Dynamik des 2- Zustands- Systems

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Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
Kein GFDL Der Artikel Dynamik des 2- Zustands- Systems basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 2) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Die potenzielle Energie des magnetischen Moments des Elektronen- Spins μ¯ im äußeren Magnetfeld B¯=Be¯3 beträgt:

V=−μ¯̂⋅B¯ mit μ¯̂=+ge2m0S¯̂=+eℏ2m0σ¯̂ mit g~ 2 und e<0

Somit:

V̂=−eℏ2m0σ¯̂⋅B¯=−eℏB2m0σ¯̂3=ℏωlσ¯̂3
Mit der Larmor-Frequenz ωl:=|e|B2m0

Wenn der Spin an keine weitere Variable ankoppelt, so ist Ĥ=V̂ der Hamiltonoperator der Spinvariable (im Spin- Hilbertraum). Die Dynamik eines Spins im Magnetfeld ergibt sich über den Zeitableitungsoperator:

σ¯̂∘=iℏ[Ĥ,σ¯̂]=iωl[σ¯̂3,σ¯̂]

Berechnung der Erwartungswerte mit [σ¯̂j,σ¯̂k]=2iεjklσ¯̂l:

ddt⟨σ¯̂1⟩=iℏ⟨[H,σ¯̂1]⟩=iωl⟨[σ¯̂3,σ¯̂1]⟩=−2ωl⟨σ¯̂2⟩
ddt⟨σ¯̂1⟩=−2ωl⟨σ¯̂2⟩ddt⟨σ¯̂2⟩=2ωl⟨σ¯̂1⟩ddt⟨σ¯̂3⟩=0

Dies läßt sich reduzieren:

d2dt2⟨σ¯̂1⟩+(2ωl)2⟨σ¯̂1⟩=0

Die Dynamik der Spins bildet also einen Oszillator in der x-y- Ebene. Die zeitliche Unabhängigkeit der Spin3- Komponente liegt dabei alleine an der Wahl des Koordinatensystems, bzw. der Basis! Wir haben diese gerade so gewählt, dass die 3- Komponente zeitlich unabhängig wird. Die Lösung der Diffgleichung liefert:

⟨σ¯̂1⟩t=⟨σ¯̂2⟩0sin⁡(2ωlt)+⟨σ¯̂1⟩0cos⁡(2ωlt)⟨σ¯̂2⟩t=⟨σ¯̂2⟩0cos⁡(2ωlt)−⟨σ¯̂1⟩0sin⁡(2ωlt)⟨σ¯̂3⟩t=⟨σ¯̂3⟩0
klassischer Kreisel

Die Anfangsbedingungen können ebenfalls durch Wahl des Koordinatensystems (feste x-y- Ebene) beeinflusst werden. Wähle: o.B. d.A.:

⟨σ¯̂2⟩0=0

Wir können uns den Betrag des Erwartungswertes des gesamten Spinvektors ansehen und es zeigt sich :

|⟨σ¯̂⟩t|2=⟨σ¯̂1⟩t2+⟨σ¯̂2⟩t2+⟨σ¯̂3⟩t2=⟨σ¯̂1⟩02[cos2(2ωlt)+sin2(2ωlt)]+⟨σ¯̂3⟩02=⟨σ¯̂1⟩02+⟨σ¯̂3⟩02

Mit anderen Worten:

|⟨σ¯̂⟩t|2=|⟨σ¯̂⟩0|2=const, der Betrag des Spins ändert sich zeitlich nicht!

Der Erwartungswert des Spins präzediert also mit der Frequenz 2ωl um das Magnetfeld.

Schrödingergleichung für die Spinzustände

ℏωlσ¯̂3|a(t)⟩=iℏ∂∂t|a(t)⟩ (Schrödingergleichung für Spinzustände)

Achtung! Nur Spin- Hamiltonian!

Dabei muss der Zustand |a(t)⟩ in der Spinbasis entwickelbar sein:

|a(t)⟩=a1(t)|↑⟩+a2(t)|↓⟩

Matrix- Darstellung:

ℏωl(100−1)(a1(t)a2(t))=iℏ∂∂t(a1(t)a2(t))⇔−iωla1=a˙1iωla2=a˙2

Die Lösung lautet:

a1(t)=a10e−iωlta2(t)=a20eiωlt
|a(t)⟩=a10e−iωlt|↑⟩+a20eiωlt|↓⟩

Nebenbemerkung: Hieraus gewinnt man ⟨σ¯̂j⟩t, also die Spinpräzession wie oben!

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