Virtuelle Verrückungen: Unterschied zwischen den Versionen
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<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|1|2}}</noinclude> | <noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|1|2}}</noinclude> | ||
{{Def| | {{Def| | ||
Unter einer virtuellen Verrückung | Unter einer virtuellen Verrückung | ||
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versteht man die infinitesimale Änderung der Koordinaten, di zu fester Zeit | versteht man die infinitesimale Änderung der Koordinaten, di zu fester Zeit | ||
<math>\left\{ \delta t=0 \right\}</math> | :<math>\left\{ \delta t=0 \right\}</math> | ||
die holonomen, bzw. nicht holonomen Zwangsbedingungen erfüllen.|virtuelle Verrückung | die holonomen, bzw. nicht holonomen Zwangsbedingungen erfüllen.|virtuelle Verrückung | ||
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Damit ist der Unterschied zu einer reellen Verrückung klar, die als | Damit ist der Unterschied zu einer reellen Verrückung klar, die als | ||
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im Zeitintervall | im Zeitintervall | ||
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längs der Bahn geschieht. | längs der Bahn geschieht. | ||
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<math>\delta {{f}_{\lambda }}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{\nabla }_{ri}}{{f}_{\lambda }}\cdot \delta {{{\vec{r}}}_{i}}=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math> | :<math>\delta {{f}_{\lambda }}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{\nabla }_{ri}}{{f}_{\lambda }}\cdot \delta {{{\vec{r}}}_{i}}=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math> bzw <math>\sum\limits_{i=1}^{N}{{{{\vec{a}}}_{\lambda i}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)\cdot \delta {{{\vec{r}}}_{i}}=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math> | ||
<math>\sum\limits_{i=1}^{N}{{{{\vec{a}}}_{\lambda i}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)\cdot \delta {{{\vec{r}}}_{i}}=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math> | |||
Die zeitabhängigen Anteile fallen raus, da ja nach Definition | Die zeitabhängigen Anteile fallen raus, da ja nach Definition | ||
<math>\left\{ \delta t=0 \right\}</math> | :<math>\left\{ \delta t=0 \right\}</math>. | ||
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Als Beispiel betrachten wir die Bewegung eines Massepunktes in einer Ebene: | {{Beispiel| | ||
Als Beispiel betrachten wir die '''Bewegung eines Massepunktes in einer Ebene''': | |||
<math>\vec{a}\cdot (\vec{r}-{{\vec{r}}_{o}}(t))=0</math> | :<math>\vec{a}\cdot (\vec{r}-{{\vec{r}}_{o}}(t))=0</math> | ||
Dabei ist | Dabei ist | ||
<math>{{\vec{r}}_{o}}(t)</math> | :<math>{{\vec{r}}_{o}}(t)</math> | ||
der Startpunkt des Teilchens, also ein fester Punkt in der Ebene und nicht notwendigerweise zeitunabhängig. a charakterisiert den Normalenvektor auf der Ebene Schließlich kann sich die Ebene bewegen, beispielsweise hoch und runter. | der Startpunkt des Teilchens, also ein fester Punkt in der Ebene und nicht notwendigerweise zeitunabhängig. a charakterisiert den Normalenvektor auf der Ebene Schließlich kann sich die Ebene bewegen, beispielsweise hoch und runter. | ||
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<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& f({{{\vec{r}}}_{i}})=\vec{a}\cdot ({{{\vec{r}}}_{i}}-{{{\vec{r}}}_{o}}(t))=0\quad i=1,2,...,N \\ | & f({{{\vec{r}}}_{i}})=\vec{a}\cdot ({{{\vec{r}}}_{i}}-{{{\vec{r}}}_{o}}(t))=0\quad i=1,2,...,N \\ | ||
& df({{{\vec{r}}}_{i}})=\vec{a}\cdot (d{{{\vec{r}}}_{i}}-{{{\vec{v}}}_{o}}(t)dt)=0\quad i=1,2,...,N\quad {{{\vec{v}}}_{o}}(t)=\frac{d{{{\vec{r}}}_{o}}(t)}{dt} \\ | & df({{{\vec{r}}}_{i}})=\vec{a}\cdot (d{{{\vec{r}}}_{i}}-{{{\vec{v}}}_{o}}(t)dt)=0\quad i=1,2,...,N\quad {{{\vec{v}}}_{o}}(t)=\frac{d{{{\vec{r}}}_{o}}(t)}{dt} \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
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also gilt im Allgemeinen: | also gilt im Allgemeinen: | ||
<math>\vec{a}\cdot d{{\vec{r}}_{i}}=\vec{a}\cdot {{\vec{v}}_{o}}(t)dt\ne 0\quad i=1,2,...,N\quad {{\vec{v}}_{o}}(t)=\frac{d{{{\vec{r}}}_{o}}(t)}{dt}</math> | :<math>\vec{a}\cdot d{{\vec{r}}_{i}}=\vec{a}\cdot {{\vec{v}}_{o}}(t)dt\ne 0\quad i=1,2,...,N\quad {{\vec{v}}_{o}}(t)=\frac{d{{{\vec{r}}}_{o}}(t)}{dt}</math> | ||
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<math>\delta f=\vec{a}\cdot \delta {{\vec{r}}_{i}}=0\quad i=1,2,...,N\quad {{\vec{v}}_{o}}(t)=\frac{d{{{\vec{r}}}_{o}}(t)}{dt}</math> | :<math>\delta f=\vec{a}\cdot \delta {{\vec{r}}_{i}}=0\quad i=1,2,...,N\quad {{\vec{v}}_{o}}(t)=\frac{d{{{\vec{r}}}_{o}}(t)}{dt}</math> | ||
Das heißt, die virtuellen Verrückungen geschehen alle bei festgehaltenem | Das heißt, die virtuellen Verrückungen geschehen alle bei festgehaltenem | ||
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Es gilt: | |||
<math>\delta {{\vec{r}}_{i}}\bot \vec{a}</math> | :<math>\delta {{\vec{r}}_{i}}\bot \vec{a}</math> | ||
Aktuelle Version vom 12. September 2010, 23:33 Uhr
Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Virtuelle Verrückungen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 2) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
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Unter einer virtuellen Verrückung versteht man die infinitesimale Änderung der Koordinaten, di zu fester Zeit die holonomen, bzw. nicht holonomen Zwangsbedingungen erfüllen. |
Damit ist der Unterschied zu einer reellen Verrückung klar, die als
im Zeitintervall
längs der Bahn geschieht.
Die Zwangsbedingungen lassen sich jedoch nicht virtuell verrücken.
Es gilt folglich
Die zeitabhängigen Anteile fallen raus, da ja nach Definition
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Als Beispiel betrachten wir die Bewegung eines Massepunktes in einer Ebene:
der Startpunkt des Teilchens, also ein fester Punkt in der Ebene und nicht notwendigerweise zeitunabhängig. a charakterisiert den Normalenvektor auf der Ebene Schließlich kann sich die Ebene bewegen, beispielsweise hoch und runter. Formuliert man nun holonome Zwangsbedingungen für N Massepunkte, so gilt:
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also gilt im Allgemeinen:
aber:
Das heißt, die virtuellen Verrückungen geschehen alle bei festgehaltenem
Es gilt: