Zeitunabhängige Störungsrechnung ohne Entartung

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Zeitunabhängige Störungsrechnung ohne Entartung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 3) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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(Schrödinger)

Betrachte zeitunabhängige Schrödingergleichung:

$\hat{H}|\mathrm{\Psi }⟩=E|\mathrm{\Psi }⟩$

muss berechnet werden, wobei

$\hat{H}={\hat{H}}_0+{\hat{H}}^1$

durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird.

Die Störung lasse sich als Potenzialstörung darstellen, die mittels des von Null verschiedenen jedoch kleinen Parameters $\epsilon$

linear entwickelt werden kann:

${\hat{H}}_1=\epsilon \hat{V}$

(dabei soll die Störung zeitunabhängig sein!)

Das ungestörte Problem schreibt sich:

${\hat{H}}_0|n⟩={E_n}^{(0)}|n⟩$

Für kleine $\epsilon$

sollten sich Eigenwerte und Eigenzustände von $\hat{H}$

entwickeln lassen:

$\begin{array}{rl}& E_k={E_k}^{(0)}+\epsilon {E_k}^{(1)}+{\epsilon }^2{E_k}^{(2)}+...\\ & |{\mathrm{\Psi }}_k⟩=|{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(0)}⟩+\epsilon |{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(1)}⟩+{\epsilon }^2|{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(2)}⟩+...\\ \end{array}$

Merke: Die Eigenzustände und die Energieeigenwerte sollten sich entwickeln lassen!

Also:

$({\hat{H}}_0+\epsilon \hat{V})(|{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(0)}⟩+\epsilon |{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(1)}⟩+{\epsilon }^2|{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(2)}⟩+..)=({E_k}^{(0)}+\epsilon {E_k}^{(1)}+{\epsilon }^2{E_k}^{(2)}+..)(|{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(0)}⟩+\epsilon |{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(1)}⟩+..)$

Die Koeffizienten lassen sich dann in der Ordnung ${\epsilon }^f$

vergleichen:

f=0

${\hat{H}}_0|{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(0)}⟩={E_k}^{(0)}|{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(0)}⟩$

ungestörtes Problem

f=1

$({\hat{H}}_0-{E_k}^{(0)})\left(|{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(1)}⟩\right)=({E_k}^{(1)}-\hat{V})|{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(0)}⟩$

1. Näherung

f=2

$({\hat{H}}_0-{E_k}^{(0)})|{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(2)}⟩=({E_k}^{(1)}-\hat{V})|{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(1)}⟩+{E_k}^{(2)}|{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(0)}⟩$

... → Rekursionsformeln

Die Bestimmung der Energieeigenwerte und Eigenzustände kann erfolgen....

Aus f=0: $|{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(0)}⟩=|k⟩$

Aus f=1: Störungsrechnung erster Ordnung möglich:

Wir entwickeln nach der ungestörten Basis $|{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(1)}⟩=\sum _n|n⟩⟨n|{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(1)}⟩$

und setzen dies in $({\hat{H}}_0-{E_k}^{(0)})\left(|{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(1)}⟩\right)=({E_k}^{(1)}-\hat{V})|{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(0)}⟩$

ein:

$\begin{array}{rl}& \sum _n({\hat{H}}_0-{E_k}^{(0)})|n⟩⟨n|{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(1)}⟩=({E_k}^{(1)}-\hat{V})|k⟩\\ & ({\hat{H}}_0-{E_k}^{(0)})|n⟩=({E_n}^{(0)}-{E_k}^{(0)})|n⟩\\ \end{array}$

Skalarprodukt mit $⟨l|\to ⟨l|n⟩={\delta }_{\ln }$

"projiziert" wieder die Korrektur des l- ten Zustand (seines Eigenwertes und seines zugehörigen Zustandes) heraus:

$({E_l}^{(0)}-{E_k}^{(0)})⟨l|{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(1)}⟩=({E_k}^{(1)}-\hat{V}){\delta }_{lk}-⟨l|\hat{V}|k⟩$

Somit haben wir für l=k

die erste Korrektur zum Energieeigenwert gefunden:

${E_k}^{(1)}=⟨k|\hat{V}|k⟩$

und für $l\ne k$

ergibt sich die 1. Korrektur zum Eigenvektor:

$⟨l|{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(1)}⟩=\frac{⟨l|\hat{V}|k⟩}{{E_k}^{(0)}-{E_l}^{(0)}}$

$⟨k|{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(1)}⟩$

wird durch Normierung festgelegt:

$\begin{array}{rl}& 1=!=⟨{\mathrm{\Psi }}_k|{\mathrm{\Psi }}_k⟩=⟨{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(0)}|{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(0)}⟩+\epsilon (⟨{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(0)}|{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(1)}⟩+⟨{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(1)}|{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(0)}⟩)+{\epsilon }^2(....\\ & ⟨{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(0)}|{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(0)}⟩=1\\ \end{array}$

Da die Summe rechts aber für beliebige Epsilon Null werden muss folgt:

$\begin{array}{rl}& (⟨{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(0)}|{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(1)}⟩+⟨{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(1)}|{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(0)}⟩)=0\\ & (....=0\\ \end{array}$

usw.. für jede Klammer nach einer bestimmten, festen Ordnung von $\epsilon$

Also für die erste Ordnung:

$\begin{array}{rl}& ⟨{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(0)}|{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(1)}⟩=-⟨{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(1)}|{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(0)}⟩\\ & ⟨k|{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(1)}⟩=-⟨{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(1)}|k⟩\equiv -⟨k|{|{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(1)}⟩}^{*}\\ \end{array}$

Fazit:

$⟨k|{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(1)}⟩=i\gamma$

mit $\gamma \in R$

Wegen

$e^{i\epsilon \gamma }\approx 1+i\epsilon \gamma +O({\epsilon }^2)$

ändert der Term $\stackrel{~}{}\gamma$

die Phase von $|{\mathrm{\Psi }}_k⟩$

relativ zu $|k⟩$

in der Entwicklung $|{\mathrm{\Psi }}_k⟩=|k⟩(1+i\epsilon \gamma )+\epsilon \sum _{n\ne k}|n⟩⟨n|{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(1)}⟩+O({\epsilon }^2)$ .

Die Festlegung erfolgt durch die Forderung :

$\begin{array}{rl}& ⟨k|{\mathrm{\Psi }}_k⟩=1\\ & \Rightarrow \gamma =0\\ \end{array}$

Im entartungsfreien Fall (keine Entartung) folgt dann:

$|{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(1)}⟩=\sum _{n\ne k}|n⟩\frac{⟨n|\hat{V}|k⟩}{{E_k}^{(0)}-{E_n}^{(0)}}$

Voraussetzung: ${E_k}^{(0)}\ne {E_n}^{(0)}$

(keine Entartung)