Die Quantisierung: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 1. Juli 2011, 13:13 Uhr

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Die Quantisierung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 4) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

|}}

Physikalische Observablen -à hermitesche Operatoren im Hilbertraum

z.B. Ort: $x \to \hat{x}$

Geschwindigkeit: $\dot{x} \to \dot{\hat{x}} : = \frac{{\hat{p}}_{k i n}}{m} = \frac{\hat{p} - e \bar{A}}{m}$

hat nichts mehr mit der Zeitableitung von x zu tun !

Dabei existieren in der Quantenmechanik auch nichtklassische Observablen:

1. Parität: $\hat{P}$

als der Spiegeloperator.

Der Spiegeloperator ist in der Ortsdarstellung definiert durch $\begin{aligned} \hat{P} Ψ (\bar{r}) = Ψ (- \bar{r}) \\ \hat{P} | \bar{r} ⟩ = | - \bar{r} ⟩ \end{aligned}$

Dies kann jedoch bedeuten: $\hat{P} | Ψ ⟩ = \pm | Ψ ⟩$

mit dem Pluszeichen für symmetrische und dem Minus für antisymmetrische Zustände.

Die Eigenwerte des Paritätsoperator sind $\pm 1$ .

Es gilt:  $\begin{aligned} {\hat{P}}^{2} = 1 \\ {\hat{P}}^{- 1} = {\hat{P}}^{+} = \hat{P} \end{aligned}$

2. Der Projektionsoperator. Er löst die Frage: Ist das System im Zustand $| Ψ ⟩$

?

Der Projektionsoperator lautet:

{\hat{P}}_{Ψ} : = | Ψ ⟩ ⟨ Ψ |

Die grundsätzliche Definition eines Projektionsoperators ist lediglich ${\hat{P}}_{Ψ} \cdot {\hat{P}}_{Ψ} = {\hat{P}}_{Ψ}$

Die Wirkung:

{\hat{P}}_{Ψ} | Ψ ⟩ = | Ψ ⟩ ⟨ Ψ | Ψ ⟩ = | Ψ ⟩ 1 = | Ψ ⟩

Eigenwert +1

{\hat{P}}_{Ψ} | Φ ⟩ = | Ψ ⟩ ⟨ Ψ | Φ ⟩ = 0

Eigenwert 0, falls $| Φ ⟩ ⊥ | Ψ ⟩$

Befindet sich ein Zustand $| Φ ⟩$

teilweise im Zustand $| Ψ ⟩$ ,

so gilt:

{\hat{P}}_{Ψ} | Φ ⟩ = | Ψ ⟩ ⟨ Ψ | Φ ⟩ = c | Ψ ⟩

Dabei ist c eine Wahrscheinlichkeitsamplitude für das Antreffen des Zustands $| Ψ ⟩$

in $| Φ ⟩$ ,

also die Wurzel des Anteils von  $| Φ ⟩$

in $| Ψ ⟩$

Vertauschungsrelationen

Das Operatorkalkül ermöglicht die Beschreibung mit nicht vertauschbaren Observablen:

[\hat{F}, \hat{G}] = 0 \Leftrightarrow

\hat{F}

und $\hat{G}$

besitzen ein gemeinsames System von Eigenzuständen

[\hat{F}, \hat{G}] = 0 \Leftrightarrow

Observablen F und G sind gleichzeitig scharf meßbar

[\hat{F}, \hat{G}] \neq 0 \Leftrightarrow

Observablen F und G sind NICHT gleichzeitig scharf meßbar.

Quantisierung = Aufstellung von Vertauschungsrelationen

Es gelten die kanonischen Vertauschungsrelationen:

\begin{aligned} [{\hat{p}}_{i}, {\hat{x}}_{k}] = \frac{ℏ}{i} δ_{i k} 1 \\ [{\hat{p}}_{i}, {\hat{p}}_{k}] = [{\hat{x}}_{i}, {\hat{x}}_{k}] = 0 \end{aligned}

i=1,2,3 kartesische Koordinaten

Übungsweise kann man zeigen:

\begin{aligned} [\hat{p}, T] = ? \\ [F, {\hat{x}}_{k}] = \frac{ℏ}{i} \frac{\partial F}{\partial p_{k}} \\ [F, {\hat{p}}_{k}] = \frac{ℏ}{i} \frac{\partial F}{\partial x_{k}} \end{aligned}

Berechnung in der Ortsdarstellung:

[{\hat{p}}_{i}, {\hat{x}}_{k}] Ψ (\bar{r}) = \frac{ℏ}{i} \partial_{i} (x_{k} Ψ) - x_{k} \frac{ℏ}{i} \partial_{i} Ψ = \frac{ℏ}{i} δ_{i k} Ψ

Nebenbemerkung: Hieraus können alle weiteren Kommutatoren berechnet werden.

Der Meßprozeß:

| Φ ⟩ - 1 . M e s s u n g v o n F \to | Φ \overset{´}{} ⟩ - 2 . M e s s u n g v o n F \to | Φ \overset{´}{} \overset{´}{} ⟩

Dabei ändert sich der Zustand durch die Wechselwirkung mit dem Messapparat.

Die Messwerte sind F´ in $| Φ \overset{´}{} ⟩$

und F´´in $| Φ \overset{´}{} \overset{´}{} ⟩$ .

Forderung: F´ = F ´´

→ $F \overset{´}{} = F \overset{´}{} \overset{´}{} = F_{n}$

(Eigenwert)

| Φ \overset{´}{} ⟩

= $| Φ \overset{´}{} \overset{´}{} ⟩$

= $| n ⟩$

Eigenzustand zu $\hat{F}$

Also: $| Φ ⟩ \to | n ⟩$

Der beliebige Zustand wird durch die Messung auf einen Eigenzustand projiziert.

Man spricht von einer Reduktion des Zustandsvektors durch die Messung.

Beispiel: Stern- Gerlach - Apparatur:

Von links kommt ein Ensemble von Teilchen mit dem magnetischen Moment mz.

Dabei kennzeichnet rechts $| - 1 ⟩$

den Eigenzustand zu mz = -1

Erwartungswert = Mittelwert über viele Messungen mit identisch präparierten Ausgangszuständen $| Ψ ⟩$

\begin{aligned} ⟨ Ψ | \hat{F} | Ψ ⟩ = \sum_{n, n \overset{´}{}}^{} ⟨ Ψ | n ⟩ ⟨ n | \hat{F} | n \overset{´}{} ⟩ ⟨ n \overset{´}{} | Ψ ⟩ \\ ⟨ n | \hat{F} | n \overset{´}{} ⟩ = F_{n} δ_{n n \overset{´}{}} \\ \Rightarrow ⟨ Ψ | \hat{F} | Ψ ⟩ = \sum_{n}^{} F_{n} {| ⟨ n | Ψ ⟩ |}^{2} \end{aligned}

Mit der Wahrscheinlichkeit, im Zustand $| Ψ ⟩$ (vor der Messung) den Messwert Fn zu messen:

p (F_{n}) = {| ⟨ n | Ψ ⟩ |}^{2}

Vergleiche dazu: Aufenthaltswahrscheinlichkeit in Ortsdarstellung:

p (\bar{r}) = {| Ψ (\bar{r}) |}^{2} = {| ⟨ \bar{r} | Ψ ⟩ |}^{2}

Wie wir bereits kennengelernt haben, läßt sich mit dem Projektionsoperator schreiben:

{| ⟨ n | Ψ ⟩ |}^{2} = ⟨ Ψ | n ⟩ ⟨ n | Ψ ⟩ = ⟨ Ψ | {\hat{P}}_{n} | Ψ ⟩ = ⟨ {\hat{P}}_{n} ⟩

Wow! Great thinknig! JK

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
 <noinclude>{{Scripthinweis|Quantenmechanik|2|4}}</noinclude>
-Physikalische Observablen - hermitesche Operatoren im Hilbertraum
+Physikalische Observablen -à hermitesche Operatoren im Hilbertraum
 z.B. Ort: <math>x\to \hat{x}</math>
@@ Zeile 7: / Zeile 7: @@
 Geschwindigkeit: <math>\dot{x}\to \dot{\hat{x}}:=\frac{{{{\hat{p}}}_{kin}}}{m}=\frac{\hat{p}-e\bar{A}}{m}</math>
-hat nichts mehr mit der Zeitableitung von x zu tun  !
+hat nichts mehr mit der Zeitableitung von x zu tun !
 Dabei existieren in der Quantenmechanik auch nichtklassische Observablen:
@@ Zeile 28: / Zeile 28: @@
 Die Eigenwerte des Paritätsoperator sind <math>\pm 1</math>
+.
-. Es gilt: <math>\begin{align}
+ Es gilt: <math>\begin{align}
 & {{{\hat{P}}}^{2}}=1 \\
@@ Zeile 43: / Zeile 43: @@
 Der Projektionsoperator lautet:
-<math>{{\hat{P}}_{\Psi }}:=\left| \Psi  \right\rangle \left\langle  \Psi  \right|</math>
+:<math>{{\hat{P}}_{\Psi }}:=\left| \Psi  \right\rangle \left\langle  \Psi  \right|</math>
 Die grundsätzliche Definition eines Projektionsoperators ist lediglich <math>{{\hat{P}}_{\Psi }}\cdot {{\hat{P}}_{\Psi }}={{\hat{P}}_{\Psi }}</math>
@@ Zeile 49: / Zeile 49: @@
 Die Wirkung:
-<math>{{\hat{P}}_{\Psi }}\left| \Psi  \right\rangle =\left| \Psi  \right\rangle \left\langle  \Psi  \right|\left| \Psi  \right\rangle =\left| \Psi  \right\rangle 1=\left| \Psi  \right\rangle </math>
+:<math>{{\hat{P}}_{\Psi }}\left| \Psi  \right\rangle =\left| \Psi  \right\rangle \left\langle  \Psi   |  \Psi  \right\rangle =\left| \Psi  \right\rangle 1=\left| \Psi  \right\rangle </math>
 Eigenwert +1
-<math>{{\hat{P}}_{\Psi }}\left| \Phi  \right\rangle =\left| \Psi  \right\rangle \left\langle  \Psi  \right|\left| \Phi  \right\rangle =0</math>
+:<math>{{\hat{P}}_{\Psi }}\left| \Phi  \right\rangle =\left| \Psi  \right\rangle \left\langle  \Psi   |  \Phi  \right\rangle =0</math>
 Eigenwert 0, falls <math>\left| \Phi  \right\rangle \bot \left| \Psi  \right\rangle </math>
@@ Zeile 60: / Zeile 60: @@
 teilweise im Zustand <math>\left| \Psi  \right\rangle </math>
+,
+ so gilt:
-, so gilt:
+:<math>{{\hat{P}}_{\Psi }}\left| \Phi  \right\rangle =\left| \Psi  \right\rangle \left\langle  \Psi   |  \Phi  \right\rangle =c\left| \Psi  \right\rangle </math>
-<math>{{\hat{P}}_{\Psi }}\left| \Phi  \right\rangle =\left| \Psi  \right\rangle \left\langle  \Psi  \right|\left| \Phi  \right\rangle =c\left| \Psi  \right\rangle </math>
 Dabei ist c eine Wahrscheinlichkeitsamplitude für das Antreffen des Zustands <math>\left| \Psi  \right\rangle </math>
 in <math>\left| \Phi  \right\rangle </math>
+,
-, also die Wurzel des Anteils von <math>\left| \Phi  \right\rangle </math>
+ also die Wurzel des Anteils von <math>\left| \Phi  \right\rangle </math>
 in  <math>\left| \Psi  \right\rangle </math>
@@ Zeile 76: / Zeile 76: @@
 Das Operatorkalkül ermöglicht die Beschreibung mit nicht vertauschbaren Observablen:
-<math>\left[ \hat{F},\hat{G} \right]=0\Leftrightarrow </math>
+:<math>\left[ \hat{F},\hat{G} \right]=0\Leftrightarrow </math>
-<math>\hat{F}</math>
+:<math>\hat{F}</math>
 und <math>\hat{G}</math>
@@ Zeile 84: / Zeile 84: @@
 besitzen ein gemeinsames System von Eigenzuständen
-<math>\left[ \hat{F},\hat{G} \right]=0\Leftrightarrow </math>
+:<math>\left[ \hat{F},\hat{G} \right]=0\Leftrightarrow </math>
 Observablen F und G sind gleichzeitig scharf meßbar
-<math>\left[ \hat{F},\hat{G} \right]\ne 0\Leftrightarrow </math>
+:<math>\left[ \hat{F},\hat{G} \right]\ne 0\Leftrightarrow </math>
 Observablen F und G sind NICHT gleichzeitig scharf meßbar.
@@ Zeile 96: / Zeile 96: @@
 Es gelten die kanonischen Vertauschungsrelationen:
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & \left[ {{{\hat{p}}}_{i}},{{{\hat{x}}}_{k}} \right]=\frac{\hbar }{i}{{\delta }_{ik}}1 \\
@@ Zeile 108: / Zeile 108: @@
 '''Übungsweise kann man zeigen:'''
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & \left[ \hat{p},T \right]=? \\
@@ Zeile 120: / Zeile 120: @@
 Berechnung in der Ortsdarstellung:
-<math>\left[ {{{\hat{p}}}_{i}},{{{\hat{x}}}_{k}} \right]\Psi (\bar{r})=\frac{\hbar }{i}{{\partial }_{i}}({{x}_{k}}\Psi )-{{x}_{k}}\frac{\hbar }{i}{{\partial }_{i}}\Psi =\frac{\hbar }{i}{{\delta }_{ik}}\Psi </math>
+:<math>\left[ {{{\hat{p}}}_{i}},{{{\hat{x}}}_{k}} \right]\Psi (\bar{r})=\frac{\hbar }{i}{{\partial }_{i}}({{x}_{k}}\Psi )-{{x}_{k}}\frac{\hbar }{i}{{\partial }_{i}}\Psi =\frac{\hbar }{i}{{\delta }_{ik}}\Psi </math>
 Nebenbemerkung: Hieraus können alle weiteren Kommutatoren berechnet werden.
@@ Zeile 126: / Zeile 126: @@
 ====Der Meßprozeß:====
-<math>\left| \Phi  \right\rangle -1.MessungvonF\to \left| \Phi \acute{\ } \right\rangle -2.MessungvonF\to \left| \Phi \acute{\ }\acute{\ } \right\rangle </math>
+:<math>\left| \Phi  \right\rangle -1.MessungvonF\to \left| \Phi \acute{\ } \right\rangle -2.MessungvonF\to \left| \Phi \acute{\ }\acute{\ } \right\rangle </math>
 Dabei ändert sich der Zustand durch die Wechselwirkung mit dem Messapparat.
@@ Zeile 133: / Zeile 133: @@
 und F´´in <math>\left| \Phi \acute{\ }\acute{\ } \right\rangle </math>
+.
-.
 Forderung:  F´ = F ´´
--><math>F\acute{\ }=F\acute{\ }\acute{\ }={{F}_{n}}</math>
+→<math>F\acute{\ }=F\acute{\ }\acute{\ }={{F}_{n}}</math>
 (Eigenwert)
-<math>\left| \Phi \acute{\ } \right\rangle </math>
+:<math>\left| \Phi \acute{\ } \right\rangle </math>
 =<math>\left| \Phi \acute{\ }\acute{\ } \right\rangle </math>
@@ Zeile 168: / Zeile 168: @@
 :
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
-& \left\langle  \Psi  \right|\hat{F}\left| \Psi  \right\rangle =\sum\limits_{n,n\acute{\ }}^{{}}{\left\langle  \Psi  \right|\left| n \right\rangle \left\langle  n \right|\hat{F}\left| n\acute{\ } \right\rangle \left\langle  n\acute{\ } \right|\left| \Psi  \right\rangle } \\
+& \left\langle  \Psi  \right|\hat{F}\left| \Psi  \right\rangle =\sum\limits_{n,n\acute{\ }}^{{}}{\left\langle  \Psi   |  n \right\rangle \left\langle  n \right|\hat{F}\left| n\acute{\ } \right\rangle \left\langle  n\acute{\ }  |  \Psi  \right\rangle } \\
 & \left\langle  n \right|\hat{F}\left| n\acute{\ } \right\rangle ={{F}_{n}}{{\delta }_{nn\acute{\ }}} \\
@@ Zeile 178: / Zeile 178: @@
 Mit der Wahrscheinlichkeit, im Zustand <math>\left| \Psi  \right\rangle </math>
-( vor der Messung) den Messwert Fn zu messen:
+(vor der Messung) den Messwert Fn zu messen:
-<math>p({{F}_{n}})={{\left| \left\langle  n | \Psi  \right\rangle  \right|}^{2}}</math>
+:<math>p({{F}_{n}})={{\left| \left\langle  n | \Psi  \right\rangle  \right|}^{2}}</math>
 Vergleiche dazu: Aufenthaltswahrscheinlichkeit in Ortsdarstellung:
-<math>p(\bar{r})={{\left| \Psi (\bar{r}) \right|}^{2}}={{\left| \left\langle  {\bar{r}} | \Psi  \right\rangle  \right|}^{2}}</math>
+:<math>p(\bar{r})={{\left| \Psi (\bar{r}) \right|}^{2}}={{\left| \left\langle  {\bar{r}} | \Psi  \right\rangle  \right|}^{2}}</math>
 Wie wir bereits kennengelernt haben, läßt sich mit dem Projektionsoperator schreiben:
-<math>{{\left| \left\langle  n | \Psi  \right\rangle  \right|}^{2}}=\left\langle  \Psi  | n \right\rangle \left\langle  n | \Psi  \right\rangle =\left\langle  \Psi  \right|{{\hat{P}}_{n}}\left| \Psi  \right\rangle =\left\langle {{{\hat{P}}}_{n}} \right\rangle </math>
+:<math>{{\left| \left\langle  n | \Psi  \right\rangle  \right|}^{2}}=\left\langle  \Psi  | n \right\rangle \left\langle  n | \Psi  \right\rangle =\left\langle  \Psi  \right|{{\hat{P}}_{n}}\left| \Psi  \right\rangle =\left\langle {{{\hat{P}}}_{n}} \right\rangle </math>
-=====Maximalmessung:=====
-Es können nicht ALLE Observablen gleichzeitig scharf gemessen werden. Gleichzeitige Messung eines vollständigen Satzes vertauschbarer Observablen heißt MAXIMALMESSUNG.
-Vollständig heißt: Der Satz kann durch keine weiteren unabhängigen Observablen ergänzt werden. Das heißt: Die gemeinsamen Eigenzustände sind auch nicht entartet !
-Bei Entartung: weitere vertauschbare Operatoren hinzufügen, bis die gemeinsamen Eigenräume eindimensional sind
-der Zustand <math>\left| n,\alpha ,... \right\rangle </math>
-ist durch Maximalmessung vollständig bestimmt.
-'''Spezialfall:'''
-Falls Energie- Eigenwerte nicht entartet sind ( z.B. gebundene eindimensionale Zustände), so ist der HAMILTON- OPERATOR <math>\hat{H}</math>
-eine vollständige Observable
-Bei Entartung: Weitere, mit <math>\hat{H}</math>
-vertauschbare Observable hinzufügen (z.B. Drehimpuls, vergl. Kapitel 3)
-Der '''Hilbertraum H '''eines physikalischen Systems wird durch die gemeinsamen Eigenvektoren (Basis) eines vollständigen Satzes vertauschbarer Observablen aufgespannt.
-'''Nichtvertauschbarkeit und Unschärfe'''
-Seien <math>\hat{F}</math>
-und <math>\hat{G}</math>
-hermitesche Operatoren und <math>\left| \Psi  \right\rangle </math>
-ein beliebiger Zustand.
-<math>\begin{align}
-& \Delta \hat{F}:=\hat{F}-\left\langle {\hat{F}} \right\rangle  \\
-& \Delta \hat{G}:=\hat{G}-\left\langle {\hat{G}} \right\rangle  \\
-\end{align}</math>
-sind ebenfalls hermitesche Operatoren
-Bilde:
-<math>\begin{align}
-& f(\lambda ):=\left\langle \left( \Delta \hat{F}+i\lambda \Delta \hat{G} \right)\left( \Delta \hat{F}-i\lambda \Delta \hat{G} \right) \right\rangle  \\
-& =\left\langle {{\left( \Delta \hat{F} \right)}^{2}} \right\rangle -i\lambda \left\langle \left[ \Delta \hat{F},\Delta \hat{G} \right] \right\rangle +{{\lambda }^{2}}\left\langle {{\left( \Delta \hat{G} \right)}^{2}} \right\rangle  \\
-& \left\langle {{\left( \Delta \hat{F} \right)}^{2}} \right\rangle :=\alpha \ge 0 \\
-& \left\langle \left[ \Delta \hat{F},\Delta \hat{G} \right] \right\rangle :=\beta  \\
-& \left\langle {{\left( \Delta \hat{G} \right)}^{2}} \right\rangle :=\gamma \ge 0 \\
-\end{align}</math>
-Dies ist eine quadratische Funktion von <math>\lambda </math>
-mit<math>f(\lambda )\to \infty </math>
-für <math>\lambda \to \infty </math>
-'''Lemma:'''
-Für hermitesche Operatoren <math>\hat{F}</math>
-und <math>\hat{G}</math>
-gilt:
-<math>\begin{align}
-& \left\langle \hat{A}\hat{A} \right\rangle \ge 0 \\
-& {{\left\langle i\hat{A} \right\rangle }^{+}}=-\left\langle i\hat{A} \right\rangle  \\
-& \left\langle \hat{A}\hat{B} \right\rangle *=\left\langle \hat{B}\hat{A} \right\rangle  \\
-\end{align}</math>
-Mit <math>\hat{Q}:=\Delta \hat{F}-i\lambda \Delta \hat{G}\Rightarrow {{\hat{Q}}^{+}}:=\Delta \hat{F}+i\lambda \Delta \hat{G}</math>
-:
-Suche nach dem Minimum:
-<math>\begin{align}
-& f\acute{\ }(\lambda )=-i\beta +2\lambda \gamma =0 \\
-& \Rightarrow {{\lambda }_{0}}=\frac{i}{2}\frac{\beta }{\gamma } \\
-\end{align}</math>
-<math>\begin{align}
-& \left\langle {{\left( \Delta \hat{F} \right)}^{2}} \right\rangle :=\alpha \ge 0 \\
-& \left\langle \left[ \Delta \hat{F},\Delta \hat{G} \right] \right\rangle :=\beta  \\
-& \left\langle {{\left( \Delta \hat{G} \right)}^{2}} \right\rangle :=\gamma \ge 0 \\
-\end{align}</math>
-<math>\begin{align}
-& f({{\lambda }_{0}})=\alpha +\frac{{{\beta }^{2}}}{2\gamma }-\frac{{{\beta }^{2}}}{4\gamma }=\alpha +\frac{{{\beta }^{2}}}{4\gamma }\ge 0 \\
-& {{\beta }^{2}}={{\left\langle \left[ \Delta \hat{F},\Delta \hat{G} \right] \right\rangle }^{2}}={{\left\langle \left[ \hat{F},\hat{G} \right] \right\rangle }^{2}}=-\left\langle \left[ \hat{G},\hat{F} \right] \right\rangle \left\langle \left[ \hat{F},\hat{G} \right] \right\rangle =-\left\langle \left[ \hat{F},\hat{G} \right] \right\rangle *\left\langle \left[ \hat{F},\hat{G} \right] \right\rangle =-{{\left| \left\langle \left[ \hat{F},\hat{G} \right] \right\rangle  \right|}^{2}} \\
-& \Rightarrow \left\langle {{\left( \Delta \hat{F} \right)}^{2}} \right\rangle \left\langle {{\left( \Delta \hat{G} \right)}^{2}} \right\rangle \ge \frac{1}{4}{{\left| \left\langle \left[ \hat{F},\hat{G} \right] \right\rangle  \right|}^{2}} \\
-\end{align}</math>
-Somit jedoch ergibt sich die quantenmechanische Unschärfe gemäß
-<math>\sqrt{\left\langle {{\left( \Delta \hat{F} \right)}^{2}} \right\rangle \left\langle {{\left( \Delta \hat{G} \right)}^{2}} \right\rangle }\ge \frac{1}{2}\left| \left\langle \left[ \hat{F},\hat{G} \right] \right\rangle  \right|</math>
-:	('''Unschärferelation''')
-Speziell:
-<math>\begin{align}
-& \left[ \hat{p},\hat{x} \right]=\frac{\hbar }{i}1 \\
-& \sqrt{\left\langle {{\left( \Delta \hat{p} \right)}^{2}} \right\rangle \left\langle {{\left( \Delta \hat{x} \right)}^{2}} \right\rangle }\ge \frac{1}{2}\left| \left\langle \left[ \hat{p},\hat{x} \right] \right\rangle  \right|=\frac{\hbar }{2} \\
-\end{align}</math>
-Heisenbergsche Unschärferelation für die Orts- und Impulsunschärfe
-'''Zusammenfassung'''
-Der Zustand des Systems wird im Zustandsvektor <math>\left| \Psi  \right\rangle </math>
-ausgedrückt
-Die Observable F wird dargestellt durch den hermiteschen Operator <math>\hat{F}</math>
-.
-Die Mittelwerte von Observablen ergeben sich als Erwartungswert <math>\left\langle  \Psi  \right|\hat{F}\left| \Psi  \right\rangle </math>
-Die Messung von F liefert einen Messwert, welcher immer Eigenwert der Observablen ist, also Fn. Der Zustand wird dabei auf einen Eigenzustand reduziert: <math>\left| \Psi  \right\rangle \to \left| n \right\rangle </math>
-Die Zeitentwicklung der Zustände wird durch die Schrödingergleichung beschrieben:
-<math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left| \Psi  \right\rangle =\hat{H}\left| \Psi  \right\rangle </math>
-Nebenbemerkung: Die Quantenmechanik ist keine Wellen- oder Teilchenmechanik sondern eine Zustandsmechanik. Der Dualismus zwischen Welle und Teilchen wird in einem einheitlichen Formalismus aufgelöst.
+Wow! Great thinknig! JK

Die Quantisierung: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 1. Juli 2011, 13:13 Uhr

Vertauschungsrelationen

Der Meßprozeß:

Navigationsmenü

Suche