Eigenwerte und Eigenzustände von hermiteschen Operatoren

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Eigenwerte und Eigenzustände von hermiteschen Operatoren basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 3) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Annahme: Eine physikalische Observable F habe in einem normierten Zustand

$|\mathrm{\Psi }⟩$

einen scharfen Wert:

$\begin{array}{rl}& ⟨{\left(\mathrm{\Delta }\hat{F}\right)}^2⟩=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\mathrm{\Psi }*(\overline{r}){\left(\mathrm{\Delta }\hat{F}\right)}^2\mathrm{\Psi }(\overline{r})=⟨{(\hat{F}-⟨\hat{F}⟩)}^2⟩=⟨{\hat{F}}^2⟩-{⟨\hat{F}⟩}^2\\ & =\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\mathrm{\Psi }*(\overline{r}){\left(\hat{F}\right)}^2\mathrm{\Psi }(\overline{r})-{\left(\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\mathrm{\Psi }*(\overline{r})\hat{F}\mathrm{\Psi }(\overline{r})\right)}^2=0\\ & \iff ⟨\mathrm{\Psi }|{\hat{F}}^2|\mathrm{\Psi }⟩=⟨\mathrm{\Psi }|\hat{F}{|\mathrm{\Psi }⟩}^2\\ \end{array}$

Für hermitesches F als physikalische Observable mit

$⟨\mathrm{\Psi }|\hat{F}|\mathrm{\Psi }⟩=⟨\mathrm{\Psi }|\hat{F}|\mathrm{\Psi }⟩*$

Sei

$\hat{F}|\mathrm{\Psi }⟩:=|\mathrm{\Phi }⟩\iff ⟨\mathrm{\Psi }|\hat{F}=⟨\mathrm{\Phi }|$

So folgt aus

$⟨\mathrm{\Psi }|{\hat{F}}^2|\mathrm{\Psi }⟩=⟨\mathrm{\Psi }|\hat{F}{|\mathrm{\Psi }⟩}^2$,

dass

$⟨\mathrm{\Phi }|\mathrm{\Phi }⟩=⟨\mathrm{\Psi }|{\hat{F}}^2|\mathrm{\Psi }⟩=⟨\mathrm{\Psi }|\hat{F}{|\mathrm{\Psi }⟩}^2={⟨\mathrm{\Phi }|\mathrm{\Psi }⟩}^2={\left|⟨\mathrm{\Phi }|\mathrm{\Psi }⟩\right|}^2$

Die schwarzsche Ungleichung sagt jedoch :

$\begin{array}{rl}& {\left|⟨\mathrm{\Phi }|\mathrm{\Psi }⟩\right|}^2\le {\Vert \mathrm{\Phi }\Vert }^2{\Vert \mathrm{\Psi }\Vert }^2\\ & {\Vert \mathrm{\Psi }\Vert }^2=1\\ & \Rightarrow {\Vert \mathrm{\Phi }\Vert }^2{\Vert \mathrm{\Psi }\Vert }^2={\Vert \mathrm{\Phi }\Vert }^2=⟨\mathrm{\Phi }|\mathrm{\Phi }⟩\\ & {\left|⟨\mathrm{\Phi }|\mathrm{\Psi }⟩\right|}^2\le ⟨\mathrm{\Phi }|\mathrm{\Phi }⟩\\ \end{array}$

Das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn die Zustände parallel sind, also folgt:

$\begin{array}{rl}& |\mathrm{\Phi }⟩=\alpha |\mathrm{\Psi }⟩\alpha \in C\\ & \iff \hat{F}|\mathrm{\Psi }⟩=\alpha |\mathrm{\Psi }⟩\\ \end{array}$

Das heißt, für den normierten Zustand$|\mathrm{\Psi }⟩$folgt alleine aus der Schwarzschen Ungleichung, dass$|\mathrm{\Psi }⟩$Eigenzustand zu$\hat{F}$ist. Theorem 1: Eigenwerte hermitescher Operatoren sind reell Beweis:

$\begin{array}{rl}& ⟨\mathrm{\Psi }|\hat{F}|\mathrm{\Psi }⟩=\alpha ⟨\mathrm{\Psi }|\mathrm{\Psi }⟩=\alpha =⟨\mathrm{\Psi }|{\hat{F}}^{+}|\mathrm{\Psi }⟩=⟨\mathrm{\Psi }|\hat{F}|\mathrm{\Psi }⟩*=\alpha *\\ & \Rightarrow \alpha \in R\\ \end{array}$

Vergleiche Energie- Eigenwert Eigenwerte hermitescher Operatoren können DISKRET oder KONTINUIERLICH sein! Theorem 2: Eigenzustände hermitescher Operatoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal: Beweis:

$\begin{array}{rl}& \hat{F}|{\mathrm{\Psi }}_1⟩=F_1|{\mathrm{\Psi }}_1⟩\\ & \hat{F}|{\mathrm{\Psi }}_2⟩=F_2|{\mathrm{\Psi }}_2⟩\\ & \Rightarrow ⟨{\mathrm{\Psi }}_2|\hat{F}=F_2⟨{\mathrm{\Psi }}_2|\\ \end{array}$$\begin{array}{rl}& ⟨{\mathrm{\Psi }}_1|\hat{F}|{\mathrm{\Psi }}_2⟩=F_2⟨{\mathrm{\Psi }}_1|{\mathrm{\Psi }}_2⟩\\ & ⟨{\mathrm{\Psi }}_2|\hat{F}|{\mathrm{\Psi }}_1⟩=F_1⟨{\mathrm{\Psi }}_2|{\mathrm{\Psi }}_1⟩=⟨{\mathrm{\Psi }}_1|\hat{F}|{\mathrm{\Psi }}_2⟩*=F_2⟨{\mathrm{\Psi }}_1|{\mathrm{\Psi }}_2⟩falls\hat{F}={\hat{F}}^{+},F_2=F_2*\\ & ⟨{\mathrm{\Psi }}_2|\hat{F}|{\mathrm{\Psi }}_1⟩=⟨{\hat{F}}^{+}{\mathrm{\Psi }}_2|{\mathrm{\Psi }}_1⟩=F_2⟨{\mathrm{\Psi }}_2|{\mathrm{\Psi }}_1⟩\\ & ⟨{\mathrm{\Psi }}_2|\hat{F}|{\mathrm{\Psi }}_1⟩-⟨{\mathrm{\Psi }}_2|\hat{F}|{\mathrm{\Psi }}_1⟩=(F_2-F_1)⟨{\mathrm{\Psi }}_2|{\mathrm{\Psi }}_1⟩\\ \end{array}$

Da die Eigenwerte nach Voraussetzung verschieden sein sollen, gilt für die zugehörigen Eigenzustände:

$⟨{\mathrm{\Psi }}_2|{\mathrm{\Psi }}_1⟩=0$

Wegen der Normierung gilt:

$⟨{\mathrm{\Psi }}_n|{\mathrm{\Psi }}_m⟩={\delta }_{nm}$

Kontinuierlicher Fall:

$\begin{array}{rl}& ⟨F|F\stackrel{´}{}⟩=\delta (F-F\stackrel{´}{})\\ & ⟨\overline{r}|\overline{r}\stackrel{´}{}⟩=\delta (\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})\\ \end{array}$

Die Zustände sind im kontinuierlichen Fall nicht normierbar, also nicht Element des Hilbertraumes. Sind aber als Limes einer diskreten Basis aufzufassen:

$\begin{array}{rl}& |\overline{p}⟩\notin H\\ & |\overline{p}⟩:=\begin{array}{c}\lim \\ \mathrm{\Delta }p\to 0\\ \end{array}|\overline{p},\mathrm{\Delta }\overline{p}⟩\\ \end{array}$(vergleiche Fick, S. 114)

→ sogenannte Dirac- Zustände! Entartung (Unter Entartung versteht man, dass zum selben Eigenwert verschiedene Eigenzustände existieren) Dadurch können beispielsweise verschiedene Elektronen den gleichen Energiewert annehmen oder verschiedene Teilchen mit der exakt identisch gleichen Energie auftreten!

$\hat{F}|n,\alpha ⟩=F_n|n,\alpha ⟩$n=0,1,2,3,...$\alpha =1,2,3,..,={\alpha }_n$, der sogenannte Entartungsindex. Man spricht von

${\alpha }_n$- facher Entartung

Aus$\hat{F}|n,\alpha ⟩=F_n|n,\alpha ⟩$folgt bereits:$(F_n-F_m)⟨m,\alpha |n,\alpha \stackrel{´}{}⟩=0\Rightarrow ⟨m,\alpha |n,\alpha \stackrel{´}{}⟩={\delta }_{mn}$ Somit also müssen nur die HAUPTQUANTENZAHLEN, wie man sagt, der Zustände gleich sein. Möglich wäre$⟨n,\alpha |n,\alpha \stackrel{´}{}⟩\ne 0$für$\alpha \ne \alpha \stackrel{´}{}$. Also müssen miteinander entartete Zustände eines bestimmten Hauptniveaus nicht orthogonal sein. Jedoch kann man im Unterraum der Entarteten Zustände Transformationen durchführen. Dies ist der Eigenraum zum Eigenwert Fn. In diesem Eigenraum kann man die entarteten Zustände durch eine lineare Transformation in orthonormierte Eigenzustände$|n,\beta ⟩$überführen:

$|n,\beta ⟩=\sum _{\alpha =1}^{{\alpha }_n}|n,\alpha ⟩c_{\alpha \beta }$

Eine geeignete Trafo wäre beispielsweise das Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren: Also gilt dann:

$⟨n,\beta |m,\beta \stackrel{´}{}⟩={\delta }_{mn}{\delta }_{\beta \beta \stackrel{´}{}}$

Theorem 3: Zwei hermitesche Operatoren$\hat{F}$und$\hat{G}$kommutieren genau dann, wenn sie ein gemeinsames System von Eigenvektoren besitzen: Beweis:

Sei$[\hat{F},\hat{G}]=0$und$\hat{F}|n⟩=F_n|n⟩$$\Rightarrow [\hat{F},\hat{G}]|n⟩=\hat{F}\hat{G}|n⟩-\hat{G}\hat{F}|n⟩=\hat{F}\hat{G}|n⟩-F_n\hat{G}|n⟩=0$$\Rightarrow \hat{F}\hat{G}|n⟩=F_n\hat{G}|n⟩$ Also ist$\hat{G}|n⟩$Eigenzustand zum Operator$\hat{F}$mit Eigenwert$F_n$ Ist$F_n$nicht entartet, so folgt$\hat{G}|n⟩\stackrel{~}{}|n⟩$, also ist$|n⟩$auch Eigenzustand zu$\hat{G}$ Ist$F_n$entartet, so kann, explizit berechenbar durch Schmidtsche Orthogonalisierung, der Eigenraum E von$\hat{F}$zum Eigenwert$F_n$durch orthonormierte$|n,\beta ⟩\beta =1,...,s$aufgespannt werden. Dann kann der Eigenvektor$\hat{G}|n,\beta ⟩$entwickelt werden, gemäß$\hat{G}|n,\beta ⟩=\sum _{\beta \stackrel{´}{}}^{}|n,\beta ⟩c_{\beta \stackrel{´}{}\beta }$ Die Matrix$c_{\beta \stackrel{´}{}\beta }:=⟨n\beta \stackrel{´}{}|\hat{G}|n,\beta ⟩=c{*}_{\beta \beta \stackrel{´}{}}$ist hermitesch, kann also durch eine unitäre Transformation U diagonalisiert werden:

$|n,\gamma ⟩=\sum _{\beta }{U}_{\gamma \beta }|n,\beta ⟩$

Mit$\sum _{\beta }{U}_{\gamma \beta }{U}_{\beta \gamma \stackrel{´}{}}={\delta }_{\gamma \gamma \stackrel{´}{}}$(" Drehung der Basis") Somit

$\begin{array}{rl}& c_{\beta \stackrel{´}{}\beta }=⟨n,\beta \stackrel{´}{}|\hat{G}|n,\beta ⟩=G_{n\beta }{\delta }_{\beta \stackrel{´}{}\beta }\\ & \hat{G}|n,\beta ⟩=\sum _{\beta \stackrel{´}{}}|n,\beta \stackrel{´}{}⟩c_{\beta \stackrel{´}{}\beta }=G_{n\beta }|n,\beta ⟩\\ \end{array}$

Also ist$|n,\beta ⟩$auch Eigenvektor zu$\hat{G}$ Nebenbemerkung: Im Allgemeinen wird dadurch die Entartung aufgehoben! Leicht: Umkehrung: Sei$\left\{|n⟩\right\}$ein vollständiges System von Eigenvektoren zu$\hat{F},\hat{G}$$\hat{F}\hat{G}|n⟩=F_n{G}_n|n⟩=G_n{F}_n|n⟩=\hat{G}\hat{F}|n⟩\Rightarrow [\hat{F},\hat{G}]=0$ Definition Ein Operator$U:H\to H$heißt UNITÄR, falls$U^{+}U=U{U}^{+}=1$ Daraus folgt:$U^{+}=U^{-1}$ Mit$\begin{array}{rl}& |\mathrm{\Psi }\stackrel{´}{}⟩:=U|\mathrm{\Psi }⟩\\ & ⟨\mathrm{\Phi }\stackrel{´}{}|:=⟨\mathrm{\Phi }|U^{+}\\ \end{array}$ folgt für beliebige$\mathrm{\Psi },\mathrm{\Phi }$$⟨\mathrm{\Phi }\stackrel{´}{}|\mathrm{\Psi }\stackrel{´}{}⟩:=⟨\mathrm{\Phi }|U^{+}U|\mathrm{\Psi }⟩=⟨\mathrm{\Phi }|\mathrm{\Psi }⟩$ Das heißt, das Skalarprodukt ist bei unitären Transformationen invariant. Umgekehrt: Will man nur Trafos zulassen, für die das Skalarprodukt invariant bleibt (Erhaltung der Wahrscheinlichkeit), so sind dies die unitären! Unitäre Operatoren transformieren das quantenmechanische System ganz grundsätzlich von einer Basis in eine andere. dabei dürfen sich natürlich Aufenthalts- und Übergangswahrscheinlichkeiten (die Skalarprodukte) nicht ändern Nur unitäre Transformationen sind erlaubt! Insbesondere: Transformationen in die Eigenbasis eines OperatorsFehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}} = Diagonalisierung vonFehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}} Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{align}“): {\displaystyle \begin{align} & \left\langle \Phi \acute{\ } \right|\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}\acute{\ }\left| \Psi \acute{\ } \right\rangle :=\left\langle \Phi \right|{{U}^{+}}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}\acute{\ }U\left| \Psi \right\rangle \\ & \left| \Psi \right\rangle ={{U}^{+}}\left| \Psi \acute{\ } \right\rangle \\ & {{U}^{+}}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}\acute{\ }U=\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F} \\ & \left\langle \Phi \acute{\ } \right|\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}\acute{\ }\left| \Psi \acute{\ } \right\rangle =\left\langle \Phi \right|\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}\left| \Psi \right\rangle ={{F}_{\Psi }}{{\delta }_{\Psi \Phi }} \\ \end{align}} Wobei letzte Relation natürlich nur gilt, falls$|\mathrm{\Psi }⟩,|\mathrm{\Phi }⟩\in Eigenbasis$mit$F_{\mathrm{\Psi }}$als Eigenwert

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle {{U}^{+}}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}\acute{\ }U=\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}} diagonal!