Der nichtrelativistische Grenzfall

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Der nichtrelativistische Grenzfall basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 7.Kapitels (Abschnitt 4) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Lösung der Diracgleichung im Ruhesystem:

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Psi }=m_0{c}^2\beta \mathrm{\Psi }$

nur Ruheenergie

$\begin{array}{rl}& H=m_0{c}^2\beta =m_0{c}^2\left(\begin{array}{cccc}1& & & \\ & 1& & \\ & & -1& \\ & & & -1\\ \end{array}\right)\\ & \mathrm{\Psi }=\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Psi }}_1\\ {\mathrm{\Psi }}_2\\ {\mathrm{\Psi }}_3\\ {\mathrm{\Psi }}_4\\ \end{array}\right)\Rightarrow \beta \mathrm{\Psi }=\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Psi }}_1\\ {\mathrm{\Psi }}_2\\ -{\mathrm{\Psi }}_3\\ -{\mathrm{\Psi }}_4\\ \end{array}\right)\\ \end{array}$

Also lassen sich die folgenden Differentialgleichungen ableiten:

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Psi }=m_0{c}^2\beta \mathrm{\Psi }$

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow i\hslash {\dot{\mathrm{\Psi }}}_{1,2}=m_0{c}^2{\mathrm{\Psi }}_{1,2}\\ & \Rightarrow i\hslash {\dot{\mathrm{\Psi }}}_{3,4}=-m_0{c}^2{\mathrm{\Psi }}_{3,4}\\ & \\ \end{array}$

Die Richtung der Vektoren ist dabei leicht lösbar:

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{\Psi }}_{1,2}\propto e^{-\frac{i}{\hslash }{m}_0{c}^{2}t}\\ & {\mathrm{\Psi }}_{3,4}\propto e^{\frac{i}{\hslash }{m}_0{c}^{2}t}\\ \end{array}$

Das heißt, es lassen sich 4 unabhängige Lösungen angeben, die die folgenden Eigenschaften aufweisen:

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{\Psi }}_1=e^{-\frac{i}{\hslash }{m}_0{c}^{2}t}{e}_{1}Spin:\uparrow Ruheenergie>0\\ & {\mathrm{\Psi }}_2=e^{-\frac{i}{\hslash }{m}_0{c}^{2}t}{e}_{2}Spin:\downarrow Ruheenergie>0\\ & {\mathrm{\Psi }}_3=e^{\frac{i}{\hslash }{m}_0{c}^{2}t}{e}_{3}Spin:\uparrow Ruheenergie<0\\ & {\mathrm{\Psi }}_4=e^{\frac{i}{\hslash }{m}_0{c}^{2}t}{e}_{4}Spin:\downarrow Ruheenergie<0\\ \end{array}$

Ankopplung an das elektromagnetische Feld:

Die Ankopplung erfolgt über die Potenziale $\overline{A},\mathrm{\Phi }$

über die Ladung e

Klassisch wissen wir:

$\begin{array}{rl}& \overline{p}\to \overline{p}-e\overline{A}\\ & H\to H+e\mathrm{\Phi }\\ \end{array}$

In der Diracgleichung können wir nun so einfach die bereits angegebene Energie, den Hamiltonoperator erweitern und angeben:

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Psi }=(c\overline{\alpha }(\overline{p}-e\overline{A})+{m_0}^2{c}^2\beta +e\mathrm{\Phi })\mathrm{\Psi }$

Dabei setzen wir für

$\overline{p}\to \frac{\hslash }{i}\mathrm{\nabla }$

den kanonischen Impuls und führen den kinetischen Impuls ein gemäß

$\overline{\pi }=p_{kin}=\overline{p}-e\overline{A}$

Als Lösungsansatz wählen wir

$\mathrm{\Psi }=\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Psi }}_a\\ {\mathrm{\Psi }}_b\\ \end{array}\right)$

Wobei ${\mathrm{\Psi }}_a$ zwei Komponenten haben sollte und ein Teilchen mit $E\ge 0$ bezeichnet.

Auch ${\mathrm{\Psi }}_b$ besitzt 2 Komponenten für die "Antiteilchen" mit $E\le 0$:

Damit zerfällt die Dirac-Gleichung in zwei gekoppelte und jeweils zweikomponentige Gleichungen:

$\begin{array}{rl}& i\hslash {\dot{\mathrm{\Psi }}}_a=c\sum _{\mu =1}^3{\sigma }^{\mu }{\pi }^{\mu }{\mathrm{\Psi }}_b+(m_0{c}^2+e\mathrm{\Phi }){\mathrm{\Psi }}_a\\ & i\hslash {\dot{\mathrm{\Psi }}}_b=c\sum _{\mu =1}^3{\sigma }^{\mu }{\pi }^{\mu }{\mathrm{\Psi }}_a+(-m_0{c}^2+e\mathrm{\Phi }){\mathrm{\Psi }}_b\\ \end{array}$

Als Ansatz wählen wir

$\mathrm{\Psi }=\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Psi }}_a\\ {\mathrm{\Psi }}_b\\ \end{array}\right)=e^{-i{m}_0{c}^2\frac{t}{\hslash }}\left(\begin{array}{c}{\varphi }_a\\ {\varphi }_b\\ \end{array}\right)$

für $E\ge 0$.

Also Zerlegung in

$e^{-i{m}_0{c}^2\frac{t}{\hslash }}$

als schnelle zeitliche Oszillation und

$\left(\begin{array}{c}{\varphi }_a\\ {\varphi }_b\\ \end{array}\right)$

als langsam zeitabhängige Funktion!

Es folgt:

$\begin{array}{rl}& i\hslash {\dot{\varphi }}_a=c\sum _{\mu =1}^3{\sigma }^{\mu }{\pi }^{\mu }{\varphi }_b+e\mathrm{\Phi }{\varphi }_a\\ & i\hslash {\dot{\varphi }}_b=c\sum _{\mu =1}^3{\sigma }^{\mu }{\pi }^{\mu }{\varphi }_a-2m_0{c}^2{\varphi }_b+e\mathrm{\Phi }{\varphi }_b\\ \end{array}$

Nichtrelativistische Näherung:

$\begin{array}{rl}& E-m_0{c}^2<<m_0{c}^2\Rightarrow {\dot{\varphi }}_b\approx 0\\ & e\mathrm{\Phi }<<m_0{c}^2\Rightarrow e\mathrm{\Phi }{\varphi }_b\approx 0\\ \end{array}$

$\begin{array}{rl}& {\dot{\varphi }}_b\approx 0\\ & e\mathrm{\Phi }{\varphi }_b\approx 0\\ & \Rightarrow c\sum _{\mu =1}^3{\sigma }^{\mu }{\pi }^{\mu }{\varphi }_a-2m_0{c}^2{\varphi }_b\approx 0\\ \end{array}$

${\varphi }_b\approx \frac{1}{2m_{0}c}\left(\overline{\sigma }\overline{\pi }\right){\varphi }_a$

eingesetzt in

$i\hslash {\dot{\varphi }}_a=\frac{1}{2m_0}\left(\overline{\sigma }\overline{\pi }\right)\left(\overline{\sigma }\overline{\pi }\right){\varphi }_a+e\mathrm{\Phi }{\varphi }_a$

Man kann zeigen:

$\begin{array}{rl}& \left(\overline{\sigma }\overline{\pi }\right)\left(\overline{\sigma }\overline{\pi }\right)={\overline{\pi }}^2+i\overline{\sigma }(\overline{\pi }\times \overline{\pi })\\ & \Rightarrow i\hslash {\dot{\varphi }}_a=[\frac{1}{2m_0}({\overline{\pi }}^2+i\overline{\sigma }(\overline{\pi }\times \overline{\pi }))+e\mathrm{\Phi }]{\varphi }_a\\ \end{array}$

Remember:

$\begin{array}{rl}& (\overline{\pi }\times \overline{\pi }){\varphi }_a=(\overline{p}-e\overline{A})\times (\overline{p}-e\overline{A}){\varphi }_a\\ & =\overline{p}\times \left(\overline{p}{\varphi }_a\right)-e[\overline{p}\times \left(\overline{A}{\varphi }_a\right)+\overline{A}\times \overline{p}{\varphi }_a]+e^2(\overline{A}\times \overline{A})i{\varphi }_a\\ & \overline{p}\times \left(\overline{p}{\varphi }_a\right)=0\\ & e^2(\overline{A}\times \overline{A})i{\varphi }_a=0\\ & e[\overline{p}\times \left(\overline{A}{\varphi }_a\right)+\overline{A}\times \overline{p}{\varphi }_a]=\frac{e\hslash }{i}\overline{B}{\varphi }_a\\ & \\ & \Rightarrow \left(\overline{\sigma }\overline{\pi }\right)\left(\overline{\sigma }\overline{\pi }\right)={\overline{\pi }}^2+i\overline{\sigma }(\overline{\pi }\times \overline{\pi })={(\overline{p}-e\overline{A})}^2-e\hslash \overline{\sigma }\overline{B}\\ \end{array}$

Die verwendeten Identitäten sind dabei natürlich zu zeigen (Übungsaufgabe!)

Also folgt die Bewegungsgleichung für ${\varphi }_a$:

$i\hslash {\dot{\varphi }}_a=[\frac{1}{2m_0}({\overline{\pi }}^2+i\overline{\sigma }(\overline{\pi }\times \overline{\pi }))+e\mathrm{\Phi }]{\varphi }_a=[\frac{1}{2m_0}{(\overline{p}-e\overline{A})}^2-\frac{1}{2m_0}e\hslash \overline{\sigma }\overline{B}+e\mathrm{\Phi }]{\varphi }_a$

dies ist die nichtrelativistische Pauli-Gleichung für Spin $\pm \frac{\hslash }{2}$ (vergl. S. 102, Kapitel 4.3) mit dem richtigen gyromagnetischen Verhältnis g=2:

$\frac{1}{2m_0}e\hslash \overline{\sigma }=\frac{e}{m_0}\frac{\hslash }{2}\overline{\sigma }=g\frac{e}{m_0}\overline{S}$

Vergl. S. 94

Interpretation des vierkomponentigen Spinors:

Teilchen- Freiheitsgrad: ${\mathrm{\Psi }}_a=\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Psi }}_{a\uparrow }(\overline{r},t)\\ {\mathrm{\Psi }}_{a\downarrow }(\overline{r},t)\\ \end{array}\right)$

Antiteilchen Freiheitsgrad: ${\mathrm{\Psi }}_b=\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Psi }}_{b\uparrow }(\overline{r},t)\\ {\mathrm{\Psi }}_{b\downarrow }(\overline{r},t)\\ \end{array}\right)$

Spin- Eigenwertproblem in 2x2- Matrixdarstellung

${\sigma }_3{\mathrm{\Psi }}_a={\sigma }_3\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Psi }}_{a\uparrow }(\overline{r},t)\\ {\mathrm{\Psi }}_{a\downarrow }(\overline{r},t)\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Psi }}_{a\uparrow }(\overline{r},t)\\ {\mathrm{\Psi }}_{a\downarrow }(\overline{r},t)\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Psi }}_{a\uparrow }(\overline{r},t)\\ -{\mathrm{\Psi }}_{a\downarrow }(\overline{r},t)\\ \end{array}\right)$

Spin- Operator in 4x4 Block- Matrix- Darstellung

$\begin{array}{rl}& \tilde{\sigma }=\left(\begin{array}{cc}\overline{\sigma }& 0\\ 0& \overline{\sigma }\\ \end{array}\right)\\ & \tilde{\sigma }\mathrm{\Psi }=\left(\begin{array}{cc}\overline{\sigma }& 0\\ 0& \overline{\sigma }\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Psi }}_a\\ {\mathrm{\Psi }}_b\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\overline{\sigma }{\mathrm{\Psi }}_a\\ \overline{\sigma }{\mathrm{\Psi }}_b\\ \end{array}\right)\\ \end{array}$

Ableitung der Spin-Bahn-Kopplung für $\overline{A}=0$ und symmetrisches V(r):

Bahn- Drehimpuls:

$\overline{L}=\overline{r}\times \overline{p}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ \end{array}\right)$

Mit $\overline{r}\times \overline{p}$ aus dem Bahn-Raum und $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ \end{array}\right)$

aus dem Spinor-Raum.

Gesamt- Drehimpuls

$\begin{array}{rl}& \overline{J}:=\overline{L}+\frac{\hslash }{2}\tilde{\overline{\sigma }}=\overline{r}\times \overline{p}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ \end{array}\right)+\frac{\hslash }{2}\tilde{\overline{\sigma }}\\ & \overline{r}\times \overline{p}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ \end{array}\right)=\overline{r}\times \overline{p}\left(\begin{array}{cccc}1& & & \\ & 1& & \\ & & 1& \\ & & & 1\\ \end{array}\right)\\ \end{array}$

Dabei ist

$\overline{J}:=\overline{L}+\frac{\hslash }{2}\tilde{\overline{\sigma }}=\overline{r}\times \overline{p}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ \end{array}\right)+\frac{\hslash }{2}\tilde{\overline{\sigma }}$

eine Erhaltungsgröße. Denn es kann gezeigt werden:

$\begin{array}{rl}& [\overline{J},H]=[\overline{L},H]+\frac{\hslash }{2}[\tilde{\overline{\sigma }},H]=0\\ & [\overline{L},H]=i\hslash c\overline{\alpha }\times \overline{p}\\ & [\tilde{\overline{\sigma }},H]=-2c\overline{\alpha }\times \overline{p}\\ \end{array}$

Dies ist leicht zu zeigen!

Wichtig: ${\overline{L}}^{\mu }$

ist keine Konstante der Bewegung

Entwicklung der Dirac- Gleichung für $E\ge 0$

bis zur ersten Ordnung in $\frac{\epsilon -V}{2m_0{c}^2}$

mit $\epsilon :=E-m_0{c}^2$

liefert mit $\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Psi }}_a\\ {\mathrm{\Psi }}_b\\ \end{array}\right)=e^{-\frac{i}{\hslash }Et}\left(\begin{array}{c}{\varphi }_a\\ {\varphi }_b\\ \end{array}\right)$

(Vergl. Schwabl Seite 215 ff.)

$\epsilon {\varphi }_a=(\frac{p^2}{2m_0}+V(r)-\frac{p^4}{8{m_0}^3{c}^2}+\frac{{\hslash }^2}{4{m_0}^2{c}^2}\frac{dV}{dr}\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}+\frac{\hslash }{4{m_0}^2{c}^2}\frac{dV}{dr}\frac{1}{r}\overline{\sigma }\cdot \overline{L}){\varphi }_a$

Also eine Spin-Bahn-Kopplung von

$H_{SB}=\frac{\hslash }{4{m_0}^2{c}^2}\frac{dV}{dr}\frac{1}{r}\overline{\sigma }\cdot \overline{L}$