Die Hamiltonschen Gleichungen

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Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Die Hamiltonschen Gleichungen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 2) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Der Hamiltonsche kanonische Formalismus

Inhaltsverzeichnis

1 Eine Variable:
2 Mehrere Variablen
3 Physikalische Bedeutung der Ham- Funktion
- 3.1 Beispiel: Perle an starrem rotierendem Draht:
4 Typisches Anwendungsschema des Hamilton- Formalismus:
5 Beispiele:
- 5.1 Teilchen in Zylinderkoordinaten ganz ohne Zwnagsbedingungen
  - 5.1.1 Beispiel: eindimensionaler harmonischer Oszi:
6 Geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld:

Legendre- Transformation und Hamiltonfunktion
Die Hamiltonschen Gleichungen
Kanonische Transformationen
Symplektische Struktur des Phasenraums
Der Satz von Liouville
Poisson- Klammern

Ziel: Auch hier natürlich sollen Bewegungsgleichungen für die

p k, q k

gefunden werden.

Die Ableitung einer Bewegungsgleichung für

q k

aus der Lagrangegleichung 2. Art ist bereits bekannt:

Eine Variable:

Differenziale:

$\begin{align} & L=L(q,\dot{q},t):dL=\frac{\partial L}{\partial q}dq+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}d\dot{q}+\frac{\partial L}{\partial t}dt \\ & H=H(q,p,t):dH=\frac{\partial H}{\partial q}dq+\frac{\partial H}{\partial p}dp+\frac{\partial H}{\partial t}dt \\ & H=\dot{q}p-L\Rightarrow dH=\dot{q}dp+pd\dot{q}-dL=\dot{q}dp+pd\dot{q}-\frac{\partial L}{\partial q}dq-\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}d\dot{q}-\frac{\partial L}{\partial t}dt \\ \end{align}$ wegen $\begin{align} & \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=p \\ & \Rightarrow dH=\frac{\partial H}{\partial q}dq+\frac{\partial H}{\partial p}dp+\frac{\partial H}{\partial t}dt=\dot{q}dp-\frac{\partial L}{\partial q}dq-\frac{\partial L}{\partial t}dt \\ \end{align}$

Dies gilt fuer beliebige Differenziale in q, p und t. Somit kann die Gleichung nur erfüllt werden für

$\begin{align} & \frac{\partial H}{\partial q}=-\frac{\partial L}{\partial q} \\ & \frac{\partial H}{\partial p}=\dot{q} \\ & \frac{\partial H}{\partial t}=-\frac{\partial L}{\partial t} \\ \end{align}$

Mit Hilfe der Lagrange Bewegungsgleichung

$\begin{align} & \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=\frac{\partial L}{\partial q};\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=p;\frac{\partial L}{\partial q}=-\frac{\partial H}{\partial q} \\ & \Rightarrow \dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q} \\ & \frac{\partial H}{\partial p}=\dot{q} \\ \end{align}$

Die Hamiltonschen Gleichungen sind also beide gefunden.

Es handelt sich um 2 DGLn 1. Ordnung für q und p statt 1 DGL 2. Ordnung für q(t)

Mehrere Variablen

$\begin{align} & L({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{{\dot{q}}}_{1}},...,{{{\dot{q}}}_{f}},t) \\ & {{p}_{k}}:=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}} \\ & H({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{p}_{1}},...,{{p}_{f}},t)=\sum\limits_{k=1}^{f}{{{{\dot{q}}}_{k}}{{p}_{k}}-L} \\ & \\ \end{align}$

$\begin{align} & dH=\sum\limits_{k}{{}}\left( \frac{\partial H}{\partial {{q}_{k}}}d{{q}_{k}}+\frac{\partial H}{\partial {{p}_{k}}}d{{p}_{k}} \right)+\frac{\partial H}{\partial t}dt=\sum\limits_{k}{{{{\dot{q}}}_{k}}d{{p}_{k}}}+\sum\limits_{k}{{{p}_{k}}d{{{\dot{q}}}_{k}}}-\sum\limits_{k}{\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}d{{{\dot{q}}}_{k}}}-\sum\limits_{k}{\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}d{{q}_{k}}-\frac{\partial L}{\partial t}dt} \\ & =\sum\limits_{k}{{{{\dot{q}}}_{k}}d{{p}_{k}}}-\sum\limits_{k}{\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}d{{q}_{k}}-\frac{\partial L}{\partial t}dt} \\ & \Rightarrow \frac{\partial H}{\partial {{q}_{k}}}=-\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}} \\ & \frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}=\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=\frac{d}{dt}{{p}_{k}} \\ & \frac{\partial H}{\partial {{p}_{k}}}={{{\dot{q}}}_{k}};\frac{\partial H}{\partial t}=-\frac{\partial L}{\partial t} \\ \end{align}$

Somit folgen hier die Hamiltonschen Gleichungen (Kanonische Gleichungen)

$\begin{align} & {{{\dot{p}}}_{k}}=-\frac{\partial H}{\partial {{q}_{k}}} \\ & \frac{\partial H}{\partial {{p}_{k}}}={{{\dot{q}}}_{k}}\quad k=1,...,f \\ \end{align}$

Der 2f- dimensionale Raum

$\Gamma :=\left\{ {{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{{\dot{q}}}_{1}},...,{{{\dot{q}}}_{f}} \right\}$

heißt Phasenraum.

Er findet besonders in der klassischen statistischen Mechanik Anwendung. Dabei b4trachtet man Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf dem Phasenraum.

Physikalische Bedeutung der Ham- Funktion

wegen L= T-V bei holonomen Zwangsbed. und konservativen Kräften
und wegen p(d/dt q)= 2T folgt: H = T+V

Dies gilt bei zeitlicher Translationsinvarianz (skleronome Zwangsbed.):

mit

$\frac{\partial }{\partial t}{{\bar{r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}})=0und\frac{\partial }{\partial t}L=0$

Dann nämlich ist

$\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}\frac{\partial T}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{{\dot{q}}_{k}}=2T$

 (nach dem Eulerschen Satz: T ist quadratische, homogene Funktion der

${{\dot{q}}_{k}}$ .

Somit:

$\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{{\dot{q}}_{k}}-L=\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}\frac{\partial T}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{{\dot{q}}_{k}}-L=2T-T+V=T+V$

beschreibt die Gesamtenergie des Systems: Nur bei skleronomen Zwangsbedingungen und konservativen Kräften!

Nach dem Noether- Theorem, speziell unter dem Kapitel ZEITLICHE TRanslationsinvarianz

folgt dann Gesamtenergieerhaltung.

Dies läßt sich leicht nachweisen:

$\begin{align} & \frac{dH}{dt}=\frac{d}{dt}\left( \sum\limits_{k=1}^{f}{{}}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}-L \right)=\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}\left( \frac{\partial H}{\partial {{q}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+\frac{\partial H}{\partial {{p}_{k}}}{{{\dot{p}}}_{k}} \right)+\frac{\partial H}{\partial t}=\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}\left( \frac{\partial H}{\partial {{q}_{k}}}\frac{\partial H}{\partial {{p}_{k}}}-\frac{\partial H}{\partial {{p}_{k}}}\frac{\partial H}{\partial {{q}_{k}}} \right)-\frac{\partial L}{\partial t}=0 \\ & wegen\frac{\partial L}{\partial t}=0 \\ \end{align}$

Dies gilt also nur für skleronome Zwangsbedingungen. Bei rheonomen Zwangsbed. ist im Allgemeinen H nicht T+V!!

Beispiel: Perle an starrem rotierendem Draht:

Eine Perle der Masse m sei auf einem starren Draht, der in der -y- Ebene rotiert (Reibung durch Erdpotenzial zu vernachlässigen): Generalisierte Koordinaten q ist der Abstand der Perle vom Mittelpunkt:

Man kann sich H=T+V denken. Dabei gilt das effektive Potenzial mit

V = - m q 2 ω 2

.

Aus

$\frac{\partial L}{\partial t}=0$

folgt dann ohnehin wieder ein Erhaltungssatz: H=const.

Typisches Anwendungsschema des Hamilton- Formalismus:

Zunächst sind die generalisierten Koordinaten zu wählen:

$\bar{q}=({{q}_{1}},...,{{q}_{f}})$

Transformation des Radiusvektors

$\begin{align} & {{{\bar{r}}}_{i}}={{{\bar{r}}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t) \\ & {{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}={{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}(\bar{q},\dot{\bar{q}},t) \\ \end{align}$

Aufstellung der Lagrangegleichung:

$L(\bar{q},\dot{\bar{q}},t)=T-V=\frac{1}{2}m\sum\limits_{i}{{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}^{2}}-V$

Bestimmung der generalisierten Impulse:

$\begin{align} & {{p}_{k}}:=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}\Rightarrow {{p}_{k}}={{p}_{k}}(\bar{q},\dot{\bar{q}},t) \\ & Umkehrung:{{{\dot{q}}}_{k}}={{{\dot{q}}}_{k}}(\bar{q},\bar{p},t) \\ \end{align}$

Anschließend Legendre Trafo:

$H({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{p}_{1}},...,{{p}_{f}},t)=\sum\limits_{k=1}^{f}{{{{\dot{q}}}_{k}}{{p}_{k}}-L}$

Aufstellung und Integration der kanonischen Gleichungen:

$\begin{align} & {{{\dot{p}}}_{k}}=-\frac{\partial H}{\partial {{q}_{k}}} \\ & \frac{\partial H}{\partial {{p}_{k}}}={{{\dot{q}}}_{k}}\quad k=1,...,f \\ \end{align}$

Beispiele:

Teilchen in Zylinderkoordinaten ganz ohne Zwnagsbedingungen

q1=3, q2=Phi, q3 = z

$\begin{align} & x=r\cos \phi ,\dot{x}=\dot{r}\cos \phi -r\dot{\phi }\sin \phi \\ & y=r\sin \phi ,\dot{y}=\dot{r}\sin \phi +r\dot{\phi }\cos \phi \\ & z=z \\ \end{align}$

$\begin{align} & T=\frac{1}{2}m\left( {{{\dot{x}}}^{2}}+{{{\dot{y}}}^{2}}+{{{\dot{z}}}^{2}} \right)=\frac{1}{2}m\left( {{{\dot{r}}}^{2}}+{{r}^{2}}{{{\dot{\phi }}}^{2}}+{{{\dot{z}}}^{2}} \right) \\ & V=V(r,\phi ,z) \\ & L=L(r,\phi ,z,\dot{r},\dot{\phi },\dot{z})=\frac{1}{2}m\left( {{{\dot{r}}}^{2}}+{{r}^{2}}{{{\dot{\phi }}}^{2}}+{{{\dot{z}}}^{2}} \right)-V \\ \end{align}$

Generalisierte Impulse:

$\begin{align} & {{p}_{k}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}} \\ & {{p}_{r}}=m\dot{r} \\ & {{p}_{\phi }}=m{{r}^{2}}\dot{\phi } \\ & {{p}_{z}}=m\dot{z} \\ \end{align}$

                                                                                            Radialimpuls, z-Komponente des Drehimpulses und z-Komponente des Impulses

Aufstellung der Legendretrafo:

$\begin{align} & H=m{{{\dot{r}}}^{2}}+m{{r}^{2}}{{{\dot{\phi }}}^{2}}+m{{{\dot{z}}}^{2}}=\frac{1}{2}m\left( {{{\dot{r}}}^{2}}+{{r}^{2}}{{{\dot{\phi }}}^{2}}+{{{\dot{z}}}^{2}} \right)+V \\ & H=\frac{1}{2m}\left( {{p}_{r}}^{2}+\frac{{{p}_{\phi }}^{2}}{{{r}^{2}}}+{{p}_{z}}^{2} \right)+V(r,\phi ,z) \\ \end{align}$

Kanonische Gleichungen:

$\begin{align} & {{{\dot{p}}}_{k}}=-\frac{\partial H}{\partial {{q}_{k}}} \\ & \frac{\partial H}{\partial {{p}_{k}}}={{{\dot{q}}}_{k}}\quad k=1,...,f \\ & \dot{r}=\frac{\partial H}{\partial {{p}_{r}}}=\frac{{{p}_{r}}}{m},\dot{\phi }=\frac{\partial H}{\partial {{p}_{\phi }}}=\frac{{{p}_{\phi }}}{m{{r}^{2}}},\dot{z}=\frac{\partial H}{\partial {{p}_{z}}}=\frac{{{p}_{z}}}{m} \\ & {{{\dot{p}}}_{r}}=-\frac{\partial H}{\partial r}=\frac{{{p}_{\phi }}^{2}}{m{{r}^{3}}}-\frac{\partial V}{\partial r},{{{\dot{p}}}_{\phi }}=-\frac{\partial H}{\partial \phi }=-\frac{\partial V}{\partial \phi },{{{\dot{p}}}_{z}}=-\frac{\partial H}{\partial z}=-\frac{\partial V}{\partial z} \\ \end{align}$

Interessant ist das Ergebnis der Zentrifugalkraft (Scheinkraft):

F(Zentrifugal)=

$\frac{{{p}_{\phi }}^{2}}{m{{r}^{3}}}$ ,

die den radialen Impuls ändert.

Bekannt aus dem Keplerproblem ist uns bereits der Fall V®, ein Zentralpotenzial bei ebener Bewegung:

${{\dot{p}}_{r}}=-\frac{\partial H}{\partial r}=\frac{{{p}_{\phi }}^{2}}{m{{r}^{3}}}-\frac{\partial V}{\partial r},{{\dot{p}}_{\phi }}=0,{{\dot{p}}_{z}}=0$

Somit sind Drehimpuls in der Ebene und z-Impuls des Systems erhalten.

z,φ

sind zyklische Variablen

$\begin{align} & {{p}_{z}}=const.=o.B.d.A.=0 \\ & {{p}_{\phi }}=const. \\ \end{align}$

oBdA: ebene Bewegung, Drehimpulserhaltung in der Ebene

Beispiel: eindimensionaler harmonischer Oszi:

Das System ist skleronom wegen

$\frac{\partial L}{\partial t}=0$ ,

also folgt Energieerhaltung:  E=H=T+V

$\frac{1}{2}m\left( {{{\dot{q}}}^{2}}+{{\omega }_{o}}^{2}{{q}^{2}} \right)=E=\frac{1}{2}m\left( \frac{{{p}^{2}}}{{{m}^{2}}}+{{\omega }_{o}}^{2}{{q}^{2}} \right)\Rightarrow \frac{{{p}^{2}}}{2mE}+\frac{{{q}^{2}}}{\left( \frac{2E}{m{{\omega }_{o}}^{2}} \right)}=1$

Also ist die Lösung der Phasenraumkurve eine Ellipse. Die Ellipsengröße variiert je nach Energie:

Die Halbachsen sind:

$a=\sqrt{2mE},b=\sqrt{\frac{2E}{m{{\omega }_{o}}^{2}}}$

(bestimmt durch 1. Integral).

Als kanonische Gleichungen ergibt sich:

$\begin{align} & {{{\dot{p}}}_{{}}}=-\frac{\partial H}{\partial q}=-m{{\omega }_{o}}^{2}q \\ & \dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p}=\frac{p}{m} \\ \end{align}$

Daraus folgt dann gerade die Bewegungsgleichung

$\begin{align} & \ddot{q}=\frac{d}{dt}\frac{\partial H}{\partial q}=\frac{{\dot{p}}}{\acute{\ }m}=-{{\omega }_{o}}^{2}q \\ & \ddot{q}+{{\omega }_{o}}^{2}q=0 \\ \end{align}$

Diese definiert ein Richtungsfeld im Phasenraum

Geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld:

Aus dem Kapitel Eichtransformation der Lagrangefunktion ist das nötige Handwerkszeugs bereits bekannt:

$L(\bar{q},\dot{\bar{q}},t)=T-V=\frac{1}{2}m\sum\limits_{i}{{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}^{2}}-V=\frac{m}{2}{{\dot{\bar{q}}}^{2}}+e\left( \dot{\bar{q}}\cdot \bar{A}(\bar{q},t)-\Phi (\bar{q},t) \right)$

die kanonischen konjugierten Impulse lauten:

$\begin{align} & {{p}_{k}}=\frac{\partial L(\bar{q},\dot{\bar{q}},t)}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=m{{{\dot{q}}}_{\acute{\ }k}}+e{{A}_{k}}(\bar{q},t) \\ & \Rightarrow {{{\dot{q}}}_{k}}=\frac{1}{m}\left( {{p}_{k}}-e{{A}_{k}} \right) \\ & H=\sum\limits_{k=1}^{3}{{{p}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}-L=\sum\limits_{k=1}^{3}{{{p}_{k}}}\frac{1}{m}\left( {{p}_{k}}-e{{A}_{k}} \right)-\frac{1}{2m}\sum\limits_{k=1}^{3}{{}}{{\left( {{p}_{k}}-e{{A}_{k}} \right)}^{2}}-\sum\limits_{k=1}^{3}{{}}\frac{e}{m}\left( {{p}_{k}}-e{{A}_{k}} \right){{A}_{k}}+e\Phi \\ & H\left( \bar{q},\bar{p},t \right)=\frac{1}{2m}{{\left( {{{\bar{p}}}_{{}}}-e\bar{A}{{(\bar{q},t)}_{{}}} \right)}^{2}}+e\Phi (\bar{q},t) \\ \end{align}$