Zeitunabhängige Störungsrechnung bei Entartung

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Zeitunabhängige Störungsrechnung bei Entartung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 4) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Betrachte zeitunabhängige Schrödingergleichung:

\hat{H} | Ψ ⟩ = E | Ψ ⟩

soll berechnet werden, wobei

\hat{H} = {\hat{H}}_{0} + {\hat{H}}^{1}

durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird.

Die Störung lasse sich als Potenzialstörung darstellen, die mittels des von Null verschiedenen jedoch kleinen Parameters $ε$

linear entwickelt werden kann:

{\hat{H}}_{1} = ε \hat{V}

(dabei soll die Störung zeitunabhängig sein!)

Wenn wir nun annehmen, dass zur Energie ${E_{n}}^{(0)}$

mehrere (orthonormal) entartete Zustände gehören, so müssen wir das Problem anpassen:

Das ungestörte Problem schreibt sich dann:

{\hat{H}}_{0} | n, α ⟩ = {E_{n}}^{(0)} | n, α ⟩ α = 1, ..., s

Damit bezeichnet $α = 1, ..., s$

die Nummerierung der entarteten Zustände beim Entartungsgrad s. Bei diesem Beispiel wäre der N. Eigenzustand s- fach entartet!

Durch ${\hat{H}}_{1} = ε \hat{V}$

wird die Entartung jedoch im Allgemeinen aufgehoben:

\hat{H} | Ψ_{k} ⟩ = E_{k} | Ψ_{k} ⟩

Die Störungsreihe/ Störungsentwicklung

| Ψ_{k} ⟩ = | {Ψ_{k}}^{(0)} ⟩ + ε | {Ψ_{k}}^{(1)} ⟩ + ε^{2} | {Ψ_{k}}^{(2)} ⟩ + ...

ist unter diesen Bedingungen nur für ein bestimmtes, geeignetes

| {Ψ_{k}}^{(0)} ⟩ = \sum_{α}^{} c_{α} | k, α ⟩

möglich:

Wähle nun $| {Ψ_{k}}^{(0)} ⟩$

im ungestörten Eigenraum so, dass für $\begin{matrix} lim \\ ε \to 0 \end{matrix} | Ψ_{k} ⟩ = | {Ψ_{k}}^{(0)} ⟩$

(eindeutig bestimmt).

Das Einsetzen in die Entwicklung der Ordnung $ε^{f}$

liefert:

f=1

({\hat{H}}_{0} - {E_{k}}^{(0)}) (| {Ψ_{k}}^{(1)} ⟩) = ({E_{k}}^{(1)} - \hat{V}) \sum_{α} c_{α} | k, α ⟩

1. Näherung

Das Skalarprodukt mit $⟨ k, β | \to ⟨ k, β | k, α ⟩ = δ_{α β}$

"projiziert" wieder die Korrektur des jeweils entarteten Terms der Nummer $β$

heraus:

\begin{matrix} ⟨ k, β | ({\hat{H}}^{(0)} - {E_{k}}^{(0)}) | {Ψ_{k}}^{(1)} ⟩ = \sum_{α} c_{α} (⟨ k, β | k, α ⟩ {E_{k}}^{(1)} - ⟨ k, β | \hat{V} | k, α ⟩) \\ ⟨ k, β | ({\hat{H}}^{(0)} - {E_{k}}^{(0)}) | {Ψ_{k}}^{(1)} ⟩ = 0 \\ ⟨ k, β | k, α ⟩ = δ_{β α} \\ ⟨ k, β | \hat{V} | k, α ⟩ := {\hat{V}}_{β α} \end{matrix}

Somit folgt:

0 = \sum_{α} ({\hat{V}}_{β α} - {E_{k}}^{(1)} δ_{β α}) c_{α}

Dies ist aber gerade eine Eigenwertgleichung für die sogenannte Störmatrix ${\hat{V}}_{β α}$

\begin{matrix} 0 = \sum_{α} ({\hat{V}}_{β α} - {E_{k}}^{(1)} δ_{β α}) c_{α} = (\hat{V} - {E_{k}}^{(1)} 1) \bar{c} \\ \bar{c} \in C^{s} \\ \hat{V} \in C^{s} \times C^{s} \end{matrix}

Die Gleichung heißt auch "Säkulargleichung" zur Berechnung von Eigenwerten und bildet ein homogenes, lineares Gleichungssystem.

Die Bezeichnung folgt in Anlehnung an die früheren Anwendungen: Berechnung der astronomischen säkularen Störungen.

Nichttriviale Lösungen existieren genau dann, wenn die Determinante $det (\hat{V} - {E_{k}}^{(1)} 1)$ ,

die sogenannte Säkulardeterminante, verschwindet, also  $det (\hat{V} - {E_{k}}^{(1)} 1) = 0$

also:

| \begin{matrix} {\hat{V}}_{11} - {E_{k}}^{(1)} & {\hat{V}}_{12} & ... & {\hat{V}}_{1 s} \\ {\hat{V}}_{21} & {\hat{V}}_{22} - {E_{k}}^{(1)} & ... & ... \\ ... & ... & ... & ... \\ {\hat{V}}_{s 1} & ... & ... & {\hat{V}}_{s s} - {E_{k}}^{(1)} \end{matrix} | = 0

Für den Fall $\hat{V}$

hermitesch folgt ${\hat{V}}_{β α} = {\hat{V}}_{α β} *$

Dann existieren reelle Eigenwerte ${E_{k}}^{(1)}$

und die Eigenvektoren zu ${E_{k}}^{(1)} \neq {E_{l}}^{(1)}$

sind orthogonal!

Bemerkung: Die Entartung muss NICHT vollständig aufgehoben werden!

Beispiel: 2 entartete Zustände

Säkulardeterminante

\begin{matrix} | \begin{matrix} {\hat{V}}_{11} - {E_{k}}^{(1)} & {\hat{V}}_{12} \\ {\hat{V}}_{21} & {\hat{V}}_{22} - {E_{k}}^{(1)} \end{matrix} | = 0 \\ {({E_{k}}^{(1)})}^{2} - ({\hat{V}}_{11} + {\hat{V}}_{22}) {E_{k}}^{(1)} + ({\hat{V}}_{11} {\hat{V}}_{22} - {\hat{V}}_{12} {\hat{V}}_{21}) = 0 \\ {\hat{V}}_{12} {\hat{V}}_{21} = {| {\hat{V}}_{12} |}^{2} \\ \Rightarrow {E_{k}}^{(1)} = \frac{1}{2} [({\hat{V}}_{11} + {\hat{V}}_{22}) \pm \sqrt{{({\hat{V}}_{11} - {\hat{V}}_{22})}^{2} + 4 {| {\hat{V}}_{12} |}^{2}}] \end{matrix}

Dies als Korrekturterm. Somit folgt für ein Energieniveau der Energie E:

E = E^{(0)} + ε {E_{k}}^{(1)} = E^{(0)} + \frac{ε}{2} [({\hat{V}}_{11} + {\hat{V}}_{22}) \pm \sqrt{{({\hat{V}}_{11} - {\hat{V}}_{22})}^{2} + 4 {| {\hat{V}}_{12} |}^{2}}]

Dabei gibt $\sqrt{{({\hat{V}}_{11} - {\hat{V}}_{22})}^{2} + 4 {| {\hat{V}}_{12} |}^{2}}$ die Energieaufspaltung an. E ist, wie angegeben die gesamte Energie in 1. Störungstheoretischer Ordnung. Die Aufspaltung erfolgt linear in $ε$ ,

also linear zur Störung:

Zeitunabhängige Störungsrechnung bei Entartung

Beispiel: 2 entartete Zustände

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