Forminvarianz der Lagrangegleichungen: Unterschied zwischen den Versionen
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Eine schwächere Form der Invarianz ( als die Eichinvarianz) ist die Forminvarianz. | Eine schwächere Form der Invarianz (als die Eichinvarianz) ist die Forminvarianz. | ||
Dabei gilt als Forminvarianz: | Dabei gilt als Forminvarianz: | ||
<math>\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=0\Rightarrow \frac{\partial L}{\partial {{Q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{Q}}}_{k}}}=0</math> | :<math>\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=0\Rightarrow \frac{\partial L}{\partial {{Q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{Q}}}_{k}}}=0</math> | ||
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<math>F:\left\{ {{q}_{k}} \right\}\to \left\{ {{Q}_{k}} \right\}</math> | :<math>F:\left\{ {{q}_{k}} \right\}\to \left\{ {{Q}_{k}} \right\}</math> | ||
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<math>F:\left\{ {{q}_{k}} \right\}\to \left\{ {{Q}_{k}} \right\}</math> | :<math>F:\left\{ {{q}_{k}} \right\}\to \left\{ {{Q}_{k}} \right\}</math> | ||
ein C²- Diffeomorphismus, | ein C²- Diffeomorphismus, | ||
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beide zweimal stetig differenzierbar, dann ist | beide zweimal stetig differenzierbar, dann ist | ||
<math>\left\{ {{Q}_{k}}(t) \right\}</math> | :<math>\left\{ {{Q}_{k}}(t) \right\}</math> | ||
Lösung der Lagrangegleichung zur transformierten Lagrangefunktion: | Lösung der Lagrangegleichung zur transformierten Lagrangefunktion: | ||
<math>\tilde{L}({{Q}_{k}},{{\dot{Q}}_{k}},t):=L({{f}_{k}}({{Q}_{i}},t),\sum\limits_{i}{{}}\frac{\partial {{f}_{k}}}{\partial {{Q}_{i}}}{{\dot{Q}}_{i}}+\frac{\partial {{f}_{k}}}{\partial t},t)</math> mit <math>\begin{align} | :<math>\tilde{L}({{Q}_{k}},{{\dot{Q}}_{k}},t):=L({{f}_{k}}({{Q}_{i}},t),\sum\limits_{i}{{}}\frac{\partial {{f}_{k}}}{\partial {{Q}_{i}}}{{\dot{Q}}_{i}}+\frac{\partial {{f}_{k}}}{\partial t},t)</math> mit <math>\begin{align} | ||
& {{f}_{k}}({{Q}_{i}},t)={{q}_{k}} \\ | & {{f}_{k}}({{Q}_{i}},t)={{q}_{k}} \\ | ||
& \sum\limits_{i}{{}}\frac{\partial {{f}_{k}}}{\partial {{Q}_{i}}}{{{\dot{Q}}}_{i}}+\frac{\partial {{f}_{k}}}{\partial t}={{{\dot{q}}}_{k}} \\ | & \sum\limits_{i}{{}}\frac{\partial {{f}_{k}}}{\partial {{Q}_{i}}}{{{\dot{Q}}}_{i}}+\frac{\partial {{f}_{k}}}{\partial t}={{{\dot{q}}}_{k}} \\ | ||
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<math>\left\{ {{q}_{k}}(t) \right\}</math> | :<math>\left\{ {{q}_{k}}(t) \right\}</math> | ||
sind Lösung der Lagrangegleichungen zu | sind Lösung der Lagrangegleichungen zu | ||
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& \frac{d}{dt}\frac{\partial \tilde{L}}{\partial {{{\dot{Q}}}_{k}}}=\sum\limits_{l=1}^{f}{\left\{ \left[ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}} \right) \right]\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}} \right) \right\}} \\ | & \frac{d}{dt}\frac{\partial \tilde{L}}{\partial {{{\dot{Q}}}_{k}}}=\sum\limits_{l=1}^{f}{\left\{ \left[ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}} \right) \right]\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}} \right) \right\}} \\ | ||
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<math>\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}</math> | :<math>\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}</math> | ||
die Transformationsmatrix, die nichtsingulär sein muss, also | die Transformationsmatrix, die nichtsingulär sein muss, also | ||
<math>\det \frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}\ne 0</math> | :<math>\det \frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}\ne 0</math> | ||
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Sei | Sei | ||
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ein C²- Diffeomorphismus, | ein C²- Diffeomorphismus, | ||
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beide zweimal stetig differenzierbar. | beide zweimal stetig differenzierbar. | ||
Nur dann ist | Nur dann ist | ||
<math>\left\{ {{Q}_{k}}(t) \right\}</math> | :<math>\left\{ {{Q}_{k}}(t) \right\}</math> | ||
Lösung der Lagrangegleichung zur transformierten Lagrangefunktion. | Lösung der Lagrangegleichung zur transformierten Lagrangefunktion. | ||
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& {{Q}_{i}}={{F}_{i}}({{q}_{1}},...{{q}_{f}},t) \\ | & {{Q}_{i}}={{F}_{i}}({{q}_{1}},...{{q}_{f}},t) \\ | ||
& {{q}_{k}}={{f}_{k}}({{Q}_{1}},...,{{Q}_{f}},t)\quad mit\quad \det \frac{\partial {{f}_{k}}}{\partial {{Q}_{i}}}\ne 0 \\ | & {{q}_{k}}={{f}_{k}}({{Q}_{1}},...,{{Q}_{f}},t)\quad mit\quad \det \frac{\partial {{f}_{k}}}{\partial {{Q}_{i}}}\ne 0 \\ | ||
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<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial \tilde{L}}{\partial {{{\dot{Q}}}_{k}}}-\frac{\partial \tilde{L}}{\partial {{Q}_{k}}}</math> | :<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial \tilde{L}}{\partial {{{\dot{Q}}}_{k}}}-\frac{\partial \tilde{L}}{\partial {{Q}_{k}}}</math> | ||
ist kovariant unter diffeomorphen Transformationen der generalisierten Koordinaten | ist kovariant unter diffeomorphen Transformationen der generalisierten Koordinaten | ||
Also gibt es auch unendlich viele äquivalente Sätze generalisierter Koordinaten. | Also gibt es auch unendlich viele äquivalente Sätze generalisierter Koordinaten. |
Aktuelle Version vom 12. September 2010, 23:28 Uhr
Der Artikel Forminvarianz der Lagrangegleichungen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 4) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
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Eine schwächere Form der Invarianz (als die Eichinvarianz) ist die Forminvarianz.
Dabei gilt als Forminvarianz:
Für welche Trnsformationen der generalisierten Koordinaten
sind nun die Lagrangegleichungen forminvariant ?
Satz:
Sei
ein C²- Diffeomorphismus,
also eine umkehrbare und eindeutige Abbildung und sind
beide zweimal stetig differenzierbar, dann ist
Lösung der Lagrangegleichung zur transformierten Lagrangefunktion:
Diese Aussage ist äquivalent zur Aussage:
sind Lösung der Lagrangegleichungen zu
Beweis:
Nun:
und auf der anderen Seite:
Somit:
Dabei bildet
die Transformationsmatrix, die nichtsingulär sein muss, also
Daher die Bedingung, dass
Sei
ein C²- Diffeomorphismus,
also eine umkehrbare und eindeutige Abbildung und
beide zweimal stetig differenzierbar.
Nur dann ist
Lösung der Lagrangegleichung zur transformierten Lagrangefunktion.
Denn diese Aussage ist äquivalent zu
Man sagt, die Variationsableitung
ist kovariant unter diffeomorphen Transformationen der generalisierten Koordinaten
Also gibt es auch unendlich viele äquivalente Sätze generalisierter Koordinaten.