}{s+1}+\frac{s}{2}{{\left( \eta \right)}^{s-1}}\frac{{{\pi }^{2}}}{3}+O\left( {{\left( \eta \right)}^{s-3}} \right) \\ & \Rightarrow {{F}_{s}}\left( \eta \right)=\frac{1}{\Gamma \left( s+1 \right)}\left[ \frac{{{\left( \eta \right)}^{s+1}}}{s+1}+\frac{s{{\pi }^{2}}}{6}{{\left( \eta \right)}^{s-1}}+O\left( {{\left( \eta \right)}^{s-3}} \right) \right] \\ \end{align}$

Speziell:

$\begin{align} & {{F}_{\frac{1}{2}}}\left( \eta \right)\approx \frac{2}{\sqrt{\pi }}\left[ \frac{{{\left( \eta \right)}^{\frac{3}{2}}}}{\frac{3}{2}}+\frac{{{\pi }^{2}}}{12}{{\left( \eta \right)}^{-\frac{1}{2}}} \right] \\ & {{F}_{\frac{3}{2}}}\left( \eta \right)\approx \frac{4}{3\sqrt{\pi }}\left[ \frac{{{\left( \eta \right)}^{\frac{5}{2}}}}{\frac{5}{2}}+\frac{{{\pi }^{2}}}{4}{{\left( \eta \right)}^{\frac{1}{2}}} \right] \\ \end{align}$

Also:

$\begin{align} & \bar{N}=\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi {{\left( 2mkT \right)}^{\frac{3}{2}}}\int_{0}^{\infty }{{}}dy\frac{{{y}^{\frac{1}{2}}}}{\left( {{e}^{y-\eta }}+1 \right)}=\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi {{\left( 2mkT \right)}^{\frac{3}{2}}}\left[ \frac{2}{3}{{\left( \frac{\mu }{kT} \right)}^{\frac{3}{2}}}+\frac{{{\pi }^{2}}}{12}{{\left( \frac{\mu }{kT} \right)}^{-\frac{1}{2}}} \right] \\ & \Rightarrow \bar{N}=\frac{2}{3}\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi {{\left( 2m\mu \right)}^{\frac{3}{2}}}\left[ 1+\frac{{{\pi }^{2}}}{8}{{\left( \frac{kT}{\mu } \right)}^{2}} \right] \\ \end{align}$

Definition: Fermi- Energie:

${{E}_{F}}:=\mu \left( T=0,\bar{N},V \right)$

Bei T= 0 Kelvin sind die Zustände mit $E < E F$

voll besetzt, die anderen leer!

Wir können dann $\mu \left( T=0,\bar{N},V \right)$

durch $E F$

und $\bar{N}$

eliminieren:

T→0

$\begin{align} & \bar{N}=\frac{2}{3}\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi {{\left( 2m\mu \right)}^{\frac{3}{2}}}\left[ 1+\frac{{{\pi }^{2}}}{8}{{\left( \frac{kT}{\mu } \right)}^{2}} \right]=\frac{2}{3}\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi {{\left( 2m{{E}_{F}} \right)}^{\frac{3}{2}}} \\ & \\ \end{align}$

Für größere Temperaturen T>0 wird nun

$\begin{align} & \bar{N}=\frac{2}{3}\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi {{\left( 2m{{E}_{F}} \right)}^{\frac{3}{2}}} \\ & \\ \end{align}$

in niedrigster Ordnung in $\frac{kT}{{{E}_{F}}}$

entwickelt und diese Entwicklung dann eingesetzt in die Formel

$\begin{align} & \bar{N}=\frac{2}{3}\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi {{\left( 2m\mu \right)}^{\frac{3}{2}}}\left[ 1+\frac{{{\pi }^{2}}}{8}{{\left( \frac{kT}{\mu } \right)}^{2}} \right]=\frac{2}{3}\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi {{\left( 2m{{E}_{F}} \right)}^{\frac{3}{2}}} \\ & \Rightarrow {{\left( \mu \right)}^{\frac{3}{2}}}\left[ 1+\frac{{{\pi }^{2}}}{8}{{\left( \frac{kT}{\mu } \right)}^{2}} \right]\approx {{\left( {{E}_{F}} \right)}^{\frac{3}{2}}} \\ & \Rightarrow \mu \approx {{E}_{F}}{{\left[ 1+\frac{{{\pi }^{2}}}{8}{{\left( \frac{kT}{\mu } \right)}^{2}} \right]}^{-\frac{2}{3}}} \\ \end{align}$

Jetzt wird in niedrigster Ordnung in $\frac{kT}{{{E}_{F}}}$

entwickelt:

Das heißt, für kT=1 zeigt µ über Ef etwa folgenden verlauf:

die Kurve wird für höhere Temperaturen immer weiter auseinandergedehnt!

Innere Energie

$\begin{align} & U=\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi {{\left( 2mkT \right)}^{\frac{3}{2}}}kT\int_{0}^{\infty }{{}}dy\frac{{{y}^{\frac{3}{2}}}}{\left( {{e}^{y-\eta }}+1 \right)} \\ & {{F}_{\frac{3}{2}}}\left( \eta \right)\approx \frac{4}{3\sqrt{\pi }}\left[ \frac{{{\left( \eta \right)}^{\frac{5}{2}}}}{\frac{5}{2}}+\frac{{{\pi }^{2}}}{4}{{\left( \eta \right)}^{\frac{1}{2}}} \right] \\ \end{align}$

Also:

$\begin{align} & U=\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi {{\left( 2m \right)}^{\frac{3}{2}}}{{\left( kT \right)}^{\frac{5}{2}}}\left[ \frac{2}{5}{{\left( \frac{\mu }{kT} \right)}^{\frac{5}{2}}}+\frac{{{\pi }^{2}}}{4}{{\left( \frac{\mu }{kT} \right)}^{\frac{1}{2}}} \right] \\ & =\frac{2}{5}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi \frac{\left( 2s+1 \right)}{2}{{\left( 2m \right)}^{\frac{3}{2}}}{{\left( \mu \right)}^{\frac{5}{2}}}\left[ 1+\frac{5}{2}\frac{{{\pi }^{2}}}{4}{{\left( \frac{kT}{\mu } \right)}^{2}} \right] \\ \end{align}$

Verwende:

So dass:

$\begin{align} & U=\frac{2}{5}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi \frac{\left( 2s+1 \right)}{2}{{\left( 2m \right)}^{\frac{3}{2}}}{{\left( \mu \right)}^{\frac{5}{2}}}\left[ 1+\frac{5}{2}\frac{{{\pi }^{2}}}{4}{{\left( \frac{kT}{\mu } \right)}^{2}} \right] \\ & \approx \frac{2}{5}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi \frac{\left( 2s+1 \right)}{2}{{\left( 2m \right)}^{\frac{3}{2}}}{{\left( {{E}_{F}} \right)}^{\frac{5}{2}}}{{\left[ 1-\frac{{{\pi }^{2}}}{12}{{\left( \frac{kT}{{{E}_{F}}} \right)}^{2}} \right]}^{\frac{5}{2}}}\left[ 1+\frac{5}{2}\frac{{{\pi }^{2}}}{4}{{\left( \frac{kT}{{{E}_{F}}} \right)}^{2}} \right] \\ \end{align}$

Mit

$\bar{N}=\frac{2}{3}\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi {{\left( 2m{{E}_{F}} \right)}^{\frac{3}{2}}}$

folgt:

$\begin{align} & U\approx \frac{2}{5}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi \frac{\left( 2s+1 \right)}{2}{{\left( 2m \right)}^{\frac{3}{2}}}{{\left( {{E}_{F}} \right)}^{\frac{5}{2}}}{{\left[ 1-\frac{{{\pi }^{2}}}{12}{{\left( \frac{kT}{{{E}_{F}}} \right)}^{2}} \right]}^{\frac{5}{2}}}\left[ 1+\frac{5}{2}\frac{{{\pi }^{2}}}{4}{{\left( \frac{kT}{{{E}_{F}}} \right)}^{2}} \right] \\ & \frac{2}{5}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi \frac{\left( 2s+1 \right)}{2}{{\left( 2m \right)}^{\frac{3}{2}}}{{\left( {{E}_{F}} \right)}^{\frac{5}{2}}}\approx \frac{3}{5}\bar{N}{{E}_{F}} \\ & {{\left[ 1-\frac{{{\pi }^{2}}}{12}{{\left( \frac{kT}{{{E}_{F}}} \right)}^{2}} \right]}^{\frac{5}{2}}}\left[ 1+\frac{5}{2}\frac{{{\pi }^{2}}}{4}{{\left( \frac{kT}{{{E}_{F}}} \right)}^{2}} \right]\approx 1+5\frac{{{\pi }^{2}}}{12}{{\left( \frac{kT}{{{E}_{F}}} \right)}^{2}} \\ & \Rightarrow U\approx \frac{3}{5}\bar{N}{{E}_{F}}\left[ 1+5\frac{{{\pi }^{2}}}{12}{{\left( \frac{kT}{{{E}_{F}}} \right)}^{2}} \right] \\ \end{align}$

Somit haben wir die kalorische Zustandsgleichung

$U\approx \frac{3}{5}\bar{N}{{E}_{F}}\left[ 1+5\frac{{{\pi }^{2}}}{12}{{\left( \frac{kT}{{{E}_{F}}} \right)}^{2}} \right]$

und die thermische Zustandsgleichung

$pV=\frac{2}{3}U\approx \frac{2}{5}\bar{N}{{E}_{F}}\left[ 1+5\frac{{{\pi }^{2}}}{12}{{\left( \frac{kT}{{{E}_{F}}} \right)}^{2}} \right]$

Das bedeutet:

Der Druck des fermigases ist um einen Faktor $\frac{{{E}_{F}}}{kT}$

größer als in klassischen idealen Gasen

Beispiel:

${{E}_{F}}\approx 1eV\Rightarrow T\tilde{\ }{{10}^{4}}K$

1 eV entspricht 10.000 K!!

Grund ist das Pauli- Prinzip!!

Also eine effektive Abstoßung der Teilchen! Dies bewirkt für niedrige Temperaturen den enormen Faktor

$\frac{{{E}_{F}}}{kT}$

,

mit dem der Druck gegenüber dem idealen Gas zu multiplizieren ist.

Für sehr hohe Temperaturen überwiegt dann der hintere teil, und es gilt:

Der Fermidruck ist etwa

$pV=\frac{2}{3}U\approx \frac{2}{5}\bar{N}{{E}_{F}}5\frac{{{\pi }^{2}}}{12}{{\left( \frac{kT}{{{E}_{F}}} \right)}^{2}}=\frac{{{\pi }^{2}}}{6}\bar{N}kT\left( \frac{kT}{{{E}_{F}}} \right)$

Also auch größer als beim klassischen idealen Gas, nämlich um den Faktor $\left( \frac{kT}{{{E}_{F}}} \right)$

!

Spezifische Wärme

$\begin{align} & {{C}_{V}}={{\left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)}_{V}}=\frac{{{\pi }^{2}}}{2}\bar{N}k\left( \frac{kT}{{{E}_{F}}} \right) \\ & {{c}_{V}}=\frac{{{\pi }^{2}}}{2}R\left( \frac{kT}{{{E}_{F}}} \right)\tilde{\ }T \\ \end{align}$

Die Wärmekapazität ist sage und schreibe um den Faktor $\left( \frac{kT}{{{E}_{F}}} \right)$

kleiner als bei idealen gasen.

Bei T ~ 300 K ist dies 1/ 40!

ideales Gas:

${{c}_{V}}=\frac{3}{2}R$

Physikalsicher Grund:

Nur die Teilchen in der " Aufweichungszone"

E F - k T < E < E F + k T

tragen zur spezifischen Wärme bei, da nur sie in freie Zustände thermisch angeregt werden könen :

Zahl:

$\Delta N\tilde{\ }\bar{N}\frac{kT}{{{E}_{F}}}$

jedes hat Energie ~ kT

$\begin{align} & \Rightarrow \Delta U\tilde{\ }\bar{N}\frac{{{\left( kT \right)}^{2}}}{{{E}_{F}}} \\ & \Rightarrow {{C}_{v}}\tilde{\ }\bar{N}k\frac{\left( kT \right)}{{{E}_{F}}} \\ \end{align}$

Beispiele für entartete Fermigase

Elektronen in Metallen → hohe Dichten!
Elektronen in Halbleitern, bei sehr tiefen Temperaturen oder hoher Dotierung!

Nichtenatartetes fermigas

verdünntes, nichtrelativistisches Quantengas!

z.B. Elektronen in Halbleitern im Normalbereich!

Voraussetzung:

$\xi ={{e}^{\frac{\mu }{kT}}}<<1$

das heißt:

$\begin{align} & \mu <0 \\ & \eta =\frac{\mu }{kT}<0 \\ \end{align}$

Entwicklung der Fermi- Dirac- Integrale nach Potenzen von $\xi ={{e}^{\frac{\mu }{kT}}}<<1$

$\begin{align} & {{F}_{s}}\left( \eta \right)=\frac{1}{\Gamma \left( s+1 \right)}\int_{0}^{\infty }{{}}dy\frac{{{y}^{s}}}{{{e}^{y-\eta }}+1} \\ & =\frac{1}{\Gamma \left( s+1 \right)}\int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{s}}\frac{\xi {{e}^{-y}}}{1+\xi {{e}^{-y}}}\approx \frac{1}{\Gamma \left( s+1 \right)}\left[ \xi \int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{s}}{{e}^{-y}}-{{\xi }^{2}}\int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{s}}{{e}^{-2y}}+.... \right] \\ & \int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{s}}{{e}^{-y}}=\Gamma \left( s+1 \right) \\ & \int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{s}}{{e}^{-2y}}=\frac{1}{{{2}^{s+1}}}\int_{0}^{\infty }{{}}dz{{z}^{s}}{{e}^{-z}}=\frac{1}{{{2}^{s+1}}}\Gamma \left( s+1 \right) \\ & \Rightarrow {{F}_{s}}\left( \eta \right)\approx \left[ \xi -{{\xi }^{2}}\frac{1}{{{2}^{s+1}}}+.... \right]\approx \left[ \xi -{{\xi }^{2}}\frac{1}{{{2}^{s+1}}} \right]={{e}^{\frac{\mu }{kT}}}\left[ 1-{{e}^{\frac{\mu }{kT}}}\frac{1}{{{2}^{s+1}}} \right] \\ \end{align}$

Dabei ist

${{F}_{s}}\left( \eta \right)={{e}^{\frac{\mu }{kT}}}$

das Boltzman- Limit mit der Quantenkorrektur $-{{e}^{2\frac{\mu }{kT}}}\frac{1}{{{2}^{s+1}}}$

Also:

$\bar{N}=\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi {{\left( 2mkT \right)}^{\frac{3}{2}}}\frac{\sqrt{\pi }}{2}{{F}_{\frac{1}{2}}}\left( \eta \right)=V{{N}_{C}}{{F}_{\frac{1}{2}}}\left( \frac{\mu }{kT} \right)$

mit der Entartungskonzentration

${{N}_{C}}:=\left( 2s+1 \right){{\left( \frac{2\pi mkT}{{{h}^{2}}} \right)}^{\frac{3}{2}}}$

Also genähert:

$\bar{N}=V{{N}_{C}}{{F}_{\frac{1}{2}}}\left( \frac{\mu }{kT} \right)\approx V{{N}_{C}}{{e}^{\frac{\mu }{kT}}}\left[ 1-{{e}^{\frac{\mu }{kT}}}\frac{1}{{{2}^{\frac{3}{2}}}} \right]$

Bei vollständiger Nichtentartung:

$\begin{align} & \frac{{\bar{N}}}{V}\approx {{N}_{C}}{{e}^{\frac{\mu }{kT}}} \\ & {{e}^{\frac{\mu }{kT}}}<<1 \\ & \frac{{\bar{N}}}{V}<<{{N}_{C}} \\ \end{align}$

Die klassische Maxwell- Boltzmann- Verteilung (vergl. S. 101)

$\begin{align} & U=\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi {{\left( 2mkT \right)}^{\frac{3}{2}}}kT\int_{0}^{\infty }{{}}dy\frac{{{y}^{\frac{3}{2}}}}{\left( {{e}^{y-\eta }}+1 \right)}=\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi {{\left( 2mkT \right)}^{\frac{3}{2}}}kT\frac{3\sqrt{\pi }}{4}{{F}_{\frac{3}{2}}}\left( \frac{\mu }{kT} \right) \\ & U=V{{N}_{C}}\frac{3}{2}kT{{F}_{\frac{3}{2}}}\left( \frac{\mu }{kT} \right) \\ & U\approx V{{N}_{C}}\frac{3}{2}kT{{e}^{\frac{\mu }{kT}}}\left[ 1-{{e}^{\frac{\mu }{kT}}}\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}} \right] \\ \end{align}$

Elimination von $μ$

durch $\bar{N}=V{{N}_{C}}{{F}_{\frac{1}{2}}}\left( \frac{\mu }{kT} \right)\approx V{{N}_{C}}\xi \left[ 1-\xi {{2}^{-\frac{3}{2}}} \right]$

Näherung:

$\bar{N}=V{{N}_{C}}\xi$

Näherung

$\begin{align} & \bar{N}=V{{N}_{C}}\xi \left[ 1-{{2}^{-\frac{3}{2}}}\frac{{\bar{N}}}{V{{N}_{C}}} \right] \\ & \Rightarrow \xi ={{e}^{\frac{\mu }{kT}}}\approx \frac{{\bar{N}}}{V{{N}_{C}}}\left[ 1+{{2}^{-\frac{3}{2}}}\frac{{\bar{N}}}{V{{N}_{C}}} \right] \\ & \Rightarrow U\approx V{{N}_{C}}\frac{3}{2}kT{{e}^{\frac{\mu }{kT}}}\left[ 1-{{e}^{\frac{\mu }{kT}}}\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}} \right]\approx \frac{3}{2}kT\bar{N}\left[ 1+{{2}^{-\frac{3}{2}}}\frac{{\bar{N}}}{V{{N}_{C}}} \right]\left[ 1-\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}}\frac{{\bar{N}}}{V{{N}_{C}}} \right] \\ \end{align}$

$U\approx \frac{3}{2}kT\bar{N}\left[ 1+{{2}^{-\frac{5}{2}}}\frac{{\bar{N}}}{V{{N}_{C}}(T)} \right]$

Dabei wurden alle Terme der Ordnung ${{\left( \frac{{\bar{N}}}{V{{N}_{C}}(T)} \right)}^{2}}$

weggenähert!

Also:

kalorische Zustandsgleichung

$U\approx \frac{3}{2}kT\bar{N}\left[ 1+{{2}^{-\frac{5}{2}}}\frac{{\bar{N}}}{V{{N}_{C}}(T)} \right]$

mit der Quantenkorrektur $O\left( \frac{{\bar{N}}}{V{{N}_{C}}(T)} \right)$

$\frac{3}{2}kT\bar{N}{{2}^{-\frac{5}{2}}}\frac{{\bar{N}}}{V{{N}_{C}}(T)}$

thermische Zustandsgleichung

$pV=\frac{2}{3}U\approx kT\bar{N}\left[ 1+{{2}^{-\frac{5}{2}}}\frac{{\bar{N}}}{V{{N}_{C}}(T)} \right]$

Also:

$pv\approx RT\left[ 1+{{2}^{-\frac{5}{2}}}\frac{{{N}_{A}}}{v{{N}_{C}}(T)} \right]$

Dabei ist

$pv\approx RT$

die Zustandsgleichung des klassischen idealen Gases und $RT{{2}^{-\frac{5}{2}}}\frac{{{N}_{A}}}{v{{N}_{C}}(T)}$

eine Erhöhung des klassischen Drucks durch die Fermi- Abstoßung!

Nebenbemerkung:

Mit der thermischen Wellenlänge $\lambda :={{\left( \frac{{{h}^{2}}}{2\pi mkT} \right)}^{\frac{1}{2}}}$ entsprechend der de Broglie-Wellenlänge für $\frac{{{k}^{2}}{{\hbar }^{2}}}{2m}\tilde{\ }kT\Rightarrow \lambda ={{\left( \frac{{{h}^{2}}}{2mkT} \right)}^{\frac{1}{2}}}$

E= kT also, schreibt man:

${{N}_{C}}=\frac{2s+1}{{{\lambda }^{3}}}$

Abschnitt	2 +
Fachbegriff	Großkanonischer Statistischer Operator +, Vielteilchenzustand +, Großkanonsiche Zustandsumme +, Quasikontinuum +, Fugizität +, Thermischen Wellenlänge + und De Broglie-Wellenlänge +
Gleichung	Fermi-Verteilung + und Thermische Zustands Gleichung +
Index	Großkanonischer Statistischer Operator +, Vielteilchenzustand +, Großkanonsiche Zustandsumme +, Fermi-Verteilung +, Quasikontinuum +, Fugizität +, Thermische Zustands Gleichung +, Thermischen Wellenlänge + und De Broglie-Wellenlänge +
Inhaltstyp	Script +
Kapitel	5 +
Urheber	Prof. Dr. E. Schöll, PhD +

Das ideale Fermigas

Aus PhysikWiki

Inhaltsverzeichnis

Energie und Zustandsdichte freier Teilchen

Thermodynamischer limes (großes Volumen V):

Entartetes Fermi-Gas

Definition: Fermi- Dirac- Integral der Ordnung s:

Spezifische Wärme

Nichtenatartetes fermigas

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