Zeitunabhängige Störungsrechnung ohne Entartung

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Zeitunabhängige Störungsrechnung ohne Entartung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 3) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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(Schrödinger)

Betrachte zeitunabhängige Schrödingergleichung:

\hat{H} | Ψ ⟩ = E | Ψ ⟩

muss berechnet werden, wobei

\hat{H} = {\hat{H}}_{0} + {\hat{H}}^{1}

durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird.

Die Störung lasse sich als Potenzialstörung darstellen, die mittels des von Null verschiedenen jedoch kleinen Parameters $ε$

linear entwickelt werden kann:

{\hat{H}}_{1} = ε \hat{V}

(dabei soll die Störung zeitunabhängig sein!)

Das ungestörte Problem schreibt sich:

{\hat{H}}_{0} | n ⟩ = {E_{n}}^{(0)} | n ⟩

Für kleine $ε$

sollten sich Eigenwerte und Eigenzustände von $\hat{H}$

entwickeln lassen:

\begin{matrix} E_{k} = {E_{k}}^{(0)} + ε {E_{k}}^{(1)} + ε^{2} {E_{k}}^{(2)} + ... \\ | Ψ_{k} ⟩ = | {Ψ_{k}}^{(0)} ⟩ + ε | {Ψ_{k}}^{(1)} ⟩ + ε^{2} | {Ψ_{k}}^{(2)} ⟩ + ... \end{matrix}

Merke: Die Eigenzustände und die Energieeigenwerte sollten sich entwickeln lassen!

Also:

({\hat{H}}_{0} + ε \hat{V}) (| {Ψ_{k}}^{(0)} ⟩ + ε | {Ψ_{k}}^{(1)} ⟩ + ε^{2} | {Ψ_{k}}^{(2)} ⟩ + ..) = ({E_{k}}^{(0)} + ε {E_{k}}^{(1)} + ε^{2} {E_{k}}^{(2)} + ..) (| {Ψ_{k}}^{(0)} ⟩ + ε | {Ψ_{k}}^{(1)} ⟩ + ..)

Die Koeffizienten lassen sich dann in der Ordnung $ε^{f}$

vergleichen:

f=0

{\hat{H}}_{0} | {Ψ_{k}}^{(0)} ⟩ = {E_{k}}^{(0)} | {Ψ_{k}}^{(0)} ⟩

ungestörtes Problem

f=1

({\hat{H}}_{0} - {E_{k}}^{(0)}) (| {Ψ_{k}}^{(1)} ⟩) = ({E_{k}}^{(1)} - \hat{V}) | {Ψ_{k}}^{(0)} ⟩

1. Näherung

f=2

({\hat{H}}_{0} - {E_{k}}^{(0)}) | {Ψ_{k}}^{(2)} ⟩ = ({E_{k}}^{(1)} - \hat{V}) | {Ψ_{k}}^{(1)} ⟩ + {E_{k}}^{(2)} | {Ψ_{k}}^{(0)} ⟩

... → Rekursionsformeln

Die Bestimmung der Energieeigenwerte und Eigenzustände kann erfolgen....

Aus f=0: $| {Ψ_{k}}^{(0)} ⟩ = | k ⟩$

Aus f=1: Störungsrechnung erster Ordnung möglich:

Wir entwickeln nach der ungestörten Basis $| {Ψ_{k}}^{(1)} ⟩ = \sum_{n} | n ⟩ ⟨ n | {Ψ_{k}}^{(1)} ⟩$

und setzen dies in $({\hat{H}}_{0} - {E_{k}}^{(0)}) (| {Ψ_{k}}^{(1)} ⟩) = ({E_{k}}^{(1)} - \hat{V}) | {Ψ_{k}}^{(0)} ⟩$

ein:

\begin{matrix} \sum_{n} ({\hat{H}}_{0} - {E_{k}}^{(0)}) | n ⟩ ⟨ n | {Ψ_{k}}^{(1)} ⟩ = ({E_{k}}^{(1)} - \hat{V}) | k ⟩ \\ ({\hat{H}}_{0} - {E_{k}}^{(0)}) | n ⟩ = ({E_{n}}^{(0)} - {E_{k}}^{(0)}) | n ⟩ \end{matrix}

Skalarprodukt mit $⟨ l | \to ⟨ l | n ⟩ = δ_{\ln}$

"projiziert" wieder die Korrektur des l- ten Zustand (seines Eigenwertes und seines zugehörigen Zustandes) heraus:

({E_{l}}^{(0)} - {E_{k}}^{(0)}) ⟨ l | {Ψ_{k}}^{(1)} ⟩ = ({E_{k}}^{(1)} - \hat{V}) δ_{l k} - ⟨ l | \hat{V} | k ⟩

Somit haben wir für l=k

die erste Korrektur zum Energieeigenwert gefunden:

{E_{k}}^{(1)} = ⟨ k | \hat{V} | k ⟩

und für $l \neq k$

ergibt sich die 1. Korrektur zum Eigenvektor:

⟨ l | {Ψ_{k}}^{(1)} ⟩ = \frac{⟨ l | \hat{V} | k ⟩}{{E_{k}}^{(0)} - {E_{l}}^{(0)}}

⟨ k | {Ψ_{k}}^{(1)} ⟩

wird durch Normierung festgelegt:

\begin{matrix} 1 =! = ⟨ Ψ_{k} | Ψ_{k} ⟩ = ⟨ {Ψ_{k}}^{(0)} | {Ψ_{k}}^{(0)} ⟩ + ε (⟨ {Ψ_{k}}^{(0)} | {Ψ_{k}}^{(1)} ⟩ + ⟨ {Ψ_{k}}^{(1)} | {Ψ_{k}}^{(0)} ⟩) + ε^{2} (.... \\ ⟨ {Ψ_{k}}^{(0)} | {Ψ_{k}}^{(0)} ⟩ = 1 \end{matrix}

Da die Summe rechts aber für beliebige Epsilon Null werden muss folgt:

\begin{matrix} (⟨ {Ψ_{k}}^{(0)} | {Ψ_{k}}^{(1)} ⟩ + ⟨ {Ψ_{k}}^{(1)} | {Ψ_{k}}^{(0)} ⟩) = 0 \\ (.... = 0 \end{matrix}

usw.. für jede Klammer nach einer bestimmten, festen Ordnung von $ε$

Also für die erste Ordnung:

\begin{matrix} ⟨ {Ψ_{k}}^{(0)} | {Ψ_{k}}^{(1)} ⟩ = - ⟨ {Ψ_{k}}^{(1)} | {Ψ_{k}}^{(0)} ⟩ \\ ⟨ k | {Ψ_{k}}^{(1)} ⟩ = - ⟨ {Ψ_{k}}^{(1)} | k ⟩ \equiv - ⟨ k | {| {Ψ_{k}}^{(1)} ⟩}^{*} \end{matrix}

Fazit:

⟨ k | {Ψ_{k}}^{(1)} ⟩ = i γ

mit $γ \in R$

Wegen

e^{i ε γ} \approx 1 + i ε γ + O (ε^{2})

ändert der Term $\tilde{} γ$

die Phase von $| Ψ_{k} ⟩$

relativ zu $| k ⟩$

in der Entwicklung $| Ψ_{k} ⟩ = | k ⟩ (1 + i ε γ) + ε \sum_{n \neq k} | n ⟩ ⟨ n | {Ψ_{k}}^{(1)} ⟩ + O (ε^{2})$ .

Die Festlegung erfolgt durch die Forderung :

\begin{matrix} ⟨ k | Ψ_{k} ⟩ = 1 \\ \Rightarrow γ = 0 \end{matrix}

Im entartungsfreien Fall (keine Entartung) folgt dann:

| {Ψ_{k}}^{(1)} ⟩ = \sum_{n \neq k} | n ⟩ \frac{⟨ n | \hat{V} | k ⟩}{{E_{k}}^{(0)} - {E_{n}}^{(0)}}

Voraussetzung: ${E_{k}}^{(0)} \neq {E_{n}}^{(0)}$

(keine Entartung)

Zeitunabhängige Störungsrechnung ohne Entartung

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