Dynamik des statistischen Operators

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Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. A. Knorr
Kein GFDL Der Artikel Dynamik des statistischen Operators basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 2.Kapitels (Abschnitt 2) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. A. Knorr.
Dynamik des statistischen Operators Grundlagen der statistischen Beschreibung

Inhaltsverzeichnis
  1. Quantentheoretischer Zugang
  2. Dynamik des statistischen Operators
  3. Vorurteilsfreie Schätzung des statistischen Operators zu einem festen Zeitpunkt
  4. Beispiel des Großkanonischen Ensenbles
  5. Grenzfälle der Dichtematrixgleichungen
  6. Gleichgewicht
  7. Thermodynamische Potentiale
  1. Einführung statistische Physik
  2. Grundlagen der statistischen Beschreibung
  3. Gase ohne Wechselwirkung im Gleichgewicht
  4. Verdünnte Gase mit Wechselwirkung
  5. Thermodynamik (statistische Physik)
  6. Auf statistischem Weg durch die klassischen Gleichungen der Physik



Suche eine Gleichung für

\rho \left( t \right)=\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}} \right|}


\begin{align} & \rho \left( t \right)=\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}} \right|} \\ & \text{S}\text{.GL:}i\hbar {{\partial }_{t}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle =H\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \quad |\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\langle {{\Psi }_{i}} \right|} \\ & \text{h}\text{.c}:-i\hbar {{\partial }_{t}}\left\langle {{\Psi }_{i}} \right|=\left\langle {{\Psi }_{i}} \right|H\quad |\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\langle {{\Psi }_{i}} \right|} \\ & \Rightarrow i\hbar {{\partial }_{t}}\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\langle {{\Psi }_{i}} \right|}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle =\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left( H\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}} \right|-\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}} \right|H \right)} \\ \end{align}


i\hbar {{\partial }_{t}}\rho =\left[ H,\rho \right] von Neumanngleichung für die Dynamik des statistischen Operators


\text{H}={{\text{H}}_{s}}+H_{S}^{\alpha }\left( t \right)
\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle wirkt nur im System!

oder

i\hbar {{\partial }_{t}}\operatorname{Tr}\left( \rho {{O}_{s}} \right)=\operatorname{Tr}\left( \left[ H,\rho \right]{{O}_{s}} \right)

erinnert an Heisenbergsche Bewegungsgleichung

aber Vorsicht ist keine: sind Schrödingerbild und 1 anderes Vorzeichen

Die von Neumanngleichung tritt an die Stelle der Schrödingergleichung in der statistischen Physik. (Bedeutungsgesmäß)


Bewegungsgleichung der Dichtematrixelemente

  • was kann man mit
{{\rho }_{nn}}=,\left\langle n \right|\rho \left| n \right\rangle (kann ich damit etwas) anfangen?
  • in Quantenmechanik: {{p}_{n}}=\left\langle {{\Psi }_{i0}} | n \right\rangle \left\langle n | {{\Psi }_{i0}} \right\rangle ist Wahrscheinlichkeit bei Messung das System im Zustand \left| n \right\rangle zu finden, wenn \left| {{\Psi }_{i0}} \right\rangle vorliegt
  • in der Statistik: \begin{align} & {{p}_{n}}=\operatorname{Tr}\left( \rho \left| n \right\rangle \left\langle n \right| \right) \\ & =\sum\limits_{j}{\left\langle j \right|\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}} \right|}\left| n \right\rangle \left\langle n | j \right\rangle } \\ & =\sum\limits_{j}{\underbrace{\left\langle j | j \right\rangle }_{1}\sum\limits_{i}{\left\langle {{\Psi }_{i}} | n \right\rangle }\left\langle n \right|{{w}_{i}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle } \\ & =\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\langle n | {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}} | n \right\rangle }=\left\langle n \right|\rho \left| n \right\rangle \end{align} Der Wert \left\langle n \right|\rho \left| n \right\rangle stellt die Wahrscheinlichkeit dar, System im Zustand \left| n \right\rangle bei einer Messung zu finden. (Observable mit eigensystem \left| n \right\rangle ).


Interpreation der Dichtematrixelmente

{{p}_{n}}=\operatorname{Tr}\left( \rho \left| n \right\rangle \left\langle n \right| \right)={{\rho }_{nn}}\equiv {{\rho }_{n}}

Wahrschienlichkeit System im Eigenzustand \left| n \right\rangle , von z.B

{{H}_{n}}\left| n \right\rangle ={{\varepsilon }_{n}}\left| n \right\rangle zu finden
{{p}_{nm}}=\operatorname{Tr}\left( \rho \left| n \right\rangle \left\langle m \right| \right)={{\rho }_{nm}}

Übergangswahrscheinlichkeitsamplituden von \left| n \right\rangle \to \left| m \right\rangle

Was man braucht um \left\langle {{O}_{s}} \right\rangle zu berechnen sind ρnm(t), für m = n und auch für n\neq m.

Gleichungen dafür sind Dichtematrixgleichungen: aus von Neumanngleichung

i\hbar {{\partial }_{t}}\rho =\left[ H,\rho \right]\to {{{\dot{\rho }}}_{nn}},{{{\dot{\rho }}}_{nm}}=?
\left\langle n \right|\ldots \left| n \right\rangle

also


\begin{align} & i\hbar {{\partial }_{t}}{{\rho }_{nn}}\left( t \right)=\left\langle n \right|\left[ H,\rho \right]\left| n \right\rangle \\ & =\sum\limits_{m}{\left( \left\langle n \right|H\left| m \right\rangle \left\langle m \right|\rho \left| n \right\rangle -\left\langle n \right|\rho \left| m \right\rangle \left\langle m \right|H\left| n \right\rangle \right)} \\ & i\hbar {{\partial }_{t}}{{\rho }_{nn}}\left( t \right)=\sum\limits_{m}{\left( {{H}_{nm}}{{\rho }_{mn}}-{{\rho }_{nm}}{{H}_{mn}} \right)} \end{align}

Die Bewegungsgleichung für

{{\rho }_{nn}}\equiv {{\rho }_{n}} koppelt an {{\rho }_{nm}}\,\left( n\ne m \right) braucht also Gleichung für ρnm analog \sum\limits_{i}{\left| i \right\rangle \left\langle i \right|} einschieben
i\hbar {{\partial }_{t}}{{\rho }_{mn}}\left( t \right)=\sum\limits_{i}{\left( {{H}_{mi}}{{\rho }_{in}}-{{\rho }_{mi}}{{H}_{in}} \right)}

man hat ein geschlossens Gleichunssystem für

ρmn die Dichtematrix in der Darstellung von dem Eigenwertproblem
{{H}_{n}}\left| n \right\rangle ={{\varepsilon }_{n}}\left| n \right\rangle


\text{H}={{\text{H}}_{s}}+\underbrace{H_{S}^{\alpha }}_{\begin{smallmatrix} \text{externe Felder sind} \\ \text{ nicht diagonal} \end{smallmatrix}}


Interpretation:

Datei:??

((Kennen Siv in Fermis Goldener Regel ohne Umgebung))

wenn H_{ij} bekannt wären, könnte man bei bekannten Anfangsbedingungen System lösen, daher ist der nsch Schritt. Siehe nächstes Kapitel.

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Abschnitt2  +
DefinitionVon Neimanngleichung  +
IndexVon Neimanngleichung  +
InhaltstypScript  +
Kapitel2  +
UrheberProf. Dr. A. Knorr  +
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