Dynamik des 2- Zustands- Systems: Unterschied zwischen den Versionen
*>SchuBot Einrückungen Mathematik |
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<math>\hat{V}=-\frac{e\hbar }{2{{m}_{0}}}\hat{\bar{\sigma }}\cdot \bar{B}=-\frac{e\hbar B}{2{{m}_{0}}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}=\hbar {{\omega }_{l}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}</math> | :<math>\hat{V}=-\frac{e\hbar }{2{{m}_{0}}}\hat{\bar{\sigma }}\cdot \bar{B}=-\frac{e\hbar B}{2{{m}_{0}}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}=\hbar {{\omega }_{l}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}</math> | ||
{{Def|Mit der '''Larmor-Frequenz''' <math>{{\omega }_{l}}:=\frac{|e|B}{2{{m}_{0}}}</math>|Larmor-Frequenz}} | {{Def|Mit der '''Larmor-Frequenz''' <math>{{\omega }_{l}}:=\frac{|e|B}{2{{m}_{0}}}</math>|Larmor-Frequenz}} | ||
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:<math>\frac{d}{dt}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle =\frac{i}{\hbar }\left\langle \left[ H,{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right] \right\rangle =i{{\omega }_{l}}\left\langle \left[ {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}},{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right] \right\rangle =-2{{\omega }_{l}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle </math> | :<math>\frac{d}{dt}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle =\frac{i}{\hbar }\left\langle \left[ H,{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right] \right\rangle =i{{\omega }_{l}}\left\langle \left[ {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}},{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right] \right\rangle =-2{{\omega }_{l}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle </math> | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \frac{d}{dt}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle =-2{{\omega }_{l}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle \\ | & \frac{d}{dt}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle =-2{{\omega }_{l}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle \\ | ||
& \frac{d}{dt}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle =2{{\omega }_{l}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle \\ | & \frac{d}{dt}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle =2{{\omega }_{l}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle \\ | ||
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Die zeitliche Unabhängigkeit der Spin3- Komponente liegt dabei alleine an der Wahl des Koordinatensystems, bzw. der Basis ! Wir haben diese gerade so gewählt, dass die 3- Komponente zeitlich unabhängig wird. | Die zeitliche Unabhängigkeit der Spin3- Komponente liegt dabei alleine an der Wahl des Koordinatensystems, bzw. der Basis ! Wir haben diese gerade so gewählt, dass die 3- Komponente zeitlich unabhängig wird. | ||
Die Lösung der Diffgleichung liefert: | Die Lösung der Diffgleichung liefert: | ||
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& {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle }_{t}}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle }_{0}}\sin \left( 2{{\omega }_{l}}t \right)+{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle }_{0}}\cos \left( 2{{\omega }_{l}}t \right) \\ | & {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle }_{t}}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle }_{0}}\sin \left( 2{{\omega }_{l}}t \right)+{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle }_{0}}\cos \left( 2{{\omega }_{l}}t \right) \\ | ||
& {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle }_{t}}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle }_{0}}\cos \left( 2{{\omega }_{l}}t \right)-{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle }_{0}}\sin \left( 2{{\omega }_{l}}t \right) \\ | & {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle }_{t}}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle }_{0}}\cos \left( 2{{\omega }_{l}}t \right)-{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle }_{0}}\sin \left( 2{{\omega }_{l}}t \right) \\ | ||
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o.B. d.A.: | o.B. d.A.: | ||
<math>{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle }_{0}}=0</math> | :<math>{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle }_{0}}=0</math> | ||
Wir können uns den Betrag des Erwartungswertes des gesamten Spinvektors ansehen und es zeigt sich : | Wir können uns den Betrag des Erwartungswertes des gesamten Spinvektors ansehen und es zeigt sich : | ||
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Dabei muss der Zustand <math>\left| a(t) \right\rangle </math> in der Spinbasis entwickelbar sein: | Dabei muss der Zustand <math>\left| a(t) \right\rangle </math> in der Spinbasis entwickelbar sein: | ||
<math>\left| a(t) \right\rangle ={{a}_{1}}(t)\left| \uparrow \right\rangle +{{a}_{2}}(t)\left| \downarrow \right\rangle </math> | :<math>\left| a(t) \right\rangle ={{a}_{1}}(t)\left| \uparrow \right\rangle +{{a}_{2}}(t)\left| \downarrow \right\rangle </math> | ||
'''Matrix- Darstellung:''' | '''Matrix- Darstellung:''' | ||
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Die Lösung lautet: | Die Lösung lautet: | ||
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& {{a}_{1}}(t)={{a}_{10}}{{e}^{-i{{\omega }_{l}}t}} \\ | & {{a}_{1}}(t)={{a}_{10}}{{e}^{-i{{\omega }_{l}}t}} \\ | ||
& {{a}_{2}}(t)={{a}_{20}}{{e}^{i{{\omega }_{l}}t}} \\ | & {{a}_{2}}(t)={{a}_{20}}{{e}^{i{{\omega }_{l}}t}} \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
<math>\left| a(t) \right\rangle ={{a}_{10}}{{e}^{-i{{\omega }_{l}}t}}\left| \uparrow \right\rangle +{{a}_{20}}{{e}^{i{{\omega }_{l}}t}}\left| \downarrow \right\rangle </math> | :<math>\left| a(t) \right\rangle ={{a}_{10}}{{e}^{-i{{\omega }_{l}}t}}\left| \uparrow \right\rangle +{{a}_{20}}{{e}^{i{{\omega }_{l}}t}}\left| \downarrow \right\rangle </math> | ||
Nebenbemerkung: Hieraus gewinnt man <math>{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{j}} \right\rangle }_{t}}</math>, also die Spinpräzession wie oben! | Nebenbemerkung: Hieraus gewinnt man <math>{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{j}} \right\rangle }_{t}}</math>, also die Spinpräzession wie oben! |
Version vom 12. September 2010, 16:38 Uhr
Der Artikel Dynamik des 2- Zustands- Systems basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 2) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
Dynamik des 2- Zustands- Systems | {{#ask: Kapitel::4 Abschnitt::0 Urheber::Prof. Dr. E. Schöll, PhD}} | {{#ask: Abschnitt::0 Kapitel::0 Urheber::Prof. Dr. E. Schöll, PhD}} | ||||||
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Die potenzielle Energie des magnetischen Moments des Elektronen- Spins im äußeren Magnetfeld beträgt:
Somit:
Mit der Larmor-Frequenz |
{{#set:Definition=Larmor-Frequenz|Index=Larmor-Frequenz}}
Wenn der Spin an keine weitere Variable ankoppelt, so ist der Hamiltonoperator der Spinvariable ( im Spin- Hilbertraum).
Die Dynamik eines Spins im Magnetfeld ergibt sich über den Zeitableitungsoperator:
Berechnung der Erwartungswerte mit :
Dies läßt sich reduzieren:
Die Dynamik der Spins bildet also einen Oszillator in der x-y- Ebene. Die zeitliche Unabhängigkeit der Spin3- Komponente liegt dabei alleine an der Wahl des Koordinatensystems, bzw. der Basis ! Wir haben diese gerade so gewählt, dass die 3- Komponente zeitlich unabhängig wird. Die Lösung der Diffgleichung liefert:
Die Anfangsbedingungen können ebenfalls durch Wahl des Koordinatensystems (feste x-y- Ebene) beeinflusst werden. Wähle: o.B. d.A.:
Wir können uns den Betrag des Erwartungswertes des gesamten Spinvektors ansehen und es zeigt sich :
Mit anderen Worten:
Der Erwartungswert des Spins präzediert also mit der Frequenz um das Magnetfeld.
Schrödingergleichung für die Spinzustände
(Schrödingergleichung für Spinzustände) |
{{#set:Gleichung=Schrödinger-Gleichung für Spinzustände|Index=Schrödinger-Gleichung für Spinzustände}}
Achtung! Nur Spin- Hamiltonian!
Dabei muss der Zustand in der Spinbasis entwickelbar sein:
Matrix- Darstellung:
Die Lösung lautet:
Nebenbemerkung: Hieraus gewinnt man , also die Spinpräzession wie oben!