Generalisierte Koordinaten: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 12. September 2010, 23:28 Uhr

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Generalisierte Koordinaten basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 4) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Problematischerweise liegen bei holonomen Zwangsbedingungen

f_{λ} ({\vec{r}}_{1} (t), {\vec{r}}_{2} (t), {\vec{r}}_{3} (t), . . . {\vec{r}}_{N} (t), t) = 0 λ = 1, . . . ν f \ddot{u} r a l l e t

gekoppelte Koordinaten vor (die Koordinaten sind in den Zwangsbedingungen gekoppelt).

Somit können die Punktkoordinaten

{{\vec{r}}_{1} (t), {\vec{r}}_{2} (t), {\vec{r}}_{3} (t), . . . {\vec{r}}_{N} (t)}

nicht unabhängig voneinander variiert werden.

Ziel:

Suche einen Satz von f unabhängigen generalisierten Koordinaten. Diese sind optimal angepasst, wenn so viele unabhängige Koordinaten wie Freiheitsgrade existieren: ${q_{1} (t), q_{2} (t), . . . q_{f} (t)} f = 1, 2, . . . 3 N - ν$
Anschließend können Bewegungsgleichungen für die ${q_{1} (t), q_{2} (t), . . . q_{f} (t)} f = 1, 2, . . . 3 N - ν$ aus einfachen Extremalprinzipien ermittelt werden.

Wesentlich: Die

{q_{1} (t), q_{2} (t), . . . q_{f} (t)} f = 1, 2, . . . 3 N - ν

sind FREI variierbar! Wegen

{\vec{r}}_{i} = {\vec{r}}_{i} (q_{1} (t), q_{2} (t), . . . q_{f} (t)) f = 1, 2, . . . 3 N - ν

sind die Zwangsbedingungen identisch erfüllt.

Beispiel: Der Massenpunkt auf der bewegten Ebene:

\vec{a} \cdot (\vec{r} - {\vec{r}}_{o} (t)) = 0

Betrachten wir ein mitbewegtes Koordinatensystem

\bar{e} {\overset{´}{}}_{1}, \bar{e} {\overset{´}{}}_{2}

Für den Radiusvektor existiert dann eine Verallgemeinerung:

\bar{r} = {\bar{r}}_{o} (t) + q_{1} \bar{e} {\overset{´}{}}_{1} + q_{2} \bar{e} {\overset{´}{}}_{2}

Somit existiert eine injektive Abbildung der Koordinaten und wir können als generalisierte Koordinaten bestimmen:

{q_{1}, q_{2}}, f = 2

Beispiel: Massepunkt auf Kreis mit Radius R:

\begin{aligned} \bar{r} = R (\cos ϕ {\bar{e}}_{1} + \sin ϕ {\bar{e}}_{2}) \\ q = ϕ \\ f = 1 \end{aligned}

Virtuelle Verrückungen

müssen nun auch in den generalisierten Koordinaten ausgedrückt werden, also:

δ {\bar{r}}_{i}

wird ausgedrückt durch

δ q_{1}, . . ., δ q f

Betrachten wir eine reale Verrückung (in der Zeit), so gilt:

{\vec{v}}_{i} = \frac{d}{d t} {\bar{r}}_{i} = \sum_{j = 1}^{f} (\frac{\partial {\bar{r}}_{i}}{\partial q_{j}} {\dot{q}}_{j}) + \frac{\partial}{\partial t} {\bar{r}}_{i}

Daraus ergibt sich jedoch die Gleichung:

\frac{\partial}{\partial {\dot{q}}_{j}} {\vec{v}}_{i} = \frac{\partial}{\partial {\dot{q}}_{j}} {[\sum_{j = 1}^{f} (\frac{\partial {\bar{r}}_{i}}{\partial q_{j}} {\dot{q}}_{j}) + \frac{\partial}{\partial t} {\bar{r}}_{i}]}_{} = \frac{\partial}{\partial q_{j}} {\bar{r}}_{i} (q_{1}, . . ., q_{f}, t)

Mit diesen Gleichung kann die Virtuelle Arbeit der eingeprägten Kräfte gewonnen werden:

\sum_{i}^{} {\vec{X}}_{i} δ {\vec{r}}_{i} = \sum_{j} {\sum_{i}^{} {\vec{X}}_{i} \frac{\partial {\bar{r}}_{i}}{\partial q_{j}}} δ q_{j}^{} = \sum_{j = 1}^{f} Q_{j} δ q_{j}^{}

Somit kann man als Ausdruck für die verallgemeinerte Kraft angeben:

Q_{j} = \sum_{i}^{} {\vec{X}}_{i} \frac{\partial {\bar{r}}_{i}}{\partial q_{j}}

Sind die eingeprägten Kräfte konservativ:

{\vec{X}}_{i} = - \nabla_{\vec{r} i} V ({\bar{r}}_{1}, {\bar{r}}_{2}, . . ., {\bar{r}}_{N})

So folgt:

- \frac{\partial V}{\partial q_{j}} = - \sum_{i}^{} \nabla_{\vec{r} i} V ({\bar{r}}_{1}, {\bar{r}}_{2}, . . ., {\bar{r}}_{N}) \frac{\partial {\bar{r}}_{i}}{\partial q_{j}} = \sum_{i}^{} {\vec{X}}_{i} \frac{\partial {\bar{r}}_{i}}{\partial q_{j}} = Q_{j}

Somit besitzen auch die verallgemeinerten Kräfte ein Potenzial, natürlich das physikalisch gleiche wie die eingeprägten Kräfte!

@@ Zeile 4: / Zeile 4: @@
-<math>{{f}_{\lambda }}({{\vec{r}}_{1}}(t),{{\vec{r}}_{2}}(t),{{\vec{r}}_{3}}(t),...{{\vec{r}}_{N}}(t),t)=0\quad \quad \lambda =1,...\nu \quad f\ddot{u}r\ alle\ t</math>
+:<math>{{f}_{\lambda }}({{\vec{r}}_{1}}(t),{{\vec{r}}_{2}}(t),{{\vec{r}}_{3}}(t),...{{\vec{r}}_{N}}(t),t)=0\quad \quad \lambda =1,...\nu \quad f\ddot{u}r\ alle\ t</math>
-gekoppelte Koordinaten vor ( die Koordinaten sind in den Zwangsbedingungen gekoppelt).
+gekoppelte Koordinaten vor (die Koordinaten sind in den Zwangsbedingungen gekoppelt).
 Somit können die Punktkoordinaten
-<math>\left\{ {{{\vec{r}}}_{1}}(t),{{{\vec{r}}}_{2}}(t),{{{\vec{r}}}_{3}}(t),...{{{\vec{r}}}_{N}}(t) \right\}</math>
+:<math>\left\{ {{{\vec{r}}}_{1}}(t),{{{\vec{r}}}_{2}}(t),{{{\vec{r}}}_{3}}(t),...{{{\vec{r}}}_{N}}(t) \right\}</math>
 nicht unabhängig voneinander variiert werden.
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 Wesentlich: Die
-<math>\left\{ {{q}_{1}}(t),{{q}_{2}}(t),...{{q}_{f}}(t) \right\}\quad f=1,2,...3N-\nu </math>
+:<math>\left\{ {{q}_{1}}(t),{{q}_{2}}(t),...{{q}_{f}}(t) \right\}\quad f=1,2,...3N-\nu </math>
-sind FREI variierbar ! Wegen
+sind FREI variierbar! Wegen
-<math>{{\vec{r}}_{i}}={{\vec{r}}_{i}}\left( {{q}_{1}}(t),{{q}_{2}}(t),...{{q}_{f}}(t) \right)\quad f=1,2,...3N-\nu </math>
+:<math>{{\vec{r}}_{i}}={{\vec{r}}_{i}}\left( {{q}_{1}}(t),{{q}_{2}}(t),...{{q}_{f}}(t) \right)\quad f=1,2,...3N-\nu </math>
 sind die Zwangsbedingungen identisch erfüllt.
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-<math>\vec{a}\cdot (\vec{r}-{{\vec{r}}_{o}}(t))=0</math>
+:<math>\vec{a}\cdot (\vec{r}-{{\vec{r}}_{o}}(t))=0</math>
 Betrachten wir ein mitbewegtes Koordinatensystem
-<math>\bar{e}{{\acute{\ }}_{1}},\bar{e}{{\acute{\ }}_{2}}</math>
+:<math>\bar{e}{{\acute{\ }}_{1}},\bar{e}{{\acute{\ }}_{2}}</math>
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-<math>\bar{r}={{\bar{r}}_{o}}(t)+{{q}_{1}}\bar{e}{{\acute{\ }}_{1}}+{{q}_{2}}\bar{e}{{\acute{\ }}_{2}}</math>
+:<math>\bar{r}={{\bar{r}}_{o}}(t)+{{q}_{1}}\bar{e}{{\acute{\ }}_{1}}+{{q}_{2}}\bar{e}{{\acute{\ }}_{2}}</math>
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-<math>\left\{ {{q}_{1}},{{q}_{2}} \right\} ,   f=2</math>
+:<math>\left\{ {{q}_{1}},{{q}_{2}} \right\} ,   f=2</math>
 }}
 {{Beispiel|'''Beispiel: Massepunkt auf Kreis mit Radius R:'''
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
    & \bar{r}=R(\cos \phi {{{\bar{e}}}_{1}}+\sin \phi {{{\bar{e}}}_{2}}) \\
   & q=\phi  \\
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-<math>\delta {{\bar{r}}_{i}}</math>
+:<math>\delta {{\bar{r}}_{i}}</math>
 wird ausgedrückt durch
-<math>\delta {{q}_{1}},...,\delta qf</math>
+:<math>\delta {{q}_{1}},...,\delta qf</math>
-Betrachten wir eine reale Verrückung ( in der Zeit), so gilt:
+Betrachten wir eine reale Verrückung (in der Zeit), so gilt:
-<math>{{\vec{v}}_{i}}=\frac{d}{dt}{{\bar{r}}_{i}}=\sum\limits_{j=1}^{f}{\left( \frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}{{{\dot{q}}}_{j}} \right)}+\frac{\partial }{\partial t}{{\bar{r}}_{i}}</math>
+:<math>{{\vec{v}}_{i}}=\frac{d}{dt}{{\bar{r}}_{i}}=\sum\limits_{j=1}^{f}{\left( \frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}{{{\dot{q}}}_{j}} \right)}+\frac{\partial }{\partial t}{{\bar{r}}_{i}}</math>
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-<math>\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}{{\vec{v}}_{i}}=\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}{{\left[ \sum\limits_{j=1}^{f}{\left( \frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}{{{\dot{q}}}_{j}} \right)}+\frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{r}}}_{i}} \right]}_{{}}}=\frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{\bar{r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)</math>
+:<math>\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}{{\vec{v}}_{i}}=\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}{{\left[ \sum\limits_{j=1}^{f}{\left( \frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}{{{\dot{q}}}_{j}} \right)}+\frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{r}}}_{i}} \right]}_{{}}}=\frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{\bar{r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)</math>
@@ Zeile 86: / Zeile 86: @@
-<math>\sum\limits_{i}^{{}}{{{{\vec{X}}}_{i}}\delta {{{\vec{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{j}{\left\{ \sum\limits_{i}^{{}}{{{{\vec{X}}}_{i}}\frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}} \right\}\delta q_{j}^{{}}}=\sum\limits_{j=1}^{f}{{{Q}_{j}}\delta }q_{j}^{{}}</math>
+:<math>\sum\limits_{i}^{{}}{{{{\vec{X}}}_{i}}\delta {{{\vec{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{j}{\left\{ \sum\limits_{i}^{{}}{{{{\vec{X}}}_{i}}\frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}} \right\}\delta q_{j}^{{}}}=\sum\limits_{j=1}^{f}{{{Q}_{j}}\delta }q_{j}^{{}}</math>
@@ Zeile 92: / Zeile 92: @@
-<math>{{Q}_{j}}=\sum\limits_{i}^{{}}{{{{\vec{X}}}_{i}}\frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}</math>
+:<math>{{Q}_{j}}=\sum\limits_{i}^{{}}{{{{\vec{X}}}_{i}}\frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}</math>
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-<math>{{\vec{X}}_{i}}=-{{\nabla }_{\vec{r}i}}V({{\bar{r}}_{1}},{{\bar{r}}_{2}},...,{{\bar{r}}_{N}})</math>
+:<math>{{\vec{X}}_{i}}=-{{\nabla }_{\vec{r}i}}V({{\bar{r}}_{1}},{{\bar{r}}_{2}},...,{{\bar{r}}_{N}})</math>
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-<math>-\frac{\partial V}{\partial {{q}_{j}}}=-\sum\limits_{i}^{{}}{{{\nabla }_{\vec{r}i}}V({{{\bar{r}}}_{1}},{{{\bar{r}}}_{2}},...,{{{\bar{r}}}_{N}})\frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}=\sum\limits_{i}^{{}}{{{{\vec{X}}}_{i}}\frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}={{Q}_{j}}</math>
+:<math>-\frac{\partial V}{\partial {{q}_{j}}}=-\sum\limits_{i}^{{}}{{{\nabla }_{\vec{r}i}}V({{{\bar{r}}}_{1}},{{{\bar{r}}}_{2}},...,{{{\bar{r}}}_{N}})\frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}=\sum\limits_{i}^{{}}{{{{\vec{X}}}_{i}}\frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}={{Q}_{j}}</math>
-Somit besitzen auch die verallgemeinerten Kräfte ein '''Potenzial''', natürlich das physikalisch gleiche wie die eingeprägten Kräfte !
+Somit besitzen auch die verallgemeinerten Kräfte ein '''Potenzial''', natürlich das physikalisch gleiche wie die eingeprägten Kräfte!

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