Zeitabhängige Störungsrechnung

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(Dirac)

Es soll die zeitliche Entwicklung eines Zustandes aus der Schrödingergleichung

berechnet werden, wobei

durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird.

Die Störung lasse sich als Potenzialstörung darstellen, die mittels des von Null verschiedenen jedoch kleinen Parameters linear entwickelt werden kann:

(dabei kann die Störung natürlich explizit zeitabhängig sein!)

Die Eigenzustände und Eigenwerte von H0 seien bekannt:

(ungestörtes Problem)

Dabei gilt natürlich weiterhin die Orthonormierung und Vollständigkeit des Basissystems:

Annahme: diskretes Spektrum

Die Entwicklung von nach den Eigenzuständen des ungestörten Systems liefert:

Die Anfangsbedingung sei ein noch ungestörter Zustand :

Damit:

Die Zeitentwicklung unter dem Einfluss der Störung lautet (Einsetzen von

in die Schrödingergleichung:

Charakteristisch für diese entwickelten Probleme ist das Auftreten der Summe, wie hier zu sehen. Diese kann man beseitigen, indem von links mit einem zweiten Zustand "herausprojiziert" wird):

Hilfreich ist die Definition eines mit Hilfe der Eigenwerte des Zeitentwicklungsoperators für die ungestörten Zustände:

Man schreibt also eine Zeitentwicklung für die Entwicklungskoeffizienten auf!

Somit kann die Differenzialgleichung für die Entwicklungskoeffizienten umgeschrieben werden:

mit

Setzt man dies ein, so folgt:

und wegen also:

Die eigentliche Störungsrechnung kommt erst jetzt:

Wir machen eine Sörungsentwicklung für kleines :

(dabei kann die Störung natürlich explizit zeitabhängig sein!)

Man motiviert dass bei kleinen Potenzialstörungen höhere Ordnungen von

polynomial in

fallen, was für die Entwicklungskoeffizienten bedeutet:

Merke: Der entscheidende Schritt der zeitabhängigen Störungsrechnung ist hier: die Taylorentwicklung der Entwicklungskoeffizienten, in denen der Zustand entwickelt wurde.

Dabei gilt:

Da aber die Differenzialgleichung für unsere

ebenso beidseitig entwickelt werden kann:

und dies für beliebige

gilt, kann an der Gleichung ein Koeffizientenvergleich in der Ordnung

durchgeführt werden und es folgt: :

Exakte Lösung für

Für k=1

Dabei wurde

bereits beidseitig gekürzt.

Beim Vergleich der Ordnungen von

muss man aufpassen.

Links ist die Ordnung des Entwicklungskoeffizienten gleich der Ordnung von .

Rechts dagegen hat man eine Ordnung von 

,

die noch um eines größer ist als die Ordnung des Entwicklungskoeffizienten, da ja noch 

.

Also hat man formal in erster Ordnung von 

Wir wissen:

Somit:

also:

und mit der Anfangsbedingung

kann formal integriert werden:

Übergangswahrscheinlichkeit

Per Definition die Wahrscheinlichkeit, zur Zeit t den Zustand

zu finden, wenn zu t=0 der Zustand

vorliegt.

Als Näherung wird nur die niedrigste, nichtverschwindende Ordnung betrachtet:

für n=n0 und

für

Zeitunabhängige Störung:

Die Größe heißt Übergangsfrequenz. Und bezieht sich auf den Übergang von auf

Datei:Sign squared.png Für die Darstellung der Übergangswahrscheinlichkeit um die optimale Energie gilt (grafisch):

Also:

Grafisch Datei:Sign squared.gif

Für Energieerhaltung:

Für hat die Breite

Damit folgt die Energie- Zeit Unschärferelation:

Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit (von auf )

Mit dem Übergangsmatrixelement

und einer quadratischen Sinc- Funktion, (siehe obige Definitionen) die die Übergangswahrscheinlichkeit auf absorbierte Quanten mit einer Energie beschränkt, so lange deren Abweichung von noch der Unschärfe genügt (Die Wahrscheinliochkeit sinkt dann entlang einer Sinc²- Funktion um ab, für Quantenenergien, die von verschieden sind. Diese "Distribution" wird für unendlich lange Lebensdauern zur Delta- Funktion!

Dies ist Fermis Goldene Regel, abgeleitet aus der Störungstheorie 1. Ordnung. Dabei gilt:

Harmonische zeitabhängige Störung

hermitesch!

Es folgt:

Somit folgt für die Übergangswahrscheinlichkeit von auf

Weiter gilt

Für sind diese Terme jedoch rein oszillierend. Für sind diese jedoch vernachlässigbar gegen Terme

Somit folgt für

Für Zeit gegen unendlich kann man dann leicht die Übergangswahrscheinlichkeit zwischen und pro Zeiteinheit, durch Ableitung nach der Zeit erhalten:

Die Terme lassen sich identifizieren:

steht für die Absorption eines Quants der Energie bei gleichzeitiger Anregung des Übergangs von auf,

was einem Energiesprung von 

entspricht. Das Quant wird also von Niveau auf gehievt

steht für die Emission eines Quants der Energie bei gleichzeitiger Anregung des Übergangs von auf,

was einer Energieabgabe von 

entspricht. Das Quant fällt dabei vom diesmal höheren Niveau auf das Niveau herunter.

Zusammenhang mit dem Wechselwirkungsbild

Für t=0 stimmen Schrödinger- und Wechselwirkungsbild überein (Siehe oben, S. 63)

Im Wechselwirkungsbild gilt:

Im Wechselwirkungsbild wird die Zeitentwicklung der Operatoren mit gewonnen, während die Zustände mit evolutionieren:

Die formale Integration führt auf eine Integralgleichung:

Für kleine liefert eine Iteration:

Mit

und

Zeitentwicklungsoperator im Schrödingerbild

Übergangsamplitude im Schrödinger- Bild:

In Übereinstimmung mit unserem Ergebnis von Seite 113!