Der nichtrelativistische Grenzfall

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Der nichtrelativistische Grenzfall basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 7.Kapitels (Abschnitt 4) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Lösung der Diracgleichung im Ruhesystem:

i ℏ \frac{\partial}{\partial t} Ψ = m_{0} c^{2} β Ψ

nur Ruheenergie

\begin{matrix} H = m_{0} c^{2} β = m_{0} c^{2} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \\ - 1 \end{matrix}) \\ Ψ = (\begin{matrix} Ψ_{1} \\ Ψ_{2} \\ Ψ_{3} \\ Ψ_{4} \end{matrix}) \Rightarrow β Ψ = (\begin{matrix} Ψ_{1} \\ Ψ_{2} \\ - Ψ_{3} \\ - Ψ_{4} \end{matrix}) \end{matrix}

Also lassen sich die folgenden Differentialgleichungen ableiten:

i ℏ \frac{\partial}{\partial t} Ψ = m_{0} c^{2} β Ψ

\begin{matrix} \Rightarrow i ℏ {\dot{Ψ}}_{1, 2} = m_{0} c^{2} Ψ_{1, 2} \\ \Rightarrow i ℏ {\dot{Ψ}}_{3, 4} = - m_{0} c^{2} Ψ_{3, 4} \end{matrix}

Die Richtung der Vektoren ist dabei leicht lösbar:

\begin{matrix} Ψ_{1, 2} \propto e^{- \frac{i}{ℏ} m_{0} c^{2} t} \\ Ψ_{3, 4} \propto e^{\frac{i}{ℏ} m_{0} c^{2} t} \end{matrix}

Das heißt, es lassen sich 4 unabhängige Lösungen angeben, die die folgenden Eigenschaften aufweisen:

\begin{matrix} Ψ_{1} = e^{- \frac{i}{ℏ} m_{0} c^{2} t} e_{1} S p i n : ↑ R u h e e n e r g i e > 0 \\ Ψ_{2} = e^{- \frac{i}{ℏ} m_{0} c^{2} t} e_{2} S p i n : ↓ R u h e e n e r g i e > 0 \\ Ψ_{3} = e^{\frac{i}{ℏ} m_{0} c^{2} t} e_{3} S p i n : ↑ R u h e e n e r g i e < 0 \\ Ψ_{4} = e^{\frac{i}{ℏ} m_{0} c^{2} t} e_{4} S p i n : ↓ R u h e e n e r g i e < 0 \end{matrix}

Ankopplung an das elektromagnetische Feld:

Die Ankopplung erfolgt über die Potenziale $\bar{A}, Φ$

über die Ladung e

Klassisch wissen wir:

\begin{matrix} \bar{p} \to \bar{p} - e \bar{A} \\ H \to H + e Φ \end{matrix}

In der Diracgleichung können wir nun so einfach die bereits angegebene Energie, den Hamiltonoperator erweitern und angeben:

i ℏ \frac{\partial}{\partial t} Ψ = (c \bar{α} (\bar{p} - e \bar{A}) + {m_{0}}^{2} c^{2} β + e Φ) Ψ

Dabei setzen wir für

\bar{p} \to \frac{ℏ}{i} \nabla

den kanonischen Impuls und führen den kinetischen Impuls ein gemäß

\bar{π} = p_{k i n} = \bar{p} - e \bar{A}

Als Lösungsansatz wählen wir

Ψ = (\begin{matrix} Ψ_{a} \\ Ψ_{b} \end{matrix})

Wobei $Ψ_{a}$ zwei Komponenten haben sollte und ein Teilchen mit $E \geq 0$ bezeichnet.

Auch $Ψ_{b}$ besitzt 2 Komponenten für die "Antiteilchen" mit $E \leq 0$ :

Damit zerfällt die Dirac-Gleichung in zwei gekoppelte und jeweils zweikomponentige Gleichungen:

\begin{matrix} i ℏ {\dot{Ψ}}_{a} = c \sum_{μ = 1}^{3} σ^{μ} π^{μ} Ψ_{b} + (m_{0} c^{2} + e Φ) Ψ_{a} \\ i ℏ {\dot{Ψ}}_{b} = c \sum_{μ = 1}^{3} σ^{μ} π^{μ} Ψ_{a} + (- m_{0} c^{2} + e Φ) Ψ_{b} \end{matrix}

Als Ansatz wählen wir

Ψ = (\begin{matrix} Ψ_{a} \\ Ψ_{b} \end{matrix}) = e^{- i m_{0} c^{2} \frac{t}{ℏ}} (\begin{matrix} ϕ_{a} \\ ϕ_{b} \end{matrix})

für $E \geq 0$ .

Also Zerlegung in

e^{- i m_{0} c^{2} \frac{t}{ℏ}}

als schnelle zeitliche Oszillation und

(\begin{matrix} ϕ_{a} \\ ϕ_{b} \end{matrix})

als langsam zeitabhängige Funktion!

Es folgt:

\begin{matrix} i ℏ {\dot{ϕ}}_{a} = c \sum_{μ = 1}^{3} σ^{μ} π^{μ} ϕ_{b} + e Φ ϕ_{a} \\ i ℏ {\dot{ϕ}}_{b} = c \sum_{μ = 1}^{3} σ^{μ} π^{μ} ϕ_{a} - 2 m_{0} c^{2} ϕ_{b} + e Φ ϕ_{b} \end{matrix}

Nichtrelativistische Näherung:

\begin{matrix} E - m_{0} c^{2} < < m_{0} c^{2} \Rightarrow {\dot{ϕ}}_{b} \approx 0 \\ e Φ < < m_{0} c^{2} \Rightarrow e Φ ϕ_{b} \approx 0 \end{matrix}

\begin{matrix} {\dot{ϕ}}_{b} \approx 0 \\ e Φ ϕ_{b} \approx 0 \\ \Rightarrow c \sum_{μ = 1}^{3} σ^{μ} π^{μ} ϕ_{a} - 2 m_{0} c^{2} ϕ_{b} \approx 0 \end{matrix}

ϕ_{b} \approx \frac{1}{2 m_{0} c} (\bar{σ} \bar{π}) ϕ_{a}

eingesetzt in

i ℏ {\dot{ϕ}}_{a} = \frac{1}{2 m_{0}} (\bar{σ} \bar{π}) (\bar{σ} \bar{π}) ϕ_{a} + e Φ ϕ_{a}

Man kann zeigen:

\begin{matrix} (\bar{σ} \bar{π}) (\bar{σ} \bar{π}) = {\bar{π}}^{2} + i \bar{σ} (\bar{π} \times \bar{π}) \\ \Rightarrow i ℏ {\dot{ϕ}}_{a} = [\frac{1}{2 m_{0}} ({\bar{π}}^{2} + i \bar{σ} (\bar{π} \times \bar{π})) + e Φ] ϕ_{a} \end{matrix}

Remember:

\begin{matrix} (\bar{π} \times \bar{π}) ϕ_{a} = (\bar{p} - e \bar{A}) \times (\bar{p} - e \bar{A}) ϕ_{a} \\ = \bar{p} \times (\bar{p} ϕ_{a}) - e [\bar{p} \times (\bar{A} ϕ_{a}) + \bar{A} \times \bar{p} ϕ_{a}] + e^{2} (\bar{A} \times \bar{A}) i ϕ_{a} \\ \bar{p} \times (\bar{p} ϕ_{a}) = 0 \\ e^{2} (\bar{A} \times \bar{A}) i ϕ_{a} = 0 \\ e [\bar{p} \times (\bar{A} ϕ_{a}) + \bar{A} \times \bar{p} ϕ_{a}] = \frac{e ℏ}{i} \bar{B} ϕ_{a} \\ \Rightarrow (\bar{σ} \bar{π}) (\bar{σ} \bar{π}) = {\bar{π}}^{2} + i \bar{σ} (\bar{π} \times \bar{π}) = {(\bar{p} - e \bar{A})}^{2} - e ℏ \bar{σ} \bar{B} \end{matrix}

Die verwendeten Identitäten sind dabei natürlich zu zeigen (Übungsaufgabe!)

Also folgt die Bewegungsgleichung für $ϕ_{a}$ :

i ℏ {\dot{ϕ}}_{a} = [\frac{1}{2 m_{0}} ({\bar{π}}^{2} + i \bar{σ} (\bar{π} \times \bar{π})) + e Φ] ϕ_{a} = [\frac{1}{2 m_{0}} {(\bar{p} - e \bar{A})}^{2} - \frac{1}{2 m_{0}} e ℏ \bar{σ} \bar{B} + e Φ] ϕ_{a}

dies ist die nichtrelativistische Pauli-Gleichung für Spin $\pm \frac{ℏ}{2}$ (vergl. S. 102, Kapitel 4.3) mit dem richtigen gyromagnetischen Verhältnis g=2:

\frac{1}{2 m_{0}} e ℏ \bar{σ} = \frac{e}{m_{0}} \frac{ℏ}{2} \bar{σ} = g \frac{e}{m_{0}} \bar{S}

Vergl. S. 94

Interpretation des vierkomponentigen Spinors:

Teilchen- Freiheitsgrad: $Ψ_{a} = (\begin{matrix} Ψ_{a ↑} (\bar{r}, t) \\ Ψ_{a ↓} (\bar{r}, t) \end{matrix})$

Antiteilchen Freiheitsgrad: $Ψ_{b} = (\begin{matrix} Ψ_{b ↑} (\bar{r}, t) \\ Ψ_{b ↓} (\bar{r}, t) \end{matrix})$

Spin- Eigenwertproblem in 2x2- Matrixdarstellung

σ_{3} Ψ_{a} = σ_{3} (\begin{matrix} Ψ_{a ↑} (\bar{r}, t) \\ Ψ_{a ↓} (\bar{r}, t) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} Ψ_{a ↑} (\bar{r}, t) \\ Ψ_{a ↓} (\bar{r}, t) \end{matrix}) = (\begin{matrix} Ψ_{a ↑} (\bar{r}, t) \\ - Ψ_{a ↓} (\bar{r}, t) \end{matrix})

Spin- Operator in 4x4 Block- Matrix- Darstellung

\begin{matrix} \tilde{σ} = (\begin{matrix} \bar{σ} & 0 \\ 0 & \bar{σ} \end{matrix}) \\ \tilde{σ} Ψ = (\begin{matrix} \bar{σ} & 0 \\ 0 & \bar{σ} \end{matrix}) (\begin{matrix} Ψ_{a} \\ Ψ_{b} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \bar{σ} Ψ_{a} \\ \bar{σ} Ψ_{b} \end{matrix}) \end{matrix}

Ableitung der Spin-Bahn-Kopplung für $\bar{A} = 0$ und symmetrisches V(r):

Bahn- Drehimpuls:

\bar{L} = \bar{r} \times \bar{p} (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

Mit $\bar{r} \times \bar{p}$ aus dem Bahn-Raum und $(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$

aus dem Spinor-Raum.

Gesamt- Drehimpuls

\begin{matrix} \bar{J} := \bar{L} + \frac{ℏ}{2} \tilde{\bar{σ}} = \bar{r} \times \bar{p} (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) + \frac{ℏ}{2} \tilde{\bar{σ}} \\ \bar{r} \times \bar{p} (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) = \bar{r} \times \bar{p} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) \end{matrix}

Dabei ist

\bar{J} := \bar{L} + \frac{ℏ}{2} \tilde{\bar{σ}} = \bar{r} \times \bar{p} (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) + \frac{ℏ}{2} \tilde{\bar{σ}}

eine Erhaltungsgröße. Denn es kann gezeigt werden:

\begin{matrix} [\bar{J}, H] = [\bar{L}, H] + \frac{ℏ}{2} [\tilde{\bar{σ}}, H] = 0 \\ [\bar{L}, H] = i ℏ c \bar{α} \times \bar{p} \\ [\tilde{\bar{σ}}, H] = - 2 c \bar{α} \times \bar{p} \end{matrix}

Dies ist leicht zu zeigen!

Wichtig: ${\bar{L}}^{μ}$

ist keine Konstante der Bewegung

Entwicklung der Dirac- Gleichung für $E \geq 0$

bis zur ersten Ordnung in $\frac{ε - V}{2 m_{0} c^{2}}$

mit $ε := E - m_{0} c^{2}$

liefert mit $(\begin{matrix} Ψ_{a} \\ Ψ_{b} \end{matrix}) = e^{- \frac{i}{ℏ} E t} (\begin{matrix} ϕ_{a} \\ ϕ_{b} \end{matrix})$

(Vergl. Schwabl Seite 215 ff.)

ε ϕ_{a} = (\frac{p^{2}}{2 m_{0}} + V (r) - \frac{p^{4}}{8 {m_{0}}^{3} c^{2}} + \frac{ℏ^{2}}{4 {m_{0}}^{2} c^{2}} \frac{d V}{d r} \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} + \frac{ℏ}{4 {m_{0}}^{2} c^{2}} \frac{d V}{d r} \frac{1}{r} \bar{σ} \cdot \bar{L}) ϕ_{a}

Also eine Spin-Bahn-Kopplung von

H_{S B} = \frac{ℏ}{4 {m_{0}}^{2} c^{2}} \frac{d V}{d r} \frac{1}{r} \bar{σ} \cdot \bar{L}

Der nichtrelativistische Grenzfall

Inhaltsverzeichnis

Ankopplung an das elektromagnetische Feld:

Nichtrelativistische Näherung:

Bahn- Drehimpuls:

Gesamt- Drehimpuls

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