Die Quantisierung

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Physikalische Observablen -à hermitesche Operatoren im Hilbertraum

z.B. Ort:

Geschwindigkeit:

hat nichts mehr mit der Zeitableitung von x zu tun !

Dabei existieren in der Quantenmechanik auch nichtklassische Observablen:

1. Parität:

als der Spiegeloperator.

Der Spiegeloperator ist in der Ortsdarstellung definiert durch

Dies kann jedoch bedeuten:

mit dem Pluszeichen für symmetrische und dem Minus für antisymmetrische Zustände.

Die Eigenwerte des Paritätsoperator sind .

Es gilt: 

2. Der Projektionsoperator. Er löst die Frage: Ist das System im Zustand

?

Der Projektionsoperator lautet:

Die grundsätzliche Definition eines Projektionsoperators ist lediglich

Die Wirkung:

Eigenwert +1

Eigenwert 0, falls

Befindet sich ein Zustand

teilweise im Zustand ,

so gilt:

Dabei ist c eine Wahrscheinlichkeitsamplitude für das Antreffen des Zustands

in ,

also die Wurzel des Anteils von 

in

Vertauschungsrelationen

Das Operatorkalkül ermöglicht die Beschreibung mit nicht vertauschbaren Observablen:

und

besitzen ein gemeinsames System von Eigenzuständen

Observablen F und G sind gleichzeitig scharf meßbar

Observablen F und G sind NICHT gleichzeitig scharf meßbar.

Quantisierung = Aufstellung von Vertauschungsrelationen

Es gelten die kanonischen Vertauschungsrelationen:

i=1,2,3 kartesische Koordinaten

Übungsweise kann man zeigen:

Berechnung in der Ortsdarstellung:

Nebenbemerkung: Hieraus können alle weiteren Kommutatoren berechnet werden.

Der Meßprozeß:

Dabei ändert sich der Zustand durch die Wechselwirkung mit dem Messapparat.

Die Messwerte sind F´ in

und F´´in .


Forderung: F´ = F ´´

(Eigenwert)

=

=

Eigenzustand zu

Also:

Der beliebige Zustand wird durch die Messung auf einen Eigenzustand projiziert.

Man spricht von einer Reduktion des Zustandsvektors durch die Messung.

Beispiel: Stern- Gerlach - Apparatur:

Von links kommt ein Ensemble von Teilchen mit dem magnetischen Moment mz.

Dabei kennzeichnet rechts

den Eigenzustand zu mz = -1

Erwartungswert = Mittelwert über viele Messungen mit identisch präparierten Ausgangszuständen

Mit der Wahrscheinlichkeit, im Zustand (vor der Messung) den Messwert Fn zu messen:

Vergleiche dazu: Aufenthaltswahrscheinlichkeit in Ortsdarstellung:

Wie wir bereits kennengelernt haben, läßt sich mit dem Projektionsoperator schreiben:

Wow! Great thinknig! JK