Quelltext der Seite Lagrangegleichungen 2. Art

<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|1|5}}</noinclude>

Betrachten wir wieder das d'Alembertsche Prinzip:


:<math>\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\ddot{\bar{r}}}}_{i}}\delta {{{\bar{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{i}^{{}}{{{{\vec{X}}}_{i}}\delta {{{\bar{r}}}_{i}}=\sum\limits_{j}{{{Q}_{j}}}}\delta {{q}_{j}}</math>


Linke Seite:


:<math>\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\ddot{\bar{r}}}}_{i}}\delta {{{\bar{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{j}{{}}\left( \sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\ddot{\bar{r}}}}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{{\bar{r}}}_{i}}} \right)\delta {{q}_{j}}=\sum\limits_{j}{{}}\sum\limits_{i}^{{}}{\left\{ \frac{d}{dt}\left( {{m}_{i}}{{{\dot{\vec{r}}}}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{{\bar{r}}}_{i}} \right)-{{m}_{i}}{{{\dot{\vec{r}}}}_{i}}\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{{\bar{r}}}_{i}} \right) \right\}\delta {{q}_{j}}_{{}}}</math> Mit <math>\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}{{\vec{v}}_{i}}=\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}{{\left[ \sum\limits_{j=1}^{f}{\left( \frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}{{{\dot{q}}}_{j}} \right)}+\frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{r}}}_{i}} \right]}_{{}}}=\frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{\bar{r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)</math> und <math>{{\dot{\bar{r}}}_{i}}=\sum\limits_{j=1}^{f}{\left( \frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)}{{\dot{q}}_{j}}+\frac{\partial }{\partial t}{{\bar{r}}_{i}}=\sum\limits_{j=1}^{f}{\left( \frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}{{{\vec{v}}}_{i}} \right)}{{\dot{q}}_{j}}+\frac{\partial }{\partial t}{{\bar{r}}_{i}}\Rightarrow \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)=\frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{\vec{v}}_{i}}</math>


Beweis für die letzte Deduktion:


:<math>\begin{align}
  & \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)=\sum\limits_{k=1}^{{}}{\left( \frac{{{\partial }^{2}}{{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}\partial {{q}_{j}}} \right)}{{{\dot{q}}}_{k}}+\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{q}_{j}}\partial t}{{{\bar{r}}}_{i}} \\
 & \frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{{\vec{v}}}_{i}}=\frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}\left\{ \sum\limits_{k=1}^{{}}{\left( \frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}} \right)}{{{\dot{q}}}_{k}}+\frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{r}}}_{i}} \right\}=\sum\limits_{k=1}^{{}}{\left( \frac{{{\partial }^{2}}{{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}\partial {{q}_{j}}} \right)}{{{\dot{q}}}_{k}}+\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{q}_{j}}\partial t}{{{\bar{r}}}_{i}} \\
\end{align}</math>


Somit ergibt  sich für die linke Seite


:<math>\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\ddot{\bar{r}}}}_{i}}\delta {{{\bar{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{i,j}{\left\{ \frac{d}{dt}\left( {{m}_{i}}{{{\vec{v}}}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}{{{\vec{v}}}_{i}} \right)-{{m}_{i}}{{{\vec{v}}}_{i}}\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{{\vec{v}}}_{i}} \right) \right\}\delta {{q}_{j}}}</math>



Ziel ist es, diese Seite durch die gesamte {{FB|Kinetische Energie}} auszudrücken:


:<math>T=\sum\limits_{i}{\frac{1}{2}{{m}_{i}}{{{\vec{v}}}_{i}}^{2}}</math>



:<math>\begin{align}
  & {{m}_{i}}{{{\vec{v}}}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}{{{\vec{v}}}_{i}}=\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}\left( \frac{1}{2}{{m}_{i}}{{{\vec{v}}}_{i}}^{2} \right) \\
 & {{m}_{i}}{{{\vec{v}}}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{{\vec{v}}}_{i}}=\frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}\left( \frac{1}{2}{{m}_{i}}{{{\vec{v}}}_{i}}^{2} \right) \\
\end{align}</math>


Somit folgt:


:<math>\left\{ \frac{d}{dt}\left( {{m}_{i}}{{{\vec{v}}}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}{{{\vec{v}}}_{i}} \right)-{{m}_{i}}{{{\vec{v}}}_{i}}\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{{\vec{v}}}_{i}} \right) \right\}=\left\{ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}T \right)-\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}T \right) \right\}</math>




:<math>\begin{align}
  & \sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\ddot{\bar{r}}}}_{i}}\delta {{{\bar{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{i}^{{}}{{{{\vec{X}}}_{i}}\delta {{{\bar{r}}}_{i}}=\sum\limits_{j}{{{Q}_{j}}}}\delta {{q}_{j}} \\
 & \Rightarrow \sum\limits_{j}{\left\{ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}T \right){{-}_{{}}}\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}T \right)-{{Q}_{j}} \right\}\delta {{q}_{j}}=0} \\
\end{align}</math>


Der T-abhängige Ausdruck ist jedoch in <math>q_j</math> völlig frei variierbar. Somit ist keine lineare Abhängigkeit der Variationen über verschiedene j gegeben.

Jedes <math>q_j</math> ist für sich frei variierbar, so dass der Ausdruck auf der linken Seite für sich Null wird:


:<math>\begin{align}
  & \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}T \right){{-}_{{}}}\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}T \right)-{{Q}_{j}}=0 \\
 & \Rightarrow \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}T \right){{-}_{{}}}\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}T \right)={{Q}_{k\quad \quad k=1,....,f}} \\
\end{align}</math>

{{Def| <math>\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}T \right){{-}_{{}}}\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}T \right)={Q}_{k}\quad \quad k=1,....,f</math> heißt '''Lagrange- Gleichungen 2. Art'''|Lagrange- Gleichungen 2. Art}}

Die Lagrangegleichungen der zweiten Art können aus dem d ´Alembertschen Prinzip nur für '''holonome''' Zwangsbedingungen gewonnen werden (im Gegensatz zur Lagrangegleichung erster Art).

Dies liegt daran, dass nur für '''holonome''' Zwangsbedingungen {{FB|generalisierte Koordinaten}} definiert werden können:
==Spezialfall konservative Kräfte==


:<math>\begin{align}
  & -\frac{\partial V}{\partial {{q}_{j}}}={{Q}_{j}} \\
 & V({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)=V({{{\vec{r}}}_{1}}({{q}_{1,}}...,{{q}_{f}},t),...,{{{\vec{r}}}_{N}}({{q}_{1,}}...,{{q}_{f}},t)) \\
\end{align}</math>


Dies bedingt jedoch:


:<math>\frac{\partial V({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=0</math>


Wir können uns die Lagrangefunktion derart definieren, dass:


:<math>L({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{\dot{q}}_{1}},...,{{\dot{q}}_{f}},t)=L({{q}_{k}},{{\dot{q}}_{k}},t)=T-V</math>


Es folgt:


:<math>\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}} \right)-\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}=0</math>


Die sagenumwobene Lagrangegleichung 2. Art für konservative Kräfte !

Anmerkung:

* die genannte Lagrangegleichung L ist nicht eindeutig festgelegt
* L=T-V ist nur '''eine''' mögliche Form
*<math>\begin{align}
  & T({{q}_{k}},{{{\dot{q}}}_{k}},t)=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{\left( \sum\limits_{k=1}^{f}{\frac{\partial {{{\vec{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+\frac{\partial {{{\vec{r}}}_{i}}}{\partial t}} \right)}^{2}}} \\
 & T({{q}_{k}},{{{\dot{q}}}_{k}},t)=a+\sum\limits_{k=1}^{f}{{{b}_{k}}{{{\dot{q}}}_{k}}}+\sum\limits_{k,l=1}^{f}{{{c}_{kl}}{{{\dot{q}}}_{k}}{{{\dot{q}}}_{l}}} \\
\end{align}</math>
* Dabei ist die kinetische Energie nur für skleronome Zwangsbedingungen eine '''homogene''' Bilinearform in
:<math>{{\dot{q}}_{k\quad }}(a={{b}_{k}}=0)</math>


==Anwendungsschema für Lagrangegleichungen zweiter Art:==

MISSING
{{Beispiel|
'''Die Atwoodsche Fallmaschine'''
[[File:Atwood.svg|miniatur]]
Generalisierte Koordinate: q


:<math>\begin{align}
  & T({{q}_{{}}},{{{\dot{q}}}_{{}}},t)=\frac{1}{2}({{m}_{{{1}_{{}}}}}+{{m}_{2}}){{{\dot{q}}}^{2}} \\
 & V(q,\dot{q},t)={{m}_{1}}gq+{{m}_{2}}(l-q)g \\
 & \frac{\partial L}{\partial q}={{m}_{1}}g-{{m}_{2}}g \\
 & \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\dot{q} \\
 & ({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\ddot{q}+{{m}_{1}}g-{{m}_{2}}g=0 \\
 &  \\
\end{align}</math>
}}
{{Beispiel|
'''Beispiel 2:'''
[[Datei:MomAng2.png|miniatur|Eine Masse m rotiert mit Winkelgeschwindigkeit w an einem Faden der Länge Ro, welcher mit Geschwindigkeit c durch ein Loch gezogen wird (rheonome Zwangsbedingung).]]
Eine Masse m rotiert mit Winkelgeschwindigkeit w an einem Faden der Länge Ro, welcher mit Geschwindigkeit c durch ein Loch gezogen wird (rheonome Zwangsbedingung).

'''Generalisierte Koordinate''' q ist der Winkel
:<math>\phi </math>
:


:<math>\begin{align}
  & T({{q}_{{}}},{{{\dot{q}}}_{{}}},t)=\frac{1}{2}m{{c}^{2}}+\frac{1}{2}m{{{\dot{q}}}^{2}}{{({{R}_{o}}^{{}}-ct)}^{2}} \\
 & V(q,\dot{q},t)=0 \\
 & L=\frac{1}{2}m{{c}^{2}}+\frac{1}{2}m{{{\dot{q}}}^{2}}{{({{R}_{o}}^{{}}-ct)}^{2}} \\
\end{align}</math>


Dahin  kommt man im Übrigen aus:


:<math>\begin{align}
  & T=\frac{1}{2}m({{{\dot{x}}}^{2}}+{{{\dot{y}}}^{2}}) \\
 & x=({{R}_{o}}-ct)\cos \phi  \\
 & \dot{x}=-c\cos \phi -({{R}_{o}}-ct)\dot{\phi }\sin \phi =-c\cos q-({{R}_{o}}-ct)\dot{q}\sin q \\
 & y=({{R}_{o}}-ct)\sin \phi  \\
\end{align}</math>



:<math>\begin{align}
  & \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=m\dot{q}{{({{R}_{o}}^{{}}-ct)}^{2}} \\
 & \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=m\ddot{q}{{({{R}_{o}}^{{}}-ct)}^{2}}-2cm\dot{q}({{R}_{o}}^{{}}-ct) \\
 & \Rightarrow \ddot{q}({{R}_{o}}-ct)=2c{{{\dot{q}}}^{{}}} \\
\end{align}</math>


Somit haben wir eine '''Bewegungsgleichung für die Winkelgeschwindigkeit''' gefunden:


:<math>\begin{align}
  & \frac{{\dot{\omega }}}{\omega }=\frac{2c}{{{R}_{o}}-ct} \\
 & \int{\frac{d\omega }{\omega }=2c\int{\frac{dt}{{{R}_{o}}-ct}}} \\
 & \ln \omega =-2\ln ({{R}_{o}}-ct)+const \\
 & \ln \omega =\ln \frac{con\tilde{s}}{{{({{R}_{o}}-ct)}^{2}}} \\
 & \omega =\frac{con\tilde{s}}{{{({{R}_{o}}-ct)}^{2}}} \\
\end{align}</math>


Bestimmung der Konstanten aus den Anfangsbedingungen liefert:

'''Drehimpuls''':


:<math>\begin{align}
  & \vec{L}=m\vec{v}\times \vec{r} \\
 & {{{\vec{L}}}_{o}}=m{{\omega }_{o}}^{{}}{{R}_{o}}^{2}\quad {{v}_{o}}={{\omega }_{o}}{{R}_{o}}\quad {{r}_{o}}={{R}_{o}} \\
 & andererseits: \\
 & {{\omega }_{o}}=\frac{con\tilde{s}}{{{({{R}_{o}})}^{2}}} \\
 & \Rightarrow \omega =\frac{con\tilde{s}}{{{({{R}_{o}}-ct)}^{2}}}\Rightarrow con\tilde{s}=\frac{{{{\vec{L}}}_{o}}}{m} \\
 & \omega =\frac{{{{\vec{L}}}_{o}}}{m{{({{R}_{o}}-ct)}^{2}}}=\dot{q} \\
\end{align}</math>


Durch Integration gewinnt man:


:<math>q={{q}_{o}}+\frac{{{{\vec{L}}}_{o}}}{cm({{R}_{o}}-ct)}</math>


Das heißt, wie zu erwarten war, die Masse dreht sich immer schneller, je kürzer der Faden wird (Drehimpulserhaltung!)}}