Generalisierte Koordinaten

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Generalisierte Koordinaten basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 4) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Problematischerweise liegen bei holonomen Zwangsbedingungen

f_{λ} ({\vec{r}}_{1} (t), {\vec{r}}_{2} (t), {\vec{r}}_{3} (t), ... {\vec{r}}_{N} (t), t) = 0 λ = 1, ... ν f \ddot{u} r a l l e t

gekoppelte Koordinaten vor (die Koordinaten sind in den Zwangsbedingungen gekoppelt).

Somit können die Punktkoordinaten

{{\vec{r}}_{1} (t), {\vec{r}}_{2} (t), {\vec{r}}_{3} (t), ... {\vec{r}}_{N} (t)}

nicht unabhängig voneinander variiert werden.

Ziel:

Suche einen Satz von f unabhängigen generalisierten Koordinaten. Diese sind optimal angepasst, wenn so viele unabhängige Koordinaten wie Freiheitsgrade existieren: ${q_{1} (t), q_{2} (t), ... q_{f} (t)} f = 1, 2, ...3 N - ν$
Anschließend können Bewegungsgleichungen für die ${q_{1} (t), q_{2} (t), ... q_{f} (t)} f = 1, 2, ...3 N - ν$ aus einfachen Extremalprinzipien ermittelt werden.

Wesentlich: Die

{q_{1} (t), q_{2} (t), ... q_{f} (t)} f = 1, 2, ...3 N - ν

sind FREI variierbar! Wegen

{\vec{r}}_{i} = {\vec{r}}_{i} (q_{1} (t), q_{2} (t), ... q_{f} (t)) f = 1, 2, ...3 N - ν

sind die Zwangsbedingungen identisch erfüllt.

Beispiel: Der Massenpunkt auf der bewegten Ebene:

\vec{a} \cdot (\vec{r} - {\vec{r}}_{o} (t)) = 0

Betrachten wir ein mitbewegtes Koordinatensystem

\bar{e} {\overset{´}{}}_{1}, \bar{e} {\overset{´}{}}_{2}

Für den Radiusvektor existiert dann eine Verallgemeinerung:

\bar{r} = {\bar{r}}_{o} (t) + q_{1} \bar{e} {\overset{´}{}}_{1} + q_{2} \bar{e} {\overset{´}{}}_{2}

Somit existiert eine injektive Abbildung der Koordinaten und wir können als generalisierte Koordinaten bestimmen:

{q_{1}, q_{2}}, f = 2

Beispiel: Massepunkt auf Kreis mit Radius R:

\begin{matrix} \bar{r} = R (\cos ϕ {\bar{e}}_{1} + \sin ϕ {\bar{e}}_{2}) \\ q = ϕ \\ f = 1 \end{matrix}

Virtuelle Verrückungen

müssen nun auch in den generalisierten Koordinaten ausgedrückt werden, also:

δ {\bar{r}}_{i}

wird ausgedrückt durch

δ q_{1}, ..., δ q f

Betrachten wir eine reale Verrückung (in der Zeit), so gilt:

{\vec{v}}_{i} = \frac{d}{d t} {\bar{r}}_{i} = \sum_{j = 1}^{f} (\frac{\partial {\bar{r}}_{i}}{\partial q_{j}} {\dot{q}}_{j}) + \frac{\partial}{\partial t} {\bar{r}}_{i}

Daraus ergibt sich jedoch die Gleichung:

\frac{\partial}{\partial {\dot{q}}_{j}} {\vec{v}}_{i} = \frac{\partial}{\partial {\dot{q}}_{j}} {[\sum_{j = 1}^{f} (\frac{\partial {\bar{r}}_{i}}{\partial q_{j}} {\dot{q}}_{j}) + \frac{\partial}{\partial t} {\bar{r}}_{i}]}_{} = \frac{\partial}{\partial q_{j}} {\bar{r}}_{i} (q_{1}, ..., q_{f}, t)

Mit diesen Gleichung kann die Virtuelle Arbeit der eingeprägten Kräfte gewonnen werden:

\sum_{i}^{} {\vec{X}}_{i} δ {\vec{r}}_{i} = \sum_{j} {\sum_{i}^{} {\vec{X}}_{i} \frac{\partial {\bar{r}}_{i}}{\partial q_{j}}} δ q_{j}^{} = \sum_{j = 1}^{f} Q_{j} δ q_{j}^{}

Somit kann man als Ausdruck für die verallgemeinerte Kraft angeben:

Q_{j} = \sum_{i}^{} {\vec{X}}_{i} \frac{\partial {\bar{r}}_{i}}{\partial q_{j}}

Sind die eingeprägten Kräfte konservativ:

{\vec{X}}_{i} = - \nabla_{\vec{r} i} V ({\bar{r}}_{1}, {\bar{r}}_{2}, ..., {\bar{r}}_{N})

So folgt:

- \frac{\partial V}{\partial q_{j}} = - \sum_{i}^{} \nabla_{\vec{r} i} V ({\bar{r}}_{1}, {\bar{r}}_{2}, ..., {\bar{r}}_{N}) \frac{\partial {\bar{r}}_{i}}{\partial q_{j}} = \sum_{i}^{} {\vec{X}}_{i} \frac{\partial {\bar{r}}_{i}}{\partial q_{j}} = Q_{j}

Somit besitzen auch die verallgemeinerten Kräfte ein Potenzial, natürlich das physikalisch gleiche wie die eingeprägten Kräfte!

Generalisierte Koordinaten

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