Der harmonische Oszillator: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 9. August 2011, 13:25 Uhr

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Der harmonische Oszillator basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 6) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Anwendungsbeispiel der abstrakten Darstellung im Hilbertraum: der eindimensionale harmonische Oszillator

\hat{H} = \frac{{\hat{p}}^{2}}{2 m} + \frac{m ω^{2}}{2} {\hat{x}}^{2}

Als Hamiltonoperator

Es gilt die Vertauschungsrelation

[\hat{p}, \hat{x}] = \frac{ℏ}{i}

Besser:

[{\hat{p}}_{l}, {\hat{x}}_{k}] = \frac{ℏ}{i} δ_{k l}

Definition eines Operators, des Leiteroperators (nicht hermitesch!!)

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{align}“): {\displaystyle \begin{align} & a:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\ & {{a}^{+}}:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}+i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\ & \Rightarrow a{{a}^{+}}=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left( \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}\hat{x}-\hat{x}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} \right)=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right] \\ & \left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]=\frac{\hbar }{i} \\ & \Rightarrow a{{a}^{+}}=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}+\frac{1}{2}=\frac{1}{\hbar \omega }\hat{H}+\frac{1}{2} \\ \end{align}}

Merke:

Ausgangspunkt unserer ganzen Überlegungen ist eine Definition, nämlich die Definitiond er Leiteroperatoren:

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{align}“): {\displaystyle \begin{align} & a:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\ & {{a}^{+}}:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}+i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\ \end{align}}

Ebenso:

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{align}“): {\displaystyle \begin{align} & {{a}^{+}}a=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}-\frac{i}{2\hbar }\left( \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}\hat{x}-\hat{x}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} \right)=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}-\frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right] \\ & \left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]=\frac{\hbar }{i} \\ & \Rightarrow {{a}^{+}}a=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}-\frac{1}{2}=\frac{1}{\hbar \omega }\hat{H}-\frac{1}{2} \\ & \\ & \Rightarrow \left[ a,{{a}^{+}} \right]=1 \\ & a{{a}^{+}}+{{a}^{+}}a=\frac{2}{\hbar \omega }\hat{H} \\ \end{align}}

Somit:

\hat{H} = \frac{1}{2} ℏ ω (a a^{+} + a^{+} a) = \frac{1}{2} ℏ ω (a^{+} a + 1 + a^{+} a) = ℏ ω (a^{+} a + \frac{1}{2})

Merke dazu:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle a{{a}^{+}}=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{\hat{x}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left( \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}\hat{x}-\hat{x}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} \right)=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{\hat{x}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]}

Somit:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]}

als verantwortlicher Term für die Grundzustandsenergie:

E_{0} = \frac{1}{2} ℏ ω

Also: Die Grundzustandsenergie folgt direkt aus der Unschärfe!

Weitere Vertauschungsrelationen:

\begin{aligned} (a a^{+}) a = \frac{1}{ℏ ω} \hat{H} a + \frac{1}{2} a \\ = a (a^{+} a) = \frac{1}{ℏ ω} a \hat{H} - \frac{1}{2} a \\ \Rightarrow [a, \hat{H}] = a \hat{H} - \hat{H} a = ℏ ω a \end{aligned}

Ebenso die adjungierteVersion:

- [a^{+}, \hat{H}] = (a \hat{H}) \overset{´}{} * - (\hat{H} a) * = ℏ ω a^{+}

Verallgemeinerung

Beweis: Vollständige Induktion:

n=1 $[a, {(a^{+})}^{1}] = 1$

Sei $[a, {(a^{+})}^{n}] = n {(a^{+})}^{n - 1} = \frac{\partial}{\partial a^{+}} {(a^{+})}^{n}$

für $n \geq 1$

\begin{aligned} [a, {(a^{+})}^{n + 1}] = a {(a^{+})}^{n + 1} - {(a^{+})}^{n + 1} a = a {(a^{+})}^{n + 1} - {(a^{+})}^{n} a a^{+} + {(a^{+})}^{n} a a^{+} - {(a^{+})}^{n + 1} a \\ \Rightarrow [a, {(a^{+})}^{n + 1}] = [a, {(a^{+})}^{n}] a^{+} + {(a^{+})}^{n} [a, a^{+}] \\ [a, {(a^{+})}^{n}] = n {(a^{+})}^{n - 1} \\ \Rightarrow [a, {(a^{+})}^{n + 1}] = n {(a^{+})}^{n - 1} a^{+} + {(a^{+})}^{n} = (n + 1) {(a^{+})}^{n} \end{aligned}

Adjungierte Version:

[a^{+}, a^{n}] = - n {(a)}^{n - 1} = - \frac{\partial}{\partial a} {(a)}^{n}

Somit gilt für beliebige, in Potenzreihen von Auf- oder Absteiger entwickelbare Funktionen f:

\begin{aligned} [a, f (a^{+})] = \frac{\partial}{\partial a^{+}} f (a^{+}) \\ [a^{+}, f (a)] = - \frac{\partial}{\partial a} f (a) \end{aligned}

Eigenwerte von H

Sei $| E ⟩$

ein normierter Eigenvektor von $\hat{H}$

mit $\hat{H} | E ⟩ = E | E ⟩$

So gilt:

\begin{aligned} ℏ ω ⟨ E | a^{+} a | E ⟩ = ⟨ E | \hat{H} - \frac{ℏ ω}{2} | E ⟩ = ⟨ E | E - \frac{ℏ ω}{2} | E ⟩ = E - \frac{ℏ ω}{2} \\ ⟨ E | a^{+} a | E ⟩ = ⟨ Ψ | Ψ ⟩ \geq 0 \end{aligned}

Das bedeutet:

\begin{aligned} E \geq \frac{ℏ ω}{2} \\ E \geq \frac{ℏ ω}{2} \Leftrightarrow a | E ⟩ = 0 \end{aligned}

Das Energiespektrum ist also nach unten beschränkt und gleichzeitig vernichtet der Absteigeoperator den Zustand mit der niedrigsten Energie

Behauptung

a | E ⟩

ist Eigenzustand zu $\hat{H}$

mit dem Eigenwert $E - ℏ ω$

Also: $\hat{H} a | E ⟩ = (E - ℏ ω) a | E ⟩$

Beweis:

\hat{H} a | E ⟩ = (a \hat{H} - ℏ ω) a | E ⟩ = a (\hat{H} - ℏ ω) | E ⟩ = a (E - ℏ ω) | E ⟩ = (E - ℏ ω) a | E ⟩

Dabei gilt

\hat{H} a | E ⟩ = (a \hat{H} - ℏ ω) a | E ⟩

wegen

[a, \hat{H}] = ℏ ω a

Durch wiederholte Anwendung könnte man Eigenzustände $| E ⟩ \neq 0$

mit beliebig tiefer Energie erzeugen, wenn nicht $E \geq \frac{ℏ ω}{2}$

gelten würde.

Daher existiert ein $m \in N$

so dass $a^{m} | E ⟩ = 0$

aber $a^{m - 1} | E ⟩ \neq 0$

Also definiere man einen Grundzustand:

| 0 ⟩ : = a^{m - 1} | E ⟩

Vorsicht! Dieser ist gerade nicht ein NULL- KET,

sondern: Der Zustand zur Quantenzahl n=0

\hat{H} | 0 ⟩ = ℏ ω (a^{+} a + \frac{1}{2}) | 0 ⟩ = \frac{1}{2} ℏ ω | 0 ⟩

wegen

a | 0 ⟩ = a^{m} | E ⟩ = 0

Also:

\begin{aligned} E_{0} = \frac{ℏ ω}{2} \\ a | 0 ⟩ = a^{m} | E ⟩ = 0 \end{aligned}

Weiter:

\hat{H} a^{+} | 0 ⟩ = (a^{+} H + ℏ ω a^{+}) | 0 ⟩ = a^{+} (\hat{H} + ℏ ω) | 0 ⟩ = a^{+} (\frac{ℏ ω}{2} + ℏ ω) | 0 ⟩ = \frac{3 ℏ ω}{2} a^{+} | 0 ⟩

Der erste Schritt gilt wieder wegen der Vertauschungsrelation

[a^{+}, \hat{H}] = - ℏ ω a^{+}

Das heißt nun aber, dass $a^{+} | 0 ⟩$

der Eigenzustand von $\hat{H}$

zum Eigenwert $\frac{3 ℏ ω}{2}$

ist.

Vollständige Induktion

\hat{H} {(a^{+})}^{n} | 0 ⟩ = ℏ ω (n + \frac{1}{2}) {(a^{+})}^{n} | 0 ⟩

Dann:

\begin{aligned} \hat{H} {(a^{+})}^{n + 1} | 0 ⟩ = (a^{+} \hat{H} + ℏ ω a^{+}) {(a^{+})}^{n} | 0 ⟩ = a^{+} (\hat{H} + ℏ ω) {(a^{+})}^{n} | 0 ⟩ \\ (\hat{H} + ℏ ω) {(a^{+})}^{n} | 0 ⟩ = (ℏ ω (n + \frac{1}{2}) + ℏ ω) {(a^{+})}^{n} | 0 ⟩ \\ \Rightarrow \hat{H} {(a^{+})}^{n + 1} | 0 ⟩ = a^{+} (\hat{H} + ℏ ω) {(a^{+})}^{n} | 0 ⟩ = ℏ ω (n + 1 + \frac{1}{2}) {(a^{+})}^{n + 1} | 0 ⟩ \end{aligned}

Normierung der Eigenzustände

{(a^{+})}^{n} | 0 ⟩

Der Grundzustand sei normiert:

⟨ 0 | 0 ⟩ = 1

Dann folgt für den n-ten angeregten Zustand:

| n ⟩ = α_{n} {(a^{+})}^{n} | 0 ⟩

mit Normierungsfaktor $α_{n}$

\begin{aligned} 1 =! = ⟨ n | n ⟩ = {| α_{n} |}^{2} ⟨ 0 | a^{n} {(a^{+})}^{n} | 0 ⟩ \\ ⟨ 0 | a^{n} {(a^{+})}^{n} | 0 ⟩ = ⟨ 0 | a^{n - 1} ({(a^{+})}^{n} a + [a, {(a^{+})}^{n}]) | 0 ⟩ \end{aligned}

wegen

[a, {(a^{+})}^{n}] = n {(a^{+})}^{n - 1}

Somit:

\begin{aligned} ⟨ 0 | a^{n} {(a^{+})}^{n} | 0 ⟩ = ⟨ 0 | a^{n - 1} ({(a^{+})}^{n} a + [a, {(a^{+})}^{n}]) | 0 ⟩ = ⟨ 0 | a^{n - 1} {(a^{+})}^{n} a | 0 ⟩ + n ⟨ 0 | a^{n - 1} {(a^{+})}^{n - 1} | 0 ⟩ \\ ⟨ 0 | a^{n - 1} {(a^{+})}^{n} a | 0 ⟩ = 0 \\ \Rightarrow n ⟨ 0 | a^{n - 1} {(a^{+})}^{n - 1} a | 0 ⟩ = n (n - 1) ⟨ 0 | a^{n - 2} {(a^{+})}^{n - 2} a | 0 ⟩ \Rightarrow . . . \Rightarrow \end{aligned}

Dieser Algorithmus wird n- mal angewendet:

\Rightarrow ⟨ 0 | a^{n} {(a^{+})}^{n} a | 0 ⟩ = n! ⟨ 0 | 0 ⟩ = n!

Somit folgt bis auf einen willkürlichen Phasenfaktor:

| n ⟩ = \frac{1}{\sqrt{n!}} {(a^{+})}^{n} | 0 ⟩

für NORMIERTE EIGENZUSTÄNDE des harmonischen Oszillators und diese gehören zu den Energiewerten

\begin{aligned} E_{n} = ℏ ω (n + \frac{1}{2}) \\ \hat{H} | n ⟩ = E_{n} | n ⟩ \end{aligned}

Quantensprechweise:

E_{n} - E_{n - 1} = ℏ ω (n + \frac{1}{2}) - ℏ ω (n - 1 + \frac{1}{2}) = ℏ ω

ist die Energie eines "Schwingungsquants". Man sagt auch, es IST ein Schwingungsquant!

| n ⟩

ist ein Zustand mit n Schwingungsquanten (Phononen) der Frequenz $ω$

a

ist der Vernichtungsoperator für Schwingungsquanten

a^{+}

der Erzeugungsoperator für Schwingungsquanten

\begin{aligned} a | n ⟩ = \frac{1}{\sqrt{n!}} a {(a^{+})}^{n} | 0 ⟩ = \frac{1}{\sqrt{n!}} {{(a^{+})}^{n} a + [a, {(a^{+})}^{n}]} | 0 ⟩ = \frac{1}{\sqrt{n!}} n {(a^{+})}^{n - 1} | 0 ⟩ = \sqrt{n} | n - 1 ⟩ \\ a^{+} | n ⟩ = \frac{1}{\sqrt{n!}} {(a^{+})}^{n + 1} | 0 ⟩ = \sqrt{n + 1} | n + 1 ⟩ \end{aligned}

Teilchenzahloperator

\begin{aligned} N : = a^{+} a \\ N | n ⟩ = a^{+} a | n ⟩ = a^{+} \sqrt{n} | n - 1 ⟩ = \sqrt{n} \sqrt{n} | n ⟩ = n | n ⟩ \end{aligned}

In Übereinstimmung mit

\hat{H} | n ⟩ = ℏ ω (a^{+} a + \frac{1}{2}) | n ⟩ = ℏ ω (n + \frac{1}{2}) | n ⟩

Veranschaulichung

Die folgende Grafik demonstriert die äquidistanten Energieniveaus im Oszillatorpotenzial. Dabei werden die stationären Zustände ${| ϕ (x) |}^{2}$ dargestellt, also als Aufenthaltswahrscheinlichkeit

Die Bewegung eines Wellenpaketes im Harmonischen Oszillator, also im x²- Potenzial für $σ = \frac{0, 5 σ_{0}}{\sqrt{2}}$ ,

also mit einem  $σ < \frac{σ_{0}}{\sqrt{2}}$ ,
wobei  $\frac{σ_{0}}{\sqrt{2}}$

das $σ$ des Grundzustands darstellt, sieht folgendermaßen aus: Es ist das $σ = \frac{σ_{0}}{\sqrt{2}}$ für die kohärenten / Glauber - Zustände Das heißt: Die Standardabweichung des quantenmechanischen Oszillators ist kleiner als bei Berechnung über Glauberzustände (kohärente Zustände)

Zusammenhang mit der Ortsdarstellung

Bisher haben wir vollständig darstellungsfrei gerechnet! Nun soll die darstellungsfreie Rechnung durch Operatoren in expliziten Darstellungen ersetzt werden! Mit $ϕ_{n} (x) = ⟨ x | n ⟩$ und Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle a:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x}} gilt:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle a\left( x,\frac{\hbar }{i}\frac{d}{dx} \right){{\phi }_{n}}(x)=\left( \frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \right){{\phi }_{n}}(x)}

\begin{aligned} \hat{ξ} : = \sqrt{\frac{m ω}{2 ℏ}} \hat{x} \\ ξ : = \sqrt{\frac{m ω}{2 ℏ}} x \end{aligned}

\Rightarrow a (x, \frac{ℏ}{i} \frac{d}{d x}) ϕ_{n} (x) = \frac{1}{i \sqrt{2}} (\hat{ξ} + \frac{d}{d ξ}) ϕ_{n} (ξ)

Dabei gilt: $\begin{aligned} \hat{ξ} : = \sqrt{\frac{m ω}{2 ℏ}} \hat{x} \\ ξ : = \sqrt{\frac{m ω}{2 ℏ}} x \end{aligned}$ sind dimensionslose Größen, die sogenannten Normalkoordinaten! In $\Rightarrow a (x, \frac{ℏ}{i} \frac{d}{d x}) ϕ_{n} (x) = \frac{1}{i \sqrt{2}} (\hat{ξ} + \frac{d}{d ξ}) ϕ_{n} (ξ)$ wird über $(\hat{ξ} + \frac{d}{d ξ})$ der Impulsanteil durch die Ortsdarstellung des Impulsoperators ersetzt. Den Grundzustand gewinnt man leicht aus dem Ansatz $a | ϕ_{0} ⟩ = 0$ mit $| ϕ_{0} ⟩ : = | 0 ⟩$

Wegen $a | 0 ⟩ = 0$ folgt für n=0:

\begin{aligned} 0 = (\hat{ξ} + \frac{d}{d ξ}) ϕ_{0} (ξ) \\ \Rightarrow \frac{d ϕ_{0}}{ϕ_{0}} = - ξ d ξ \end{aligned}

Somit ergibt sich:

\begin{aligned} ϕ_{0} (ξ) = A_{0} e^{(- \frac{ξ^{2}}{2})} \\ A_{0} = {(\frac{m ω}{ℏ π})}^{\frac{1}{4}} \end{aligned}

Wobei sich A0 aus der Normierung ergibt. Der Grundzustand im Oszillator ist also ein Gaußzustand, eine normierte Gaußglocke mit einer Halbwertsbreite, die in $ξ$ enthalten ist. Für die angeregten Zustände gilt:

\begin{aligned} ϕ_{1} (ξ) = a^{+} ϕ_{0} (ξ) = \frac{1}{i \sqrt{2}} (ξ - \frac{d}{d ξ}) ϕ_{0} (ξ) = - \frac{1}{i \sqrt{2}} e^{(\frac{ξ^{2}}{2})} \frac{d}{d ξ} (e^{(- \frac{ξ^{2}}{2})} ϕ_{0} (ξ)) \\ \Rightarrow ϕ_{1} (ξ) = - \frac{1}{i \sqrt{2}} e^{(\frac{ξ^{2}}{2})} \frac{d}{d ξ} (A_{0} e^{(- ξ^{2})}) \\ A_{0} = {(\frac{m ω}{ℏ π})}^{\frac{1}{4}} \end{aligned}

Die angeregten Zustände werden also einfach durch Anwendung des Aufsteigeoperators aus dem Grundzustand erzeugt! Für den n-ten angeregten Zustand (Induktion!) damit:

\begin{aligned} ϕ_{n} (ξ) = \frac{{(a^{+})}^{n}}{\sqrt{n!}} ϕ_{0} (ξ) = \frac{1}{i^{n} \sqrt{2^{n} n!}} {(ξ - \frac{d}{d ξ})}^{n} ϕ_{0} (ξ) = \frac{1}{i^{n}} \frac{A_{0}}{\sqrt{2^{n} n!}} {(- 1)}^{n} e^{(\frac{ξ^{2}}{2})} \frac{d^{n}}{{(d ξ)}^{n}} e^{- ξ^{2}} \\ \frac{A_{0}}{\sqrt{2^{n} n!}} : = A_{n} \\ A_{0} = {(\frac{m ω}{ℏ π})}^{\frac{1}{4}} \\ {(- 1)}^{n} e^{(\frac{ξ^{2}}{2})} \frac{d^{n}}{{(d ξ)}^{n}} e^{- ξ^{2}} : = H_{n} (ξ) e^{- \frac{ξ^{2}}{2}} \end{aligned}

Dabei kann $\frac{1}{i^{n}}$ als Phasenfaktor (für die Wahrscheinlichkeit irrelevant) weggelassen werden und $H_{n}$ bezeichnet die sogenannten Hermiteschen Polynome vom Grad n. Die Eigenzustände des harmonischen Oszillators beinhalten also die Hermité- Polynome

\begin{aligned} ϕ_{n} (ξ) = \frac{1}{i^{n}} \frac{A_{0}}{\sqrt{2^{n} n!}} {(- 1)}^{n} e^{(\frac{ξ^{2}}{2})} \frac{d^{n}}{{(d ξ)}^{n}} e^{- ξ^{2}} \\ \Rightarrow ϕ_{n} (ξ) = \frac{{(\frac{m ω}{ℏ π})}^{\frac{1}{4}}}{\sqrt{{(- 2)}^{n} n!}} H_{n} (ξ) e^{- \frac{ξ^{2}}{2}} \end{aligned}

Explizit lauten diese Hermiteschen Polynome (wie aus obiger Relation berechnet werden kann):

\begin{aligned} H_{0} (ξ) = 1 \\ H_{1} (ξ) = 2 ξ \\ H_{2} (ξ) = 4 ξ^{2} - 2 \\ H_{3} (ξ) = 2 ξ^{3} - 12 ξ \end{aligned}

Letztendlich bezeichnet

{(- 1)}^{n}

die Parität von $ϕ_{n}$

Die Wellenfunktionen im Oszillatorpotenzial (die Wurzeln der Wahrscheinlichkeiten) werden folgendermaßen schematisch dargestellt:

Für das Wasserstoffatom ergeben sich als Wellenfunktion die Kugelflächenfunktionen ${Y_{l}}^{m} (ϑ, ϕ)$ .

Bei Polardiagrammen gibt dabei der Betrag des Radiusvektors, der das Diagramm zeichnet $r = {| {Y_{l}}^{m} (ϑ, ϕ) |}^{2}$ das Betragsquadrat der Kugelflächenfunktion an. Also die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons im Kraftfeld des Protons. Dabei gibt es für verschiedene Drehimpulsquantenzahlen L verschiedene Wellenfunktionen zum gleichen Energieeigenwert. Die Niveaus sind (ohne den Spin) L+1 - fach entartet! die Charakterisierung erfolgt durch die magnetische Quantenzahl m

Der harmonische Oszillator: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 9. August 2011, 13:25 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Verallgemeinerung

Eigenwerte von H

Normierung der Eigenzustände

Teilchenzahloperator

Veranschaulichung

Zusammenhang mit der Ortsdarstellung

Navigationsmenü

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 Anwendungsbeispiel der abstrakten Darstellung im Hilbertraum: der eindimensionale harmonische Oszillator
-<math>\hat{H}=\frac{{{{\hat{p}}}^{2}}}{2m}+\frac{m{{\omega }^{2}}}{2}{{\hat{x}}^{2}}</math>
+:<math>\hat{H}=\frac{{{{\hat{p}}}^{2}}}{2m}+\frac{m{{\omega }^{2}}}{2}{{\hat{x}}^{2}}</math>
 Als Hamiltonoperator
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 Es gilt die Vertauschungsrelation
-<math>\left[ \hat{p},\hat{x} \right]=\frac{\hbar }{i}</math>
+:<math>\left[ \hat{p},\hat{x} \right]=\frac{\hbar }{i}</math>
 Besser:
-<math>\left[ {{{\hat{p}}}_{l}},{{{\hat{x}}}_{k}} \right]=\frac{\hbar }{i}{{\delta }_{kl}}</math>
+:<math>\left[ {{{\hat{p}}}_{l}},{{{\hat{x}}}_{k}} \right]=\frac{\hbar }{i}{{\delta }_{kl}}</math>
-Definition eines Operators, des Leiteroperators ( nicht hermitesch !!)
+Definition eines Operators, des Leiteroperators (nicht hermitesch!!)
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & a:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\
@@ Zeile 35: / Zeile 35: @@
 Ausgangspunkt unserer ganzen Überlegungen ist eine Definition, nämlich die Definitiond er Leiteroperatoren:
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & a:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\
@@ Zeile 45: / Zeile 45: @@
 Ebenso:
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & {{a}^{+}}a=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}-\frac{i}{2\hbar }\left( \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}\hat{x}-\hat{x}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} \right)=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}-\frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right] \\
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 Somit:
-<math>\hat{H}=\frac{1}{2}\hbar \omega \left( a{{a}^{+}}+{{a}^{+}}a \right)=\frac{1}{2}\hbar \omega \left( {{a}^{+}}a+1+{{a}^{+}}a \right)=\hbar \omega \left( {{a}^{+}}a+\frac{1}{2} \right)</math>
+:<math>\hat{H}=\frac{1}{2}\hbar \omega \left( a{{a}^{+}}+{{a}^{+}}a \right)=\frac{1}{2}\hbar \omega \left( {{a}^{+}}a+1+{{a}^{+}}a \right)=\hbar \omega \left( {{a}^{+}}a+\frac{1}{2} \right)</math>
 Merke dazu:
-<math>a{{a}^{+}}=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{\hat{x}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left( \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}\hat{x}-\hat{x}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} \right)=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{\hat{x}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]</math>
+:<math>a{{a}^{+}}=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{\hat{x}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left( \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}\hat{x}-\hat{x}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} \right)=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{\hat{x}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]</math>
 Somit:
-<math>\frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]</math>
+:<math>\frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]</math>
 als verantwortlicher Term für die Grundzustandsenergie:
-<math>{{E}_{0}}=\frac{1}{2}\hbar \omega </math>
+:<math>{{E}_{0}}=\frac{1}{2}\hbar \omega </math>
-Also: Die Grundzustandsenergie folgt direkt aus der Unschärfe !
+Also: Die Grundzustandsenergie folgt direkt aus der Unschärfe!
 Weitere Vertauschungsrelationen:
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & \left( a{{a}^{+}} \right)a=\frac{1}{\hbar \omega }\hat{H}a+\frac{1}{2}a \\
@@ Zeile 93: / Zeile 93: @@
 Ebenso die adjungierteVersion:
-<math>-\left[ {{a}^{+}},\hat{H} \right]=\left( a\hat{H} \right)\acute{\ }*-\left( \hat{H}a \right)*=\hbar \omega {{a}^{+}}</math>
+:<math>-\left[ {{a}^{+}},\hat{H} \right]=\left( a\hat{H} \right)\acute{\ }*-\left( \hat{H}a \right)*=\hbar \omega {{a}^{+}}</math>
 =====Verallgemeinerung=====
@@ Zeile 105: / Zeile 105: @@
 für<math>n\ge 1</math>
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & \left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}} \right]=a{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}}-{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}}a=a{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}}-{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a{{a}^{+}}+{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a{{a}^{+}}-{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}}a \\
@@ Zeile 119: / Zeile 119: @@
 '''Adjungierte Version:'''
-<math>\left[ {{a}^{+}},{{a}^{n}} \right]=-n{{\left( a \right)}^{n-1}}=-\frac{\partial }{\partial a}{{\left( a \right)}^{n}}</math>
+:<math>\left[ {{a}^{+}},{{a}^{n}} \right]=-n{{\left( a \right)}^{n-1}}=-\frac{\partial }{\partial a}{{\left( a \right)}^{n}}</math>
 Somit gilt für beliebige, in Potenzreihen von Auf- oder Absteiger entwickelbare Funktionen f:
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & \left[ a,f\left( {{a}^{+}} \right) \right]=\frac{\partial }{\partial {{a}^{+}}}f\left( {{a}^{+}} \right) \\
@@ Zeile 140: / Zeile 140: @@
 So gilt:
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & \hbar \omega \left\langle  E \right|{{a}^{+}}a\left| E \right\rangle =\left\langle  E \right|\hat{H}-\frac{\hbar \omega }{2}\left| E \right\rangle =\left\langle  E \right|E-\frac{\hbar \omega }{2}\left| E \right\rangle =E-\frac{\hbar \omega }{2} \\
-& \left\langle  E \right|{{a}^{+}}a\left| E \right\rangle =\left\langle  \Psi  \right|\left| \Psi  \right\rangle \ge 0 \\
+& \left\langle  E \right|{{a}^{+}}a\left| E \right\rangle =\left\langle  \Psi   |  \Psi  \right\rangle \ge 0 \\
 \end{align}</math>
@@ Zeile 150: / Zeile 150: @@
 Das bedeutet:
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & E\ge \frac{\hbar \omega }{2} \\
@@ Zeile 162: / Zeile 162: @@
 '''Behauptung'''
-<math>a\left| E \right\rangle </math>
+:<math>a\left| E \right\rangle </math>
 ist Eigenzustand zu <math>\hat{H}</math>
@@ Zeile 174: / Zeile 174: @@
 '''Beweis:'''
-<math>\hat{H}a\left| E \right\rangle =\left( a\hat{H}-\hbar \omega  \right)a\left| E \right\rangle =a\left( \hat{H}-\hbar \omega  \right)\left| E \right\rangle =a\left( E-\hbar \omega  \right)\left| E \right\rangle =\left( E-\hbar \omega  \right)a\left| E \right\rangle </math>
+:<math>\hat{H}a\left| E \right\rangle =\left( a\hat{H}-\hbar \omega  \right)a\left| E \right\rangle =a\left( \hat{H}-\hbar \omega  \right)\left| E \right\rangle =a\left( E-\hbar \omega  \right)\left| E \right\rangle =\left( E-\hbar \omega  \right)a\left| E \right\rangle </math>
 Dabei gilt
-<math>\hat{H}a\left| E \right\rangle =\left( a\hat{H}-\hbar \omega  \right)a\left| E \right\rangle </math>
+:<math>\hat{H}a\left| E \right\rangle =\left( a\hat{H}-\hbar \omega  \right)a\left| E \right\rangle </math>
 wegen
-<math>\left[ a,\hat{H} \right]=\hbar \omega a</math>
+:<math>\left[ a,\hat{H} \right]=\hbar \omega a</math>
 Durch wiederholte Anwendung könnte man Eigenzustände <math>\left| E \right\rangle \ne 0</math>
@@ Zeile 198: / Zeile 198: @@
 Also definiere man einen Grundzustand:
-<math>\left| 0 \right\rangle :={{a}^{m-1}}\left| E \right\rangle </math>
+:<math>\left| 0 \right\rangle :={{a}^{m-1}}\left| E \right\rangle </math>
-Vorsicht ! Dieser ist gerade nicht ein NULL- KET,
+Vorsicht! Dieser ist gerade nicht ein NULL- KET,
 sondern: Der Zustand zur Quantenzahl n=0
-<math>\hat{H}\left| 0 \right\rangle =\hbar \omega \left( {{a}^{+}}a+\frac{1}{2} \right)\left| 0 \right\rangle =\frac{1}{2}\hbar \omega \left| 0 \right\rangle </math>
+:<math>\hat{H}\left| 0 \right\rangle =\hbar \omega \left( {{a}^{+}}a+\frac{1}{2} \right)\left| 0 \right\rangle =\frac{1}{2}\hbar \omega \left| 0 \right\rangle </math>
 wegen
-<math>a\left| 0 \right\rangle ={{a}^{m}}\left| E \right\rangle =0</math>
+:<math>a\left| 0 \right\rangle ={{a}^{m}}\left| E \right\rangle =0</math>
 Also:
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & {{E}_{0}}=\frac{\hbar \omega }{2} \\
@@ Zeile 222: / Zeile 222: @@
 Weiter:
-<math>\hat{H}{{a}^{+}}\left| 0 \right\rangle =\left( {{a}^{+}}H+\hbar \omega {{a}^{+}} \right)\left| 0 \right\rangle ={{a}^{+}}\left( \hat{H}+\hbar \omega  \right)\left| 0 \right\rangle ={{a}^{+}}\left( \frac{\hbar \omega }{2}+\hbar \omega  \right)\left| 0 \right\rangle =\frac{3\hbar \omega }{2}{{a}^{+}}\left| 0 \right\rangle </math>
+:<math>\hat{H}{{a}^{+}}\left| 0 \right\rangle =\left( {{a}^{+}}H+\hbar \omega {{a}^{+}} \right)\left| 0 \right\rangle ={{a}^{+}}\left( \hat{H}+\hbar \omega  \right)\left| 0 \right\rangle ={{a}^{+}}\left( \frac{\hbar \omega }{2}+\hbar \omega  \right)\left| 0 \right\rangle =\frac{3\hbar \omega }{2}{{a}^{+}}\left| 0 \right\rangle </math>
 Der erste Schritt gilt wieder wegen der Vertauschungsrelation
-<math>\left[ {{a}^{+}},\hat{H} \right]=-\hbar \omega {{a}^{+}}</math>
+:<math>\left[ {{a}^{+}},\hat{H} \right]=-\hbar \omega {{a}^{+}}</math>
 Das heißt nun aber, dass <math>{{a}^{+}}\left| 0 \right\rangle </math>
@@ Zeile 238: / Zeile 238: @@
 <u>'''Vollständige Induktion'''</u>
-<math>\hat{H}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle =\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right){{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle </math>
+:<math>\hat{H}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle =\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right){{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle </math>
 Dann:
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & \hat{H}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}}\left| 0 \right\rangle =\left( {{a}^{+}}\hat{H}+\hbar \omega {{a}^{+}} \right){{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle ={{a}^{+}}\left( \hat{H}+\hbar \omega  \right){{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle  \\
@@ Zeile 253: / Zeile 253: @@
 =====Normierung der Eigenzustände=====
-<math>{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle </math>
+:<math>{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle </math>
 :
@@ Zeile 259: / Zeile 259: @@
 Der Grundzustand sei normiert:
-<math>\left\langle  0 | 0 \right\rangle =1</math>
+:<math>\left\langle  0 | 0 \right\rangle =1</math>
 Dann folgt für den n-ten angeregten Zustand:
-<math>\left| n \right\rangle ={{\alpha }_{n}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle </math>
+:<math>\left| n \right\rangle ={{\alpha }_{n}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle </math>
 mit Normierungsfaktor <math>{{\alpha }_{n}}</math>
@@ Zeile 269: / Zeile 269: @@
 :
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & 1=!=\left\langle  n | n \right\rangle ={{\left| {{\alpha }_{n}} \right|}^{2}}\left\langle  0 \right|{{a}^{n}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle  \\
@@ Zeile 276: / Zeile 276: @@
 wegen
-<math>\left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}} \right]=n{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n-1}}</math>
+:<math>\left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}} \right]=n{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n-1}}</math>
 Somit:
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & \left\langle  0 \right|{{a}^{n}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle =\left\langle  0 \right|{{a}^{n-1}}\left( {{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a+\left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}} \right] \right)\left| 0 \right\rangle =\left\langle  0 \right|{{a}^{n-1}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a\left| 0 \right\rangle +n\left\langle  0 \right|{{a}^{n-1}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n-1}}\left| 0 \right\rangle  \\
 & \left\langle  0 \right|{{a}^{n-1}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a\left| 0 \right\rangle =0 \\
@@ Zeile 287: / Zeile 287: @@
 Dieser Algorithmus wird n- mal angewendet:
-<math>\Rightarrow \left\langle  0 \right|{{a}^{n}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a\left| 0 \right\rangle =n!\left\langle  0 \right|\left| 0 \right\rangle =n!</math>
+:<math>\Rightarrow \left\langle  0 \right|{{a}^{n}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a\left| 0 \right\rangle =n!\left\langle  0  |  0 \right\rangle =n!</math>
 Somit folgt bis auf einen willkürlichen Phasenfaktor:
-<math>\left| n \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{n!}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle </math>
+:<math>\left| n \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{n!}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle </math>
 für NORMIERTE EIGENZUSTÄNDE des harmonischen Oszillators
 und diese gehören zu den Energiewerten
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & {{E}_{n}}=\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right) \\
 & \hat{H}\left| n \right\rangle ={{E}_{n}}\left| n \right\rangle  \\
@@ Zeile 299: / Zeile 299: @@
 <u>'''Quantensprechweise:'''</u>
-<math>{{E}_{n}}-{{E}_{n-1}}=\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right)-\hbar \omega \left( n-1+\frac{1}{2} \right)=\hbar \omega </math>
+:<math>{{E}_{n}}-{{E}_{n-1}}=\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right)-\hbar \omega \left( n-1+\frac{1}{2} \right)=\hbar \omega </math>
-ist die Energie eines "Schwingungsquants". Man sagt auch, es IST ein Schwingungsquant !
+ist die Energie eines "Schwingungsquants". Man sagt auch, es IST ein Schwingungsquant!
-<math>\left| n \right\rangle </math>
+:<math>\left| n \right\rangle </math>
-ist ein Zustand mit n Schwingungsquanten ( Phononen) der Frequenz <math>\omega </math>
+ist ein Zustand mit n Schwingungsquanten (Phononen) der Frequenz <math>\omega </math>
-<math>a</math>
+:<math>a</math>
 ist der Vernichtungsoperator für Schwingungsquanten
-<math>{{a}^{+}}</math>
+:<math>{{a}^{+}}</math>
 der Erzeugungsoperator für Schwingungsquanten
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & a\left| n \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{n!}}a{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{n!}}\left\{ {{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a+\left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}} \right] \right\}\left| 0 \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{n!}}n{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n-1}}\left| 0 \right\rangle =\sqrt{n}\left| n-1 \right\rangle  \\
 & {{a}^{+}}\left| n \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{n!}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}}\left| 0 \right\rangle =\sqrt{n+1}\left| n+1 \right\rangle  \\
@@ Zeile 314: / Zeile 314: @@
 =====Teilchenzahloperator=====
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & N:={{a}^{+}}a \\
 & N\left| n \right\rangle ={{a}^{+}}a\left| n \right\rangle ={{a}^{+}}\sqrt{n}\left| n-1 \right\rangle =\sqrt{n}\sqrt{n}\left| n \right\rangle =n\left| n \right\rangle  \\
@@ Zeile 320: / Zeile 320: @@
 In Übereinstimmung mit
-<math>\hat{H}\left| n \right\rangle =\hbar \omega \left( {{a}^{+}}a+\frac{1}{2} \right)\left| n \right\rangle =\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right)\left| n \right\rangle </math>
+:<math>\hat{H}\left| n \right\rangle =\hbar \omega \left( {{a}^{+}}a+\frac{1}{2} \right)\left| n \right\rangle =\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right)\left| n \right\rangle </math>
 =====Veranschaulichung=====
@@ Zeile 326: / Zeile 326: @@
 dargestellt, also als Aufenthaltswahrscheinlichkeit
-Die Bewegung eines Wellenpaketes im Harmonischen Oszillator, also im x²- Potenzial für <math>\sigma =\frac{0,5{{\sigma }_{0}}}{\sqrt{2}}</math>
+Die Bewegung eines Wellenpaketes im Harmonischen Oszillator, also im x²- Potenzial für <math>\sigma =\frac{0,5{{\sigma }_{0}}}{\sqrt{2}}</math>,
-, also mit einem <math>\sigma <\frac{{{\sigma }_{0}}}{\sqrt{2}}</math>
+ also mit einem <math>\sigma <\frac{{{\sigma }_{0}}}{\sqrt{2}}</math>,
-, wobei <math>\frac{{{\sigma }_{0}}}{\sqrt{2}}</math>
+ wobei <math>\frac{{{\sigma }_{0}}}{\sqrt{2}}</math>
 das <math>\sigma </math>
 des Grundzustands darstellt, sieht folgendermaßen aus:
 Es ist das <math>\sigma =\frac{{{\sigma }_{0}}}{\sqrt{2}}</math>
 für die kohärenten / Glauber - Zustände
-Das heißt: Die Standardabweichung des quantenmechanischen Oszillators ist kleiner als bei Berechnung über Glauberzustände ( kohärente Zustände)
+Das heißt: Die Standardabweichung des quantenmechanischen Oszillators ist kleiner als bei Berechnung über Glauberzustände (kohärente Zustände)
 =====Zusammenhang mit der Ortsdarstellung=====
-Bisher haben wir vollständig darstellungsfrei gerechnet ! Nun soll die darstellungsfreie Rechnung durch Operatoren in expliziten Darstellungen ersetzt werden !
+Bisher haben wir vollständig darstellungsfrei gerechnet! Nun soll die darstellungsfreie Rechnung durch Operatoren in expliziten Darstellungen ersetzt werden!
 Mit <math>{{\phi }_{n}}(x)=\left\langle  x | n \right\rangle </math>
 und <math>a:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x}</math>
 gilt:
-<math>a\left( x,\frac{\hbar }{i}\frac{d}{dx} \right){{\phi }_{n}}(x)=\left( \frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \right){{\phi }_{n}}(x)</math>
+:<math>a\left( x,\frac{\hbar }{i}\frac{d}{dx} \right){{\phi }_{n}}(x)=\left( \frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \right){{\phi }_{n}}(x)</math>
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & \hat{\xi }:=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\
 & \xi :=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}x \\
 \end{align}</math>
-<math>\Rightarrow a\left( x,\frac{\hbar }{i}\frac{d}{dx} \right){{\phi }_{n}}(x)=\frac{1}{i\sqrt{2}}\left( \hat{\xi }+\frac{d}{d\xi } \right){{\phi }_{n}}(\xi )</math>
+:<math>\Rightarrow a\left( x,\frac{\hbar }{i}\frac{d}{dx} \right){{\phi }_{n}}(x)=\frac{1}{i\sqrt{2}}\left( \hat{\xi }+\frac{d}{d\xi } \right){{\phi }_{n}}(\xi )</math>
 Dabei gilt: <math>\begin{align}
@@ Zeile 353: / Zeile 353: @@
 & \xi :=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}x \\
 \end{align}</math>
-sind dimensionslose Größen, die sogenannten Normalkoordinaten !
+sind dimensionslose Größen, die sogenannten Normalkoordinaten!
 In  <math>\Rightarrow a\left( x,\frac{\hbar }{i}\frac{d}{dx} \right){{\phi }_{n}}(x)=\frac{1}{i\sqrt{2}}\left( \hat{\xi }+\frac{d}{d\xi } \right){{\phi }_{n}}(\xi )</math>
 wird über <math>\left( \hat{\xi }+\frac{d}{d\xi } \right)</math>
@@ Zeile 362: / Zeile 362: @@
 Wegen <math>a\left| 0 \right\rangle =0</math>
 folgt für n=0:
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & 0=\left( \hat{\xi }+\frac{d}{d\xi } \right){{\phi }_{0}}(\xi ) \\
 & \Rightarrow \frac{d{{\phi }_{0}}}{{{\phi }_{0}}}=-\xi d\xi  \\
@@ Zeile 368: / Zeile 368: @@
 Somit ergibt sich:
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & {{\phi }_{0}}(\xi )={{A}_{0}}{{e}^{\left( -\frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}} \\
 & {{A}_{0}}={{\left( \frac{m\omega }{\hbar \pi } \right)}^{\frac{1}{4}}} \\
@@ Zeile 376: / Zeile 376: @@
 enthalten ist.
 <u>'''Für die angeregten Zustände gilt:'''</u>
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & {{\phi }_{1}}(\xi )={{a}^{+}}{{\phi }_{0}}(\xi )=\frac{1}{i\sqrt{2}}\left( \xi -\frac{d}{d\xi } \right){{\phi }_{0}}(\xi )=-\frac{1}{i\sqrt{2}}{{e}^{\left( \frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}\frac{d}{d\xi }\left( {{e}^{\left( -\frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}{{\phi }_{0}}(\xi ) \right) \\
 & \Rightarrow {{\phi }_{1}}(\xi )=-\frac{1}{i\sqrt{2}}{{e}^{\left( \frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}\frac{d}{d\xi }\left( {{A}_{0}}{{e}^{\left( -{{\xi }^{2}} \right)}} \right) \\
@@ Zeile 382: / Zeile 382: @@
 \end{align}</math>
-Die angeregten Zustände werden also einfach durch Anwendung des Aufsteigeoperators aus dem Grundzustand erzeugt !
+Die angeregten Zustände werden also einfach durch Anwendung des Aufsteigeoperators aus dem Grundzustand erzeugt!
-Für den n-ten angeregten Zustand ( Induktion !) damit:
+Für den n-ten angeregten Zustand (Induktion!) damit:
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & {{\phi }_{n}}(\xi )=\frac{{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}}{\sqrt{n!}}{{\phi }_{0}}(\xi )=\frac{1}{{{i}^{n}}\sqrt{{{2}^{n}}n!}}{{\left( \xi -\frac{d}{d\xi } \right)}^{n}}{{\phi }_{0}}(\xi )=\frac{1}{{{i}^{n}}}\frac{{{A}_{0}}}{\sqrt{{{2}^{n}}n!}}{{\left( -1 \right)}^{n}}{{e}^{\left( \frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}\frac{{{d}^{n}}}{{{\left( d\xi  \right)}^{n}}}{{e}^{-{{\xi }^{2}}}} \\
 & \frac{{{A}_{0}}}{\sqrt{{{2}^{n}}n!}}:={{A}_{n}} \\
@@ Zeile 392: / Zeile 392: @@
 Dabei kann <math>\frac{1}{{{i}^{n}}}</math>
-als Phasenfaktor ( für die Wahrscheinlichkeit irrelevant) weggelassen werden
+als Phasenfaktor (für die Wahrscheinlichkeit irrelevant) weggelassen werden
 und <math>{{H}_{n}}</math>
 bezeichnet die sogenannten Hermiteschen Polynome vom Grad n.
 Die Eigenzustände des harmonischen Oszillators beinhalten also die Hermité- Polynome
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & {{\phi }_{n}}(\xi )=\frac{1}{{{i}^{n}}}\frac{{{A}_{0}}}{\sqrt{{{2}^{n}}n!}}{{\left( -1 \right)}^{n}}{{e}^{\left( \frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}\frac{{{d}^{n}}}{{{\left( d\xi  \right)}^{n}}}{{e}^{-{{\xi }^{2}}}} \\
 & \Rightarrow {{\phi }_{n}}(\xi )=\frac{{{\left( \frac{m\omega }{\hbar \pi } \right)}^{\frac{1}{4}}}}{\sqrt{{{\left( -2 \right)}^{n}}n!}}{{H}_{n}}(\xi ){{e}^{-\frac{{{\xi }^{2}}}{2}}} \\
 \end{align}</math>
-Explizit lauten diese Hermiteschen Polynome ( wie aus obiger Relation berechnet werden kann):
+Explizit lauten diese Hermiteschen Polynome (wie aus obiger Relation berechnet werden kann):
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & {{H}_{0}}(\xi )=1 \\
 & {{H}_{1}}(\xi )=2\xi  \\
@@ Zeile 410: / Zeile 410: @@
 Letztendlich bezeichnet
-<math>{{\left( -1 \right)}^{n}}</math>
+:<math>{{\left( -1 \right)}^{n}}</math>
 die Parität von <math>{{\phi }_{n}}</math>
-Die Wellenfunktionen im Oszillatorpotenzial ( die Wurzeln der Wahrscheinlichkeiten) werden folgendermaßen schematisch dargestellt:
+Die Wellenfunktionen im Oszillatorpotenzial (die Wurzeln der Wahrscheinlichkeiten) werden folgendermaßen schematisch dargestellt:
-Für das Wasserstoffatom ergeben sich als Wellenfunktion die Kugelflächenfunktionen <math>{{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )</math>
+Für das Wasserstoffatom ergeben sich als Wellenfunktion die Kugelflächenfunktionen <math>{{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )</math>.
-.
 Bei Polardiagrammen gibt dabei der Betrag des Radiusvektors, der das Diagramm zeichnet <math>r={{\left| {{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi ) \right|}^{2}}</math>
 das Betragsquadrat der Kugelflächenfunktion an.
 Also die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons im Kraftfeld des Protons.
-Dabei gibt es für verschiedene Drehimpulsquantenzahlen L verschiedene Wellenfunktionen zum gleichen Energieeigenwert. Die Niveaus sind ( ohne den Spin) L+1 - fach entartet ! die Charakterisierung erfolgt durch die magnetische Quantenzahl m
+Dabei gibt es für verschiedene Drehimpulsquantenzahlen L verschiedene Wellenfunktionen zum gleichen Energieeigenwert. Die Niveaus sind (ohne den Spin) L+1 - fach entartet! die Charakterisierung erfolgt durch die magnetische Quantenzahl m

Der harmonische Oszillator: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 9. August 2011, 13:25 Uhr

Verallgemeinerung

Eigenwerte von H

Normierung der Eigenzustände

Teilchenzahloperator

Veranschaulichung

Zusammenhang mit der Ortsdarstellung

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