Deterministisches Chaos

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Deterministische, aber ungeordnete Bewegung im Langzeitverhalten von Systemen mit

(autonom):

Seltsamer (chaotischer) Attraktor

komplexes, irreguläres Verhalten kann verschiedene Ursachen haben, die sich im zeitlichen verhalten einer Observablen oft schwer unterscheiden lassen.

Als Unterscheidungskriterien bieten sich an:

quasiperiodisch deterministisches Chaos stochastisches Rauschen

wenige dynamische Freiheitsgrade: viele mikroskopische Freiheits-

niedrigdimensionaler Phasenraum grade. (Statistisches Ensemble)


Attraktor: Torus

d=2,3,4,...	seltsamer Attraktor, fraktale Dimension
Autokorrelationsfunktion


periodisch in

für
für


Fourierspektrum (bzw. Leistungsspektrum):


diskrete Frequenzen

b r e i t e s F r e q u e n z b a n d

Instabilität der Bewegung bei kleinen

Störungen der Anfangsbedingungen

typische universelle

Bifurkationszenarien

Def.: Eine Bewegung heißt chaotisch, wenn sie empfindlich von den Anfangsbedingungen abhängt.

Quantitative Formulierung der Stabilität gegenüber kleinen Variationen der Anfangsbedingungen:

Bahnstabilität / Orbitale Stabilität

bahnstabil: Alle benachbarten Bahnen bleiben in einer

- Röhre um


Aymptotisch bahnstabil:

Der Abstand benachbarter Bahnen geht gegen Null für t→ unendlich

Ljapunov- stabil


Für DASSELBE t gilt:

für t→ unendlich (t gleicher Zeitpunkt auf beiden Bahnen)

Linearisierung in der Nähe der Lösungskurve



Dabei:


Eigenwerte und zugehörige Eigenvektoren


Formale Lösung:



Dies ist die Zeitentwicklung einer infinitesimalen Kugel um

,
also ein n-dimensionaler Ellipsoid mit den Hauptachsen


Definition: Stabilität ist bestimmt durch die Ljapunov-Exponenten


Nebenbemerkung: Sei

der führende (größte) Ljapunov- Exponent



Das heißt, der Abstand der anfangs leicht auseinanderliegenden Phasenraumkurven wächst mit

.


Für

<0: kleine Abweichungen der Anfangsbedingungen werden exponenziell gedämpft


>0: die benachbarten Bahnen laufen exponenziell auseinander (Kriterium für Chaos)

Für den chaotischen Attraktor im

gilt:

Auf dem Attraktor:

auf dem Attraktor: chaotische Bewegung


Bifurkationspunkte


Von außen Annäherung an den Attraktor (Abstand verringert sich exponenziell).

Beispiel für ein Ljapunov- Spektrum: