Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
Annahme: Eine physikalische Observable F habe in einem normierten Zustand
einen scharfen Wert:
Für hermitesches F als physikalische Observable mit
Sei
So folgt aus
- ,
dass
Die schwarzsche Ungleichung sagt jedoch :
Das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn die Zustände parallel sind, also folgt:
Das heißt, für den normierten Zustandfolgt alleine aus der Schwarzschen Ungleichung, dassEigenzustand zuist.
Theorem 1: Eigenwerte hermitescher Operatoren sind reell
Beweis:
Vergleiche Energie- Eigenwert
Eigenwerte hermitescher Operatoren können DISKRET oder KONTINUIERLICH sein!
Theorem 2: Eigenzustände hermitescher Operatoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal:
Beweis:
Da die Eigenwerte nach Voraussetzung verschieden sein sollen, gilt für die zugehörigen Eigenzustände:
Wegen der Normierung gilt:
Kontinuierlicher Fall:
Die Zustände sind im kontinuierlichen Fall nicht normierbar, also nicht Element des Hilbertraumes. Sind aber als Limes einer diskreten Basis aufzufassen:
- (vergleiche Fick, S. 114)
→ sogenannte Dirac- Zustände!
Entartung (Unter Entartung versteht man, dass zum selben Eigenwert verschiedene Eigenzustände existieren)
Dadurch können beispielsweise verschiedene Elektronen den gleichen Energiewert annehmen oder verschiedene Teilchen mit der exakt identisch gleichen Energie auftreten!
- n=0,1,2,3,..., der sogenannte Entartungsindex. Man spricht von
- - facher Entartung
Ausfolgt bereits:
Somit also müssen nur die HAUPTQUANTENZAHLEN, wie man sagt, der Zustände gleich sein.
Möglich wärefür.
Also müssen miteinander entartete Zustände eines bestimmten Hauptniveaus nicht orthogonal sein.
Jedoch kann man im Unterraum der Entarteten Zustände Transformationen durchführen. Dies ist der Eigenraum zum Eigenwert Fn.
In diesem Eigenraum kann man die entarteten Zustände durch eine lineare Transformation in orthonormierte Eigenzuständeüberführen:
Eine geeignete Trafo wäre beispielsweise das Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren:
Also gilt dann:
Theorem 3:
Zwei hermitesche Operatorenundkommutieren genau dann, wenn sie ein gemeinsames System von Eigenvektoren besitzen:
Beweis:
Seiund
Also istEigenzustand zum Operatormit Eigenwert
Istnicht entartet, so folgt, also istauch Eigenzustand zu
Istentartet, so kann, explizit berechenbar durch Schmidtsche Orthogonalisierung, der Eigenraum E vonzum Eigenwertdurch orthonormierteaufgespannt werden.
Dann kann der Eigenvektorentwickelt werden, gemäß
Die Matrixist hermitesch, kann also durch eine unitäre Transformation U diagonalisiert werden:
Mit(" Drehung der Basis")
Somit
Also istauch Eigenvektor zu
Nebenbemerkung: Im Allgemeinen wird dadurch die Entartung aufgehoben!
Leicht: Umkehrung:
Seiein vollständiges System von Eigenvektoren zu
Definition
Ein Operatorheißt UNITÄR, falls
Daraus folgt:
Mit
folgt für beliebige
Das heißt, das Skalarprodukt ist bei unitären Transformationen invariant. Umgekehrt: Will man nur Trafos zulassen, für die das Skalarprodukt invariant bleibt (Erhaltung der Wahrscheinlichkeit), so sind dies die unitären!
Unitäre Operatoren transformieren das quantenmechanische System ganz grundsätzlich von einer Basis in eine andere.
dabei dürfen sich natürlich Aufenthalts- und Übergangswahrscheinlichkeiten (die Skalarprodukte) nicht ändern
Nur unitäre Transformationen sind erlaubt!
Insbesondere:
Transformationen in die Eigenbasis eines OperatorsFehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\lower“): {\displaystyle \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}}
= Diagonalisierung vonFehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\lower“): {\displaystyle \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}}
Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\lower“): {\displaystyle \begin{align} & \left\langle \Phi \acute{\ } \right|\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}\acute{\ }\left| \Psi \acute{\ } \right\rangle :=\left\langle \Phi \right|{{U}^{+}}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}\acute{\ }U\left| \Psi \right\rangle \\ & \left| \Psi \right\rangle ={{U}^{+}}\left| \Psi \acute{\ } \right\rangle \\ & {{U}^{+}}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}\acute{\ }U=\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F} \\ & \left\langle \Phi \acute{\ } \right|\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}\acute{\ }\left| \Psi \acute{\ } \right\rangle =\left\langle \Phi \right|\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}\left| \Psi \right\rangle ={{F}_{\Psi }}{{\delta }_{\Psi \Phi }} \\ \end{align}}
Wobei letzte Relation natürlich nur gilt, fallsmitals Eigenwert
- Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\lower“): {\displaystyle {{U}^{+}}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}\acute{\ }U=\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}}
diagonal!