Induktionsgesetz

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Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
Kein GFDL Der Artikel Induktionsgesetz basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 3) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
Induktionsgesetz Die Maxwell-Gleichungen Elektrodynamik Schöll
  1. TCP- Invarianz
  2. Maxwell- Gleichungen im Vakuum
  3. Induktionsgesetz
  4. Energiebilanz
  5. Impulsbilanz
  6. Eichinvarianz
  1. Elektrostatik
  2. Stationäre Ströme und Magnetfeld
  3. Die Maxwell-Gleichungen
  4. Elektromagnetische Wellen
  5. Materie in elektrischen und magnetischen Feldern
  6. Relativistische Formulierung der Elektrodynamik


Die Maxwellgleichung

{{\nabla }_{r}}\times \bar{E}=-\dot{\bar{B}}

wird über eine ortsfeste Fläche F (nicht geschlossen) mit Rand

\partial F

integriert:

\begin{align} & \int_{F}^{{}}{d\bar{f}}\left( {{\nabla }_{r}}\times \bar{E} \right)=-\int_{F}^{{}}{d\bar{f}}\dot{\bar{B}} \\ & \Rightarrow \oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\int_{F}^{{}}{d\bar{f}}\bar{B} \\ \end{align}

Wobei Differenziation und Integration genau dann vertauscht werden kann, wenn die Variablen unabhängig sind, also die Fläche ortsfest!

Damit folgt die integrale Form dieser Maxwellgleichung

\begin{align} & \oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\Phi (t) \\ & \Phi (t)=\int_{F}^{{}}{d\bar{f}}\bar{B}=\oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\cdot \bar{A} \\ \end{align}

Der magnetische Fluß!

Der magnetische Fluß

Φ(t)

hängt nur vom Rand

\partial F

der Fläche ab!

Seien F und F´ zwei Flächen mit dem selben Rand, die das Volumen V einschließen :


\begin{align} & \int_{F}^{{}}{d\bar{f}}\bar{B}-\int_{F\acute{\ }}^{{}}{d\bar{f}}\bar{B}=\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\bar{B}=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r}\nabla \cdot \bar{B}=0 \\ & \nabla \cdot \bar{B}=0 \\ \end{align}

Die Potenzialdifferenz bei einem Umlauf um

\partial F

beträgt:

\Delta \Phi :=-\oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\bar{E}

Dies entspricht einer induzierten Spannung (als Wirbelfeld) Somit folgt das

Faradaysche Induktionsgesetz:

\Delta \Phi =\frac{\partial }{\partial t}{{\Phi }_{mag}}

mit dem magnetischen Fluß

Φmag

Die Lenzsche Regel:


\begin{align} & \dot{\bar{B}}\to \bar{E} \\ & \nabla \times \bar{E}=-\bar{B} \\ \end{align} induziert \bar{E}\to \bar{j}\tilde{\ }\bar{E}

Ladungsverschiebung/- Bewegung

\begin{align} & \bar{j}\to \bar{H} \\ & {{\nabla }_{r}}\times \bar{H}=\bar{j} \\ \end{align}

erzeugt Also:

\bar{H} ist \dot{\bar{B}}

entgegengerichtet!

Zusammenfassung


\oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\Phi (t)

Zirkulation des elektrischen Feldes entlang einer geschlossenen Linie ist gleich der zeitlichen Abnahme des eingeschlossenen magnetischen Flusses:

\Phi (t)=\int_{F}^{{}}{d\bar{f}}\bar{B}=\oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\cdot \bar{A}
\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\bar{B}=0

Der Nettofluss des magnetischen Feldes durch eine geschlossene Oberfläche ist NULL

\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\bar{E}=\frac{Q}{{{\varepsilon }_{0}}}

Der Fluß des elektrischen Feldes durch

\partial V

ist gleich der eingeschlossenen Ladung

\frac{Q}{{{\varepsilon }_{0}}}
\oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\cdot \bar{H}=\int_{F}^{{}}{{}}d\bar{f}\cdot \dot{\bar{D}}+I

Die Zirkulation des magnetischen Feldes entlang einer eingeschlossenen Linie ist gleich der Summe aus dem dielektrischen Verschiebungsstrom

\int_{F}^{{}}{{}}d\bar{f}\cdot \dot{\bar{D}}

und dem Konvektionsstrom

I=\int_{F}^{{}}{{}}d\bar{f}\cdot \bar{j}
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