Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
Uneindeutigkeit der Lagrangefunktion
Die Lagarangefunktion wird duch die Lagrangegleichung nicht eindeutig festgelegt.
Betrachten wir beispielsweise ein geladenes Teilchen im elektrischen Feld:
e sei die Ladung
Bewegungsgleichung:
Die Lorentzkraft ist typischerweise nicht konservativ
Die Darstellung des elektrischen und magnetischen Feldes erfolgt über die Potenziale:
Dabei ist Skalar und A ein Vektorpotenzial (MKSA- System)
Ziel: Suche eine Lagrangefunktion in der Art, dass
Die Bewegungsgleichung
ergeben.
Ansatz:
Probe:
Weiter:
Somit:
Somit erfüllt unser Ansatz die Bewegungsgleichungen
Eichtransformationen
Die Potenziale lassen sich umeichen mit Hilfe der Eichfunktion
- :
Durch Einsetzen sieht man schnell, dass sich die Felder nicht ändern:
Betrachten wir die Lagrangefunktion, so ergibt sich:
Einsetzen zeigt: L´ führt zu denselben Lagrangegleichungen wie L.
Die Eichtransformation
mit einer beliebigen Eichfunktion M (skalar) läßt die Lagrangegleichungen invariant.
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Allgemein gilt:
Sei beliebig und
dann erfüllen die
das hamiltonsche Prinzip
Also:
Das bedeutet, die Euler- Lagrangegleichungen sind invariant unter Transformationen der Art
- mit
beliebig.
Beweis:
- mit
Einzige Nebenbedingung:
darf nicht explizit von
abhängen.
Beispiel: eindimensionaler Oszi
Beispielhafte Eichfunktion:
Die Lagrangegleichungen lauten:
Es folgt als Bewegungsgleichung
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