Eichtransformation der Lagrangefunktion

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Eichtransformation der Lagrangefunktion basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 3) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Uneindeutigkeit der Lagrangefunktion

Die Lagarangefunktion wird duch die Lagrangegleichung nicht eindeutig festgelegt.

Betrachten wir beispielsweise ein geladenes Teilchen im elektrischen Feld:

(q_{1}, q_{2}, q_{3}) = (x_{1}, x_{2}, x_{3})

e sei die Ladung

Bewegungsgleichung:

m \frac{{d^{2}}^{}}{d t^{2}} (q_{1}, q_{2}, q_{3}) = m \ddot{\bar{q}} = e \bar{E} (\bar{q}, t) + e \dot{\bar{q}} \times \bar{B} (\bar{q}, t)

Die Lorentzkraft ist typischerweise nicht konservativ

Die Darstellung des elektrischen und magnetischen Feldes erfolgt über die Potenziale:

\begin{matrix} \bar{E} (\bar{q}, t) = - \nabla Φ (\bar{q}, t) - \frac{\partial}{\partial t} \bar{A} (\bar{q}, t) \\ \bar{B} (\bar{q}, t) = \nabla \times \bar{A} (\bar{q}, t) \end{matrix}

Dabei ist $Φ$ Skalar und A ein Vektorpotenzial (MKSA- System)

Ziel: Suche eine Lagrangefunktion $L (q, \dot{q}, t) = T - V$ in der Art, dass $\frac{\partial L}{\partial q_{k}} - \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{k}} = 0$

Die Bewegungsgleichung

m \frac{{d^{2}}^{}}{d t^{2}} (q_{1}, q_{2}, q_{3}) = m \ddot{\bar{q}} = e \bar{E} (\bar{q}, t) + e \dot{\bar{q}} \times \bar{B} (\bar{q}, t)

ergeben.

Ansatz:

L (q, \dot{q}, t) = \frac{m}{2} {\dot{\bar{q}}}^{2} + e (\dot{\bar{q}} \bar{A} (\bar{q}, t) - Φ (\bar{q}, t))

Probe:

\begin{matrix} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{k}} = m {\dot{q}}_{k} + e A_{k} \\ \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{k}} = m {\ddot{q}}_{k} + e \frac{d}{d t} A_{k} (\bar{q} (t), t) \\ \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{k}} = m {\ddot{q}}_{k} + e (\frac{\partial}{\partial t} A_{k} + \sum_{l} \frac{\partial A_{k}}{\partial q_{l}} {\dot{q}}_{l}) \\ \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{k}} = m {\ddot{q}}_{k} + e (\frac{\partial}{\partial t} A_{k} + (\dot{\bar{q}} \cdot \nabla) A_{k}) \end{matrix}

Weiter:

\frac{\partial L}{\partial q_{k}} = e [\frac{\partial}{\partial q_{k}} (\dot{\bar{q}} \cdot \bar{A}) - \frac{\partial}{\partial q_{k}} Φ]

Somit:

\begin{matrix} 0 = \frac{\partial L}{\partial q_{k}} - \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{k}} = m {\ddot{q}}_{k} + e (\frac{\partial}{\partial t} A_{k} + (\dot{\bar{q}} \cdot \nabla) A_{k}) - e [\frac{\partial}{\partial q_{k}} (\dot{\bar{q}} \cdot \bar{A}) - \frac{\partial}{\partial q_{k}} Φ] \\ = m {\ddot{q}}_{k} + e (\frac{\partial}{\partial t} A_{k} + \frac{\partial}{\partial q_{k}} Φ) + e [- \frac{\partial}{\partial q_{k}} (\dot{\bar{q}} \cdot \bar{A}) + (\dot{\bar{q}} \cdot \nabla) A_{k}] \\ = m {\ddot{q}}_{k} - e E_{k} - {[e \dot{\bar{q}} \times (\nabla \times \bar{A})]}_{k} \\ = m {\ddot{q}}_{k} - e E_{k} - {[e \dot{\bar{q}} \times \bar{B}]}_{k} \end{matrix}

Somit erfüllt unser Ansatz die Bewegungsgleichungen

Eichtransformationen

Die Potenziale lassen sich umeichen mit Hilfe der Eichfunktion

χ

:

\begin{matrix} \bar{A} (\bar{q}, t) \to \bar{A} \overset{´}{} (\bar{q}, t) = \bar{A} (\bar{q}, t) + \nabla χ (\bar{q}, t) \\ Φ (\bar{q}, t) \to Φ \overset{´}{} (\bar{q}, t) = Φ (\bar{q}, t) - \frac{\partial}{\partial t} χ (\bar{q}, t) \end{matrix}

Durch Einsetzen sieht man schnell, dass sich die Felder nicht ändern:

\begin{matrix} \bar{E} \overset{´}{} (\bar{q}, t) = - \nabla Φ \overset{´}{} (\bar{q}, t) - \frac{\partial}{\partial t} \bar{A} \overset{´}{} (\bar{q}, t) = - \nabla (Φ (\bar{q}, t) - \frac{\partial}{\partial t} χ (\bar{q}, t)) - \frac{\partial}{\partial t} (\bar{A} (\bar{q}, t) + \nabla χ (\bar{q}, t)) = \bar{E} (\bar{q}, t) \\ \bar{B} \overset{´}{} (\bar{q}, t) = \nabla \times \bar{A} \overset{´}{} (\bar{q}, t) = \nabla \times (\bar{A} (\bar{q}, t) + \nabla χ (\bar{q}, t)) = \bar{B} (\bar{q}, t) \end{matrix}

Betrachten wir die Lagrangefunktion, so ergibt sich:

\begin{matrix} L \overset{´}{} (q, \dot{q}, t) = \frac{m}{2} {\dot{\bar{q}}}^{2} + e (\dot{\bar{q}} \bar{A} \overset{´}{} (\bar{q}, t) - Φ \overset{´}{} (\bar{q}, t)) \\ L \overset{´}{} (q, \dot{q}, t) = \frac{m}{2} {\dot{\bar{q}}}^{2} + e (\dot{\bar{q}} \bar{A} (\bar{q}, t) + \dot{\bar{q}} \cdot \nabla χ - Φ (\bar{q}, t) + \dot{χ}) \\ L \overset{´}{} (q, \dot{q}, t) = L + e (\dot{χ} + \dot{\bar{q}} \cdot \nabla χ) \overset{´}{} = L + \frac{d}{d t} (e χ (\bar{q}, t)) \end{matrix}

Einsetzen zeigt: L´ führt zu denselben Lagrangegleichungen wie L.

Die Eichtransformation

L (q, \dot{q}, t) \to L \overset{´}{} (q, \dot{q}, t) = L + \frac{d}{d t} (M (\bar{q}, t))

mit einer beliebigen Eichfunktion M (skalar) läßt die Lagrangegleichungen invariant.

Allgemein gilt:

Sei $M (\bar{q}, t) = M (q_{1}, ..., q_{f}, t) \in C^{3}$ beliebig und

\begin{matrix} L \overset{´}{} (q, \dot{q}, t) = L + (\dot{M} + \dot{\bar{q}} \cdot \nabla M) = L + \frac{d}{d t} (M (\bar{q}, t)) \\ L \overset{´}{} (q, \dot{q}, t) = L + \sum_{k = 1}^{f} \frac{\partial M}{\partial q_{k}} {\dot{q}}_{k} + \frac{\partial M}{\partial t} \end{matrix}

dann erfüllen die

{q_{k} (t)}

das hamiltonsche Prinzip

Also:

δ \int L \overset{´}{} d t = 0 \Leftrightarrow δ \int L d t = 0

Das bedeutet, die Euler- Lagrangegleichungen sind invariant unter Transformationen der Art

L (q, \dot{q}, t) \to L \overset{´}{} (q, \dot{q}, t) = L + \frac{d}{d t} (M (\bar{q}, t))

mit

M (\bar{q}, t) = M (q_{1}, ..., q_{f}, t) \in C^{3}

beliebig.

Beweis:

\begin{matrix} \frac{\partial L \overset{´}{}}{\partial q_{k}} - \frac{d}{d t} \frac{\partial L \overset{´}{}}{\partial {\dot{q}}_{k}} = \frac{\partial L}{\partial q_{k}} + \frac{\partial}{\partial q_{k}} (\sum_{l = 1}^{f} \frac{\partial M}{\partial q_{l}} {\dot{q}}_{l} + \frac{\partial M}{\partial t}) - \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{k}} - \frac{d}{d t} \frac{\partial}{\partial {\dot{q}}_{k}} (\sum_{l = 1}^{f} \frac{\partial M}{\partial q_{l}} {\dot{q}}_{l} + \frac{\partial M}{\partial t}) \\ = \frac{\partial L}{\partial q_{k}} - \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{k}} + \frac{\partial}{\partial q_{k}} \frac{d M}{d t} - \frac{d}{d t} \frac{\partial M}{\partial q_{k}} = \frac{\partial L}{\partial q_{k}} - \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{k}} \end{matrix}

mit

\frac{\partial}{\partial {\dot{q}}_{k}} (\sum_{l = 1}^{f} \frac{\partial M}{\partial q_{l}} {\dot{q}}_{l} + \frac{\partial M}{\partial t}) = \frac{\partial M}{\partial q_{k}}

Einzige Nebenbedingung:

M (\bar{q}, t) = M (q_{1}, ..., q_{f}, t) \in C^{3}

darf nicht explizit von

{\dot{q}}_{k}

abhängen.

Beispiel: eindimensionaler Oszi

L = T - V = \frac{m}{2} {\dot{q}}^{2} - \frac{m ω^{2}}{2} q^{2}

Beispielhafte Eichfunktion:

M (q) := \frac{m ω^{2}}{2} q^{2} \Rightarrow \frac{d M}{d t} = m ω^{2} q \dot{q}

L \overset{´}{} = \frac{m}{2} {\dot{q}}^{2} - \frac{m ω^{2}}{2} (q^{2} - 2 q \dot{q})

Die Lagrangegleichungen lauten:

\begin{matrix} \frac{d}{d t} \frac{\partial L \overset{´}{}}{\partial {\dot{q}}_{}} = m \ddot{q} + m ω^{2} \dot{q} \\ \frac{\partial L \overset{´}{}}{\partial q_{k}} = - m ω^{2} q + m ω^{2} \dot{q} \end{matrix}

Es folgt als Bewegungsgleichung

\ddot{q} + ω^{2} q = 0

Eichtransformation der Lagrangefunktion

Uneindeutigkeit der Lagrangefunktion

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