Fermis Goldene Regel

Aus PhysikWiki

Sei $H\left( t \right)={{H}_{0}}+V\left( t \right)$ und es gelte die Schödingergleichung mit $\hbar =1$

$\frac{d}{dt}\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle =-\text{i}\hat{H}\left( t \right)\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle$

Definiert man ein Wechselwirkungsbild bezüglich $H 0$ mit $U_{0}^{+}=U_{0}^{+}\left( t \right)={{e}^{i{{H}_{0}}t}}$ also

${{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}=U_{0}^{+}\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle ={{e}^{\text{i}{{H}_{0}}t}}\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle$ ,

so folgt für die Entwicklung des Zustands im Wechselwirkungsbild (mit Produktregel)

$\frac{d}{dt}{{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}=\text{i}{{H}_{0}}{{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}+U_{0}^{+}\frac{d}{dt}\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle .$

Setzt man dies in die Schrödingergleichung ein so erhält man

$\begin{align} & \frac{d}{dt}{{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}=\text{i}{{H}_{0}}{{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}-\text{i}U_{0}^{+}\left( {{H}_{0}}+V\left( t \right) \right)\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle \\ & =\text{i}\left( {{H}_{0}}-U_{0}^{+}\left( {{H}_{0}}+V\left( t \right) \right){{U}_{0}} \right){{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}} \end{align}$

mit $\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle ={{U}_{0}}U_{0}^{+}\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle ={{U}_{0}}\left( t \right){{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}={{e}^{-\text{i}{{H}_{0}}t}}{{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}$ .

Unter Verwendung von $\left[ {{H}_{0}},{{U}_{0}}\left( t \right) \right]=0$ erhält man

$\frac{d}{dt}{{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}=-\text{i}\underbrace{\left( U_{0}^{+}V\left( t \right){{U}_{0}} \right)}_{:={{V}_{I}}\left( t \right)}{{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}.$

Nun kann man mit der Abkürzung ${{V}_{I}}\left( t \right):=U_{0}^{+}V\left( t \right){{U}_{0}}$ und $\left| {{\Psi }_{0}} \right\rangle ={{\left| \Psi \left( t=0 \right) \right\rangle }_{I}}$ die Zeitentwicklung im Wechselwirkungsbild hinschreiben:

$\begin{align} & {{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}=\left| {{\Psi }_{0}} \right\rangle -\text{i}\int\limits_{0}^{t}{dt'\,{{V}_{I}}\left( t' \right)}{{\left| \Psi \left( t' \right) \right\rangle }_{I}} \\ & =\left| {{\Psi }_{0}} \right\rangle -\text{i}\int\limits_{0}^{t}{dt'\,{{V}_{I}}\left( t' \right)}\left| {{\Psi }_{0}} \right\rangle +O{{\left( {{V}_{I}} \right)}^{2}} \end{align}$

Nimmt man die Eigenwerte der ungestörten Schrödingergleichung ${{H}_{0}}\left| n \right\rangle ={{E }_{n}}\left| n \right\rangle$ als bekannt an so erhält man mit der Festlegung $\left| {{\Psi }_{0}} \right\rangle =\left| i \right\rangle$

$\begin{align} & {{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}=\left| i \right\rangle -\text{i}\int\limits_{0}^{t}{dt'\,{{V}_{I}}\left( t' \right)}\left| i \right\rangle +O{{\left( {{V}_{I}} \right)}^{2}} \\ & {{\left\langle f | \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}={{\delta }_{i,f}}-\text{i}\int\limits_{0}^{t}{dt'\,\left\langle f \right|{{V}_{I}}\left( t' \right)}\left| i \right\rangle +O{{\left( {{V}_{I}} \right)}^{2}} \end{align}$

Für $i\ne f$ folgt in erster Ordnung (also unter Vernachlässigung von $O{{\left( {{V}_{I}} \right)}^{2}}$ )

${{P}_{i\to f}}\left( t \right):={{\left| \left\langle f | \Psi \left( t \right) \right\rangle \right|}^{2}}=\underbrace{{{\left| {{e}^{\text{i}\left( {{E }_{f}}-{{E }_{f}} \right)t}} \right|}^{2}}}_{1}{{\left| {{\left\langle f | \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}} \right|}^{2}}={{\left| \int\limits_{0}^{t}{dt'\,\left\langle f \right|{{V}_{I}}\left( t' \right)\left| i \right\rangle } \right|}^{2}}$ (das –i verschwindet durch den Betrag).

Für $V\left( t \right)=V\theta \left( t \right)$ folgt nun,

$\,\left\langle f \right|{{V}_{I}}\left( t \right)\left| i \right\rangle =\,\left\langle f \right|U_{0}^{+}V{{U}_{0}}\left| i \right\rangle =\,{{e}^{i\left( {{E }_{f}}-{{E }_{i}} \right)t}}\left\langle f \right|V\left| i \right\rangle$

${{P}_{i\to f}}\left( t \right):={{\left| \left\langle f \right|V\left| i \right\rangle \right|}^{2}}{{\left| \int\limits_{0}^{t}{dt'\,\,{{e}^{i\left( {{E }_{f}}-{{E }_{i}} \right)t'}}} \right|}^{2}}$

Unter Verwendung der Definition der [1] ergibt das Integral

${{\left| \int\limits_{0}^{t}{dt'\,\,{{e}^{\text{i}\left( {{E }_{f}}-{{E }_{i}} \right)t'}}} \right|}^{2}}={{\left| \frac{{{e}^{\text{i}\left( {{E }_{f}}-{{E }_{i}} \right)t}}-1}{\text{i}\left( {{E }_{f}}-{{E }_{i}} \right)} \right|}^{2}}=\frac{{{\sin }^{2}}\left( \frac{{{E }_{f}}-{{E }_{i}}}{2}t \right)}{{{\left( \frac{{{E }_{f}}-{{E }_{i}}}{2} \right)}^{2}}}={{t}^{2}}{{\operatorname{sinc}}^{2}}\left( \frac{{{E }_{f}}-{{E }_{i}}}{2}t \right)$

Um die Rate, die durch

${{\Gamma }_{i\to f}}:=\underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{t}{{P}_{i\to f}}\left( t \right)={{\left| \left\langle f \right|V\left| i \right\rangle \right|}^{2}}\underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}\,t{{\operatorname{sinc}}^{2}}\left( \frac{{{E }_{f}}-{{E }_{i}}}{2}t \right)$

definiert ist, zu berechnen kann man den "Trick", Umschreiben der Sinc-Funktion als [2], verwenden.

${{\Gamma }_{i\to f}}={{\left| \left\langle f \right|V\left| i \right\rangle \right|}^{2}}\pi \underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{t}{\pi }{{\operatorname{sinc}}^{2}}\left( \frac{{{E }_{f}}-{{E }_{i}}}{2}t \right)=2\pi {{\left| \left\langle f \right|V\left| i \right\rangle \right|}^{2}}\delta \left( {{E }_{f}}-{{E }_{i}} \right)$

Nach NOLTING macht jedoch Sinn, ein kontinuierliches Spektrum zu betrachten und Übergänge in ein Energieintervall zu betrachten. Also muss ersetzt man (grob gesagt) die Deltafunktion durch die Zustandsdichte $ρ(E)$ .

${{\Gamma }_{i\to f}}=\frac{2\pi }{\left( \hbar \right)}\rho \left( {{E}_{f}} \right){{\left| \left\langle f \right|V\left| i \right\rangle \right|}^{2}}$

Zu bemerken ist noch, dass

$\rho \left( {{E}_{f}} \right)\approx \rho \left( {{E}_{i}} \right)$ .
die http://de.wikipedia.org/wiki/Energie-Zeit-Unschärferelation für $t<\infty$ folgt.

Dabei wurde bei ...

${{\delta }_{\epsilon }}(x)=\frac{1}{\pi x}\sin \left( \frac{x}{\epsilon } \right)$

mit  folgt dass

$\begin{align} & \underset{E \to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{E }f\left( \frac{x}{E } \right)=\delta \left( x \right) \\ & \underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}\,tf\left( tx \right)=\delta \left( x \right) \\ & \underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}\,t\frac{1}{\pi }{{\operatorname{sinc}}^{2}}\left( tx \right)=\delta \left( x \right) \end{align}$

Mit $x=\frac{{{E }_{f}}-{{E }_{i}}}{2}$ und $\delta \left( kx \right)=\frac{1}{k}\delta \left( x \right)$ folgt

verwendet

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