Zeitabhängige Störungsrechnung: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 12. September 2010, 23:46 Uhr

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Zeitabhängige Störungsrechnung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 1) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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(Dirac)

Es soll die zeitliche Entwicklung eines Zustandes ${| Ψ ⟩}_{t}$ aus der Schrödingergleichung

\hat{H} {| Ψ ⟩}_{t} = i ℏ \frac{\partial}{\partial t} {| Ψ ⟩}_{t}

berechnet werden, wobei

\hat{H} = {\hat{H}}_{0} + {\hat{H}}_{1} (t)

durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird.

Die Störung lasse sich als Potenzialstörung darstellen, die mittels des von Null verschiedenen jedoch kleinen Parameters $ε$ linear entwickelt werden kann:

{\hat{H}}_{1} (t) = ε \hat{V}

(dabei kann die Störung natürlich explizit zeitabhängig sein!)

Die Eigenzustände und Eigenwerte von H₀ seien bekannt:

{\hat{H}}_{0} | n ⟩ = E_{n} | n ⟩

(ungestörtes Problem)

Dabei gilt natürlich weiterhin die Orthonormierung und Vollständigkeit des Basissystems:

\begin{aligned} ⟨ n \overset{´}{} | n ⟩ = δ_{n \overset{´}{} n} \\ \sum_{n} | n ⟩ ⟨ n | = 1 \end{aligned}

Annahme: diskretes Spektrum

Die Entwicklung von ${| Ψ ⟩}_{t}$ nach den Eigenzuständen des ungestörten Systems liefert:

\begin{aligned} \sum_{n} | n ⟩ ⟨ n | {| Ψ ⟩}_{t} = \sum_{n} c_{n} (t) | n ⟩ \\ ⟨ n | {| Ψ ⟩}_{t} : = c_{n} (t) \end{aligned}

Die Anfangsbedingung sei ein noch ungestörter Zustand $| n_{0} ⟩$ :

{| Ψ ⟩}_{t = 0} = | n_{0} ⟩

Damit:

⟨ n | n_{0} ⟩ : = c_{n} (0) = δ_{n n_{0}}

Die Zeitentwicklung unter dem Einfluss der Störung lautet (Einsetzen von

\begin{aligned} \sum_{n} | n ⟩ ⟨ n | {| Ψ ⟩}_{t} = \sum_{n} c_{n} (t) | n ⟩ \\ ⟨ n | {| Ψ ⟩}_{t} : = c_{n} (t) \end{aligned}

in die Schrödingergleichung:

\begin{aligned} \hat{H} {| Ψ ⟩}_{t} = i ℏ \frac{\partial}{\partial t} {| Ψ ⟩}_{t} \\ \Rightarrow \sum_{n} c_{n} (t) \hat{H} | n ⟩ = i ℏ \sum_{n} \frac{d}{d t} c_{n} (t) | n ⟩ = \sum_{n} c_{n} (t) ({\hat{H}}_{0} + {\hat{H}}^{1} (t)) | n ⟩ = \sum_{n} c_{n} (t) (E_{n} + {\hat{H}}^{1} (t)) | n ⟩ \end{aligned}

Charakteristisch für diese entwickelten Probleme ist das Auftreten der Summe, wie hier zu sehen. Diese kann man beseitigen, indem von links mit einem zweiten Zustand "herausprojiziert" wird):

\begin{aligned} i ℏ \sum_{n} \frac{d}{d t} c_{n} (t) ⟨ m | n ⟩ = \sum_{n} c_{n} (t) ⟨ m | ({\hat{H}}_{0} + {\hat{H}}^{1} (t)) | n ⟩ = \sum_{n} c_{n} (t) ⟨ m | (E_{n} + {\hat{H}}^{1} (t)) | n ⟩ \\ = \sum_{n} c_{n} (t) (⟨ m | E_{n} | n ⟩ + ⟨ m | {\hat{H}}^{1} (t) | n ⟩) = \sum_{n} c_{n} (t) E_{n} δ_{m n} + \sum_{n} c_{n} (t) ⟨ m | {\hat{H}}^{1} (t) | n ⟩ \\ \Rightarrow i ℏ \sum_{n} \frac{d}{d t} c_{n} (t) ⟨ m | n ⟩ = c_{m} (t) E_{m} + \sum_{n} c_{n} (t) ⟨ m | {\hat{H}}^{1} (t) | n ⟩ = i ℏ \frac{d}{d t} c_{m} (t) \end{aligned}

Hilfreich ist die Definition eines $c_{n} (t) : = e^{- (i \frac{E_{n} t}{ℏ})} g_{n} (t)$ mit Hilfe der Eigenwerte des Zeitentwicklungsoperators für die ungestörten Zustände:

e^{- (i \frac{E_{n} t}{ℏ})}

Man schreibt also eine Zeitentwicklung für die Entwicklungskoeffizienten auf!

Somit kann die Differenzialgleichung für die Entwicklungskoeffizienten umgeschrieben werden:

i ℏ \frac{d}{d t} c_{m} (t) = c_{m} (t) E_{m} + \sum_{n} c_{n} (t) ⟨ m | {\hat{H}}^{1} (t) | n ⟩

mit $i ℏ \frac{d}{d t} c_{m} (t) = c_{m} (t) E_{m} + e^{- (i \frac{E_{m} t}{ℏ})} i ℏ \frac{d}{d t} g_{m} (t)$

Setzt man dies ein, so folgt:

\begin{aligned} c_{m} (t) E_{m} + e^{- (i \frac{E_{m} t}{ℏ})} i ℏ \frac{d}{d t} g_{m} (t) = c_{m} (t) E_{m} + \sum_{n} c_{n} (t) ⟨ m | {\hat{H}}^{1} (t) | n ⟩ \\ \Rightarrow i ℏ \frac{d}{d t} g_{m} (t) = e^{(i \frac{E_{m} t}{ℏ})} \sum_{n} c_{n} (t) ⟨ m | {\hat{H}}^{1} (t) | n ⟩ \end{aligned}

und wegen $c_{n} (t) : = e^{- (i \frac{E_{n} t}{ℏ})} g_{n} (t)$ also:

i ℏ \frac{d}{d t} g_{m} (t) = \sum_{n} e^{(i \frac{(E_{m} - E_{n}) t}{ℏ})} ⟨ m | {\hat{H}}^{1} (t) | n ⟩ g_{n} (t)

Die eigentliche Störungsrechnung kommt erst jetzt:

Wir machen eine Sörungsentwicklung für kleines $ε$ :

{\hat{H}}_{1} (t) = ε \hat{V}

(dabei kann die Störung natürlich explizit zeitabhängig sein!)

Man motiviert dass bei kleinen Potenzialstörungen höhere Ordnungen von $⟨ m | {\hat{H}}^{1} (t) | n ⟩$

polynomial in $ε$

fallen, was für die Entwicklungskoeffizienten bedeutet:

g_{n} (t) = {g_{n}}^{(0)} (t) + ε {g_{n}}^{(1)} (t) + ε^{2} {g_{n}}^{(2)} (t) + . . .

Merke: Der entscheidende Schritt der zeitabhängigen Störungsrechnung ist hier: die Taylorentwicklung der Entwicklungskoeffizienten, in denen der Zustand entwickelt wurde.

Dabei gilt:

\begin{aligned} \sum_{n} | n ⟩ ⟨ n | {| Ψ ⟩}_{t} = \sum_{n} c_{n} (t) | n ⟩ \\ ⟨ n | {| Ψ ⟩}_{t} : = c_{n} (t) \end{aligned}

c_{n} (t) : = e^{- (i \frac{E_{n} t}{ℏ})} g_{n} (t)

Da aber die Differenzialgleichung für unsere $g_{m} (t)$

i ℏ \frac{d}{d t} g_{m} (t) = \sum_{n} e^{(i \frac{(E_{m} - E_{n}) t}{ℏ})} ⟨ m | {\hat{H}}^{1} (t) | n ⟩ g_{n} (t)

ebenso beidseitig entwickelt werden kann:

\begin{aligned} i ℏ \frac{d}{d t} ({g_{m}}^{(0)} (t) + ε {g_{m}}^{(1)} (t) + ε^{2} {g_{m}}^{(2)} (t) + . . .) \\ = \sum_{n} e^{(i \frac{(E_{m} - E_{n}) t}{ℏ})} ⟨ m | {\hat{H}}^{1} (t) | n ⟩ ({g_{n}}^{(0)} (t) + ε {g_{n}}^{(1)} (t) + ε^{2} {g_{n}}^{(2)} (t) + . . .) \end{aligned}

und dies für beliebige $ε$

gilt, kann an der Gleichung ein Koeffizientenvergleich in der Ordnung $ε^{k}$

durchgeführt werden und es folgt: $k = 0$ :

\begin{aligned} i ℏ \frac{d}{d t} {g_{m}}^{(0)} (t) = 0 \\ \Rightarrow {g_{m}}^{(0)} (t) = c o n s t =! = δ_{m n_{0}} \end{aligned}

Exakte Lösung für $ε = 0$

{c_{m}}^{(0)} (t) = e^{- i \frac{E_{m}}{ℏ} t} δ_{m n_{0}}

Für k=1

i ℏ \frac{d}{d t} {g_{m}}^{(1)} (t) = \sum_{n} e^{(i \frac{(E_{m} - E_{n}) t}{ℏ})} ⟨ m | \hat{V} | n ⟩ {g_{n}}^{(0)}

Dabei wurde $ε^{k} = ε^{1}$

bereits beidseitig gekürzt.

Beim Vergleich der Ordnungen von $ε$

muss man aufpassen.

Links ist die Ordnung des Entwicklungskoeffizienten gleich der Ordnung von $ε$ .

Rechts dagegen hat man eine Ordnung von  $ε$

,

die noch um eines größer ist als die Ordnung des Entwicklungskoeffizienten, da ja noch  ${\hat{H}}_{1} (t) = ε \hat{V}$

.

Also hat man formal in erster Ordnung von  $ε$

i ℏ \frac{d}{d t} ε {g_{m}}^{(1)} (t) = \sum_{n} e^{(i \frac{(E_{m} - E_{n}) t}{ℏ})} ⟨ m | ε \hat{V} | n ⟩ {g_{n}}^{(0)} \Rightarrow i ℏ \frac{d}{d t} {g_{m}}^{(1)} (t) = \sum_{n} e^{(i \frac{(E_{m} - E_{n}) t}{ℏ})} ⟨ m | \hat{V} | n ⟩ {g_{n}}^{(0)}

Wir wissen: ${g_{m}}^{(0)} (t) = c o n s t =! = δ_{m n_{0}}$

Somit:

i ℏ \frac{d}{d t} {g_{m}}^{(1)} (t) = \sum_{n} e^{(i \frac{(E_{m} - E_{n}) t}{ℏ})} ⟨ m | \hat{V} | n ⟩ {g_{n}}^{(0)}

also:

i ℏ \frac{d}{d t} {g_{m}}^{(1)} (t) = e^{(i \frac{(E_{m} - E_{n 0}) t}{ℏ})} ⟨ m | \hat{V} | n_{0} ⟩

und mit der Anfangsbedingung ${g_{n}}^{(1)} (0) = 0$

kann formal integriert werden:

{g_{m}}^{(1)} (t) = \frac{1}{i ℏ} \int_{0}^{t} d τ e^{(i \frac{(E_{m} - E_{n 0}) τ}{ℏ})} ⟨ m | \hat{V} | n_{0} ⟩

Übergangswahrscheinlichkeit

Per Definition die Wahrscheinlichkeit, zur Zeit t den Zustand $| n ⟩$

zu finden, wenn zu t=0 der Zustand $| n_{0} ⟩$

vorliegt.

{| ⟨ n | {| Ψ ⟩}_{t} |}^{2} = {| \sum_{n \overset{´}{}} c_{n \overset{´}{}} (t) ⟨ n | n \overset{´}{} ⟩ |}^{2} = {| c_{n} (t) |}^{2} = {| g_{n} (t) |}^{2}

Als Näherung wird nur die niedrigste, nichtverschwindende Ordnung betrachtet:

g_{n} (t) = {g_{n}}^{(o)} = δ_{n n_{0}} = 1

für n=n0 und

g_{n} (t) = ε {g_{n}}^{(1)}

für $n \neq n_{0}$

Zeitunabhängige Störung:

\hat{V} = c o n s t .

\begin{aligned} {g_{n}}^{(1)} (t) = - \frac{i}{ℏ} \int_{0}^{t} d τ e^{(i \frac{(E_{n} - E_{n 0}) τ}{ℏ})} ⟨ n | \hat{V} | n_{0} ⟩ = - ⟨ n | \hat{V} | n_{0} ⟩ \frac{e^{(i \frac{(E_{n} - E_{n 0}) t}{ℏ})} - 1}{E_{n} - E_{n 0}} \\ {| {g_{n}}^{(1)} (t) |}^{2} = {| ⟨ n | \hat{V} | n_{0} ⟩ |}^{2} {\frac{e^{(- i \frac{(E_{n} - E_{n 0}) t}{ℏ})} - 1}{E_{n} - E_{n 0}}} {\frac{e^{(i \frac{(E_{n} - E_{n 0}) t}{ℏ})} - 1}{E_{n} - E_{n 0}}} : = {| ⟨ n | \hat{V} | n_{0} ⟩ |}^{2} {\frac{(e^{(- i Ω t)} - 1) (e^{(i Ω t)} - 1)}{Ω^{2} ℏ^{2}}} \\ Ω : = \frac{(E_{n} - E_{n 0})}{ℏ} \\ \Rightarrow {| {g_{n}}^{(1)} (t) |}^{2} = {| ⟨ n | \hat{V} | n_{0} ⟩ |}^{2} \frac{2 (1 - \cos Ω t)}{Ω^{2} ℏ^{2}} = {| ⟨ n | \hat{V} | n_{0} ⟩ |}^{2} \frac{4 \sin^{2} \frac{Ω}{2} t}{Ω^{2} ℏ^{2}} \\ \frac{4 \sin^{2} \frac{Ω}{2} t}{Ω^{2} ℏ^{2}} : = D_{t} (E_{n} - E_{n 0}) \\ \Rightarrow {| {g_{n}}^{(1)} (t) |}^{2} = {| ⟨ n | \hat{V} | n_{0} ⟩ |}^{2} D_{t} (E_{n} - E_{n 0}) \end{aligned}

Die Größe $Ω : = \frac{(E_{n} - E_{n 0})}{ℏ}$ heißt Übergangsfrequenz. Und bezieht sich auf den Übergang von $| n_{0} ⟩$ auf $| n ⟩$

Datei:Sign squared.png Für die Darstellung der Übergangswahrscheinlichkeit um die optimale Energie gilt (grafisch):

\begin{aligned} D_{t} (0) = {(\frac{t}{ℏ})}^{2} \\ \begin{matrix} \lim \\ t \to \infty \end{matrix} (D_{t} (0)) = \infty \\ \int_{- \infty}^{\infty} D_{t} (E) = \int_{- \infty}^{\infty} d E \frac{4 \sin^{2} (\frac{E t}{2 ℏ})}{E^{2}} = \frac{2 t}{ℏ} \int_{- \infty}^{\infty} d ξ \frac{\sin^{2} ξ}{ξ^{2}} \\ \int_{- \infty}^{\infty} d ξ \frac{\sin^{2} ξ}{ξ^{2}} = π \\ \Rightarrow \int_{- \infty}^{\infty} D_{t} (E) = \frac{2 π}{ℏ} t \end{aligned}

Also:

\begin{aligned} D_{t} (E) = : \frac{2 π}{ℏ} t δ_{t} (E) \\ \begin{matrix} \lim \\ t \to \infty \end{matrix} D_{t} (E) = \frac{2 π}{ℏ} t δ (E) \end{aligned}

Grafisch Datei:Sign squared.gif

\Rightarrow {| ⟨ n | {| Ψ ⟩}_{t} |}^{2} = {| g_{n} (t) |}^{2} = \frac{2 π}{ℏ} {| ⟨ n | {\hat{H}}^{1} | n_{0} ⟩ |}^{2} \cdot t \cdot δ_{t} (E_{n} - E_{n_{0}})

Für $t \to \infty$ Energieerhaltung: $E_{n} - E_{n_{0}} = 0$

Für $t < \infty$ hat $D_{t} (E) = : \frac{2 π}{ℏ} t δ_{t} (E)$ die Breite $Δ E ≅ \frac{4 π ℏ}{t}$

Damit folgt die Energie- Zeit Unschärferelation:

Δ E t ≅ 4 π ℏ

Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit (von $| n_{0} ⟩$ auf $| n ⟩$ )

W_{n n 0} = \frac{d}{d t} {| ⟨ n | {| Ψ ⟩}_{t} |}^{2} = \frac{2 π}{ℏ} {| ⟨ n | {\hat{H}}^{1} | n_{0} ⟩ |}^{2} δ_{t} (E_{n} - E_{n_{0}})

Mit dem Übergangsmatrixelement

⟨ n | {\hat{H}}^{1} | n_{0} ⟩

und einer quadratischen Sinc- Funktion, $δ_{t} (E_{n} - E_{n_{0}})$ (siehe obige Definitionen) die die Übergangswahrscheinlichkeit auf absorbierte Quanten mit einer Energie $E_{n} - E_{n_{0}}$ beschränkt, so lange deren Abweichung von $E_{n} - E_{n_{0}}$ noch der Unschärfe genügt (Die Wahrscheinliochkeit sinkt dann entlang einer Sinc²- Funktion um $E_{n} - E_{n_{0}}$ ab, für Quantenenergien, die von $E_{n} - E_{n_{0}}$ verschieden sind. Diese "Distribution" wird für unendlich lange Lebensdauern zur Delta- Funktion!

Dies ist Fermis Goldene Regel, abgeleitet aus der Störungstheorie 1. Ordnung. Dabei gilt:

\begin{aligned} δ_{t} \to δ \\ f \ddot{u} r t \to \infty \end{aligned}

Harmonische zeitabhängige Störung

{\hat{H}}^{1} (t) = \hat{F} e^{- i ω t} + {\hat{F}}^{+} e^{i ω t}

hermitesch!

Es folgt:

\begin{aligned} g_{n} (t) = - \frac{i}{ℏ} \int_{0}^{t} d τ e^{(i \frac{(E_{n} - E_{n 0} - ℏ ω) τ}{ℏ})} ⟨ n | \hat{F} | n_{0} ⟩ - \frac{i}{ℏ} \int_{0}^{t} d τ e^{(i \frac{(E_{n} - E_{n 0} + ℏ ω) τ}{ℏ})} ⟨ n | {\hat{F}}^{+} | n_{0} ⟩ \\ \Rightarrow g_{n} (t) = - ⟨ n | \hat{F} | n_{0} ⟩ {\frac{e^{(i \frac{(E_{n} - E_{n 0} - ℏ ω) t}{ℏ}) - 1}}{E_{n} - E_{n 0} - ℏ ω}} - ⟨ n | {\hat{F}}^{+} | n_{0} ⟩ {\frac{e^{(i \frac{(E_{n} - E_{n 0} + ℏ ω) t}{ℏ}) - 1}}{E_{n} - E_{n 0} + ℏ ω}} \end{aligned}

Somit folgt für die Übergangswahrscheinlichkeit von $| n_{0} ⟩$ auf $| n ⟩$

\begin{aligned} {| {⟨ n | Ψ ⟩}_{t} |}^{2} = {| g_{n} |}^{2} = \frac{2 π}{ℏ} {| ⟨ n | \hat{F} | n_{0} ⟩ |}^{2} t δ (E_{n} - E_{n 0} - ℏ ω) \\ + \frac{2 π}{ℏ} {| ⟨ n | {\hat{F}}^{+} | n_{0} ⟩ |}^{2} t δ (E_{n} - E_{n 0} + ℏ ω) + ⟨ n | \hat{F} | n_{0} ⟩ * ⟨ n | {\hat{F}}^{+} | n_{0} ⟩ {\frac{e^{(- i \frac{(E_{n} - E_{n 0} - ℏ ω) t}{ℏ})} - 1}{E_{n} - E_{n 0} - ℏ ω}} {\frac{e^{(i \frac{(E_{n} - E_{n 0} + ℏ ω) t}{ℏ})} - 1}{E_{n} - E_{n 0} + ℏ ω}} \\ + ⟨ n | {\hat{F}}^{+} | n_{0} ⟩ * ⟨ n | \hat{F} | n_{0} ⟩ {\frac{e^{(- i \frac{(E_{n} - E_{n 0} + ℏ ω) t}{ℏ})} - 1}{E_{n} - E_{n 0} + ℏ ω}} {\frac{e^{(i \frac{(E_{n} - E_{n 0} - ℏ ω) t}{ℏ})} - 1}{E_{n} - E_{n 0} - ℏ ω}} \\ Ω^{\pm} : = Ω \pm ω = \frac{(E_{n} - E_{n 0} \pm ℏ ω)}{ℏ} \\ \Rightarrow {| {⟨ n | Ψ ⟩}_{t} |}^{2} = {| g_{n} |}^{2} = \frac{2 π}{ℏ} {| ⟨ n | \hat{F} | n_{0} ⟩ |}^{2} t δ (E_{n} - E_{n 0} - ℏ ω) \\ + \frac{2 π}{ℏ} {| ⟨ n | {\hat{F}}^{+} | n_{0} ⟩ |}^{2} t δ (E_{n} - E_{n 0} + ℏ ω) + ⟨ n | \hat{F} | n_{0} ⟩ * ⟨ n | {\hat{F}}^{+} | n_{0} ⟩ {\frac{(e^{(- i Ω^{-} t)} - 1) (e^{(i Ω^{+} t)} - 1)}{ℏ^{2} Ω^{+} Ω^{-}}} \\ + ⟨ n | {\hat{F}}^{+} | n_{0} ⟩ * ⟨ n | \hat{F} | n_{0} ⟩ {\frac{(e^{(- i Ω^{+} t)} - 1) (e^{(i Ω^{-} t)} - 1)}{ℏ^{2} Ω^{+} Ω^{-}}} \\ ⟨ n | \hat{F} | n_{0} ⟩ * ⟨ n | {\hat{F}}^{+} | n_{0} ⟩ : = A e^{- i γ} \\ ⟨ n | {\hat{F}}^{+} | n_{0} ⟩ * ⟨ n | \hat{F} | n_{0} ⟩ : = A e^{i γ} \end{aligned}

\begin{aligned} \Rightarrow {| {⟨ n | Ψ ⟩}_{t} |}^{2} = {| g_{n} |}^{2} = \frac{2 π}{ℏ} {| ⟨ n | \hat{F} | n_{0} ⟩ |}^{2} t δ (E_{n} - E_{n 0} - ℏ ω) \\ + \frac{2 π}{ℏ} {| ⟨ n | {\hat{F}}^{+} | n_{0} ⟩ |}^{2} t δ (E_{n} - E_{n 0} + ℏ ω) + A e^{- i γ} {\frac{(e^{(- i Ω^{-} t)} - 1) (e^{(i Ω^{+} t)} - 1)}{ℏ^{2} Ω^{+} Ω^{-}}} \\ + A e^{i γ} {\frac{(e^{(- i Ω^{+} t)} - 1) (e^{(i Ω^{-} t)} - 1)}{ℏ^{2} Ω^{+} Ω^{-}}} \end{aligned}

Weiter gilt

A e^{- i γ} {\frac{(e^{(- i Ω^{-} t)} - 1) (e^{(i Ω^{+} t)} - 1)}{ℏ^{2} Ω^{+} Ω^{-}}} + A e^{i γ} {\frac{(e^{(- i Ω^{+} t)} - 1) (e^{(i Ω^{-} t)} - 1)}{ℏ^{2} Ω^{+} Ω^{-}}} = \frac{4 A}{ℏ^{2} Ω^{+} Ω^{-}} \cos (ω t - γ) [\cos (ω t) - \cos (Ω t)]

Für $ω \neq 0, Ω \neq 0$ sind diese Terme jedoch rein oszillierend. Für $t \to \infty$ sind diese jedoch vernachlässigbar gegen Terme $\tilde{} t δ (E_{n} - E_{n 0} \pm ℏ ω) = t δ (ℏ Ω^{\pm})$

Somit folgt für $t \to \infty$

{| {⟨ n | Ψ ⟩}_{t} |}^{2} = {| g_{n} |}^{2} = \frac{2 π}{ℏ} {| ⟨ n | \hat{F} | n_{0} ⟩ |}^{2} t δ (E_{n} - E_{n 0} - ℏ ω) + \frac{2 π}{ℏ} {| ⟨ n | {\hat{F}}^{+} | n_{0} ⟩ |}^{2} t δ (E_{n} - E_{n 0} + ℏ ω)

Für Zeit gegen unendlich kann man dann leicht die Übergangswahrscheinlichkeit zwischen $| n_{0} ⟩$ und $| n ⟩$ pro Zeiteinheit, durch Ableitung nach der Zeit erhalten:

W_{n n 0} = \frac{d}{d t} {| {⟨ n | Ψ ⟩}_{t} |}^{2} = \frac{2 π}{ℏ} {| ⟨ n | \hat{F} | n_{0} ⟩ |}^{2} δ (E_{n} - E_{n 0} - ℏ ω) + \frac{2 π}{ℏ} {| ⟨ n_{0} | \hat{F} | n ⟩ |}^{2} δ (E_{n} - E_{n 0} + ℏ ω)

Die Terme lassen sich identifizieren:

\frac{2 π}{ℏ} {| ⟨ n | \hat{F} | n_{0} ⟩ |}^{2} δ (E_{n} - E_{n 0} - ℏ ω)

steht für die Absorption eines Quants der Energie $ℏ ω$ bei gleichzeitiger Anregung des Übergangs von $| n_{0} ⟩$ auf $| n ⟩$ ,

was einem Energiesprung von  $E_{n} - E_{n 0}$

entspricht. Das Quant wird also von Niveau $| n_{0} ⟩$ auf $| n ⟩$ gehievt

\frac{2 π}{ℏ} {| ⟨ n_{0} | {\hat{F}}^{+} | n ⟩ |}^{2} δ (E_{n} - E_{n 0} + ℏ ω)

steht für die Emission eines Quants der Energie $ℏ ω$ bei gleichzeitiger Anregung des Übergangs von $| n ⟩$ auf $| n_{0} ⟩$ ,

was einer Energieabgabe von  $E_{n 0} - E_{n}$

entspricht. Das Quant fällt dabei vom diesmal höheren Niveau $| n_{0} ⟩$ auf das Niveau $| n ⟩$ herunter.

Zusammenhang mit dem Wechselwirkungsbild

Für t=0 stimmen Schrödinger- und Wechselwirkungsbild überein (Siehe oben, S. 63)

Im Wechselwirkungsbild gilt:

{\hat{H}}_{W}^{1} (t) = e^{(\frac{i}{ℏ} {\hat{H}}_{0} t)} {\hat{H}}_{S}^{1} e^{(- \frac{i}{ℏ} {\hat{H}}_{0} t)}

Im Wechselwirkungsbild wird die Zeitentwicklung der Operatoren mit ${\hat{H}}_{0}$ gewonnen, während die Zustände mit ${\hat{H}}_{W}^{1} (t)$ evolutionieren:

i ℏ \frac{d}{d t} {| Ψ ⟩}_{W} = {\hat{H}}_{W}^{1} (t) {| Ψ ⟩}_{W}

Die formale Integration führt auf eine Integralgleichung:

\begin{aligned} {| Ψ ⟩}_{W} (t) = {| Ψ ⟩}_{W} (t = 0) - \frac{i}{ℏ} \int_{0}^{t} d τ ({\hat{H}}_{W}^{1} (τ) {| Ψ ⟩}_{W} (τ)) \\ {| Ψ ⟩}_{W} (t = 0) = | n_{0} ⟩ \end{aligned}

Für kleine ${\hat{H}}_{W}^{1}$ liefert eine Iteration:

\begin{aligned} {| Ψ ⟩}_{W} (t) = {| Ψ ⟩}_{W} (t = 0) - \frac{i}{ℏ} \int_{0}^{t} d τ ({\hat{H}}_{W}^{1} (τ) {| Ψ ⟩}_{W} (τ)) \approx (1 - \frac{i}{ℏ} \int_{0}^{t} d τ {\hat{H}}_{W}^{1} (τ)) | n_{0} ⟩ \\ {| Ψ ⟩}_{W} (t) \approx (1 - \frac{i}{ℏ} \int_{0}^{t} d τ {\hat{H}}_{W}^{1} (τ)) | n_{0} ⟩ = (1 - \frac{i}{ℏ} \int_{0}^{t} d τ e^{\frac{i}{ℏ} {\hat{H}}^{0} τ} {\hat{H}}_{S}^{1} e^{- \frac{i}{ℏ} {\hat{H}}^{0} τ}) | n_{0} ⟩ \end{aligned}

Mit

{| Ψ ⟩}_{S} (t) = e^{- \frac{i}{ℏ} {\hat{H}}^{0} t} {| Ψ ⟩}_{W} (t) \approx e^{- \frac{i}{ℏ} {\hat{H}}^{0} t} (1 - \frac{i}{ℏ} \int_{0}^{t} d τ e^{\frac{i}{ℏ} {\hat{H}}^{0} τ} {\hat{H}}_{S}^{1} e^{- \frac{i}{ℏ} {\hat{H}}^{0} τ}) | n_{0} ⟩

und

e^{- \frac{i}{ℏ} {\hat{H}}^{0} t} (1 - \frac{i}{ℏ} \int_{0}^{t} d τ e^{\frac{i}{ℏ} {\hat{H}}^{0} τ} {\hat{H}}_{S}^{1} e^{- \frac{i}{ℏ} {\hat{H}}^{0} τ}) : = U (t, 0)

Zeitentwicklungsoperator im Schrödingerbild

Übergangsamplitude im Schrödinger- Bild:

\begin{aligned} c_{n} (t) = ⟨ n | Ψ ⟩ = ⟨ n | U (t, 0) | n_{0} ⟩ = ⟨ n | e^{- \frac{i}{ℏ} {\hat{H}}^{0} t} (1 - \frac{i}{ℏ} \int_{0}^{t} d τ e^{\frac{i}{ℏ} {\hat{H}}^{0} τ} {\hat{H}}_{S}^{1} e^{- \frac{i}{ℏ} {\hat{H}}^{0} τ}) | n_{0} ⟩ \\ \Rightarrow c_{n} (t) = e^{- \frac{i}{ℏ} E_{n} t} (δ_{n n_{0}} - \frac{i}{ℏ} \int_{0}^{t} d τ e^{\frac{i}{ℏ} E_{n} τ} ⟨ n | {\hat{H}}_{S}^{1} | n_{0} ⟩ e^{- \frac{i}{ℏ} E_{n 0} τ}) \\ δ_{n n_{0}} = {g_{n}}^{(0)} \\ - \frac{i}{ℏ} \int_{0}^{t} d τ e^{\frac{i}{ℏ} E_{n} τ} ⟨ n | {\hat{H}}_{S}^{1} | n_{0} ⟩ e^{- \frac{i}{ℏ} E_{n 0} τ} = ε {g_{n}}^{(1)} \\ c_{n} (t) = e^{- \frac{i}{ℏ} E_{n} t} (δ_{n n_{0}} - \frac{i}{ℏ} \int_{0}^{t} d τ e^{\frac{i}{ℏ} E_{n} τ} ⟨ n | {\hat{H}}_{S}^{1} | n_{0} ⟩ e^{- \frac{i}{ℏ} E_{n 0} τ}) = e^{- \frac{i}{ℏ} E_{n} t} g_{n} (t) \end{aligned}

In Übereinstimmung mit unserem Ergebnis von Seite 113!

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-{{Scripthinweis|Quantenmechanik|5|1}}
+<noinclude>{{Scripthinweis|Quantenmechanik|5|1}}</noinclude>
 '''(Dirac)'''
-Es soll die zeitliche Entwicklung eines Zustandes <math>{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}</math>
+Es soll die '''zeitliche Entwicklung''' eines Zustandes <math>{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}</math> aus der Schrödingergleichung
-aus der Schrödingergleichung
+:<math>\hat{H}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}</math>
-<math>\hat{H}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}</math>
+berechnet werden, wobei
-berechnet werden, wobei
+:<math>\hat H = \hat H _0 + \hat H_1(t)</math>
 durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird.
-Die Störung lasse sich als Potenzialstörung darstellen, die mittels des von Null verschiedenen jedoch kleinen Parameters    <math>\varepsilon </math>
+Die Störung lasse sich als Potenzialstörung darstellen, die mittels des von Null verschiedenen jedoch kleinen Parameters    <math>\varepsilon </math> linear entwickelt werden kann:
-linear entwickelt werden kann:
-<math>{{\hat{H}}_{1}}(t)=\varepsilon \hat{V}</math>
-( dabei kann die Störung natürlich explizit zeitabhängig sein !)
+:<math>{{\hat{H}}_{1}}(t)=\varepsilon \hat{V}</math>
+(dabei kann die Störung natürlich explizit zeitabhängig sein!)
-Die Eigenzustände und Eigenwerte von Ho seien bekannt:
+Die ''Eigenzustände'' und ''Eigenwerte'' von H<sub>0</sub> seien bekannt:
-<math>{{\hat{H}}_{0}}\left| n \right\rangle ={{E}_{n}}\left| n \right\rangle </math>
+:<math>{{\hat{H}}_{0}}\left| n \right\rangle ={{E}_{n}}\left| n \right\rangle </math> (ungestörtes Problem)
-( ungestörte Problem)
+Dabei gilt natürlich weiterhin die ''Orthonormierung'' und ''Vollständigkeit'' des Basissystems:
-Dabei gilt natürlich weiterhin die Orthonormierung und Vollständigkeit des Basissystems:
+:<math>\begin{align}
-<math>\begin{align}
+& \left\langle  n\acute{\ }  |  n \right\rangle ={{\delta }_{n\acute{\ }n}} \\
-& \left\langle  n\acute{\ } \right|\left| n \right\rangle ={{\delta }_{n\acute{\ }n}} \\
 & \sum\limits_{n}{{}}\left| n \right\rangle \left\langle  n \right|=1 \\
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 \end{align}</math>
-Annahme: diskretes Spektrum
+<u>Annahme</u>: diskretes Spektrum
-Die Entwicklung von <math>{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}</math>
-nach den Eigenzuständen des ungestörten Systems liefert:
+Die Entwicklung von <math>{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}</math> nach den Eigenzuständen des ungestörten Systems liefert:
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & \sum\limits_{n}{{}}\left| n \right\rangle \left\langle  n \right|{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}=\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left| n \right\rangle  \\
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 \end{align}</math>
-Die Anfangsbedingung sei ein noch ungestörter Zustand <math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
+Die Anfangsbedingung sei ein noch ungestörter Zustand <math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>:
-<math>{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t=0}}=\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
+:<math>{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t=0}}=\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
 Damit:
-<math>\left\langle  n \right|\left| {{n}_{0}} \right\rangle :={{c}_{n}}(0)={{\delta }_{n{{n}_{0}}}}</math>
+:<math>\left\langle  n  |  {{n}_{0}} \right\rangle :={{c}_{n}}(0)={{\delta }_{n{{n}_{0}}}}</math>
+Die Zeitentwicklung unter dem Einfluss der Störung lautet (Einsetzen  von
-Die Zeitentwicklung unter dem Einfluß der Störung lautet ( Einsetzen  von<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & \sum\limits_{n}{{}}\left| n \right\rangle \left\langle  n \right|{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}=\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left| n \right\rangle  \\
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 \end{align}</math>
-in die Schrödingergleichung: :
+in die Schrödingergleichung:
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & \hat{H}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}} \\
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 Charakteristisch für diese entwickelten Probleme ist das Auftreten der Summe, wie hier zu sehen. Diese kann man beseitigen, indem von links mit einem zweiten Zustand "herausprojiziert" wird):
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
-& i\hbar \sum\limits_{n}{{}}\frac{d}{dt}{{c}_{n}}(t)\left\langle  m \right|\left| n \right\rangle =\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle  m \right|\left( {{{\hat{H}}}_{0}}+{{{\hat{H}}}^{1}}(t) \right)\left| n \right\rangle =\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle  m \right|\left( {{E}_{n}}+{{{\hat{H}}}^{1}}(t) \right)\left| n \right\rangle  \\
+& i\hbar \sum\limits_{n}{{}}\frac{d}{dt}{{c}_{n}}(t)\left\langle  m  |  n \right\rangle =\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle  m \right|\left( {{{\hat{H}}}_{0}}+{{{\hat{H}}}^{1}}(t) \right)\left| n \right\rangle =\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle  m \right|\left( {{E}_{n}}+{{{\hat{H}}}^{1}}(t) \right)\left| n \right\rangle  \\
 & =\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left( \left\langle  m \right|{{E}_{n}}\left| n \right\rangle +\left\langle  m \right|{{{\hat{H}}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle  \right)=\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t){{E}_{n}}{{\delta }_{mn}}+\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle  m \right|{{{\hat{H}}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle  \\
-& \Rightarrow i\hbar \sum\limits_{n}{{}}\frac{d}{dt}{{c}_{n}}(t)\left\langle  m \right|\left| n \right\rangle ={{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle  m \right|{{{\hat{H}}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle =i\hbar \frac{d}{dt}{{c}_{m}}(t) \\
+& \Rightarrow i\hbar \sum\limits_{n}{{}}\frac{d}{dt}{{c}_{n}}(t)\left\langle  m  |  n \right\rangle ={{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle  m \right|{{{\hat{H}}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle =i\hbar \frac{d}{dt}{{c}_{m}}(t) \\
 \end{align}</math>
-Hilfreich ist die Definition eines
+Hilfreich ist die Definition eines <math>{{c}_{n}}(t):={{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{n}}t}{\hbar } \right)}}{{g}_{n}}(t)</math> mit Hilfe der Eigenwerte des Zeitentwicklungsoperators für die ungestörten Zustände:
-<math>{{c}_{n}}(t):={{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{n}}t}{\hbar } \right)}}{{g}_{n}}(t)</math>
-mit Hilfe der Eigenwerte des Zeitentwicklungsoperators für die ungestörten Zustände:
-<math>{{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{n}}t}{\hbar } \right)}}</math>
+:<math>{{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{n}}t}{\hbar } \right)}}</math>
-Man schreibt also eine Zeitentwicklung für die Entwicklungskoeffizienten auf !
+Man schreibt also eine Zeitentwicklung für die Entwicklungskoeffizienten auf!
 Somit kann die Differenzialgleichung für die Entwicklungskoeffizienten umgeschrieben werden:
-<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{c}_{m}}(t)={{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle  m \right|{{\hat{H}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle </math>
+:<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{c}_{m}}(t)={{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle  m \right|{{\hat{H}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle </math>
-mit
-<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{c}_{m}}(t)={{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+{{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{m}}t}{\hbar } \right)}}i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}(t)</math>
+mit <math>i\hbar \frac{d}{dt}{{c}_{m}}(t)={{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+{{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{m}}t}{\hbar } \right)}}i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}(t)</math>
 Setzt man dies ein, so folgt:
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & {{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+{{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{m}}t}{\hbar } \right)}}i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}(t)={{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle  m \right|{{{\hat{H}}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle  \\
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 \end{align}</math>
-und wegen
+und wegen <math>{{c}_{n}}(t):={{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{n}}t}{\hbar } \right)}}{{g}_{n}}(t)</math> also:
-<math>{{c}_{n}}(t):={{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{n}}t}{\hbar } \right)}}{{g}_{n}}(t)</math>
+:<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}(t)=\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle  m \right|{{\hat{H}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle {{g}_{n}}(t)</math>
-also:
-<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}(t)=\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle  m \right|{{\hat{H}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle {{g}_{n}}(t)</math>
 Die eigentliche Störungsrechnung kommt erst jetzt:
-Wir machen eine Sörungsentwicklung für kleines <math>\varepsilon </math>
+Wir machen eine Sörungsentwicklung für kleines <math>\varepsilon </math>:
-:
-<math>{{\hat{H}}_{1}}(t)=\varepsilon \hat{V}</math>
+:<math>{{\hat{H}}_{1}}(t)=\varepsilon \hat{V}</math>
-( dabei kann die Störung natürlich explizit zeitabhängig sein !)
+(dabei kann die Störung natürlich explizit zeitabhängig sein!)
 Man motiviert dass bei kleinen Potenzialstörungen höhere Ordnungen von <math>\left\langle  m \right|{{\hat{H}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle </math>
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 fallen, was für die Entwicklungskoeffizienten bedeutet:
-<math>{{g}_{n}}(t)={{g}_{n}}^{(0)}(t)+\varepsilon {{g}_{n}}^{(1)}(t)+{{\varepsilon }^{2}}{{g}_{n}}^{(2)}(t)+...</math>
+:<math>{{g}_{n}}(t)={{g}_{n}}^{(0)}(t)+\varepsilon {{g}_{n}}^{(1)}(t)+{{\varepsilon }^{2}}{{g}_{n}}^{(2)}(t)+...</math>
 Merke: Der entscheidende Schritt der zeitabhängigen Störungsrechnung ist hier: die Taylorentwicklung der Entwicklungskoeffizienten, in denen der Zustand entwickelt wurde.
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 Dabei gilt:
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & \sum\limits_{n}{{}}\left| n \right\rangle \left\langle  n \right|{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}=\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left| n \right\rangle  \\
@@ Zeile 155: / Zeile 138: @@
 \end{align}</math>
-<math>{{c}_{n}}(t):={{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{n}}t}{\hbar } \right)}}{{g}_{n}}(t)</math>
+:<math>{{c}_{n}}(t):={{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{n}}t}{\hbar } \right)}}{{g}_{n}}(t)</math>
 Da aber die Differenzialgleichung für unsere <math>{{g}_{m}}(t)</math>
-<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}(t)=\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle  m \right|{{\hat{H}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle {{g}_{n}}(t)</math>
+:<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}(t)=\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle  m \right|{{\hat{H}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle {{g}_{n}}(t)</math>
 ebenso beidseitig entwickelt werden kann:
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & i\hbar \frac{d}{dt}\left( {{g}_{m}}^{(0)}(t)+\varepsilon {{g}_{m}}^{(1)}(t)+{{\varepsilon }^{2}}{{g}_{m}}^{(2)}(t)+... \right) \\
@@ Zeile 175: / Zeile 158: @@
 gilt, kann an der Gleichung ein Koeffizientenvergleich in der Ordnung <math>{{\varepsilon }^{k}}</math>
-durchgeführt werden und es folgt: <math>k=0</math>
+durchgeführt werden und es folgt: <math>k=0</math>:
-:
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}^{(0)}(t)=0 \\
@@ Zeile 191: / Zeile 172: @@
 :
-<math>{{c}_{m}}^{(0)}(t)={{e}^{-i\frac{{{E}_{m}}}{\hbar }t}}{{\delta }_{m{{n}_{0}}}}</math>
+:<math>{{c}_{m}}^{(0)}(t)={{e}^{-i\frac{{{E}_{m}}}{\hbar }t}}{{\delta }_{m{{n}_{0}}}}</math>
 '''Für k=1'''
-<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}^{(1)}(t)=\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle  m \right|\hat{V}\left| n \right\rangle {{g}_{n}}^{(0)}</math>
+:<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}^{(1)}(t)=\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle  m \right|\hat{V}\left| n \right\rangle {{g}_{n}}^{(0)}</math>
 Dabei wurde <math>{{\varepsilon }^{k}}={{\varepsilon }^{1}}</math>
@@ Zeile 206: / Zeile 187: @@
 Links ist die Ordnung des Entwicklungskoeffizienten gleich der Ordnung von <math>\varepsilon </math>
+.
-. Rechts dagegen hat man eine Ordnung von <math>\varepsilon </math>
+ Rechts dagegen hat man eine Ordnung von <math>\varepsilon </math>
+,
-, die noch um eines größer ist als die Ordnung des Entwicklungskoeffizienten, da ja noch <math>{{\hat{H}}_{1}}(t)=\varepsilon \hat{V}</math>
+ die noch um eines größer ist als die Ordnung des Entwicklungskoeffizienten, da ja noch <math>{{\hat{H}}_{1}}(t)=\varepsilon \hat{V}</math>
+.
-. Also hat man formal in erster Ordnung von <math>\varepsilon </math>
+ Also hat man formal in erster Ordnung von <math>\varepsilon </math>
 :
-<math>i\hbar \frac{d}{dt}\varepsilon {{g}_{m}}^{(1)}(t)=\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle  m \right|\varepsilon \hat{V}\left| n \right\rangle {{g}_{n}}^{(0)}\Rightarrow i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}^{(1)}(t)=\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle  m \right|\hat{V}\left| n \right\rangle {{g}_{n}}^{(0)}</math>
+:<math>i\hbar \frac{d}{dt}\varepsilon {{g}_{m}}^{(1)}(t)=\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle  m \right|\varepsilon \hat{V}\left| n \right\rangle {{g}_{n}}^{(0)}\Rightarrow i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}^{(1)}(t)=\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle  m \right|\hat{V}\left| n \right\rangle {{g}_{n}}^{(0)}</math>
 Wir wissen: <math>{{g}_{m}}^{(0)}(t)=const=!={{\delta }_{m{{n}_{0}}}}</math>
@@ Zeile 221: / Zeile 202: @@
 Somit:
-<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}^{(1)}(t)=\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle  m \right|\hat{V}\left| n \right\rangle {{g}_{n}}^{(0)}</math>
+:<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}^{(1)}(t)=\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle  m \right|\hat{V}\left| n \right\rangle {{g}_{n}}^{(0)}</math>
 also:
-<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}^{(1)}(t)={{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n0}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle  m \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
+:<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}^{(1)}(t)={{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n0}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle  m \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
 und mit der Anfangsbedingung <math>{{g}_{n}}^{(1)}(0)=0</math>
@@ Zeile 231: / Zeile 212: @@
 kann formal integriert werden:
-<math>{{g}_{m}}^{(1)}(t)=\frac{1}{i\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n0}} \right)\tau }{\hbar } \right)}}\left\langle  m \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
+:<math>{{g}_{m}}^{(1)}(t)=\frac{1}{i\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n0}} \right)\tau }{\hbar } \right)}}\left\langle  m \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
 '''Übergangswahrscheinlichkeit'''
@@ Zeile 241: / Zeile 222: @@
 vorliegt.
-<math>{{\left| \left\langle  n \right|{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| \sum\limits_{n\acute{\ }}{{}}{{c}_{n\acute{\ }}}(t)\left\langle  n \right|\left| n\acute{\ } \right\rangle  \right|}^{2}}={{\left| {{c}_{n}}(t) \right|}^{2}}={{\left| {{g}_{n}}(t) \right|}^{2}}</math>
+:<math>{{\left| \left\langle  n \right|{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| \sum\limits_{n\acute{\ }}{{}}{{c}_{n\acute{\ }}}(t)\left\langle  n  |  n\acute{\ } \right\rangle  \right|}^{2}}={{\left| {{c}_{n}}(t) \right|}^{2}}={{\left| {{g}_{n}}(t) \right|}^{2}}</math>
 '''Als Näherung ''' wird nur die niedrigste, nichtverschwindende Ordnung betrachtet:
-<math>{{g}_{n}}(t)={{g}_{n}}^{(o)}={{\delta }_{n{{n}_{0}}}}=1</math>
+:<math>{{g}_{n}}(t)={{g}_{n}}^{(o)}={{\delta }_{n{{n}_{0}}}}=1</math>
 für n=n0
 und
-<math>{{g}_{n}}(t)=\varepsilon {{g}_{n}}^{(1)}</math>
+:<math>{{g}_{n}}(t)=\varepsilon {{g}_{n}}^{(1)}</math>
 für <math>n\ne {{n}_{0}}</math>
 :
-<u>'''Zeitunabhängige Störung: '''</u><math>\hat{V}=const.</math>
+== Zeitunabhängige Störung:  ==
+:<math>\hat{V}=const.</math>
 :
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & {{g}_{n}}^{(1)}(t)=-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}} \right)\tau }{\hbar } \right)}}\left\langle  n \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle =-\left\langle  n \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \frac{{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}} \right)t}{\hbar } \right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}} \\
 & {{\left| {{g}_{n}}^{(1)}(t) \right|}^{2}}={{\left| \left\langle  n \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}\left\{ \frac{{{e}^{\left( -i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}} \right)t}{\hbar } \right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}} \right\}\left\{ \frac{{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}} \right)t}{\hbar } \right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}} \right\}:={{\left| \left\langle  n \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}\left\{ \frac{\left( {{e}^{\left( -i\Omega t \right)}}-1 \right)\left( {{e}^{\left( i\Omega t \right)}}-1 \right)}{{{\Omega }^{2}}{{\hbar }^{2}}} \right\} \\
@@ Zeile 267: / Zeile 249: @@
 auf <math>\left| n \right\rangle </math>
 :
-Für die Darstellung der Übergangswahrscheinlichkeit um die optimale Energie gilt ( grafisch):
-<math>\begin{align}
+[[Datei:Sign squared.png]]
+Für die Darstellung der Übergangswahrscheinlichkeit um die optimale Energie gilt (grafisch):
+:<math>\begin{align}
 & {{D}_{t}}(0)={{\left( \frac{t}{\hbar } \right)}^{2}} \\
 & \begin{matrix}
@@ Zeile 281: / Zeile 265: @@
 Also:
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & {{D}_{t}}(E)=:\frac{2\pi }{\hbar }t{{\delta }_{t}}(E) \\
 & \begin{matrix}
@@ Zeile 290: / Zeile 274: @@
 Grafisch
+[[Datei:Sign squared.gif]]
-<math>\Rightarrow {{\left| \left\langle  n \right|{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| {{g}_{n}}(t) \right|}^{2}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  n \right|{{{\hat{H}}}^{1}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}\cdot t\cdot {{\delta }_{t}}({{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}})</math>
+:<math>\Rightarrow {{\left| \left\langle  n \right|{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| {{g}_{n}}(t) \right|}^{2}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  n \right|{{{\hat{H}}}^{1}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}\cdot t\cdot {{\delta }_{t}}({{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}})</math>
 Für <math>t\to \infty </math>
@@ Zeile 301: / Zeile 286: @@
 Damit folgt die Energie- Zeit Unschärferelation:
-<math>\Delta Et\cong 4\pi \hbar </math>
+:<math>\Delta Et\cong 4\pi \hbar </math>
-'''Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit ( von '''<math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
+'''Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit (von '''<math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
-auf <math>\left| n \right\rangle </math>
+auf <math>\left| n \right\rangle </math>)
-):
+:
-<math>{{W}_{nn0}}=\frac{d}{dt}{{\left| \left\langle  n \right|{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  n \right|{{{\hat{H}}}^{1}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}{{\delta }_{t}}({{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}})</math>
+:<math>{{W}_{nn0}}=\frac{d}{dt}{{\left| \left\langle  n \right|{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  n \right|{{{\hat{H}}}^{1}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}{{\delta }_{t}}({{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}})</math>
 Mit dem Übergangsmatrixelement
-<math>\left\langle  n \right|{{\hat{H}}^{1}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
+:<math>\left\langle  n \right|{{\hat{H}}^{1}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
 und einer quadratischen Sinc- Funktion, <math>{{\delta }_{t}}({{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}})</math>
-( siehe obige Definitionen)  die die Übergangswahrscheinlichkeit auf absorbierte Quanten mit einer Energie <math>{{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}}</math>
+(siehe obige Definitionen)  die die Übergangswahrscheinlichkeit auf absorbierte Quanten mit einer Energie <math>{{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}}</math>
 beschränkt, so lange deren Abweichung von <math>{{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}}</math>
-noch der Unschärfe genügt ( Die Wahrscheinliochkeit sinkt dann entlang einer Sinc²- Funktion um <math>{{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}}</math>
+noch der Unschärfe genügt (Die Wahrscheinliochkeit sinkt dann entlang einer Sinc²- Funktion um <math>{{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}}</math>
 ab, für  Quantenenergien, die von <math>{{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}}</math>
-verschieden sind. Diese "Distribution" wird für unendlich lange Lebensdauern zur Delta- Funktion !
+verschieden sind. Diese "Distribution" wird für unendlich lange Lebensdauern zur Delta- Funktion!
 Dies ist Fermis Goldene Regel, abgeleitet aus der Störungstheorie 1. Ordnung.
 Dabei gilt:
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & {{\delta }_{t}}\to \delta  \\
 & f\ddot{u}r\quad t\to \infty  \\
 \end{align}</math>
-====Harmonische zeitabhängige Störung====
+==Harmonische zeitabhängige Störung==
-<math>{{\hat{H}}^{1}}(t)=\hat{F}{{e}^{-i\omega t}}+{{\hat{F}}^{+}}{{e}^{i\omega t}}</math>
+:<math>{{\hat{H}}^{1}}(t)=\hat{F}{{e}^{-i\omega t}}+{{\hat{F}}^{+}}{{e}^{i\omega t}}</math>
-hermitesch !
+hermitesch!
 Es folgt:
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & {{g}_{n}}(t)=-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega  \right)\tau }{\hbar } \right)}}\left\langle  n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle -\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega  \right)\tau }{\hbar } \right)}}\left\langle  n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \\
 & \Rightarrow {{g}_{n}}(t)=-\left\langle  n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \left\{ \frac{{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega  \right)t}{\hbar } \right)-1}}}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega } \right\}-\left\langle  n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \left\{ \frac{{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega  \right)t}{\hbar } \right)-1}}}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega } \right\} \\
@@ Zeile 342: / Zeile 327: @@
 :
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & {{\left| {{\left\langle  n | \Psi  \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| {{g}_{n}} \right|}^{2}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega ) \\
 & +\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )+\left\langle  n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle *\left\langle  n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \left\{ \frac{{{e}^{\left( -i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega  \right)t}{\hbar } \right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega } \right\}\left\{ \frac{{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega  \right)t}{\hbar } \right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega } \right\} \\
@@ Zeile 354: / Zeile 339: @@
 \end{align}</math>
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & \Rightarrow {{\left| {{\left\langle  n | \Psi  \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| {{g}_{n}} \right|}^{2}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega ) \\
 & +\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )+A{{e}^{-i\gamma }}\left\{ \frac{\left( {{e}^{\left( -i{{\Omega }^{-}}t \right)}}-1 \right)\left( {{e}^{\left( i{{\Omega }^{+}}t \right)}}-1 \right)}{{{\hbar }^{2}}{{\Omega }^{+}}{{\Omega }^{-}}} \right\} \\
@@ Zeile 362: / Zeile 347: @@
 Weiter gilt
-<math>A{{e}^{-i\gamma }}\left\{ \frac{\left( {{e}^{\left( -i{{\Omega }^{-}}t \right)}}-1 \right)\left( {{e}^{\left( i{{\Omega }^{+}}t \right)}}-1 \right)}{{{\hbar }^{2}}{{\Omega }^{+}}{{\Omega }^{-}}} \right\}+A{{e}^{i\gamma }}\left\{ \frac{\left( {{e}^{\left( -i{{\Omega }^{+}}t \right)}}-1 \right)\left( {{e}^{\left( i{{\Omega }^{-}}t \right)}}-1 \right)}{{{\hbar }^{2}}{{\Omega }^{+}}{{\Omega }^{-}}} \right\}=\frac{4A}{{{\hbar }^{2}}{{\Omega }^{+}}{{\Omega }^{-}}}\cos \left( \omega t-\gamma  \right)\left[ \cos \left( \omega t \right)-\cos \left( \Omega t \right) \right]</math>
+:<math>A{{e}^{-i\gamma }}\left\{ \frac{\left( {{e}^{\left( -i{{\Omega }^{-}}t \right)}}-1 \right)\left( {{e}^{\left( i{{\Omega }^{+}}t \right)}}-1 \right)}{{{\hbar }^{2}}{{\Omega }^{+}}{{\Omega }^{-}}} \right\}+A{{e}^{i\gamma }}\left\{ \frac{\left( {{e}^{\left( -i{{\Omega }^{+}}t \right)}}-1 \right)\left( {{e}^{\left( i{{\Omega }^{-}}t \right)}}-1 \right)}{{{\hbar }^{2}}{{\Omega }^{+}}{{\Omega }^{-}}} \right\}=\frac{4A}{{{\hbar }^{2}}{{\Omega }^{+}}{{\Omega }^{-}}}\cos \left( \omega t-\gamma  \right)\left[ \cos \left( \omega t \right)-\cos \left( \Omega t \right) \right]</math>
 Für <math>\omega \ne 0,\Omega \ne 0</math>
 sind diese Terme jedoch rein oszillierend. Für <math>t\to \infty </math>
@@ Zeile 369: / Zeile 354: @@
 Somit folgt für <math>t\to \infty </math>
 :
-<math>{{\left| {{\left\langle  n | \Psi  \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| {{g}_{n}} \right|}^{2}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )+\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )</math>
+:<math>{{\left| {{\left\langle  n | \Psi  \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| {{g}_{n}} \right|}^{2}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )+\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )</math>
 Für Zeit gegen unendlich kann man dann leicht die Übergangswahrscheinlichkeit zwischen <math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
@@ Zeile 375: / Zeile 360: @@
 pro Zeiteinheit, durch Ableitung nach der Zeit erhalten:
-<math>{{W}_{nn0}}=\frac{d}{dt}{{\left| {{\left\langle  n | \Psi  \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )+\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  {{n}_{0}} \right|\hat{F}\left| n \right\rangle  \right|}^{2}}\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )</math>
+:<math>{{W}_{nn0}}=\frac{d}{dt}{{\left| {{\left\langle  n | \Psi  \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )+\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  {{n}_{0}} \right|\hat{F}\left| n \right\rangle  \right|}^{2}}\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )</math>
 Die Terme lassen sich identifizieren:
-<math>\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )</math>
+:<math>\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )</math>
 steht für die Absorption eines Quants der Energie <math>\hbar \omega </math>
 bei gleichzeitiger Anregung des Übergangs von <math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
-auf<math>\left| n \right\rangle </math>
+auf<math>\left| n \right\rangle </math>,
-, was einem Energiesprung von <math>{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}</math>
+ was einem Energiesprung von <math>{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}</math>
 entspricht.
 Das Quant wird also von Niveau <math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
@@ Zeile 389: / Zeile 374: @@
 gehievt
-<math>\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  {{n}_{0}} \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| n \right\rangle  \right|}^{2}}\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )</math>
+:<math>\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  {{n}_{0}} \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| n \right\rangle  \right|}^{2}}\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )</math>
 steht für die Emission eines Quants der Energie <math>\hbar \omega </math>
 bei gleichzeitiger Anregung des Übergangs von <math>\left| n \right\rangle </math>
-auf<math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
+auf<math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>,
-, was einer Energieabgabe von <math>{{E}_{n0}}-{{E}_{n}}</math>
+ was einer Energieabgabe von <math>{{E}_{n0}}-{{E}_{n}}</math>
 entspricht.
 Das Quant fällt dabei vom diesmal höheren Niveau <math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
@@ Zeile 399: / Zeile 384: @@
 herunter.
-<u>'''Zusammenhang mit dem Wechselwirkungsbild'''</u>
+==Zusammenhang mit dem Wechselwirkungsbild==
-Für t=0 stimmen Schrödinger- und Wechselwirkungsbild überein ( Siehe oben, S. 63)
+Für t=0 stimmen Schrödinger- und Wechselwirkungsbild überein (Siehe oben, S. 63)
 Im Wechselwirkungsbild gilt:
-<math>{{\hat{H}}_{W}}^{1}(t)={{e}^{\left( \frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}_{0}}t \right)}}{{\hat{H}}_{S}}^{1}{{e}^{\left( -\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}_{0}}t \right)}}</math>
+:<math>{{\hat{H}}_{W}}^{1}(t)={{e}^{\left( \frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}_{0}}t \right)}}{{\hat{H}}_{S}}^{1}{{e}^{\left( -\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}_{0}}t \right)}}</math>
 Im Wechselwirkungsbild wird die Zeitentwicklung der Operatoren mit <math>{{\hat{H}}_{0}}</math>
@@ Zeile 411: / Zeile 396: @@
 evolutionieren:
-<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}={{\hat{H}}_{W}}^{1}(t){{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}</math>
+:<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}={{\hat{H}}_{W}}^{1}(t){{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}</math>
 Die formale Integration führt auf eine Integralgleichung:
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & {{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}(t)={{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}(t=0)-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{{}}d\tau \left( {{{\hat{H}}}_{W}}^{1}(\tau ){{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}(\tau ) \right) \\
 & {{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}(t=0)=\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \\
@@ Zeile 423: / Zeile 408: @@
 liefert eine Iteration:
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & {{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}(t)={{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}(t=0)-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{{}}d\tau \left( {{{\hat{H}}}_{W}}^{1}(\tau ){{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}(\tau ) \right)\approx \left( 1-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{{\hat{H}}}_{W}}^{1}(\tau ) \right)\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \\
 & {{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}(t)\approx \left( 1-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{{\hat{H}}}_{W}}^{1}(\tau ) \right)\left| {{n}_{0}} \right\rangle =\left( 1-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }}{{{\hat{H}}}_{S}}^{1}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }} \right)\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \\
@@ Zeile 429: / Zeile 414: @@
 Mit
-<math>{{\left| \Psi  \right\rangle }_{S}}(t)={{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}(t)\approx {{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}\left( 1-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }}{{{\hat{H}}}_{S}}^{1}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }} \right)\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
+:<math>{{\left| \Psi  \right\rangle }_{S}}(t)={{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}(t)\approx {{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}\left( 1-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }}{{{\hat{H}}}_{S}}^{1}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }} \right)\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
 und
-<math>{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}\left( 1-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }}{{{\hat{H}}}_{S}}^{1}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }} \right):=U(t,0)</math>
+:<math>{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}\left( 1-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }}{{{\hat{H}}}_{S}}^{1}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }} \right):=U(t,0)</math>
 Zeitentwicklungsoperator im Schrödingerbild
 <u>'''Übergangsamplitude '''</u> im Schrödinger- Bild:
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
-& {{c}_{n}}(t)=\left\langle  n \right|\left| \Psi  \right\rangle =\left\langle  n \right|U(t,0)\left| {{n}_{0}} \right\rangle =\left\langle  n \right|{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}\left( 1-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }}{{{\hat{H}}}_{S}}^{1}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }} \right)\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \\
+& {{c}_{n}}(t)=\left\langle  n  |  \Psi  \right\rangle =\left\langle  n \right|U(t,0)\left| {{n}_{0}} \right\rangle =\left\langle  n \right|{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}\left( 1-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }}{{{\hat{H}}}_{S}}^{1}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }} \right)\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \\
 & \Rightarrow {{c}_{n}}(t)={{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{E}_{n}}t}}\left( {{\delta }_{n{{n}_{0}}}}-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\frac{i}{\hbar }{{E}_{n}}\tau }}\left\langle  n \right|{{{\hat{H}}}_{S}}^{1}\left| {{n}_{0}} \right\rangle {{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{E}_{n0}}\tau }} \right) \\
 & {{\delta }_{n{{n}_{0}}}}={{g}_{n}}^{(0)} \\
@@ Zeile 445: / Zeile 430: @@
 \end{align}</math>
-In Übereinstimmung mit unserem Ergebnis von Seite 113 !
+In Übereinstimmung mit unserem Ergebnis von Seite 113!

Zeitabhängige Störungsrechnung: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 12. September 2010, 23:46 Uhr

Zeitunabhängige Störung:

Harmonische zeitabhängige Störung

Zusammenhang mit dem Wechselwirkungsbild

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