|
|
Zeile 76: |
Zeile 76: |
|
| |
|
|
| |
|
| Die Potenziale lassen sich umeichen mit Hilfe der Eichfunktion | | Die Potenziale lassen sich umeichen mit Hilfe der {{FB|Eichfunktion}} |
| <math>\chi </math> | | <math>\chi </math>: |
| : | |
|
| |
|
|
| |
|
Zeile 87: |
Zeile 86: |
|
| |
|
|
| |
|
| Durch Eisnetzen sieht man schnell, dass sich die Felder nicht ändern: | | Durch Einsetzen sieht man schnell, dass sich die Felder nicht ändern: |
|
| |
|
|
| |
|
Zeile 108: |
Zeile 107: |
| Einsetzen zeigt: L´ führt zu denselben Lagrangegleichungen wie L. | | Einsetzen zeigt: L´ führt zu denselben Lagrangegleichungen wie L. |
|
| |
|
| Die Eichtransformation | | {{Def|Die Eichtransformation |
| | |
| | |
| <math>L(q,\dot{q},t)\to L\acute{\ }(q,\dot{q},t)=L+\frac{d}{dt}\left( M(\bar{q},t) \right)</math> | | <math>L(q,\dot{q},t)\to L\acute{\ }(q,\dot{q},t)=L+\frac{d}{dt}\left( M(\bar{q},t) \right)</math> |
| | | mit einer beliebigen Eichfunktion M (skalar) läßt die Lagrangegleichungen invariant.|Eichtransformation}} |
| | |
| Mit einer beliebigen Eichfunktion M ( skalar) läßt die Lagrangegleichungen invariant.
| |
|
| |
|
| Allgemein gilt: | | Allgemein gilt: |
Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=2|Abschnitt=3}}
__SHOWFACTBOX__
Uneindeutigkeit der Lagrangefunktion
Die Lagarangefunktion wird duch die Lagrangegleichung nicht eindeutig festgelegt.
Betrachten wir beispielsweise ein geladenes Teilchen im elektrischen Feld:
e sei die Ladung
Bewegungsgleichung:
Die Lorentzkraft{{#set:Fachbegriff=Lorentzkraft|Index=Lorentzkraft}} ist typischerweise nicht konservativ
Die Darstellung des elektrischen und magnetischen Feldes erfolgt über die Potenziale:
Dabei ist Skalar und A ein Vektorpotenzial (MKSA- System)
Ziel: Suche eine Lagrangefunktion in der Art, dass
Die Bewegungsgleichung
ergeben.
Ansatz:
Probe:
Weiter:
Somit:
Somit erfüllt unser Ansatz die Bewegungsgleichungen
Eichtransformationen
Die Potenziale lassen sich umeichen mit Hilfe der Eichfunktion{{#set:Fachbegriff=Eichfunktion|Index=Eichfunktion}}
:
Durch Einsetzen sieht man schnell, dass sich die Felder nicht ändern:
Betrachten wir die Lagrangefunktion, so ergibt sich:
Einsetzen zeigt: L´ führt zu denselben Lagrangegleichungen wie L.
Die Eichtransformation
mit einer beliebigen Eichfunktion M (skalar) läßt die Lagrangegleichungen invariant.
|
{{#set:Definition=Eichtransformation|Index=Eichtransformation}}
Allgemein gilt:
Sei
beliebig
und
dann erfüllen die
das hamiltonsche Prinzip
Also:
Das bedeutet, die Euler- Lagrangegleichungen sind invariant unter Transformationen der Art
mit
beliebig.
Beweis:
mit
Einzige Nebenbedingung:
darf nicht explizit von
abhängen.