Zeitunabhängige Störungsrechnung bei Entartung

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Zeitunabhängige Störungsrechnung bei Entartung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 4) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Betrachte zeitunabhängige Schrödingergleichung:

$\hat{H}|\mathrm{\Psi }⟩=E|\mathrm{\Psi }⟩$

soll berechnet werden, wobei

$\hat{H}={\hat{H}}_0+{\hat{H}}^1$

durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird.

Die Störung lasse sich als Potenzialstörung darstellen, die mittels des von Null verschiedenen jedoch kleinen Parameters $\epsilon$

linear entwickelt werden kann:

${\hat{H}}_1=\epsilon \hat{V}$

(dabei soll die Störung zeitunabhängig sein!)

Wenn wir nun annehmen, dass zur Energie ${E_n}^{(0)}$

mehrere (orthonormal) entartete Zustände gehören, so müssen wir das Problem anpassen:

Das ungestörte Problem schreibt sich dann:

${\hat{H}}_0|n,\alpha ⟩={E_n}^{(0)}|n,\alpha ⟩\alpha =1,...,s$

Damit bezeichnet $\alpha =1,...,s$

die Nummerierung der entarteten Zustände beim Entartungsgrad s. Bei diesem Beispiel wäre der N. Eigenzustand s- fach entartet!

Durch ${\hat{H}}_1=\epsilon \hat{V}$

wird die Entartung jedoch im Allgemeinen aufgehoben:

$\hat{H}|{\mathrm{\Psi }}_k⟩=E_k|{\mathrm{\Psi }}_k⟩$

Die Störungsreihe/ Störungsentwicklung

$|{\mathrm{\Psi }}_k⟩=|{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(0)}⟩+\epsilon |{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(1)}⟩+{\epsilon }^2|{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(2)}⟩+...$

ist unter diesen Bedingungen nur für ein bestimmtes, geeignetes

$|{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(0)}⟩=\sum _{\alpha }^{}{c}_{\alpha }|k,\alpha ⟩$

möglich:

Wähle nun $|{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(0)}⟩$

im ungestörten Eigenraum so, dass für $\begin{array}{c}\lim \\ \epsilon \to 0\\ \end{array}|{\mathrm{\Psi }}_k⟩=|{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(0)}⟩$

(eindeutig bestimmt).

Das Einsetzen in die Entwicklung der Ordnung ${\epsilon }^f$

liefert:

f=1

$({\hat{H}}_0-{E_k}^{(0)})\left(|{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(1)}⟩\right)=({E_k}^{(1)}-\hat{V})\sum _{\alpha }{c}_{\alpha }|k,\alpha ⟩$

1. Näherung

Das Skalarprodukt mit $⟨k,\beta |\to ⟨k,\beta |k,\alpha ⟩={\delta }_{\alpha \beta }$

"projiziert" wieder die Korrektur des jeweils entarteten Terms der Nummer $\beta$

heraus:

$\begin{array}{rl}& ⟨k,\beta |({\hat{H}}^{(0)}-{E_k}^{(0)})|{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(1)}⟩=\sum _{\alpha }{c}_{\alpha }(⟨k,\beta |k,\alpha ⟩{E_k}^{(1)}-⟨k,\beta |\hat{V}|k,\alpha ⟩)\\ & ⟨k,\beta |({\hat{H}}^{(0)}-{E_k}^{(0)})|{{\mathrm{\Psi }}_k}^{(1)}⟩=0\\ & ⟨k,\beta |k,\alpha ⟩={\delta }_{\beta \alpha }\\ & ⟨k,\beta |\hat{V}|k,\alpha ⟩:={\hat{V}}_{\beta \alpha }\\ \end{array}$

Somit folgt:

$0=\sum _{\alpha }({\hat{V}}_{\beta \alpha }-{E_k}^{(1)}{\delta }_{\beta \alpha })c_{\alpha }$

Dies ist aber gerade eine Eigenwertgleichung für die sogenannte Störmatrix${\hat{V}}_{\beta \alpha }$

$\begin{array}{rl}& 0=\sum _{\alpha }({\hat{V}}_{\beta \alpha }-{E_k}^{(1)}{\delta }_{\beta \alpha })c_{\alpha }=(\hat{V}-{E_k}^{(1)}1)\overline{c}\\ & \overline{c}\in C^s\\ & \hat{V}\in C^s\times C^s\\ \end{array}$

Die Gleichung heißt auch "Säkulargleichung" zur Berechnung von Eigenwerten und bildet ein homogenes, lineares Gleichungssystem.

Die Bezeichnung folgt in Anlehnung an die früheren Anwendungen: Berechnung der astronomischen säkularen Störungen.

Nichttriviale Lösungen existieren genau dann, wenn die Determinante $\det (\hat{V}-{E_k}^{(1)}1)$ ,

die sogenannte Säkulardeterminante, verschwindet, also $\det (\hat{V}-{E_k}^{(1)}1)=0$

also:

$\left|\begin{array}{cccc}{\hat{V}}_{11}-{E_k}^{(1)}& {\hat{V}}_{12}& ...& {\hat{V}}_{1s}\\ {\hat{V}}_{21}& {\hat{V}}_{22}-{E_k}^{(1)}& ...& ...\\ ...& ...& ...& ...\\ {\hat{V}}_{s1}& ...& ...& {\hat{V}}_{ss}-{E_k}^{(1)}\\ \end{array}\right|=0$

Für den Fall $\hat{V}$

hermitesch folgt ${\hat{V}}_{\beta \alpha }={\hat{V}}_{\alpha \beta }*$

Dann existieren reelle Eigenwerte ${E_k}^{(1)}$

und die Eigenvektoren zu ${E_k}^{(1)}\ne {E_l}^{(1)}$

sind orthogonal!

Bemerkung: Die Entartung muss NICHT vollständig aufgehoben werden!

Beispiel: 2 entartete Zustände

Säkulardeterminante

$\begin{array}{rl}& \left|\begin{array}{cc}{\hat{V}}_{11}-{E_k}^{(1)}& {\hat{V}}_{12}\\ {\hat{V}}_{21}& {\hat{V}}_{22}-{E_k}^{(1)}\\ \end{array}\right|=0\\ & {\left({E_k}^{(1)}\right)}^2-({\hat{V}}_{11}+{\hat{V}}_{22}){E_k}^{(1)}+({\hat{V}}_{11}{\hat{V}}_{22}-{\hat{V}}_{12}{\hat{V}}_{21})=0\\ & {\hat{V}}_{12}{\hat{V}}_{21}={\left|{\hat{V}}_{12}\right|}^2\\ & \Rightarrow {E_k}^{(1)}=\frac{1}{2}[({\hat{V}}_{11}+{\hat{V}}_{22})\pm \sqrt{{({\hat{V}}_{11}-{\hat{V}}_{22})}^2+4{\left|{\hat{V}}_{12}\right|}^2}]\\ \end{array}$

Dies als Korrekturterm. Somit folgt für ein Energieniveau der Energie E:

$E=E^{(0)}+\epsilon {E_k}^{(1)}=E^{(0)}+\frac{\epsilon }{2}[({\hat{V}}_{11}+{\hat{V}}_{22})\pm \sqrt{{({\hat{V}}_{11}-{\hat{V}}_{22})}^2+4{\left|{\hat{V}}_{12}\right|}^2}]$

Dabei gibt $\sqrt{{({\hat{V}}_{11}-{\hat{V}}_{22})}^2+4{\left|{\hat{V}}_{12}\right|}^2}$ die Energieaufspaltung an. E ist, wie angegeben die gesamte Energie in 1. Störungstheoretischer Ordnung. Die Aufspaltung erfolgt linear in $\epsilon$,

also linear zur Störung: