Forminvarianz der Lagrangegleichungen: Unterschied zwischen den Versionen

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<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|2|4}}</noinclude>
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Eine schwächere Form der Invarianz ( als die Eichinvarianz) ist die Forminvarianz.
Eine schwächere Form der Invarianz (als die Eichinvarianz) ist die Forminvarianz.


Dabei gilt als Forminvarianz:
Dabei gilt als Forminvarianz:




<math>\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=0\Rightarrow \frac{\partial L}{\partial {{Q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{Q}}}_{k}}}=0</math>
:<math>\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=0\Rightarrow \frac{\partial L}{\partial {{Q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{Q}}}_{k}}}=0</math>




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<math>F:\left\{ {{q}_{k}} \right\}\to \left\{ {{Q}_{k}} \right\}</math>
:<math>F:\left\{ {{q}_{k}} \right\}\to \left\{ {{Q}_{k}} \right\}</math>




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Sei
Sei
<math>F:\left\{ {{q}_{k}} \right\}\to \left\{ {{Q}_{k}} \right\}</math>
:<math>F:\left\{ {{q}_{k}} \right\}\to \left\{ {{Q}_{k}} \right\}</math>
ein C²- Diffeomorphismus,
ein C²- Diffeomorphismus,


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<math>F,{{F}^{-1}}</math>
:<math>F,{{F}^{-1}}</math>
beide zweimal stetig differenzierbar, dann ist
beide zweimal stetig differenzierbar, dann ist




<math>\left\{ {{Q}_{k}}(t) \right\}</math>
:<math>\left\{ {{Q}_{k}}(t) \right\}</math>
Lösung der Lagrangegleichung zur transformierten Lagrangefunktion:
Lösung der Lagrangegleichung zur transformierten Lagrangefunktion:




<math>\tilde{L}({{Q}_{k}},{{\dot{Q}}_{k}},t):=L({{f}_{k}}({{Q}_{i}},t),\sum\limits_{i}{{}}\frac{\partial {{f}_{k}}}{\partial {{Q}_{i}}}{{\dot{Q}}_{i}}+\frac{\partial {{f}_{k}}}{\partial t},t)</math> mit <math>\begin{align}
:<math>\tilde{L}({{Q}_{k}},{{\dot{Q}}_{k}},t):=L({{f}_{k}}({{Q}_{i}},t),\sum\limits_{i}{{}}\frac{\partial {{f}_{k}}}{\partial {{Q}_{i}}}{{\dot{Q}}_{i}}+\frac{\partial {{f}_{k}}}{\partial t},t)</math> mit <math>\begin{align}
   & {{f}_{k}}({{Q}_{i}},t)={{q}_{k}} \\
   & {{f}_{k}}({{Q}_{i}},t)={{q}_{k}} \\
  & \sum\limits_{i}{{}}\frac{\partial {{f}_{k}}}{\partial {{Q}_{i}}}{{{\dot{Q}}}_{i}}+\frac{\partial {{f}_{k}}}{\partial t}={{{\dot{q}}}_{k}} \\
  & \sum\limits_{i}{{}}\frac{\partial {{f}_{k}}}{\partial {{Q}_{i}}}{{{\dot{Q}}}_{i}}+\frac{\partial {{f}_{k}}}{\partial t}={{{\dot{q}}}_{k}} \\
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<math>\left\{ {{q}_{k}}(t) \right\}</math>
:<math>\left\{ {{q}_{k}}(t) \right\}</math>
sind Lösung der Lagrangegleichungen zu
sind Lösung der Lagrangegleichungen zu
<math>L({{q}_{k}},{{\dot{q}}_{k}},t)</math>
:<math>L({{q}_{k}},{{\dot{q}}_{k}},t)</math>




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<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial \tilde{L}}{\partial {{{\dot{Q}}}_{k}}}=\sum\limits_{l=1}^{f}{\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\frac{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}{\partial {{{\dot{Q}}}_{k}}}=}\sum\limits_{l=1}^{f}{\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}} \right)}</math> wegen <math>\begin{align}
:<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial \tilde{L}}{\partial {{{\dot{Q}}}_{k}}}=\sum\limits_{l=1}^{f}{\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\frac{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}{\partial {{{\dot{Q}}}_{k}}}=}\sum\limits_{l=1}^{f}{\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}} \right)}</math> wegen <math>\begin{align}
   & {{f}_{k}}({{Q}_{i}},t)={{q}_{k}} \\
   & {{f}_{k}}({{Q}_{i}},t)={{q}_{k}} \\
  & \sum\limits_{i}{{}}\frac{\partial {{f}_{k}}}{\partial {{Q}_{i}}}{{{\dot{Q}}}_{i}}+\frac{\partial {{f}_{k}}}{\partial t}={{{\dot{q}}}_{k}} \\
  & \sum\limits_{i}{{}}\frac{\partial {{f}_{k}}}{\partial {{Q}_{i}}}{{{\dot{Q}}}_{i}}+\frac{\partial {{f}_{k}}}{\partial t}={{{\dot{q}}}_{k}} \\
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<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
   & \frac{d}{dt}\frac{\partial \tilde{L}}{\partial {{{\dot{Q}}}_{k}}}=\sum\limits_{l=1}^{f}{\left\{ \left[ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}} \right) \right]\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}} \right) \right\}} \\
   & \frac{d}{dt}\frac{\partial \tilde{L}}{\partial {{{\dot{Q}}}_{k}}}=\sum\limits_{l=1}^{f}{\left\{ \left[ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}} \right) \right]\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}} \right) \right\}} \\
  & =\sum\limits_{l=1}^{f}{\left\{ \left[ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}} \right) \right]\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\left( \frac{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}} \right) \right\}} \\
  & =\sum\limits_{l=1}^{f}{\left\{ \left[ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}} \right) \right]\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\left( \frac{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}} \right) \right\}} \\
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<math>\frac{\partial \tilde{L}}{\partial {{Q}_{k}}}=\sum\limits_{l=1}^{f}{\left( \frac{\partial L}{\partial {{q}_{l}}}\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\left( \frac{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}} \right) \right)}</math>
:<math>\frac{\partial \tilde{L}}{\partial {{Q}_{k}}}=\sum\limits_{l=1}^{f}{\left( \frac{\partial L}{\partial {{q}_{l}}}\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\left( \frac{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}} \right) \right)}</math>




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<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
   & \frac{d}{dt}\frac{\partial \tilde{L}}{\partial {{{\dot{Q}}}_{k}}}-\frac{\partial \tilde{L}}{\partial {{Q}_{k}}}=\sum\limits_{l=1}^{f}{\left\{ \left[ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}} \right) \right]\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\left( \frac{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}} \right)-\left( \frac{\partial L}{\partial {{q}_{l}}}\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\left( \frac{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}} \right) \right) \right\}} \\
   & \frac{d}{dt}\frac{\partial \tilde{L}}{\partial {{{\dot{Q}}}_{k}}}-\frac{\partial \tilde{L}}{\partial {{Q}_{k}}}=\sum\limits_{l=1}^{f}{\left\{ \left[ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}} \right) \right]\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\left( \frac{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}} \right)-\left( \frac{\partial L}{\partial {{q}_{l}}}\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\left( \frac{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}} \right) \right) \right\}} \\
  & =\sum\limits_{l=1}^{f}{\left\{ \left[ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}} \right) \right]\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}-\left( \frac{\partial L}{\partial {{q}_{l}}}\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}} \right) \right\}}=\sum\limits_{l=1}^{f}{\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}\left\{ \left[ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}} \right) \right]-\left( \frac{\partial L}{\partial {{q}_{l}}} \right) \right\}} \\
  & =\sum\limits_{l=1}^{f}{\left\{ \left[ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}} \right) \right]\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}-\left( \frac{\partial L}{\partial {{q}_{l}}}\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}} \right) \right\}}=\sum\limits_{l=1}^{f}{\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}\left\{ \left[ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}} \right) \right]-\left( \frac{\partial L}{\partial {{q}_{l}}} \right) \right\}} \\
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<math>\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}</math>
:<math>\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}</math>
die Transformationsmatrix, die nichtsingulär sein muss, also
die Transformationsmatrix, die nichtsingulär sein muss, also
<math>\det \frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}\ne 0</math>
:<math>\det \frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}\ne 0</math>




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Sei
Sei
<math>F:\left\{ {{q}_{k}} \right\}\to \left\{ {{Q}_{k}} \right\}</math>
:<math>F:\left\{ {{q}_{k}} \right\}\to \left\{ {{Q}_{k}} \right\}</math>
ein C²- Diffeomorphismus,
ein C²- Diffeomorphismus,


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<math>F,{{F}^{-1}}</math>
:<math>F,{{F}^{-1}}</math>
beide zweimal stetig differenzierbar.
beide zweimal stetig differenzierbar.


Nur dann ist
Nur dann ist
<math>\left\{ {{Q}_{k}}(t) \right\}</math>
:<math>\left\{ {{Q}_{k}}(t) \right\}</math>
Lösung der Lagrangegleichung zur transformierten Lagrangefunktion.
Lösung der Lagrangegleichung zur transformierten Lagrangefunktion.


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<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
   & {{Q}_{i}}={{F}_{i}}({{q}_{1}},...{{q}_{f}},t) \\
   & {{Q}_{i}}={{F}_{i}}({{q}_{1}},...{{q}_{f}},t) \\
  & {{q}_{k}}={{f}_{k}}({{Q}_{1}},...,{{Q}_{f}},t)\quad mit\quad \det \frac{\partial {{f}_{k}}}{\partial {{Q}_{i}}}\ne 0 \\
  & {{q}_{k}}={{f}_{k}}({{Q}_{1}},...,{{Q}_{f}},t)\quad mit\quad \det \frac{\partial {{f}_{k}}}{\partial {{Q}_{i}}}\ne 0 \\
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<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial \tilde{L}}{\partial {{{\dot{Q}}}_{k}}}-\frac{\partial \tilde{L}}{\partial {{Q}_{k}}}</math>
:<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial \tilde{L}}{\partial {{{\dot{Q}}}_{k}}}-\frac{\partial \tilde{L}}{\partial {{Q}_{k}}}</math>
ist kovariant unter diffeomorphen Transformationen der generalisierten Koordinaten
ist kovariant unter diffeomorphen Transformationen der generalisierten Koordinaten


Also gibt es auch unendlich viele äquivalente Sätze generalisierter Koordinaten.
Also gibt es auch unendlich viele äquivalente Sätze generalisierter Koordinaten.

Aktuelle Version vom 12. September 2010, 23:28 Uhr



Eine schwächere Form der Invarianz (als die Eichinvarianz) ist die Forminvarianz.

Dabei gilt als Forminvarianz:


LqkddtLq˙k=0LQkddtLQ˙k=0


Für welche Trnsformationen der generalisierten Koordinaten


F:{qk}{Qk}


sind nun die Lagrangegleichungen forminvariant ?

Satz:

Sei

F:{qk}{Qk}

ein C²- Diffeomorphismus,

also eine umkehrbare und eindeutige Abbildung und sind


F,F1

beide zweimal stetig differenzierbar, dann ist


{Qk(t)}

Lösung der Lagrangegleichung zur transformierten Lagrangefunktion:


L~(Qk,Q˙k,t):=L(fk(Qi,t),ifkQiQ˙i+fkt,t) mit fk(Qi,t)=qkifkQiQ˙i+fkt=q˙k


Diese Aussage ist äquivalent zur Aussage:


{qk(t)}

sind Lösung der Lagrangegleichungen zu

L(qk,q˙k,t)


Beweis:


ddtL~Q˙k=l=1fddtLq˙lq˙lQ˙k=l=1fddt(Lq˙lqlQk) wegen fk(Qi,t)=qkifkQiQ˙i+fkt=q˙k


Nun:


ddtL~Q˙k=l=1f{[ddt(Lq˙l)]qlQk+Lq˙lddt(qlQk)}=l=1f{[ddt(Lq˙l)]qlQk+Lq˙l(q˙lQk)}


und auf der anderen Seite:


L~Qk=l=1f(LqlqlQk+Lq˙l(q˙lQk))


Somit:


ddtL~Q˙kL~Qk=l=1f{[ddt(Lq˙l)]qlQk+Lq˙l(q˙lQk)(LqlqlQk+Lq˙l(q˙lQk))}=l=1f{[ddt(Lq˙l)]qlQk(LqlqlQk)}=l=1fqlQk{[ddt(Lq˙l)](Lql)}


Dabei bildet


qlQk

die Transformationsmatrix, die nichtsingulär sein muss, also

detqlQk0


Daher die Bedingung, dass

Sei

F:{qk}{Qk}

ein C²- Diffeomorphismus,

also eine umkehrbare und eindeutige Abbildung und


F,F1

beide zweimal stetig differenzierbar.

Nur dann ist

{Qk(t)}

Lösung der Lagrangegleichung zur transformierten Lagrangefunktion.

Denn diese Aussage ist äquivalent zu


Qi=Fi(q1,...qf,t)qk=fk(Q1,...,Qf,t)mitdetfkQi0


Man sagt, die Variationsableitung


ddtL~Q˙kL~Qk

ist kovariant unter diffeomorphen Transformationen der generalisierten Koordinaten

Also gibt es auch unendlich viele äquivalente Sätze generalisierter Koordinaten.