Die Quantisierung

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Die Quantisierung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 4) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Physikalische Observablen -à hermitesche Operatoren im Hilbertraum

z.B. Ort: $x \to \hat{x}$

Geschwindigkeit: $\dot{x} \to \dot{\hat{x}} := \frac{{\hat{p}}_{k i n}}{m} = \frac{\hat{p} - e \bar{A}}{m}$

hat nichts mehr mit der Zeitableitung von x zu tun !

Dabei existieren in der Quantenmechanik auch nichtklassische Observablen:

1. Parität: $\hat{P}$

als der Spiegeloperator.

Der Spiegeloperator ist in der Ortsdarstellung definiert durch $\begin{matrix} \hat{P} Ψ (\bar{r}) = Ψ (- \bar{r}) \\ \hat{P} | \bar{r} ⟩ = | - \bar{r} ⟩ \end{matrix}$

Dies kann jedoch bedeuten: $\hat{P} | Ψ ⟩ = \pm | Ψ ⟩$

mit dem Pluszeichen für symmetrische und dem Minus für antisymmetrische Zustände.

Die Eigenwerte des Paritätsoperator sind $\pm 1$ .

Es gilt:  $\begin{matrix} {\hat{P}}^{2} = 1 \\ {\hat{P}}^{- 1} = {\hat{P}}^{+} = \hat{P} \end{matrix}$

2. Der Projektionsoperator. Er löst die Frage: Ist das System im Zustand $| Ψ ⟩$

?

Der Projektionsoperator lautet:

{\hat{P}}_{Ψ} := | Ψ ⟩ ⟨ Ψ |

Die grundsätzliche Definition eines Projektionsoperators ist lediglich ${\hat{P}}_{Ψ} \cdot {\hat{P}}_{Ψ} = {\hat{P}}_{Ψ}$

Die Wirkung:

{\hat{P}}_{Ψ} | Ψ ⟩ = | Ψ ⟩ ⟨ Ψ | Ψ ⟩ = | Ψ ⟩ 1 = | Ψ ⟩

Eigenwert +1

{\hat{P}}_{Ψ} | Φ ⟩ = | Ψ ⟩ ⟨ Ψ | Φ ⟩ = 0

Eigenwert 0, falls $| Φ ⟩ ⊥ | Ψ ⟩$

Befindet sich ein Zustand $| Φ ⟩$

teilweise im Zustand $| Ψ ⟩$ ,

so gilt:

{\hat{P}}_{Ψ} | Φ ⟩ = | Ψ ⟩ ⟨ Ψ | Φ ⟩ = c | Ψ ⟩

Dabei ist c eine Wahrscheinlichkeitsamplitude für das Antreffen des Zustands $| Ψ ⟩$

in $| Φ ⟩$ ,

also die Wurzel des Anteils von  $| Φ ⟩$

in $| Ψ ⟩$

Vertauschungsrelationen

Das Operatorkalkül ermöglicht die Beschreibung mit nicht vertauschbaren Observablen:

[\hat{F}, \hat{G}] = 0 \Leftrightarrow

\hat{F}

und $\hat{G}$

besitzen ein gemeinsames System von Eigenzuständen

[\hat{F}, \hat{G}] = 0 \Leftrightarrow

Observablen F und G sind gleichzeitig scharf meßbar

[\hat{F}, \hat{G}] \neq 0 \Leftrightarrow

Observablen F und G sind NICHT gleichzeitig scharf meßbar.

Quantisierung = Aufstellung von Vertauschungsrelationen

Es gelten die kanonischen Vertauschungsrelationen:

\begin{matrix} [{\hat{p}}_{i}, {\hat{x}}_{k}] = \frac{ℏ}{i} δ_{i k} 1 \\ [{\hat{p}}_{i}, {\hat{p}}_{k}] = [{\hat{x}}_{i}, {\hat{x}}_{k}] = 0 \end{matrix}

i=1,2,3 kartesische Koordinaten

Übungsweise kann man zeigen:

\begin{matrix} [\hat{p}, T] = ? \\ [F, {\hat{x}}_{k}] = \frac{ℏ}{i} \frac{\partial F}{\partial p_{k}} \\ [F, {\hat{p}}_{k}] = \frac{ℏ}{i} \frac{\partial F}{\partial x_{k}} \end{matrix}

Berechnung in der Ortsdarstellung:

[{\hat{p}}_{i}, {\hat{x}}_{k}] Ψ (\bar{r}) = \frac{ℏ}{i} \partial_{i} (x_{k} Ψ) - x_{k} \frac{ℏ}{i} \partial_{i} Ψ = \frac{ℏ}{i} δ_{i k} Ψ

Nebenbemerkung: Hieraus können alle weiteren Kommutatoren berechnet werden.

Der Meßprozeß:

| Φ ⟩ - 1. M e s s u n g v o n F \to | Φ \overset{´}{} ⟩ - 2. M e s s u n g v o n F \to | Φ \overset{´}{} \overset{´}{} ⟩

Dabei ändert sich der Zustand durch die Wechselwirkung mit dem Messapparat.

Die Messwerte sind F´ in $| Φ \overset{´}{} ⟩$

und F´´in $| Φ \overset{´}{} \overset{´}{} ⟩$ .

Forderung: F´ = F ´´

→ $F \overset{´}{} = F \overset{´}{} \overset{´}{} = F_{n}$

(Eigenwert)

| Φ \overset{´}{} ⟩

= $| Φ \overset{´}{} \overset{´}{} ⟩$

= $| n ⟩$

Eigenzustand zu $\hat{F}$

Also: $| Φ ⟩ \to | n ⟩$

Der beliebige Zustand wird durch die Messung auf einen Eigenzustand projiziert.

Man spricht von einer Reduktion des Zustandsvektors durch die Messung.

Beispiel: Stern- Gerlach - Apparatur:

Von links kommt ein Ensemble von Teilchen mit dem magnetischen Moment mz.

Dabei kennzeichnet rechts $| - 1 ⟩$

den Eigenzustand zu mz = -1

Erwartungswert = Mittelwert über viele Messungen mit identisch präparierten Ausgangszuständen $| Ψ ⟩$

\begin{matrix} ⟨ Ψ | \hat{F} | Ψ ⟩ = \sum_{n, n \overset{´}{}}^{} ⟨ Ψ | n ⟩ ⟨ n | \hat{F} | n \overset{´}{} ⟩ ⟨ n \overset{´}{} | Ψ ⟩ \\ ⟨ n | \hat{F} | n \overset{´}{} ⟩ = F_{n} δ_{n n \overset{´}{}} \\ \Rightarrow ⟨ Ψ | \hat{F} | Ψ ⟩ = \sum_{n}^{} F_{n} {| ⟨ n | Ψ ⟩ |}^{2} \end{matrix}

Mit der Wahrscheinlichkeit, im Zustand $| Ψ ⟩$ (vor der Messung) den Messwert Fn zu messen:

p (F_{n}) = {| ⟨ n | Ψ ⟩ |}^{2}

Vergleiche dazu: Aufenthaltswahrscheinlichkeit in Ortsdarstellung:

p (\bar{r}) = {| Ψ (\bar{r}) |}^{2} = {| ⟨ \bar{r} | Ψ ⟩ |}^{2}

Wie wir bereits kennengelernt haben, läßt sich mit dem Projektionsoperator schreiben:

{| ⟨ n | Ψ ⟩ |}^{2} = ⟨ Ψ | n ⟩ ⟨ n | Ψ ⟩ = ⟨ Ψ | {\hat{P}}_{n} | Ψ ⟩ = ⟨ {\hat{P}}_{n} ⟩

Wow! Great thinknig! JK

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Vertauschungsrelationen

Der Meßprozeß:

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