Dynamik des 2- Zustands- Systems

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Dynamik des 2- Zustands- Systems basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 2) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Die potenzielle Energie des magnetischen Moments des Elektronen- Spins $\overline{\mu }$ im äußeren Magnetfeld $\overline{B}=B{\overline{e}}_3$ beträgt:

$V=-\hat{\overline{\mu }}\cdot \overline{B}$ mit $\hat{\overline{\mu }}=+g\frac{e}{2m_0}\hat{\overline{S}}=+\frac{e\hslash }{2m_0}\hat{\overline{\sigma }}$ mit g~ 2 und e<0

Somit:

$\hat{V}=-\frac{e\hslash }{2m_0}\hat{\overline{\sigma }}\cdot \overline{B}=-\frac{e\hslash B}{2m_0}{\hat{\overline{\sigma }}}_3=\hslash {\omega }_l{\hat{\overline{\sigma }}}_3$

Mit der Larmor-Frequenz ${\omega }_l:=\frac{|e|B}{2m_0}$

Wenn der Spin an keine weitere Variable ankoppelt, so ist $\hat{H}=\hat{V}$ der Hamiltonoperator der Spinvariable (im Spin- Hilbertraum). Die Dynamik eines Spins im Magnetfeld ergibt sich über den Zeitableitungsoperator:

${\hat{\overline{\sigma }}}^{\circ }=\frac{i}{\hslash }[\hat{H},\hat{\overline{\sigma }}]=i{\omega }_l[{\hat{\overline{\sigma }}}_3,{\hat{\overline{\sigma }}}_{}]$

Berechnung der Erwartungswerte mit $[{\hat{\overline{\sigma }}}_j,{\hat{\overline{\sigma }}}_k]=2i{\epsilon }_{jkl}{\hat{\overline{\sigma }}}_l$:

$\frac{d}{dt}⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_1⟩=\frac{i}{\hslash }⟨[H,{\hat{\overline{\sigma }}}_1]⟩=i{\omega }_l⟨[{\hat{\overline{\sigma }}}_3,{\hat{\overline{\sigma }}}_1]⟩=-2{\omega }_l⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_2⟩$

$\begin{array}{cc}& \frac{d}{dt}⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_1⟩=-2{\omega }_l⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_2⟩\\ & \frac{d}{dt}⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_2⟩=2{\omega }_l⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_1⟩\\ & \frac{d}{dt}⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_3⟩=0\\ \end{array}$

Dies läßt sich reduzieren:

$\frac{d^2}{d{t}^2}⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_1⟩+{\left(2{\omega }_l\right)}^2⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_1⟩=0$

Die Dynamik der Spins bildet also einen Oszillator in der x-y- Ebene. Die zeitliche Unabhängigkeit der Spin3- Komponente liegt dabei alleine an der Wahl des Koordinatensystems, bzw. der Basis! Wir haben diese gerade so gewählt, dass die 3- Komponente zeitlich unabhängig wird. Die Lösung der Diffgleichung liefert:

$\begin{array}{cc}& {⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_1⟩}_t={⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_2⟩}_0\sin \left(2{\omega }_{l}t\right)+{⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_1⟩}_0\cos \left(2{\omega }_{l}t\right)\\ & {⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_2⟩}_t={⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_2⟩}_0\cos \left(2{\omega }_{l}t\right)-{⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_1⟩}_0\sin \left(2{\omega }_{l}t\right)\\ & {⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_3⟩}_t={⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_3⟩}_0\\ \end{array}$

klassischer Kreisel

Die Anfangsbedingungen können ebenfalls durch Wahl des Koordinatensystems (feste x-y- Ebene) beeinflusst werden. Wähle: o.B. d.A.:

${⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_2⟩}_0=0$

Wir können uns den Betrag des Erwartungswertes des gesamten Spinvektors ansehen und es zeigt sich :

${\left|{⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_{}⟩}_t\right|}^2={{⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_1⟩}_t}^2+{{⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_2⟩}_t}^2+{{⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_3⟩}_t}^2={{⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_1⟩}_0}^2[{\cos }^2\left(2{\omega }_{l}t\right)+{\sin }^2\left(2{\omega }_{l}t\right)]+{{⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_3⟩}_0}^2={{⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_1⟩}_0}^2+{{⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_3⟩}_0}^2$

Mit anderen Worten:

${\left|{⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_{}⟩}_t\right|}^2={\left|{⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_{}⟩}_0\right|}^2=const$, der Betrag des Spins ändert sich zeitlich nicht!

Der Erwartungswert des Spins präzediert also mit der Frequenz $2{\omega }_l$ um das Magnetfeld.

Schrödingergleichung für die Spinzustände

$\hslash {\omega }_l{\hat{\overline{\sigma }}}_3|a(t)⟩=i\hslash \frac{\partial }{\partial t}|a(t)⟩$ (Schrödingergleichung für Spinzustände)

Achtung! Nur Spin- Hamiltonian!

Dabei muss der Zustand $|a(t)⟩$ in der Spinbasis entwickelbar sein:

$|a(t)⟩=a_1(t)|\uparrow ⟩+a_2(t)|\downarrow ⟩$

Matrix- Darstellung:

$\hslash {\omega }_l\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{a}_1(t)\\ a_2(t)\end{array}\right)=i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\left(\begin{array}{c}{a}_1(t)\\ a_2(t)\end{array}\right)\iff \begin{array}{c}-i{\omega }_l{a}_1={\dot{a}}_1\\ i{\omega }_l{a}_2={\dot{a}}_2\end{array}$

Die Lösung lautet:

$\begin{array}{cc}& a_1(t)=a_{10}{e}^{-i{\omega }_{l}t}\\ & a_2(t)=a_{20}{e}^{i{\omega }_{l}t}\\ \end{array}$

$|a(t)⟩=a_{10}{e}^{-i{\omega }_{l}t}|\uparrow ⟩+a_{20}{e}^{i{\omega }_{l}t}|\downarrow ⟩$

Nebenbemerkung: Hieraus gewinnt man ${⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_j⟩}_t$, also die Spinpräzession wie oben!