Tröpfchenmodell, Weizsäckersche Massenformel

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Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann
Kein GFDL Der Artikel Tröpfchenmodell, Weizsäckersche Massenformel basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 4.Kapitels (Abschnitt 0) der Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann.
Tröpfchenmodell, Weizsäckersche Massenformel Tröpfchenmodell, Weizsäckersche Massenformel

Inhaltsverzeichnis
  1. Kernphysik Einleitung
  2. Kernradien
  3. Bindungsenergien
  4. Tröpfchenmodell, Weizsäckersche Massenformel
  5. Kerndrehimpulse und elektromagnetische Kernmomente
  6. Messung von Kernmomenten
  7. Das Schalenmodell des Kerns
  8. Kernkräfte
  9. Kernzerfälle, Strahlenschutz
  10. Abschirmung radioaktiver Strahlung
  11. Alpha-Zerfall
  12. Beta-Zerfall
  13. Gamma-Zerfall
  14. Neutrinoexperimente
  15. Paritätsverletzung beim beta-Zerfall
  16. Schwache Zerfälle von Pionen und Myonen
  17. Synchrotron- und Laserstrahlung


Die nahezu konstante Nukleonendichte \rho \approx 10^{17} kg/m^3 und der nahezu konstante B/A-Wert ("Kondensationswärme") legt die Analogie zum Flüssigkeitstropfen nahe. Massenformel[1]


Bindungsenergie setzt sich aus 5 Anteilen zusammen:

B=\sum_{i=1}^5 B_i
1. Volumenenergie
B1 = a1A Volumenenergie ("Kondensationswärme" ) vermindert um
2. Oberflächenenergie
B2 = − a2A2 / 3 ~ Anzahl der Nukleonen an der

Oberfläche, die weniger stark gebunden sind.

3. Coulombenergie
B_3=- \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{5}{3} \frac{Z(Z-1)e^2}{R}=-a_3 \frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}} einer homogen geladenen Kugel

Durch die Coulombenergie B3 würden für Isobare (A = const) zu stark Kerne mit vielen Neutronen bevorzugt. In Wirklichkeit ist jedoch Z\approx N.

Genauer: Nuklidkarte

Nuklidkarte

Als Gegengewicht genüber dem Coulombterm deshalb:

4. Asymmetrie-Energie
B_4 = -a_4\frac{(N-Z)^2}{A}

Außerdem gilt folgende Regel, wenn man die Kerne bezüglich gerader oder ungerader Protonen- oder Neutronenzahl ordnet:

\begin{array}{*{35}{l}} {} & (g,g)\to & (u,g), & (g,u)\to & (u,u)\to \text{Abnahme der Stabilitaet} \\ \text{stab}\text{. Kerne}\quad & 158 & 50, & 53 & 6 \\ \end{array}

5. Parität
Deshalb B5 = δ = a5A − 1 / 2

mit \begin{align} & \text{(g}\text{, g) : }\text{+}\delta \\ & \text{(u}\text{, g) }\text{, (g}\text{, u) : }\text{0} \\ & \text{(u}\text{, u) : }\text{-}\delta \\ \end{align}


Anpassung der Formel an viele Massenwerte gibt einen optimalen Wertesatz für die 5 Parameter ai:a1 = 16MeV,a2 = 18MeV,a3 = 0,7MeV,a4 = 23MeV und mit a5 = 12MeV [2]). Genauigkeit \approx 1% ab \approx 40.

Folgerungen aus der Weizsäckerschen Massenformel

I. Isobarenregeln

Für Isobare (A = const.) ist die Massenformel quadratisch in Z, deshalb bekommt man für A = ungerade, d.h. für (u, g)- und (g, u)-Kerne eine Parabel und für A = gerade, d.h. für (g, g)- und (u, u)-Kerne zwei Parabeln, die durch den Abstand 2δ der Paarungsenergie δ getrennt sind.

Isobarenparabeln
ANMERKUNG Schubotz: Siehe auch [3]

Trägt man die Massenwerte in die Nuklidkarte auf der N-Z-Ebene nach oben auf, dann sind die Isobarenparabeln Schnitte längs der Linie A = Z + N = const. Die stabilen Kerne liegen in der "Talsohle des Massetals".


Umwandlung durch Beta-Zerfall:

\begin{align} {{\beta }^{+}}:\quad n &\to p+{{e}^{-}}+\tilde{\nu } \\ {{\beta }^{-}}:\quad n &\to p+{{e}^{+}}+\nu \\ {{e}^{-}}+p& \to n+\tilde{\nu } \\ \end{align} Konkurrenzprozeß: Kerneinfang

II. Kernspaltung und Fusion

Allgemein für leichtere Kerne Energiegewinn durch Fusion, für schwerere Kerne durch Spaltung möglich. Spontane Fusion durch Coulombabstoßung, spontane Spaltung durch Spaltschwelle behindert.

Spaltung

Stabilitätsbetrachtung bezüglich spontaner Spaltung
Coulombenergie
B_3 \to B_3(1-\frac{1}{5}\epsilon)^2 nimmt ab.
Oberflächenenergie
B_2 \to B_2(1+\frac{2}{5}\epsilon)^2 nimmt zu.

Stabilitätsbedingung gegenüber spontaner Spaltung: größere Zunahme der Oberflächenenergie als Abnahme der Coulombenergie.

Rechnung: Z^2/A \lesssim 51

Für Z^2/A \lesssim 51 Spaltschwelle:


Spaltschwelle


Neutroneninduzierte Spaltung bei Uran durch freiwerdende Bindungsenergie bei Neutroneneinfang. Für thermische Neutronen ist diese Bindungsenergie

bei ^{235}U+n\to^{236}U+6,4MeV\quad(g,u)\underset{n}{\to}(g,g)

bei ^{238}U+n\to^{239}U+4,8MeV\quad(g,g)\underset{n}{\to}(g,u)

Die fehlende Paarungsenergie bei 239U bedingt die niedrigere Bindungsenergie, so daß bei 238U der Einbau thermischer Neutronen nicht zur Überwindung der Spaltschwelle ausreicht.


Allgemein Spaltprozeß: ^{235}U+n\textrm{(thermisch)}\to^{236}U\to X+Y+kn


Spaltbruchstücke X und Y instabil wegen Neutronenüberschuß, β − -Zerfall, z.B.

instabile Spaltbruchstücke

Grobe Abschätzung für 235U-Verbrauch:

\begin{align} 1kg\quad^{235}U:E=N\Delta E & \backsimeq\frac{1000}{235}6\cdot10^{23} \cdot 2 \cdot 10^{8} \cdot 1,6 \cdot 10^{-19}{ Ws}\\ & \backsimeq8 \cdot 10^{13}{ Ws}\\ & \backsimeq10^{3}{ MWd}\end{align}

Fusion

Bei sehr leichten Kernen Durchtunneln des Coulombwalls oberhalb von 1 keV \approx 1,2 10^7 K möglich (z.B. Sonneninnere mit T \approx 1,5 10^7 K und \rho \approx 10^5 kg /m^3).

Kontrollierte Fusion mit Deuterium und Trithium

d+^{3}H\to\underset{3MeV}{^{4}He}+\underset{14MeV}{n}+17,6MeV
n+^{7}Li\to^{4}He+\underbrace{^{3}H}_{t_{1/2}\approx12a}+n-2,5MeV

Einzelnachweise

  1. ↑ Weizsäcker Z. Phys. 96, 431 (1935)
  2. ↑ (Seeger Nucl. Phys. 25, 1(1961)
  3. ↑ [Prof. Dr. Heinz Clement: Vorlesung Experimentalphysik VII - Kern- und Teilchenphysik], Vorlesung 32 Zeitcode: (ab 10:30)

Weitere Informationen

(gehört nicht zum Skript) Wikipedia-Artikel

Datei:Tröpfchenmodell.PNG

Prüfungsfragen

  • Äußere Eigenschaften eines Kerns
    • Dichte (Größenordnungen)
  • Bethe-Weizäcker Formel
    • Tröpfcherunodell (B/A Graph, Weizsäckerformel)
    • Erklärung der verschiedenen Terme. Wieso proportional zu V?
      • Oberflächenterm: -> weniger Bindungspartner
      • Coulombterm: -> Protonenabstoßung (Vergleich mit Ladungsverteilung aus Streuexperimenten)
      • Asymmetrieterm:-> Fermiegasherleitung angesprochen
      • Paarungsterm:->Isobarenregel
  • Spaltung/Fusion wo möglich?
  • Warum keine spontane Fusion/Spaltung? (Bei Fusion wegen Coulombwall, bei Spaltung wegen Oberflächenenergieterm aus Tröpfchenmodell (Potential als Funktion der Deformation aufmalen)
Von „http://wiki.physikerwelt.de/wiki/Tr%C3%B6pfchenmodell,_Weizs%C3%A4ckersche_Massenformel“
Fakten zu Tröpfchenmodell, Weizsäckersche MassenformelRDF-Feed
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FachbegriffNukleonendichte  +, Kondensationswärme  +, Bindungsenergie  +, Volumenenergie  +, Oberflächenenergie  +, Coulombenergie  +, Isobare  +, Asymmetrie-Energie  +, Parität  +, Paarungsenergie  +, Nuklidkarte  +, Kerneinfang  +, Fusion  +, Spaltung  +, Spaltschwelle  +, Neutroneneinfang  +, Thermische Neutronen  + und Coulombwalls  +
IndexNukleonendichte  +, Kondensationswärme  +, Bindungsenergie  +, Volumenenergie  +, Oberflächenenergie  +, Coulombenergie  +, Isobare  +, Asymmetrie-Energie  +, Parität  +, Paarungsenergie  +, Nuklidkarte  +, Kerneinfang  +, Fusion  +, Spaltung  +, Spaltschwelle  +, Neutroneneinfang  +, Thermische Neutronen  + und Coulombwalls  +
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UrheberProf. Dr. P. Zimmermann  +
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