Virtuelle Verrückungen: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 12. September 2010, 23:33 Uhr

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Virtuelle Verrückungen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 2) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Unter einer virtuellen Verrückung

{δ {\vec{r}}_{i}}

versteht man die infinitesimale Änderung der Koordinaten, di zu fester Zeit

{δ t = 0}

die holonomen, bzw. nicht holonomen Zwangsbedingungen erfüllen.

Damit ist der Unterschied zu einer reellen Verrückung klar, die als

d {\vec{r}}_{i}

im Zeitintervall

d t

längs der Bahn geschieht.

Die Zwangsbedingungen lassen sich jedoch nicht virtuell verrücken.

Es gilt folglich

δ f_{λ} = \sum_{i = 1}^{N} \nabla_{r i} f_{λ} \cdot δ {\vec{r}}_{i} = 0 λ = 1, . . . ν

bzw

\sum_{i = 1}^{N} {\vec{a}}_{λ i} ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}, . . ., {\vec{r}}_{N}, t) \cdot δ {\vec{r}}_{i} = 0 λ = 1, . . . ν

Die zeitabhängigen Anteile fallen raus, da ja nach Definition

{δ t = 0}

.

Als Beispiel betrachten wir die Bewegung eines Massepunktes in einer Ebene:

\vec{a} \cdot (\vec{r} - {\vec{r}}_{o} (t)) = 0

Dabei ist

{\vec{r}}_{o} (t)

der Startpunkt des Teilchens, also ein fester Punkt in der Ebene und nicht notwendigerweise zeitunabhängig. a charakterisiert den Normalenvektor auf der Ebene Schließlich kann sich die Ebene bewegen, beispielsweise hoch und runter.

Formuliert man nun holonome Zwangsbedingungen für N Massepunkte, so gilt:

\begin{aligned} f ({\vec{r}}_{i}) = \vec{a} \cdot ({\vec{r}}_{i} - {\vec{r}}_{o} (t)) = 0 i = 1, 2, . . ., N \\ d f ({\vec{r}}_{i}) = \vec{a} \cdot (d {\vec{r}}_{i} - {\vec{v}}_{o} (t) d t) = 0 i = 1, 2, . . ., N {\vec{v}}_{o} (t) = \frac{d {\vec{r}}_{o} (t)}{d t} \end{aligned}

also gilt im Allgemeinen:

\vec{a} \cdot d {\vec{r}}_{i} = \vec{a} \cdot {\vec{v}}_{o} (t) d t \neq 0 i = 1, 2, . . ., N {\vec{v}}_{o} (t) = \frac{d {\vec{r}}_{o} (t)}{d t}

aber:

δ f = \vec{a} \cdot δ {\vec{r}}_{i} = 0 i = 1, 2, . . ., N {\vec{v}}_{o} (t) = \frac{d {\vec{r}}_{o} (t)}{d t}

Das heißt, die virtuellen Verrückungen geschehen alle bei festgehaltenem

{\vec{r}}_{o} (t)

.

Es gilt:

δ {\vec{r}}_{i} ⊥ \vec{a}

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-==Virtuelle Verrückungen==
+<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|1|2}}</noinclude>
 {{Def|
 Unter einer virtuellen Verrückung
-<math>\left\{ \delta {{{\vec{r}}}_{i}} \right\}</math>
+:<math>\left\{ \delta {{{\vec{r}}}_{i}} \right\}</math>
 versteht man die infinitesimale Änderung der Koordinaten, di zu fester Zeit
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+:<math>\left\{  \delta t=0 \right\}</math>
 die holonomen, bzw. nicht holonomen Zwangsbedingungen erfüllen.|virtuelle Verrückung
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 Damit ist der Unterschied zu einer reellen Verrückung klar, die als
-<math>d{{\vec{r}}_{i}}</math>
+:<math>d{{\vec{r}}_{i}}</math>
 im Zeitintervall
-<math>dt</math>
+:<math>dt</math>
 längs der Bahn geschieht.
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-<math>\delta {{f}_{\lambda }}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{\nabla }_{ri}}{{f}_{\lambda }}\cdot \delta {{{\vec{r}}}_{i}}=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math>
+:<math>\delta {{f}_{\lambda }}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{\nabla }_{ri}}{{f}_{\lambda }}\cdot \delta {{{\vec{r}}}_{i}}=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math> bzw <math>\sum\limits_{i=1}^{N}{{{{\vec{a}}}_{\lambda  i}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)\cdot \delta {{{\vec{r}}}_{i}}=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math>
-<math>\sum\limits_{i=1}^{N}{{{{\vec{a}}}_{\lambda  i}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)\cdot \delta {{{\vec{r}}}_{i}}=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math>
 Die zeitabhängigen Anteile fallen raus, da ja nach Definition
-<math>\left\{ \delta t=0 \right\}</math>
+:<math>\left\{ \delta t=0 \right\}</math>.
-.
-Als Beispiel betrachten wir die Bewegung eines Massepunktes in einer Ebene:
+{{Beispiel|
+Als Beispiel betrachten wir die '''Bewegung eines Massepunktes in einer Ebene''':
-<math>\vec{a}\cdot (\vec{r}-{{\vec{r}}_{o}}(t))=0</math>
+:<math>\vec{a}\cdot (\vec{r}-{{\vec{r}}_{o}}(t))=0</math>
 Dabei ist
-<math>{{\vec{r}}_{o}}(t)</math>
+:<math>{{\vec{r}}_{o}}(t)</math>
 der Startpunkt des Teilchens, also ein fester Punkt in der Ebene und nicht notwendigerweise zeitunabhängig. a charakterisiert den Normalenvektor auf der Ebene Schließlich kann sich die Ebene bewegen, beispielsweise hoch und runter.
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-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
    & f({{{\vec{r}}}_{i}})=\vec{a}\cdot ({{{\vec{r}}}_{i}}-{{{\vec{r}}}_{o}}(t))=0\quad  i=1,2,...,N \\
   & df({{{\vec{r}}}_{i}})=\vec{a}\cdot (d{{{\vec{r}}}_{i}}-{{{\vec{v}}}_{o}}(t)dt)=0\quad  i=1,2,...,N\quad {{{\vec{v}}}_{o}}(t)=\frac{d{{{\vec{r}}}_{o}}(t)}{dt} \\
 \end{align}</math>
+}}
 also gilt im Allgemeinen:
-<math>\vec{a}\cdot d{{\vec{r}}_{i}}=\vec{a}\cdot {{\vec{v}}_{o}}(t)dt\ne 0\quad i=1,2,...,N\quad {{\vec{v}}_{o}}(t)=\frac{d{{{\vec{r}}}_{o}}(t)}{dt}</math>
+:<math>\vec{a}\cdot d{{\vec{r}}_{i}}=\vec{a}\cdot {{\vec{v}}_{o}}(t)dt\ne 0\quad i=1,2,...,N\quad {{\vec{v}}_{o}}(t)=\frac{d{{{\vec{r}}}_{o}}(t)}{dt}</math>
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-<math>\delta f=\vec{a}\cdot \delta {{\vec{r}}_{i}}=0\quad i=1,2,...,N\quad {{\vec{v}}_{o}}(t)=\frac{d{{{\vec{r}}}_{o}}(t)}{dt}</math>
+:<math>\delta f=\vec{a}\cdot \delta {{\vec{r}}_{i}}=0\quad i=1,2,...,N\quad {{\vec{v}}_{o}}(t)=\frac{d{{{\vec{r}}}_{o}}(t)}{dt}</math>
 Das heißt, die virtuellen Verrückungen geschehen alle bei festgehaltenem
-<math>{{\vec{r}}_{o}}(t)</math>
+:<math>{{\vec{r}}_{o}}(t)</math>.
-. Es gilt:
+ Es gilt:
-<math>\delta {{\vec{r}}_{i}}\bot \vec{a}</math>
+:<math>\delta {{\vec{r}}_{i}}\bot \vec{a}</math>

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